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专题 06 数与式大小的比较
一、单选题
1．（2024届甘肃省兰州市第高三上学期开学考试）已知 ，则 的大小关系
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，所以 .故选C.
2．（2023届陕西省镇安中学高三模拟演练）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 在 上单调递增， ；又 在 上单调递减， ，
，即 ； ， ；综上所述 .
故选A.
3．（2024届重庆市西南大学附中、重庆育才中学拔尖强基联盟高三上学期九月联考）已知
，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知 ，即可得 ；由对数函数 在 上单调递增可知，
，即 ；
且 ，所以 .故选A
4．（2024届福建省厦门市松柏中学高三上学期第一次月考）设 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，由 ，故 .故选D
5．（2023届福建省厦门第一中学高三三模）已知 ，则以下四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 令 ,
,
故最大的是 .故选A.
6．（2024届湖北省新高考联考协作体高三上学期9月考试）已知 ， ， ，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于a，由 ，则 ，故 ；对于b，
，故 ；对于c，由于 ，则 ，从而可得同理， ，则 ，从而可得 ，所以有
综上， 故选A
7．（2023届广东省惠州市惠东县高三上学期第二次教学质量检测）若 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ， ；
，
令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ， ；
综上所述： .故选B.
8．（2024届福建省莆田市第一中学高三上学期期初考试）设 是定义在 上的偶函数，若
，都有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由 ，都有 ，得函数 在 上单调递减，
又 是偶函数，则 ，而 ，于是
，所以 .故选D
9．（2024届辽宁省沈阳市新民市高三上学期9月份开学考试）记 ， ，
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 在R上单调递增，故 ，即 ；
由于 ，设 ， ，
则 ， ，则 在 单调递减，故
，
即 ，则 ；综上得， ， D正确.故选D
10．（2024届河北省衡水市第十三中学高三上学期开学考试）若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ， ， ，
， ，
则 ，令 ， ，当 时， ，所以 在 时单调递增，
所以当 时， ，
所以 在 时单调递减，所以 ，所以 ；
当 时， ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
综上， .故选D.
11．（2023届江西省鹰潭市高三一模）已知 ， ， ，其中e为自然对数的底数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ，设 ， ，
则 ，由 ，得 ， ，于是 ，即 在 上递减，
因此 ，即 ，则 ，即有 ；
由 ， ，设 ， ，
，令 ， ，
函数 在 上递减，则 ，即 ，于是 ，
即有 ，函数 在 上递减，因此 ，即 ，于是 ，即 ，所以 .故选A
12．（2023届河北省石家庄市第二中学高三下学期2月月考）设 ，其中 为
自然对数的底数，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
设 ，函数定义域为 ， ，
时， ，则 在 上单调递减，得 ，
即 ，所以 ；
，
令 ，函数定义域为 ， ，
当 时， 且 ， ；
当 时， 且 ， ；
在 上单调递增，
，则有 ，即 ，
所以 .故选D
二、多选题
13．（2024届江苏省南通市海安市2高三上学期期初质量监测）若 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A， ，∴ ，A错.
对于B，由 定义域上单调递增得 ，B对.
对于C，当 ， 时， ， ，此时 ，C错.
对于D， ，则 ， 在定义域上单调递增，∴ ，D对.
故选BD.
14．（2023届河北省唐山市邯郸市等2地高三上学期期末）下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由于 ，所以 ，故 ，A正确，
设 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，
因此 ，即 ，故B正确，
，C正确，
由于 所以 ，
，故D错误，故选BC15．（2024届湖南省永州市双牌县第二中学高三上学期开学联考）已知实数 ， 满足 ，
，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由题易知， ， ，所以 ，A正确； ，所以 ，B正
确；取 ， ，则 ，C错误； ， ， ，
，即 ，D错误.故选AB.
16．（2023届广东省东莞实验中学高三下学期开学考）已知正数a，b满足等式 ，则
下列不等式中可能成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
①当 时，
令 ，
所以 ，令
所以 ，所以 在 单调递增，
，所以 在 单调递减，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
，
所以 单调递增，
所以由 得 ，
所以 ，所以 ，
故此时 ，C选项不可能；D可能；
由 ，即
构造
所以
当 时， ，所以 在 单调递减
又 ， ，所以 ，则
所以 ，构造
，所以 在 单调递增
所以 ，故A选项不可能；B可能；
综上可得BD可能.故选BD．
17．（2024届贵州省贵阳市第一中学高三上学期开学考）已知函数 为自然对
数的底数）， ，若 ，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意 ，即 ，
而 在定义域上递增，故 ，
所以 ，即 ，A对，C错；
由 ， ，故零点 ，
所以 ，B对；
由 ，则 ，
而 ，显然 ，则 ，故 ，
综上， ，D对.故选ABD
三、填空题
18．（2023届浙江省杭州第二中学等四校高三下学期5月模拟）已知 ，则实数 的取值范
围 .
【答案】
【解析】 ，即 ，解得 ； ，即 ，
当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为 ；
综上所述， .
19． 与 的大小关系为 ．【答案】
【解析】因为 ，又 ，0<π－e<1，∴ ，即 ，
即 .
20．（2023届新疆阿勒泰地区高三三模）正数 满足 ，则a与 大小关系为
．
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，又因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，所以 .
21．（2023届辽宁省大连市第八中学高考适应性测试）已知 、 ，满足 ，
，写出 的大小关系 ．
【答案】
【解析】由 ，则 ，而 则 ，
令 且 ，则 ，即 在 上递增，
所以， ，即 ；
由 ，则 ，而 则 ，
令 且 ，则 ，即 在 上递增，
所以， ；综上， 是 与 交点横坐标， 是 与 交点横坐标，
由于 与 互为反函数，即关于 对称，
所以 ，且 ，故 .故答案为
22．（2023届福建省福州市鼓山中学高三上学期11月月考）已知 ，且
，若 ，且 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为 ，故 ，且 ；
因为 ，故 ，
令 ， ，因为 ， ，则 且 ，
则 ；
因为 ，
当且仅当 ， 时等号成立，故 ，则实数 的取值范围为 .
