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考前突破 02 填空（双空、多结论、多解题 3 大必考题型）60 题
题型一：双空题
题型二：多结论题
题型三：多解题
题型一：双空题
【中考母题学方法】
1．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形( ， ， )与中间的小等边三角形
拼成一个大等边三角形 ．连接BD并延长交 于点G，若 ，则：
（1） 的度数是 ；
（2） 的长是 ．
2．（2024·重庆·中考真题）如图，以 为直径的 与 相切于点 ，以 为边作平行四边形 ，
点D、E均在 上， 与 交于点 ，连接 ，与 交于点 ，连接 ．若 ，则
． ．
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3．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片 ，点E，F分别在边 上，沿垂直于 的
直线折叠得到折痕 ，点B，C分别落在正方形所在平面内的点 ， 处，然后还原．
（1）若点N在边 上，且 ，则 （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于 的直线折叠得到折痕 ，点G，H分别在边 上，点D落在正方形所在平面
内的点 处，然后还原．若点 在线段 上，且四边形 是正方形， ， ， 与
的交点为P，则 的长为 ．
4．（2024·河北·中考真题）如图， 的面积为 ， 为 边上的中线，点 ， ， ， 是线段
的五等分点，点 ， ， 是线段 的四等分点，点 是线段 的中点．
（1） 的面积为 ；
（2） 的面积为 ．
5．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个
节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：
节目 A B C D
演员 10 2 10 1
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人数
彩排
30 10 20 10
时长
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节
目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。
若节目按“ ”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
6．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图
象的“近轴点”．例如，点(0,1)是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
7．（2024·河南·中考真题）如图，在 中， ， ，线段 绕点C在平面内
旋转，过点B作 的垂线，交射线 于点E．若 ，则 的最大值为 ，最小值为
.
【中考模拟即学即练】
8．（2024·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这
样的正整数称为“平方优数”．例如， ，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则
第3个平方优数是 ；第48个平方优数是 ．
9．（2024·浙江·模拟预测）如图，四边形 中， ， ， ， ，连结
， ．
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（1）若 ，则BD的值为 ．
（2）线段 的最大值为 ．
10．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个 的正方形网格，网格的横线、纵
线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为 ．
（1）点M的坐标为 ；
（2）若双曲线L： 与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有
个．
11．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长，交
于 ，交 的延长线于点 ．
（1）图中 与哪个三角形全等： ．
（2）猜想：线段 、 、 之间存在什么关系： ．
12．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，正方形 的边长为4，点 ， 分别在边 ， 上，且
， 平分 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， ． 是线段 上的一个动点，过点
作 ，垂足为 ，连接 ．则 的最小值为 ， ．
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13．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示， 在 中， ， ， 点P
是线段 上的一个动点(点 P可与点A重合)， 过点P作 于点 R， 作 的平分线交AB于点
G， 在线段 上截取 ， 过点D作 交 于点E， 过点P作 交 于点F，
此时四边形 恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形 面积的最小值为
，最大值为 ．
14．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位 十位 个位，
称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到 ，记 ．例如：128满足
，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记
．
若p是一个“步步高升数”，则 的最大值为 ，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足
是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为 ．
15．（2024·重庆渝北·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组
成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数． （其中
， 且a， b， c， d均为整数）为“吉祥数”，则 ， 定义
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， 若 能被17整除，且存在整数k，使得 ，则满足条
件的M 的值为 ．
16．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数
字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚
数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四
位数N．称N为“明佳数”，规定： ．如果M是最大“珊瑚数”，则 是 ，
对于任意四位自然数 （a、b、c、d是整数且 ， ），规
定： ．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且 ），
十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且 ），且 ．若 能被13
整除，则 的最小值是 ．
17．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在正方形 中，点E，F分别在 ， 的延长线上，
，点G，H分别是 ， 的中点，连接 ，延长 交 于点 ．若 ， ，
则 °， ．
18．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在 中， ，D是 边上一点， ，
E，F分别是 上的点，且 ．
（1）设 ，则 （用含 的式子表示）；
（2）若 ，则 的长为 ．
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19．（2024·河北邢台·模拟预测）如图， 是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点．连接
CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接 ，则 ，连接 ，则 周长的最
小值是 ．
20．（2024·广东广州·模拟预测）如图， 为 的直径，点A是弧 的中点， 交 于E点，
的切线与 的延长线交于点F， ， ．则（1）弧 的长＝ ；（2）
．
21．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位
上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若 为“逢
双数”，则这个数为 ；对于“逢双数” ，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个
三位数的和记为 ．若“逢双数” 千位上的数字与个位上的数字之和为8，且 能被4整除，
则所有满足条件的“逢双数” 的最大值与最小值的差为 ．
22．（2024·安徽·三模）如图，在矩形 中，P，Q为对角线 上两点，以 为对角线的正方形
的顶点E，F分别在 边上．
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（1）若 ， ，则 ；
（2）若 ，则 的值为 ．（用含n的代数式表示）
23．（2024·安徽·模拟预测）如图1， ， 分别是等边 边上两点，且 的面积和四边形
的面积相等，将 沿 折叠得到 ．
（1）若 ， ，则 ；
（2）如图2，若 ， ，则 ．
24．（2024·河北张家口·模拟预测）如图， 在 中， ， ， 为 边的高， 点
A在x轴上， 点B在y轴上， 点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运
动，则点 B随之沿y轴下滑，并带动 在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动
连接 ，线段 的长随t的变化而变化，当 最大时， ．当 的边与坐标轴平行时，
．
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25．（2024·四川乐山·一模）当 ， 是正实数，且满足 时，就称点 为“友谊点”．已
知点 与点 都在直线 上，点 、 是“友谊点”，且点 在线段 上．
（1）点 的坐标为 ；
（2）若 ， ，则 的面积为 ．
26．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，一块含30°的三角板 和直尺 拼合在同一平面上，边AD在
射线 上， ，点 从点 出发沿AB方向滑动时，点 同时在射线 上滑动．当点
从点 滑动到点 时， 面积的最大值 （ ），连接 ，则 外接圆的圆心运动
的路径长 ．
27．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称
这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵ ，∴1278是“友谊数”．若 是一个
“友谊数”，且 ，则这个数为 ；若 是一个“友谊数”，设 ，
且 是整数，则满足条件的 的最大值是 ．
题型二：多结论题
【中考母题学方法】
28．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在正方形 中，E是 延长线上一点， 分别交
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于点F、M，过点F作 ，分别交 、 于点N、P，连接 ．下列四个结论：①
；② ；③若P是 中点， ，则 ；④ ；⑤
若 ，则 ．其中正确的结论是 ．
29．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片 中， 是 边的中点，将正方形纸片沿
折叠，点 落在点 处，延长 交 于点 ，连结 并延长交 于点 ．给出以下结论：①
为等腰三角形；② 为 的中点；③ ；④ ．其中正确结论是 ．（填序
号）
30．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交
点位于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则 ；
④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是 （请填写序号）．
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31．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），
抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），且 ．下列四个结论：
与 交点为 ； ； ； ， 两点关于 对称．其中正确的结论是
．（填写序号）
32．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当 时，
的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则 ； 满足
的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为 ．
33．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ， 两点，
且 ．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．
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其中正确的是 （填写序号）．
34．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在函数 的
图象上， ， ．将线段 沿 轴正方向平移得线段 （点 平移后的对应点为 ）， 交
函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，则下列结论：
① ；
② 的面积等于四边形 的面积；
③ 的最小值是 ；
④ ．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
35．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数
称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数” ，其“倍值点”为 ．下
列说法不正确的序号为 ．
①函数 是“倍值函数”；
②函数 的图象上的“倍值点”是 和 ；
③若关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 ；
④若关于x的函数 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当 时，n的最
小值为k，则k的值为 ．
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36．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数 的图象向右平移1个单位长度后关于
轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）
①
②当 时，代数式 的最小值为3
③对于任意实数 ，不等式 一定成立
④P(x ,y )，Q(x ,y )为该二次函数图象上任意两点，且 ．当 时，一定有
1 1 2 2
37．（2024·吉林长春·中考真题）如图， 是半圆的直径， 是一条弦， 是 的中点， 于
点 ，交 于点 ， 交 于点 ，连结 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③当 ， 时， ；
④当 ， 时， 的面积是 ．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【中考模拟即学即练】
38．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两
个等边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论正确的有 ．（填序号）
① 的最小值为 ；② 的最小值为 ；③ 周长的最小值为6；④四边形 面
积的最小值为 ．
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39．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数 与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足
，则下列结论：① ；②若 ，当 时，y随x的增大而减小；③若
有一个根是大于m的负数，则 ；④ ，其中正确的
结论是 ．（填写序号）
40．（2024·河北邢台·模拟预测）如图， 是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点．连接
CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接 ，则 ，连接 ，则 周长的最
小值是 ．
41．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 经过点 ， ，其中 ， ．
下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中
正确的结论是 （填写序号）．
42．（2024·四川南充·模拟预测）如图，正方形 中，点 为边 上的一动点，点 是 延长线上
一点，且 ，连接 、 、 、 ， 与 、 分别交于 、 ， 是 的中点，连
接 ，则下列四个结论：① ；② ；③若 ，则 ；④当 为 的
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中点时，则 ．其中正确的结论是 ．（填序号）
43．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等边 中，点 是边AC上一点，将 沿直线 翻折得到
，连接 并延长与直线 交于点 ．下列四个结论：① ；② ；③
；④当点 在直线AC上运动时，若 ，则BE长度的最大值为 ．其中正确的
结论是 ．（填序号）．
44．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线 （a、b、c为常数）过
， 两点．下列四个结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则
；④抛物线 于x轴交于M、N两点，则 ． 其中结论正确的有
．
45．（2024·全国·模拟预测）如图，在菱形 中， ，对角线 ， 交于点 ，动点
在边 上（不与点 重合），连接 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ，
，现有以下结论：①点 ， 之间的距离为定值；② ；③ 的值可以是 ；④ 或
．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
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46．（2024·湖北·模拟预测）抛物线 ，对称轴为 ．下列说法：①一元二次方程
有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式 恒成立；③抛物
线 经过点 ；④若 ，且 ，则 ．正确的有
（填序号）．
题型三：多解题
【中考母题学方法】
47．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知等腰 ， ， ．现将 以点 为旋转中心
旋转 ，得到 ，延长 交直线 于点D．则 的长度为 ．
48．（2023·黑龙江·中考真题）矩形 中， ，将矩形 沿过点 的直线折叠，使点
落在点 处，若 是直角三角形，则点 到直线 的距离是 ．
49．（2021·云南·中考真题）已知 的三个顶点都是同一个正方形的顶点， 的平分线与线段
交于点D．若 的一条边长为6，则点D到直线 的距离为 ．
50．（2021·浙江绍兴·中考真题）已知 与 在同一平面内，点C，D不重合，
， ， ，则CD长为 ．
【中考模拟即学即练】
51．（2025·上海奉贤·一模）如图， 和 中，
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，点M在边 上，点N在边 上， 分割
所得的两个三角形分别与 分割 所得的两个三角形相似，那么线段 的长是 ．
52．（2025·上海崇明·一模）四边形 中， ， ， ， ， ，将
沿过点 的一条直线折叠，点 的对称点落在四边形 的对角线上，折痕交边 于点 （点 不
与点 重合），那么 长为 ．
53．（2025·上海虹口·一模）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原
三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这
个三角形的“重似线段”．如图，在 中， ， ， ，点 、 分别在边 、
上，如果线段 是 的“重似线段”，那么 ．
54．（2024·辽宁大连·二模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连接
，点 在 轴负半轴上，点 绕点 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点 处，且
，则点 的坐标是 ．
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55．（2024·辽宁·一模）如图，抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y
轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将 绕点C逆时针旋转，使点D旋
转到y轴上得到 ，连接 ．在线段 上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△ 相
似，则点P的坐标为 ．
56．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 左边），与
轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，点 在线段 （不与点 ，M重合）上，连接 ，将线段 绕点
旋转 后得到线段 ，若点 恰好落在抛物线上，则点 的坐标为 ．
57．（20-21九年级上·江苏南京·期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是
边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE的长是 ．
58．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）在 OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为
△
OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则 的值为 ．
59．（21-22九年级上·黑龙江·期中）已知：在 中， ， 于点 ，点 在直线 上，
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， ， ，则 的面积是 ．
60．（2023·上海·模拟预测）如图，在 中， ， ，将 绕边AB上点
旋转，点 、 、 所对应的点分别是点 、 、 ．如果CF恰好是AD与 的比例中项，那么
．
19
