FY25暑假初一A8B4乘法公式（二）教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B04 乘法公式（二）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）完全平方公式知二求二
1
（2）x 题型
x
（3）平方的非负性
2. 考情分析
（1）主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计
算的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、 、凑完全平方等题型。
（2）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”
的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，
在初中阶段占有很重要的地位．
环节 需要时间
课后练习讲解 10分钟
切片1：完全平方公式知二求二 30分钟
1 20分钟
切片2：x 题型
x
切片3：平方的非负性 35分钟
出门测 15分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站1—— 完全平方公式知二求二【建议时长：30分钟】
知识笔记
1、”知二求二”四种元素：
我们把完全平方公式进行拆解，可以得到_____________、_____________、_____________、
_____________这四个代数式，只要知道其中两个代数式的值，就可以求出另外两个代数式
的值
2、知二求二的四个常用公式：
（1） xy 2 =_______________________________.
（2） xy 2 =_______________________________.
（3）xy
=_______________________________.
（4）x2  y2=_______________________________.
【填空答案】
1、xy；xy；xy；x2
 y2
x y2 x y2 x y2 x y2
2、（1）x2  y2 2xy（2）x2  y2 2xy（3） （4）
4 2
考点一：知二求二的应用
例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2022•静安区市西中学期中）已知ab6，a2 b2  20，则ab的值
为 ．
（2）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期中）如果ab4，ab1，则a2 b2  ．
（3）（★★★☆☆）若ab2，a2 b2 5，则ab的值为__________．
【常规讲解】
（1）解：∵ab6，
a2 b2  (a b)2 2ab  20，
即362ab20，
解得ab8．
（2）解：∵ab4，ab1，
2a2 b2  (a b)2  2ab  42  2118 .
（3）解：∵ab2，a2 b2 5，
(a b)2  a2 2abb2，
a2 b2 2ab
52(2)
9．
ab3
故答案为：3
练习1:
（1）（★★☆☆☆）（2022•虹口区校级月考）已知ab3，ab2，则a2 b2的值为 ．
（2）（★★☆☆☆）若a2b2 10，ab3，则(a b)2  ________．
（3）（★★★☆☆）已知a2 b2 18，ab1，则ab__________．
【常规讲解】
（1）解：∵ab3，ab2，
a2 b2
(ab)2 2ab
32 22
5，
故答案为：5
（2）解：∵(a b)2  a2 2abb2，a2b2 10，ab3，
(a b)2 102(3)106 16．
故答案为：16．
（3）解：(a b)2  a2  2abb2  (a2 b2) 2ab 18 2 16，则ab4；
故答案是：4．
3例题2:
1
（★★★☆☆）（2019•静安区校级月考）已知：x2  y2 2，xy ，求代数式：
2
（1）(xy)2；
（2）x4  y4．
【常规讲解】
1
解：（1）∵x2  y2 2，xy ，
2
1
(x y)2 x2  y2 2xy22( )213；
2
1
（2）∵x2  y2 2，xy ，
2
1 1 7
x4  y4 (x2  y2)2 2x2y2 22 2( )2 4  ．
2 2 2
练习2:
(★★★☆☆)（2019•闵行区校级月考）已知(x y)2 21，(xy)2 15；
求（1）x2  y2的值；
（2）xy的值．
【常规讲解】
解：（1）∵(x y)2 (xy)2 x2 2xy y2 x2 2xy y2 2(x2  y2)，
(x y)2 21，(xy)2 15，
1 1
x2  y2  [(x y)2 (x y)2] (2115)18 ；
2 2
（2）∵(x y)2 (xy)2 x2 2xy y2 x2 2xyy2 4xy，
1 1 3
xy [(x y)2 (x y)2] (2115) ．
4 4 2
4例题3:
（★★★★☆）若m满足(m 11)2  (m  9)2 10 ，求(m11)(m9)的值．
【常规讲解】
解：∵(m 11)2  (m  9)2 10，
[(m 11) (m 9)]2  2(m 11)(m 9) 10，
即：4002(m11)(m9)10．
(m11)(m9)195．
练习3:
（★★★★☆）若x满足(30x)(x10)160，求(30 x)2  (x 10)2的值．
【常规讲解】
解：设30xa，x10b，则(30 x)(x10)ab160，
ab(30x)(x10)20，
(30 x)2  (x 10)2  a2 b2  (a b)2  2ab  202  2160 80
51
知识加油站2—— x 题型【建议时长：20分钟】
x
知识笔记
1 1 1
x 、x 与x2 之间的关系：
x x x2
1
（1）x2  _______________________.
x2
1
（2）x2  _______________________.
x2
【填空答案】
2 2
 1  1
x  2；x  +2
 x  x
1
考点二： x 题型
x
例题4:
1 1 1
（★★★☆☆）（2022•长宁区第三女子中学期中）已知x 3，求x2  和x4  的值．
x x2 x4
【常规讲解】
1 1 1
解：∵x 3，(x )2 x2  2
x x x2
1 1
x2  (x )2 232 211．
x2 x
1 1
x4  (x2  )2 2112 2119．
x4 x2
练习4:
1
（★★★☆☆）已知x 5，求下列各式的值：
x
1 1
（1） x2  ； （2） (x )2．
x2 x
【常规讲解】
1
解：（1）原式(x )22
x
652 2
23；
1
（2）原式(x )2452 4 21．
x
例题5:
1 1
（1）（★★★☆☆）已知x2 11，求x 的值．
x2 x
1 1
（2）（★★★☆☆）已知x 4，求x 的值．
x x
【常规讲解】
2
 1 1
（1）解：∵ x

x2  2．
 x x2
2
 1
 x

1129
 x
1
x 3
x
1
（2）解：∵x 4，
x
1 1
(x )2 x2  216，
x x2
1
x2  14，
x2
1 1
∵(x )2  x2  212，
x x2
1
x 2 3．
x
练习5:
1 1
（★★★☆☆）已知实数x满足x2  62．则x 的值是__________．
x2 x
1
【常规讲解】解：∵x2  62，
x2
1 1
(x )2 x2  262264，
x x2
1
x 的值是：8．
x
7例题6:
1 1
（1）（★★★★☆）已知x2 3x10，求：①x2  ；②x4  ．
x2 x4
1 a4 a2 1
（2）（★★★★☆）已知a 5，则 =___________．
a a2
【常规讲解】
1
由x2 3x10可得x3 0(x0)
x
1 1
① x2  (x )2 2927；
x2 x
1 1
② x4  (x2  )2 249247．
x4 x2
a4 a2 1 1 1
（2） a2 1 (a )2 2125124
a2 a2 a
故答案为：24．
练习6:
1
（★★★★☆）已知：a2 3a10，求a2  的值．
a2
【常规讲解】
1 1
解：∵a2 3a10， ∴a3 0． 即a 3．
a a
1 1
∴a2  (a )2 2927．
a2 a
8知识加油站3—— 平方的非负性【建议时长：35分钟】
知识笔记
1. 常见的非负数：
① ___________________.
② ___________________.
2. 非负数的性质：
多个非负数和为0时，则各部分均为_____.
即，当a2b 0时，则___________________.
【填空答案】
（1）①绝对值；② 平方
（2）0；ab0
考点三：0-0题型
例题7:
1
（1）（★☆☆☆☆）已知 x y12 0那么xyy ．
2
（2）（★★★☆☆）已知： x2y1x24xy4y2 0，求2x y的值
【常规讲解】
1 1
（1）解：∵ x y12 0， x 0， y12  0，
2 2
1
∴ x y12 0，
2
1
∴x 0，y10，
2
1
∴x ，y1，
2
1 1 1
∴xy y 11  1  ，
2 2 2
1
故答案为： ．
2
（2）∵ x2y1x24xy4y2 0，
9x2y1(x2y)20，
 1
x2y10

x 
  2
∴x2y 0 ， 解得： ．
 y   1
 4
3
∴2x y  ．
4
练习7:
（1）（★☆☆☆☆）若（x2）2 y3 0，则2x y= ．
（2）（★★★☆☆）若|a 5|b2  4b  4  0 ，求2a2 8ab8b2的值．
【常规讲解】
（1）因为(x－2)2＋｜y＋3｜＝0，
所以x－2＝0， y＋3＝0，
解得x＝2，y＝－3，
所以2x＋y＝2×2－3＝1．
故答案为1．
（2）解：∵|a 5|b2  4b  4  0，
|a 5|(b  2)2  0 ，
a50，b20，
解得a5，b2，
所以，2a2 8ab8b2，
 2(a2  4ab  4b2)，
2(a2b)2  2(5 22)2，
21，
2．
10考点四：凑完全平方公式
例题8:
（1）（★☆☆☆☆）若x2 mx16 x42 ，那么m=
（2）（★★★☆☆）（2022•宝山区实验学校期中）已知x2 2(k 3)x 25是一个完全平方式，
则k  ．
（3）（★★★☆☆）（2023•徐汇阶段练习）如果二次三项式x2mx121是一个完全平方式，
那么系数m
．
（4）（★★★☆☆）（2020•徐汇阶段练习）若9x23k1x16是关于x的完全平方式，则
k .
（5）（★★★★☆）已知x2  y2  4x6y 13 0，x、y都是有理数，求xy的值．
【常规讲解】（1）解：∵ x42 x2 8x16 x2 mx16，∴m=8，
故答案为：8.
（2）解：由于(x5)2  x2 10x 25 x2 2(k 3)x 25，
则2(k 3) 10，
k8或2．
（3）解：∵x2mx121x2mx112，
∴mx211x，
解得m22．
故答案为：22．
（4）∵9x23k1x16是关于x的完全平方式，
∴2×3x×4=±3(k-1)x，
∴k=9或-7.
故答案为9或-7.
（5）∵x2  4x  4 y2 6y 9  0，(x 2)2  (y 3)2  0，
x20 x2
∴可得 ， 解得： ．
y30 y3
∴xy 8．
11练习8:
（1）（★★★☆☆）如果二次三项式x22m1x16是一个完全平方式，那么m的值
是 ．
1
（2）（★★★☆☆）（2020•徐汇阶段练习）关于x的二次三项式x2 ax 是一个完全平
4
方式，则a的取值为
（3）（★★★★☆）已知x2  4y2 6x 4y 10  0，求xy的值．
【常规讲解】（1）解：∵x22(m1)x16是一个完全平方式，
x22(m1)x16(x4)2或x22(m1)x16(x4)2，
2(m1)8，m3或5．
故答案为3或-5．
1
（2）解：∵中间一项为加上或减去x和 积的2倍
2
∴-a=±1解得a=±1
故答案为：±1
（3）解：将x2  4y2 6x 4y 10  0，
化简得x2 6x94y2 4y1 0 ，
即(x  3)2  (2y 1)2  0 ．
∵(x  3)2 0，(2y1)2 0，且它们的和为0，
1
x3， y  ．
2
1 3
xy3( ) ．
2 2
12例题9:
（1）（★★★☆☆）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在
括号中
①x2  2x+_______ =（____________)2
②x2 3x+_______ =（____________)2
③x2  4x+_______ =（____________)2
④x2 5x+_______ =（____________)2
⑤x2 6x+_______ =（____________)2
（2）（★★★☆☆）你能将多项式x2 4加上一个单项式，使它成为一个完全平方式吗？共
有几种方法( )
A．2 B．3 C．5 D．6
【常规讲解】
2
2
（1）①x22x
 
x22x1=x12
2
2 2
3 9  3
②x23x
 
x23x =x

2 4  2
2
4
③x2 4x
 
x2 4x4=x22
2
2 2
5 25  5
④x2 5x
 
x2 5x =x

2 4  2
2
6
⑤x26x
 
x26x9=x32
2
（2）解：①x2 是平方项时，x2  4x  4  (x  2)2 ，
加上的单项式是4x或4x，
1 1
②x2 是乘积二倍项时， x4 x2 4( x2 2)2，
16 4
1
加上的单项式是 x4，
16
③若是单项式的平方，则添加的项为x2 或4，
综上所述，共有5种方法．
故选：C ．
13练习9:
（1）（★★★☆☆）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在
括号中
① x2 8x+_______ =（____________)2
② x2 10x+_______ =（____________)2
③ x2 15x+_______ =（____________)2
④ x2 16x+_______ =（____________)2
（2）（★★★☆☆）多项式9x21加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那
么加上的单项式是什么？
【常规讲解】
2
8
（1）① x2 8x   x2 8x16=x42
2
2
10
② x2 10x   x2 10x25=x52
 2 
2 2
15 225  15
③ x215x   x215x =x 
 2  4  2 
2
16
④ x216x   x24x64=x82
 2 
81 9
（2）解：①若9x2 是乘积二倍项，∵ x4 9x2 1( x2 1)2，
4 2
81
加上的单项式为 x4，
4
②若9x2 和平方项，∵9x2  6x 1 (3x 1)2，
加上的单项式为6x，
③若加上单项式后是单项式的平方，则加上的单项式是9x2或1，
81
综上所述，加上的单项式是 x4或6x或9x2或1．
4
14例题10:
（★★★★☆）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a22abb2及
a22abb2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添
加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方
法叫做配方法．即将多项式x2bxc（b、c为常数）写成xh2k（h、k为常数）的形
式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解
因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式x2kx16是一个完全平方式，那么常数k的值为_________．
(2)配方：x26x10x32________；
【知识运用】
(3)已知m22mn2n28n160，则m______，n______；
(4)求多项式：x2y24x6y15的最小值．
【常规讲解】（1）解：∵多项式x2kx16是一个完全平方式，
∴x2kx16 x224x42，则k 8，
故答案为：8；
（2）解： x26x10
 x26x919
x3219，
故答案为：19；
（3）解：由m22mn2n28n160得
 m22mnn2   n28n16  0，
即mn2n42 0，
∴mn0，n40，
解得：m4，n4，
故答案为：4，4；
（4）解：x2y24x6y15
  x24x4    y26y9  2
(x2)2(y3)22 ，
∵ x22 0,y32 0，
∴当x2,y3时，x2y24x6y15有最小值2．
15练习10:
（★★★★☆）阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这
种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应用
很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、求代
数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式x22x（即x(x2)）写成(xh)2k 的形式（其中h、k为常数），配方的
过程中，可以看成将一个长是(x2)、宽是x的矩形割补成一个正方形．
x(x2) x22x
x221 x221x11 (x1)2 1
所以，x22xx22x11(x1)21
（1）模仿：用拼图的方法将式子x24x写成(xh)2k 的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上_____，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：①x26x__________2；
②已知x22xy28y170，求(x y)2的值．
【常规讲解】解：（1）如图所示：
16x24x x222x x222x44 (x2)24
∴x24x x24x44(x2)24
（2）由题意得：在配方过程中，代数式需要先加上一次项系数一半的平方，再减去这个数
或者代数式，
故答案是：一次项系数一半的平方；
（3）① ∵x26x32(x3)2，
∴x26x9(x3)2，
故答案是： 9，x3；
②解：∵x22x y28y170，
x22x1 y28y160 ，
(x1)2(y4)20 ，
x1,y4，
(x y)2(14)29 ．
17全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成
．． ．．
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）求值：
（1）已知x y  6，xy2，求代数式 xy 2 的值．
（2）已知x  y  4 ，x y 8，求代数式x2  y2 的值．
（3）已知ab3，a2 b2 5，求ab的值．
【常规讲解】
（1）(x  y)2  (x  y)2  4xy  28；
（2）x2  y2  (x  y)(x  y)  32 ；
（3）2ab  (ab)2 a2 b2  4，ab2．
故答案为：（1）28；（2）-32；（3）2．
练习2:
1 1 1
（★★☆☆☆）若x 4，则x2  __________；x4  ___________．
x x2 x4
【常规讲解】
1 1 1 1
x2  (x )2 216214；x4  (x2  )2 21962194．
x2 x x4 x2
故答案为：14；194．
练习3:
1
（1）（★★★☆☆）如果多项式x2 kx 是一个完全平方式，那么k的值为___________．
9
（2）（★★★☆☆）已知x2 6xk 是完全平方式，求k的值．
【常规讲解】
1 1 2 1
（1）x2 kx (x )2 x2  x ．
9 3 3 9
2
故答案为： ．
3
（2）解：∵x2  6x  k  x2  23x  (3)2  (3)2  k  (x 3)2 9 k ，
18且x2 6xk 是完全平方式，∴k9．
故答案为：k9
练习4:
    
（★★★★☆）原题呈现：若 a 2 b2 4a 2b 5 0 ，求 a、b 的值．方法介绍：
    
①看到 a 2 4a 可想到如果添上常数 4 恰好就是 a 2 4a 4 (a 2)2，这个过程叫做
   
“配方”，同理 b 2 2b 1 (b 1) 2，恰好把常数5分配完；
       
②从而原式可以化为(a 2)2 (b 1)2 0 由平方的非负性可得 a 2 0 且 b 1 0．经验
运用：
     
（1）若 4a 2 b2 20a 6b 34 0 求 a b 的值；
        
（2）若 a2 5b2 c 2 2ab 4b 6c 10 0 求 a b c 的值．
【常规讲解】
解:(1)4a2+b2-20a+6b+34=(2a-5)2+(b+3)2=0
由平方具有非负性可得 2a-5=0，b+3=0
5
∴a= ,b=-3
2
1
∴a+b=-
2
1
故答案为- .
2
(2)a2+5b2+c2-2ab-4b+6c+10=(a-b)2+(2b-1)2+(c+3)2=0
由平方具有非负性可得 a-b=0，2b-1=0，c+3=0
1
∴a=b= c=-3
2
∴a+b+c=-2.
故答案为-2.
19关卡二
练习5:
（★★★★☆）试说明不论x,y取何值，代数式4x2 9y2 12x18y  20 的值总是正数．
【常规讲解】
原式 4x2  232x  9 9y2  233y  9 2  (2x  3)2  (3y  3)2  2．
∵(2x3)2 (3y3)2  0
∴(2x3)2 (3y3)2 2 0，∴得证．
练习6:
（★★★★☆）已知a，b，c是ABC的三条边，且满足a2 b2 c2 abbcac0，请
判断ABC三角形的形状
【常规讲解】
解：∵a2 b2 c2 abbcac0，
2a2 2b2 2ab2bc2ac0，
(a b)2  (b c)2  (a c)2  0 ，
ab0，bc0，ac0，
abc，
ABC为等边三角形．
故答案为等边．
20