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专题 07 数列求和-错位相减、裂项相消
◆错位相减法
错位相减法是求解由等差数列 和等比数列 对应项之积组成的数列 (即 )的前 项和
的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公
式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项 其实可以看成等差数列通项 与等比数列
通项 的积.
公式秒杀:
( 错位相减都可化简为这种形式 , 对于求解参数 与 , 可以采用将前 1 项和与前 2 项
和代入式中 , 建立二元一次方程求解 . 此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据 . )
【经典例题1】设数列 的前n项和为 ，若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【经典例题2】已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，且 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【练习1】已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【练习2】已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．【练习3】已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【练习4】已知数列 满足 ， （ ）.
(1)求证数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面
保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和
倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) ;
(2) ;(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8)
(9)
(10) .
1)
(1
(12)
【经典例题1】已知正项数列 中， ， ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题2】数列 的通项公式为 ，该数列的前8项和为__________．
【经典例题3】已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项和为________．【练习1】数列 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【练习2】数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 ，总有 ， ， 成等差数列，
又记 ，数列 的前 项和 ______．
【练习3】 _______.
【练习4】设数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【练习5】已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ， ，求数列 的前 项和
【练习6】已知数列 中， ．
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【练习7】记 是公差不为零的等差数列 的前 项和，若 ， 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前20项和.
【练习8】已知等差数列 满足 ， ， （ ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，求 ．【练习9】已知正项数列 的前 项和为 ，且 、 、 成等比数列，其中 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【练习10】已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【过关检测】
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．数列 的前n项和等于（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S =7，S =63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
3 6A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
4．已知等差数列 ， ， ，则数列 的前8项和为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知数列 的前 项和为 ， ．记 ，数列的前 项和为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足 ，设 ，则数列 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A．2021 B． C． D．
8．等差数列 中， ，设 ，则数列 的前61项和为（ ）
A． B．7 C． D．8
9．设数列 的前n项和为 ，则（ ）
A．25<S <25.5 B．25.5<S <26
100 100
C．26<S <27 D．27<S <27.5
100 100
10．已知数列 满足 ，则数列 的前5项和为（ ）A． B． C． D．
11．已知数列 的首项 ，且满足 ，记数列 的前n项和为 ，
若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．在数列 中， ，其前 项和 满足 ，若对任意 总有
恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知正项数列{an}满足a＝2且an 2﹣2an2﹣anan ＝0，令bn＝（n+2）an，则数列{bn}的前8项的和
1 +1 +1
等于 __．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2，则数列{ }的前n项和Tn＝__．
15．将 （ ）的展开式中 的系数记为 ，则 __________．
16．数列 的前项n和为 ，满足 ，且 ，则 ______．
三、解答题
17．已知数列 满足 ， .(1)求证：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和 .
18．已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
19．已知数列 的首项为3，且 ．
(1)证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
20．已知数列 中， ，且满足 .
(1)求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和为 .21．已知等比数列 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为正项数列（各项均为正），求数列 的前 项和 .
22．已知等差数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
