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专题 07 求数列的通项公式
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】已知前你n项和，求通项公式的步骤
(1) 、当n＝1时，a ＝S ；(2) 、当n≥2时，a ＝S －S ；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2
1 1 n n n－1
的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
【考点2】已知数列的前几项，求通项公式
如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n＋1来调节.
分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.
对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转
化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.
【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式
当出现a＝a ＋m时，构造等差数列；
n n－1
当出现a＝xa ＋y时，构造等比数列；
n n－1
当出现a＝a ＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
n n－1
三、解法解密
若数列 满足 ，则数列 都是公差为a的等差数列，若数列 满
足 ，则数列 都是公比为b的等比数列.四、考点解密
题型一:公式法
例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记 为各项均为正数的等比数列 的前n项
和， ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.
【详解】由 为各项均为正数的等比数列，且 ， ,
设数列公比为 ,可得 ，且 ，则 ，
解得 ，
故 ,
故选：D.
【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列 中，若 ，则
___________.
【答案】24
【分析】根据 的值，利用等比数列的性质 计算求得 ，进而求得 .
【详解】设公比为 ，有 ，可得 .
故答案为：24
例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列 中， ， ， 成等比数列.
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意 ，用 表示，求解即可；
（2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可.【详解】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
又因为等差数列 的公差为2，
所以 ，
解得 ，
所以 ；
（2）由题意 ，
由于 ，故 为以 为首项，公比为4的等比数列，
所以
.
【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由 可得 ，从而求出 与 的值即
可求出 的通项公式；
（2）由（1）可知 ，则 ，从而利用分组求和即可求出 ．
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 ；
（2）解：由（1）可知 ，则 ，
所以 ．
题型二:累加法与累乘法
(一) 、用累加法求数列的通项公式例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列 满足 ，则其通项公
式 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用累加法即可求出数列 的通项公式.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ，…， ，
把以上 个式子相加，得 ，
即 ，所以 .
故答案为： .
a
【变式训练3-1】、在数列 中, , ,则该数列的通项公式 n= ．
【分析】题目已知条件是 ,且 ）形式,用叠加原理求解.
【解析】因为 ,所以运用累加法即可得到：
,所
以 ,故应填 ．
【点评】当 ,且 ）满足一定条件时,可用 …
来求通项 ,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及
消去哪些项,保留哪些项,于是前 项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为
或 是常数,实际上 或 是个变量, 变化 随之改变.
【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列 中， ，前5项的和为 ，数
列 满足 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．【答案】(1) ， ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列求和公式可得 ，进而可得 ，再利用累加法可求 ，即得；
（2）由题可得 ，然后利用分组求和法即得.
(1)
设公差为d，由题设可得 ，
解得 ，
所以 ；
当 时，
，
∴ ，
当 时， （满足上述的 ），
所以 ．
(2)
∵ ．
当 时，
．
当 时，．
综上所述： ．
(二) 、用累乘法求数列的通项公式
例4、（2022·安徽黄山·一模）已知数列 满足 ， ，则
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累乘法可求得数列 的通项公式，利用错位相减法可求得 ，即可求得所求代数式的
值.
【详解】
因为数列 满足 ， ，则 ，
所以，当 时， ，
也满足 ，所以，对任意的 ， .
令 ，则 ，
可得 ，
上述两个等式作差得 ，
所以， ，
因此， .
故答案为： .
例5、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列 中， ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对任意的 ，数列 是单调递减数列，求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）利用累乘法求得 .
（2）由 分离常数 ，结合函数的性质求得 的取值范围.
(1)
依题意 ，故 ，从而 ， ，
故 ， ，
当 时，上式也符合，
所以 .
(2)
由（1）知， ，
若对任意的 ，数列 是单调递减数列，
则 对任意的 恒成立，
即 ，
又 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
在 上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，
当 或 时， 取得最小值6，
即 取得最大值 ，故实数 的取值范围为 .
【变式训练5-1】、数列 中，前 项和为 ，
(1)求数列 的通项公式；学=科网(2)令 ，证明： .
【解析】(1) ， ，
两式相减得： ，
整理得： ，
（叠乘法）因为 ，
所以 ， ，…， ，
相乘得 ，且当 =1 、2时，满足此式，
所以 .
(2)
，
因为 ，所以 ；
.
【变式训练5-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列 中， ， 是数列 的前项和，且 .
(1)求数列 的通项公式：
(2)证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用 与 关系可推导得到 ，利用累乘法即可求得 ；
（2）由 ，结合 可得 ，并由此得到 ；采用裂项相消法可整理得到
，由 可证得结论.
（1）
由 得： 且 ；
当 且 时， ，
整理可得： ， ，
则 ， ， ， ， ，
各式相乘得： ，又 ，
.
当 时成立，故 .
（2）
由 得： ，
，
，又 ， .题型三:已知前n项和，求通项公式
例6、（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）已知数列 中，前n项的和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)如果 恒成立，求 最小值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由 得 ，两式相减将 转化为 可得到数列 是等比数列；
（2）使用错位相减求和法求出 ，解不等式即可.
【详解】（1） ①， ②，
①-②得 ，即
所以数列 是以 为公比的等比数列，
又 ，即 ，
所以
（2） ，
则
所以 ，
两式相减，得
得
所以 ，
解不等式得
【变式训练6-1】、（2022·四川资阳·一模（理））已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且
．(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 可得数列 等差数列，再通过条件 可得首项，进而可得通项
公式；
（2）利用错位相减法可求和.
【详解】（1）由 得 ，
当 时， ，故 ，
则 ，即 ，
是以 为公比的等比数列，
由 得 ，即
故
（2）
则 时， ，
两式相减得 ，
故 ，
又 ，则 ，符合 ，
则则
题型四:构造法
例7、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列 满足 ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式及前 项的和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) ， .
【解析】
【分析】
（1）证明出 ，即可证得结论成立；
（2）由（1）的结论并确定数列 的首项和公比，可求得数列 的通项公式，再利用分组求和法可
求得 .
(1)
证明：因为数列 满足 ， ，则 ，
且 ，则 ， ， ，以此类推可知，对任意的 ， ，
所以， ，故数列 为等比数列.
(2)
解：由（1）可知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，
所以， ，
因此，
.
【变式训练7-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列 满足
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义证明数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；
（2）根据错位相减法求和即可.
(1)
解：数列 满足
，
∴数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
，即 ；
∴
(2)
解： ，
，
，
，
五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．19 B．18 C．17 D．20
【答案】C
【分析】利用已知条件列方程组求出 ，从而可求出 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，则由题意可得
，解得 ，
所以 ，
故选：C.2．（2022·全国·模拟预测（文））在数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为 ，则 ，
当 时，
，显然 满足上式，即有 ，
所以 ．
故选：A
3．（2022·广西·模拟预测（文））在等比数列 中， ，若 、 、 成等差数列，则
的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列 的公比为 ，则 ，根据题意可得出 、 的等量关系，即可求得数列 的
公比.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
由题意可得 ，即 ，则 ，故 .
故选：B.
4．（2010·山西临汾·模拟预测（文））已知等差数列 的公差是 ，若 ， ， 成等比数列，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可.
【详解】解：因为等差数列 的公差为2，且 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，
解得 ，
故选：A5．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，且满足
，则 （ ）
A．28 B．30 C．32 D．35
【答案】D
【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项的值,进而代入即可求解.
【详解】设公差为 且 ，由 ，得 ，
故 ，
故选：D
6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）若数列 满足 ，则称 为“对奇数列”．
已知正项数列 为“对奇数列”，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，进而可得 为等比数列，再求得通项公式即可.
【详解】由题意得 ，所以 ，又 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数
列，所以 ．
故选：D．
7．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））设数列 满足 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： ， ，
， ，
据此可得数列 是周期为4的周期数列，
则 .故选：D
8．（2020·云南·昆明一中模拟预测（理））已知等比数列 的前 项和为 ，则实数
的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】先求出 ，由 解得即可；
【详解】等比数列 的前 项和为 ，
当 时，可得 ，可得 ，
当 时， ，则
所以
因为 为等比数列，
所以 ，即
解得 ，经检验符合题意.
故选：C．
9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列 中， ， ，则
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据条件求出 即可.
【详解】因为 ， ，
所以可解得 ，所以 ，
故选：C
10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列 满足：①先单调递减后单调递增：②当 时
取得最小值．写出一个满足条件的数列 的通项公式 _________．
【答案】
【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.
【详解】设 ，则 ， ，
当 ，数列单调递减，
当 ，数列单调递增，即 ，
可得当 时数列取得最小值，故答案为：
11．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列 中， 为其前n项和，若 ， ，则
的公比为______．
【答案】１或 .
【分析】分 和 两种情况讨论.
【详解】解：当 时，满足 ， ，此时 ；
当 时，由 ， ，
可得： ，解得 ，此时 .
综上所述：公比 的值为：１或 .
故答案为：１或 .
12．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，得出关系式 ，即可解出；
（2）根据等差数列的前n项和求出即可.
【详解】（1）∵ ， ， 成等比数列，∴ ．
又 ，∴ ，解得 ．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
13．（2022·河南·模拟预测（理））若数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用累加法即可求出 的通项公式；
（2）运用裂项相消法即可证明.
【详解】（1）因为 ， ，
所以
，
故 ；
（2）证明：当n＝1时， ；
当 时， ，
则 ，
故 ；
综上， .B组 能力提升
14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列 为等差数列，数列 为等比数列且公比 .数
列 和数列 的前 和分别为 和 ，且满足 ，则等差数列 的通项公式为
_____________.
【答案】
【分析】分别令 ，得到 ，设 的公差为 ，化简得到 ，解方程组可
得答案.
【详解】由已知得，令 得， ，根据等比数列求和公式，得到
，故 ，
设 的公差为 ，则 ，
化简得 ，
故答案为：
15．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列 满足 ，则 ___________.
【答案】16
【分析】根据等比数列下标差的性质求解即可.
【详解】 .
故答案为：16
16．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列 为等比数列， ， ，
则 ______.
【答案】6
【分析】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意可得到 ，能求出 和 ，即可求出
答案
【详解】解：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意可得 即 ，
易得 ，所以两式相除，解得 ，
将 代入 可得 ，所以 ，
故答案为：6
17．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列 满足 ， ，
则其前 项和为___________.
【答案】
【分析】利用分组求和法求得正确答案.
【详解】 ，
故答案为：
18．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch）于1904年提出的一
种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花．雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的
每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着
对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”．不断重复这样的
过程，便产生了雪花曲线．下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第0级的等边三角形边长等于1，则
第4级的雪花曲线周长等于______．
【答案】
【分析】根据题意，分析“雪花”图形的边数和边长的规律，由此可得周长之间的关系 ，根据等
比数列的定义可知 是公比为 ，首项 的等比数列， ，即可求出 .
【详解】解：根据题意，下一个图形的边长是上一个图形边长的 ，边长数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为 ，所以 是公比为 的等比数列，而首项 ，所以 ，
当 时，“雪花”状多边形的周长为 .
故答案为： .
19．（2020·全国·模拟预测（文））记数列 的前 项和为 ，若 ， （ 为正整数），则
数列 的通项公式为________．
【答案】
【分析】当 时， ，所以两式相减得 ，所以化简有 ，又因为
，可得数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，即可求出数列 的通项公式.
【详解】因为 ， ，
所以当 时， ，
当 时， ，所以两式相减得： ，
则 ，所以 ，又因为 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列.
所以当 时， .
所以数列 的通项公式为：
故答案为： .
20．（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连
续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图
形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，
第三层放6个，第四层放10个 第n层放 个物体堆成的堆垛，则 __________．【答案】
【分析】由累加法即可求得 ，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】由题可知： ，
即有 ，
所以
，当n=1成立
所以 ，
所以
.
故答案为：
21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，
.
(1)求数列 、 的通项公式.
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先利用 求出 ，再利用累加法求出 ；
（2）先利用（1）结果求出 ，再利用等差数列求和公式进行求和即可．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
当 时， ，∴ ，
∵ ，
∴ ， …， ，
以上各式相加得：
，
，
又 符合上式，∴ ；
（2）由题意得 ，
时， ,
当 时， ，
∴ .C组 真题实战练
22．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，
则
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】利用方程思想列出关于 的方程组，求出 ，再利用通项公式即可求得 的值．
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ，
解得 ， ，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
23．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
24．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前
100项和为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设等差数列{a }的首项为a，公差为d.
n 1
∵a＝5，S＝15，
5 5
∴ ⇒ ⇒a＝n.
n∴ ＝ ＝ ，
S ＝ ＋ ＋…＋
100
＝1－ ＝ .
25．（2014·全国·高考真题（理））等比数列 中， ，则数列 的前8项和等于
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得aa=aa=aa=aa=10．再利用对数的运算性质即可得出．
1 8 2 7 3 6 4 5
解：∵数列{a }是等比数列，a=2，a=5，
n 4 5
∴aa=aa=aa=aa=10．
1 8 2 7 3 6 4 5
∴lga +lga+…+lga
1 2 8
=lg（aa…×a）
1 2 8
=
=4lg10
=4．
故选C．
考点：等比数列的前n项和．
26．（2014·天津·高考真题（文））设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为其前n项和，若
成等比数列，则 =（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】D
【分析】把已知 用数列的首项 和公差 表示出来后就可解得 ．，
【详解】因为 成等比数列，所以 ，即
故选D.
【点睛】本题考查等差数列的前 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
27．（2010·湖北·高考真题（文））已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则
A． B． C． D．
【答案】C【详解】试题分析：由已知 ，所以 ，因为数列 的各项均为正，所以 ，
．故选C．
考点：等差数列与等比数列的性质．
28．（2015·浙江·高考真题（理））已知 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成
等比数列，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵等差数列 ， ， ， 成等比数列，∴ ，
∴ ，∴ ， ，故选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前 项和；2.等比数列的概念
29．（2019·全国·高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则
___________.
【答案】4.
【分析】根据已知求出 和 的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因 ，所以 ，即 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
30．（2019·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前 项和，若 ，则
___________.
【答案】100
【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】 得
【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和
公式是解题的关键．31．（2008·四川·高考真题（文））设数列 中， ，则通项 ___________．
【答案】
【详解】∵ ∴ ， ，
， ， ， ，
将以上各式相加得：
故应填 ；
【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；
【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住 中 系数相同是找到方法的突破口；
此题可用累和法，迭代法等；
32．（2014·广东·高考真题（文））等比数列 的各项均为正数，且 ，则
_____.
【答案】 .
【详解】试题分析：由题意知 ，且数列 的各项均为正数，所以 ，
，
．
考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．
33．（2015·安徽·高考真题（理））已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的
前 项和等于 .
【答案】
【详解】由题意， ，解得 或者 ，
而数列 是递增的等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，
因而数列 的前 项和 ，故答案为 .
考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前 项和公式.
34．（2014·江苏·高考真题）在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，则 的值是
_______.
【答案】4【详解】试题分析：设等比数列 的公比为 ．∵ ，∴ ，化为
，解得 ．∴ ．故答案为4．
考点：等比数列的通项公式.
35．（2015·全国·高考真题（理）） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn ，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．
【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an 2+2an ＝4Sn +3
+1 +1 +1
两式相减得an 2﹣an2+2（an ﹣an）＝4an ，
+1 +1 +1
即2（an +an）＝an 2﹣an2＝（an +an）（an ﹣an），
+1 +1 +1 +1
∵an＞0，∴an ﹣an＝2，
+1
∵a2+2a＝4a+3，
1 1 1
∴a＝﹣1（舍）或a＝3，
1 1
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn （ ），
∴数列{bn}的前n项和Tn （ ） （ ） .
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
36．（2021·全国·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
37．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
38．（2014·全国·高考真题（理））已知数列 满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）证明见解析.【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，
求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出 ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等
式.
试题解析：（1）证明：由 得 ，所以 ，所以 是等比数列，
首项为 ，公比为3，所以 ，解得 .
（2）由（1）知： ，所以 ，
1 1
因为当 时， ，所以 ，于是
≤1+ +⋯+
= ，
3 3n−1
所以 .
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当 时， ，
而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们
的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解
决好该类问题的关键.
