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专题 06 构造法求数列通项的八种技巧(三)
【必备知识点】
◆构造六:取对数构造法
型如 , 或者 为常数.
针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取 为底,什
么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.
【经典例题1】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【解析】
取以 为底的对数(不能取 为底,因为 ,不能作为对数的底数),得到 ,
,设 ,则有 ,所以 是以 为首项,2为公比的等比数列,
所以 ,所以 , .
【经典例题2】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【解析】
取以 为底的对数(这里知道为什么不能取 为底数的对数了吧),得到 ,
, 设 ,则有 ,这又回归到构造二的情况,接
下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出 ,所以 是以
为首项,2为公比的等比数列,所以 ,所以 , , .
【经典例题3】已知 ,点 在函数 的图像上,其中 ,求数列 的通项
公式.
【解析】
将 代入函数得 , ,即
两边同时取以3为底的对数,得 (为什么此题取以3为底的对数
呢,大家思考下,新构造的数列首项为 , ,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如
果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以 是以1为首项,2为公比的等比数列,即
, , .【经典例题4】在数列 中, ,当 时,有 ,求数列 的通项公式.
【解析】
由 ,得 ,即 ,两边同取以3为底的对数,得
,即 ,所以数列 是以1为首项,2为公比的等比数列,
, ,即 .
◆构造七:二阶整体构造等比
简单的二阶整体等比:关于 的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为
,利用 成等比数列,以及叠加法求出 .还有一小部分题型可转化
为 ,利用 成等比数列求出 .
【经典例题1】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【解析】
由 ,故 是以 为首项,2为公比的等比数
列,即 ,接下来就是叠加法啦, 全部相加得: ,
所以 .
【经典例题2】已知数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
【解析】
由 ,故 是以 为首项, 为公比的
等比数列,即 ,接下来就是叠加法啦, 全部相加,利用等比数列求和得: , .
【经典例题3】数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
【解析】
由 ,故 是以 为首项, 为公比的等
比数列,即 ,接下来就是叠加法, 全部相加,利用等比数列求和得:
, .
此方法可以解决大多数的 , 模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造
成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数
列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接
下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.
【经典例题4】已知数列 满足 , , ,求数列 的通项公式.
【解析】
看到这道例题,当我们希望通过构造 为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.
所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造 成等比来解决.设原等式
,打开得到 ,对应项系数相等, 解得
,所以构造 为首项为2,公比为2的等比数列,所以 ,即 ,这
就回到了熟悉的 型.下面的操作就看你们的了.【经典例题5】已知数列 满足 , , ,求 的通项公式.
【解析】
通过构造 成等比来解决.设原等式 ,打开得到
,对应项系数相等, 解得 或 ,我们发现解出两组结果,
没关系,都是成立的,可以构造 首项为 ,公比为 的等比数列或构造 为首项为
1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.
构造一: ,即 ,这就回到了熟悉的 型,设
, 待 定 系 数 法 得 , 则 数 列 是 首 项 为
,公比为 的等比数列,所以 ,即 .
构造二: ,即 ,设 ,待定系数法得 ,
则数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 ,即
.
秒杀求法:
类通项公式暴力秒杀求法
对应的特征方程为: ,设其两根为
当 时,
当 时,
其中 , 的值的求法,用 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可
【秒杀例题1】已知数列 满足 , , ,求 的通项公式.
【解析】,对应的特征方程为: ,解得两根为 , ,设所求数列通项公式为
,把 , 代入上面的通项公式中,建立方程组解 , ,即
,解得 ,代入化简得
.
【秒杀例题2】已知数列 满足 , , ,求数列 的通项公式.
【解析】
,对应的特征方程为: ,解得两根为 ,设所求数列通项公式为
,把 , 代入上面的通项公式中,建立方程组解 , ,即
解得 ,代入化简得 .
【练习1】在数列 中, ,则
_______.
【答案】
【解析】
,
, 即 ,
数列 是首项为1,公比为2的等比数列,
, 由累加法可得,
,【练习2】设数列 的前 项和为 .已知 ,且当 时,
.
(1)求 的值；
(2)证明： 为等比数列 ;
(3)求数列 的通项公式.
【答案】
【解析】 当 时, ,即
解得: ;
(2)证明:
即 ,
数列 是以 为首项,公比为 的等比数列;
(3)由(2)知, 是以 为首项,公比为 的等比数列,
即 ,是以 为首项,4为公差的等差数列, ,即
数列 的通项公式是
【练习3】数列 满足 .
(1)设 ,证明 是等差数列;
(2)求 的通项公式.
【答案】
【解析】
(1)证明: , ,
又 ,
数列 是以1为首项、2为公差的等差数列,
即数列 是等差数列;
(2)由(1)可知
,
,
,
累加得,
,数列 的通项公式 .
◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)
针对 这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习
“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关
系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.
对于函数 ,若存在实数 ,使得 ,则称 是函数 的不动点.
在几何上，曲线 与曲线 的交点的横坐标即为函数 的不动点.
一般地,数列 的递推式可以由公式 给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列
,若其递推式为 ,且存在实数 ,使得 ,则称 是数列 的不动点。
数列的不动点有什么性质呢? 若从某一项 开始,数列的取值即为 ,也即 ,则
,以此类推,根据数学归纳法, 可以得到当
时, ,也即数列 在 之后“不动”了.
这就为我们求数列的不动点提供一个思路,当数列达到不动点,之后的每一项都相等,所以在给定等式中,令
数列当中的每一项都等于 ,最后解方程即可.
接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围.所谓分式递推数列是指以下类型：若数列
满足 ,其中 , , , 是给定的实数,求数列 的通项公式。
这时候要求它的不动点,考虑方程 ,得到了一个二次方程,我们从几个
例子出发：
【经典例题1】设数列 满足 ,求数列 的通项公式。
【解析】
根据数列不动点得性质,令 ,方程 ,故1是数列 的不动点,尝试
在递推式两边同时减去1,得到 .
注意到左右两边分别出现了 和 这样相似的结构,并且都是在分母,我们可以尝试构造新数列
,当然也可以直接变形：也即 ,因此数列 是首项为1,公差为 的等差数列,累加得 ,
因此 .
【经典例题2】设数列 满足 ,求数列 的通项公式。
【解析】
根据数列不动点得性质,令 ,同样地,考虑方程 ,这时候数列
有两个不动点1和2,分别在递推式两边減去1和2后,可以得到：
.
两式相除得 ,因此数列 是首项为2,公比为 的等比数列,累乘得
,因此 .
【经典例题3】已知 ,且 ,求 的通项公式.
【解析】
考虑方程 ,故1和 是数列 的不动点,根据上面的思路,尝试在递推式
两边同时减去1和 ,分别得到：
.两式相除得 ,因此数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,累乘得
,因此 .
【经典例题4】数列 满足 ,求 的通项公式
【解析】
首先对等式进行一定的变形,等式两边同除 ,得 ,等式右侧上下同除 ,使两侧结构相同,
,令 ,则 ,考虑方程 ,故 是数列
的不动点,在递推式两边同时减去 ,得到：
.所以数列 是以
为首项, 为公差的等差数列, 即 , , ,得到 .
【经典例题5】设数列 满足 ,求数列 的通项公式。
【解析】
事实上, ,这不同于上面的类型，但是否可以用同样的方法处理呢?
同样尝试求它的不动点: ,因此1和 是数列 的两个不动点,变形
得到：
两式相除得 ,又 ,迭代得到由此解得数列的通项公式 .
由此看来,对于比较复杂的分式型递推数列，也可以通过减去不动点来进行代数变形，从而使等式的两边
出现类似的结构,更易于处理。
总结:
形如 的递推数列,首先令 ,解出数列的不动点.
处理时也可以分两种情况:
(1)若其有一个不动点 ,则 是等差数列;
(2)若其有两个不动点 ,则 是等比数列。
【过关检测】
一、单选题
1．已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 是等比数列，公比为4，首项为3，
则数列 也是等比数列，公比为 ，首项为3．
所以 ．
故选：A．
2．在数列 中， ， ，则 的值为( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
∵ ， ，∴ ，解得 .
∵ ，∴ ，两式相减得， ，
∴ ，
∴ 是以 ＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，两边同除以 ，则 ，
∴ 是以 为公差， 为首项的等差数列，
∴ ，
∴ ，∴ .
故选：A.
3．已知数列 满足： ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意 ，
由 得 ，即 ，所以数列 是等比数
列，仅比为4，首项为4，
所以 ．
故选：C．
4．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 可得 ，
若 ，则 ，与题中条件矛盾，故 ，
所以 ，即数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以
，所以 ，
故选：A．5．已知数列 满足 ，且 ， ，其前n项和为 ，若对任意的正整数
n， 恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由 得 ，
数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
，
当 时， ， ， ， ，
将以上各式累加得 ，
， 当 时，也满足 ，
，
由 ，得 ，
，即 ，
， ．
故m的取值范围是 ．
故选：C．
6．已知数列 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 可得 ，
，根据递推公式可得出 ， ， ，
进而可知，对任意的 ， ，
在等式 两边取对数可得 ，
令 ，则 ，可得 ，则 ，
所以，数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ，
，
即 .
故选：B.
7．已知数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过x的最大整数（例如
， ）.则 （ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【解析】
由题设， ， ，
故 是首项为4，公差为2的等差数列，则 ，
则 ，所以 ，故 ，又 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 2021.
故选：D
二、填空题
8．在数列 中， ， ，且满足 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
解：因为 ， ， ，显然 ，所以 ，同除
得 ，所以 ，所以 ，所以 是以 为首
项、 为公比的等比数列，所以 ，所以
所以故答案为：
9．已知数列 满足 ，且 ，则 的通项公式
_______________________.
【答案】
【解析】
解：由 ,得 ，则 ，
由 得 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
当 时，
，
所以 ，
当 时， 也适合上式，
所以 ，
故答案为： .
10．设正项数列 满足 ， ，则数列 的通项公式是______．【答案】
【解析】
原式两边同时取对数，得 ，
即 ．设 ，则 ，
又 ，
所以 是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 ．
故答案为： .
11．在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 ，则数列 的通项公式为
______．
【答案】 ##
【解析】
解：由 ，得 ．
又 ， ，所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，
所以 ，
因为 符合上式，所以 .
故答案为：
12．已知 是数列 的前 项和， ， ， ，求数列 的通项公式
___________.【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，
因此 ，
因为 ， ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
所以当 时，
， ， ， ， ，
以上各式累加可得：
，
因为 ，
所以 ；
又 符合上式，所以 .
故答案为： .
13．数列 满足 ，则 _______.
【答案】 .【解析】
因为 ，所以 ，所以数列 是常数列，
令 ，则 ，且 ，所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，则
，所以 ，又因为 ，则 ，所以 ，因此
，所以 ，
故答案为： .
三、解答题
14．已知 是数列 的前 项， .
(1)设 ，求数列 与 的通项公式.
(2)证明： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【解析】
(1) 当 时， ，
，即 ，
，
，由条件知 ，
是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以， ，
，
，
，
是以 为首项，以 为公差的等差数列，
所以， ，即 .
(2)由（1）得 ， ，
，
两式相减得， ，
，
解得 ，
所以， .
