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题型一抛物线与三角形有关问题
1．如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点
C，连接 ，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线 上，若以点P、Q、E为顶点
的三角形与 相似，请直接写出点P的坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B（点A在点B的
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左侧），与y轴相交于点C，连接 ．
(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P
的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M的坐标．
3.如图1，已知二次函数 的图象与x轴交于点 、 ，与
y轴交于点C，且 ．
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(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作 轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一
个动点，连接PB、PC，若 ，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点
P的横坐标为t，试用含t的代数式表示 的值，并求 的最大值．
4.如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ，连接 ， ．
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（1）求 ， ， 三点的坐标并直接写出直线 ， 的函数表达式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 的平行线 ，交线段 于点
．
①试探究：在直线 上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ，与直线 交于点 ．当 时，请直
接写出 的长．
5.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ， ， ，
抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 相似？
若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴
上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐
标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的
等腰 ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
6.如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿
轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 ．
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(1)写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
(3) 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ，
是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
题型二抛物线与线段有关问题
7.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，
3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转
90°，点C落在抛物线上的点P处．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点
M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8.抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）．
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（1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标；
②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标；
（2）如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段
， （不含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证
的值是定值．
9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，
二次函数 的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段 上的
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一个动点，过点M作直线l平行于y轴交 于点F，交二次函数 的图象于
点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与 相似时，求线段 的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线 对称，求点N的坐标．
题型三抛物线与角度有关问题
10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 和点
．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成2：1两部分，
求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当
时，求 的值．
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11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点
A，点 是抛物线上一动点．
（1）如图1，当 ， ，且 时，
①求点M的坐标：
②若点 在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重
合），过点C作 ，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点 在对称轴上，当 ， ，
且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上
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一点，点G的坐标为 ，连接GF．若 ，求证：射线FE平分 ．
题型四抛物线与四边形有关问题
12.已知抛物线 ．
(1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ．
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①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交
于点 ．是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，
以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交
点，求 的取值范围．
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于
点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连
接 ， ，求 的最小值．
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ，
为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由；
14.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．
(1)求点 的坐标；(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距
离的最大值；(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存
在点 使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
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题型五抛物线与圆有关问题
15.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C
（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心， 为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋ EP的值
最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
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16.如图，已知二次函数 的图象经过点 且与 轴交于原点及点
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点 的坐标及直线 的表达式；
（3）判断 的形状，试说明理由；
（4）若点 为 上的动点，且 的半径为 ，一动点 从点 出发，以每秒2个单
位长度的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 匀速运
动到点 后停止运动，求点 的运动时间 的最小值．
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题型六抛物线与面积有关问题
17.已知二次函数 ，其中 ．
(1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点 的坐标；
(2)求证：二次函数 的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线 上运
动，平移后所得函数的图像与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值．
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18.已知抛物线 与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点 ，求 的最小值；
（2）已知点 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l： 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 上，且 ，
过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证： 与 的面积相
等．
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