FY25暑假初二B13阶段复习教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

B13 阶段复习 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）阶段真题选填练习 （2）阶段真题简答题练习 （3）阶段真题综合题练习 2. 考情分析 （1）《二次根式》、《一元二次方程》、《正反比例函数》章节在真题试卷中的考察形式； （2）系统性复习二次根式、一元二次方程的概念和解法、根的判别式及其应用、二次三项 式的因式分解及其应用、正比例函数、反比例函数等知识点，结合真题试卷巩固。 环节 需要时间 课后练习讲解 10 分钟 切片1：阶段真题选填练习 30 分钟 切片2：阶段真题简答题练习 35 分钟 切片3：阶段真题综合题练习 25 分钟 出门测 10 分钟 错题整理 10 分钟 1知识加油站 1——阶段真题选填练习【建议时长：30分钟】 考点一：阶段真题选填练习 例题1:【参考时间：15分钟】 （★★★☆☆）2023-2024年博文学校期中试卷 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） 1 1 A. B. C. 4xy D. m2−n2 x 2 2. 下列代数式中，二次根式 m+n 的有理化因式可以是（ ） A. m + n； B. m − n ； C. m+n； D. m−n． 3. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根 是（ ） A. x2﹣8＝0 B. 2x2﹣4x+3＝0 的C. x2﹣2x+1＝0 D. 5x+2＝3x2 k 4. 反比例函数 y = 的图像与正比例函数 y =2x的图像没有交点，若点 (−3，y ) 、 1 x (−2，y )、(1，y ) 在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（ ） 2 3 A. y  y  y B. y  y  y C. y  y  y D. y  y  y 1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1 二、填空题 5. 计算： 48 =_____________ ( ) 6. 计算： 3 6− 2 2 2 =_________________ 7. 方程x2 =2x的根是______． 1 8. 函数 f (x)=3−6x，则 f   =_________________ 4 9. 函数 y =3x−7的定义域为_____________ 10. 已知正比例函数y =(1−3m)x，y 的值随 x 的值的增大而增大，那么 m 的取值范围是 _________________ 11. 若最简二次根式 1+2a 与 a2−2是同类二次根式，则a的值为______ 12. 不等式2x−3 3x的解集是_________________ 13. 已知关于 y 一元二次方程 (k−1)y2 +2y+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 __________． 的 14. 当x≤0时，化简|1-x|- x2 结果是______． 的 215. 某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 10%. 从 三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率 相同，设这个增长率为 x，则根据题意可列方程为_____________________________． 3a 16. 若a是方程x2 −3x+1=0的解，计算：a2 −3a+ =______. a2 +1 17. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 x2 +x=0是“差 1方程”． 已知关于 x的方程 x2 −(m−1)x−m=0（ m 是常数）是“差1方程”，则 m 的 值为_____________ 4 1 4 18. 函数y = 和y= 在第一象限内 图像如图，点P是y = 的图像上一动点，PC ⊥ x x x x 的 1 1 轴于点C，交y= 的图像于点A，PD ⊥ y轴于点D，交y= 的图像于点B．给出如下结 x x 论：①△ODB与 OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不 1 会发生变化；④CA= AP．其中所有正确结论的序号是______． 3 【常规讲解】 1. 解：A、被开方数含有分母，不符合题意； 1 2 B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意； 2 2 C、 4xy =2 xy ，不是最简二次根式，不符合题意； D、 m2−n2 ，是最简二次根式，符合题意； 故选D． 2. A选项，( m+ n) m+n = m2 +mn+ mn+n2 不是有理式，故A选项错误； B选项，( m− n) m+n = m2+mn − mn+n2 不是有理式，故B选项错误； C选项，( m+n)2 =m+n 是有理式，故C选项正确； D选项， m+n m−n = m2 −n2 不是有理式，故D选项错误． 3故选C． 3. 解：A.△＝02﹣4×（﹣8）＝32＞0，所以方程有两个不相等的实数解； B.△＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数解； C.△＝（﹣2）2﹣4×1＝0，所以方程有两个相等的实数解； D.3x2﹣5x﹣2＝0，△＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数解． 故选：C．  k y = 4. 解：联立 x ，得：2x2 =k ，  y =2x k ∵反比例函数 y = 的图像与正比例函数y =2x的图像没有交点， x ∴k 0， ∴双曲线过二，四象限，且在每一个象限内， y 随x的增大而增大， ∵−3−201， ∴y  y 0 y ； 2 1 3 故选B． 二、填空题 5. 解： 48 = 163 =4 3； 故答案为：4 3． 3 3 1 3 3−1 6. 解：原式=3 62 2− 22 2 = − = ； 2 2 2 3 3−1 故答案为： ． 2 7. 解：x2 =2x x2 −2x=0 x(x−2)=0 x =0,x =2， 1 2 故答案为：x =0,x =2． 1 2 8. 解：∵ f (x)=3−6x， 1 1 3 3 ∴ f   =3−6 =3− = ； 4 4 2 2 3 故答案为： ． 2 49. 解：函数 y =3x−7的定义域为全体实数； 故答案为：全体实数． 10. 解：∵正比例函数y =(1−3m)x，y的值随x的值的增大而增大， ∴1−3m0， 1 解得：m ． 3 1 故答案 ：m ． 3 11. ∵最简二次根式 1+2a 与 a2−2是同类二次根式， 为 ∴1+2a=a2﹣2， 解得：a=3或a=﹣1． ∵1+2a≥0，a2﹣2≥0， ∴a=3． 故答案为：3． 12. 解：∵2x−3 3x， ( ) ∴ 2− 3 x3， ( ) 3 2+ 3 3 ∴x = =6+3 3， ( )( ) 2− 3 2− 3 2+ 3 故答案为：x6+3 3 22 −4(k−1)0 13. 由题意得 ， k−10 解得k 2且k 1． 故答案为：k 2且k 1． 14. 1−x − x2 =1−x+x=1 15. 解：根2月份生产课桌500(1−10%)=450张， 设3月份、4月份的平均增长率为x，则3月份的产量是500(1−10%)(1+x)=450(1+x) ， 4月份的产量是450(1+x)2 ， 所以 500(1−10%)(1+x)2 =648． 故答案为：500(1−10%)(1+x)2 =648． 16. ∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根， 5∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a 3a ∴a2 −3a+ =−1+1=0 a2 +1 故答案为0． 17. 解：设方程的两个根为 x ,x (x  x ) ，由题意，得： x +x =m−1,x x =−m ， 1 2 1 2 1 2 1 2 x −x =1， 2 1 ∴(x −x )2 =(x +x )2 −4x x =(m−1)2 +4m=1， 2 1 1 2 1 2 解得：m=−2或m=0， 故答案为：−2或0． 1 18. 解：∵A、B是反比函数y= 上的点， x 1 ∴S △OBD＝S △OAC = ，故①正确； 2 4 1 a 4 设点P（a, ） 则点A（a, ），点B（ , ） a a 4 a 4 1 3 a 3a ∴PA= − = ，PB=a− = ； a a a 4 4 ∴只有当P的横纵坐标相等且为2时PA＝PB，故②错误； 4 ∵P是反比例函数y= 上的点， x ∴S 矩形PDOC＝4， 1 1 ∴S 四边形PAOB＝S 矩形PDOC﹣S △ODB﹣﹣S △OAC＝4− − =3，故③正确； 2 2 连接OP， S PC 2 POC = = = ∵ S AC 1 4， OAC 2 1 3 ∴AC= PC，PA= PC， 4 4 PA ∴ =3， AC 1 ∴CA= AP，故④正确． 3 故答案为：①③④ 6练习1:【参考时间：15分钟】【学习框8】 （★★★☆☆） 一、选择题 1．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是（ ） A． 6 B． 9 C． 12 D． 18 2．兰州某制造厂七月份生产零件20万个，第三季度生产零件2880万个，如果每月的增长 率x相同，则可列方程是（ ） A．20（1+x）2＝2880 B．20+20（1+x）2＝2880 C．20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880 D．20+20（1+x）+20（1+2x）＝2880 3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） 2x2+1 A． =1 B．ay2−4y+2=0 C． (x+1)(x+4)= x2 D．4x2+=0 x 4． x−y的有理化因式是（ ） A． x−y B． x+ y C． x− y D． x+ y 5．如果 y 关于x的函数y= ( k2+1 ) x是正比例函数，那么k 的取值范围是（ ） A．k 0 B．k 1 C．不能确定 D．一切实数 6．如果关于x的一元二次方程kx2− k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范 围是（ ） 1 1 1 1 1 A．k  B．k  且k 0 C．−1k 且k 0 D．− k 且k 0 3 3 3 2 2 二、填空题 7．若代数式 2x+4有意义，则实数x的取值范围是 ． 8．若最简二次根式 x+3与y+13x−5是同类二次根式，则x+ y= ． 9．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这 次会议到会人数是 人． 10．在实数范围内分解因式：2x2−4x−1= ． 11．计算： 8a 2a ＝ ． 12．在实数范围内分解因式:x2−3x+1= ． 13．若 y 与z成反比例关系，z与x成正比例关系，则 y 与x成 关系. 1 14．如果 f (x)= ，那么 f (4)= ． 3− x 715．当2a3化简： (2−a)2 − (a−3)2 ＝ ． 16．已知y= y +y ，其中y 与x成反比例，且比例系数为k ，y 与x2成正比例，且比例系 1 2 1 1 2 数为k ，当x=−1时，y=0，那么k 与k 之间的数量关系是 ． 2 1 2 17．如果 y=( a2−1 ) xa2−a−1是正比例函数，那么a的值是 ． 【常规讲解】 1. A. 6与 3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B. 9 =3，与 3不是同类二次根式； C. 12 =2 3，与 3被开方数相同，故是同类二次根式； D. 18 =3 2，与 3被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 2. 解：∵七月份生产零件20万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x， ∴八月份的产量为20（1+x）万个，九月份的产量为20（1+x）2万个， ∴20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880， 故选C． 2x2+1 3. 解： =1是分式方程，故A不符合题意； x ay2−4y+2=0中a=0时，方程不是一元二次方程，故B不符合题意； (x+1)(x+4)= x2可以变形为5x+4=0，故C不符合题意； 4x2+=0是一元二次方程，故D符合题意， 故选：D． 4. 解： x−y的有理化因式是 x−y， 故选：A． 5. 解：∵函数y=（k2+1）x是正比例函数， ∴k2+1≠0， ∴k取一切实数， 故选：D．  k0  k0   6. 解：根据题意得 k+10 ，即 k−1 ，   Δ=( k+1)2−4k>0 ( k+1)2>4k 1 解得−1k 且k 0． 3 8故选C． 二、填空题 7. ∵代数式 2x+4有意义 ∴2x+40 x−2． 故答案为：x−2． 8. 解：∵最简二次根式 x+3与y+13x−5是同类二次根式， x+3=3x−5，y+1=2， 解得x=4，y=1， x+y=4+1=5， 故答案为：5． 9. 设参加会议人数为x， 1 则 x(x－1)＝66， 2 x2－x－132＝0， (x－12)(x+11)＝0， 解得x 1＝12，x 2＝﹣11（舍）. 故答案为12. 2+ 6 2− 6 2+ 6 2− 6 10. 解：令2x2-4x﹣1=0，则：x 1 = ，x 2 = ，∴2x2-4x﹣1=2（x﹣ ）（x﹣ ）． 2 2 2 2 2+ 6 2− 6 故答案为2（x﹣ ）（x﹣ ）． 2 2 11. 解： 8a 2a =2 2a 2a =2， 故答案为：2． 3+ 5 3− 5 12. 解：解方程x2−3x+1=0，得x = ,x = ， 1 2 2 2  3+ 5 3− 5 ∴x2−3x+1=x− x− ．    2 2     3+ 5 3− 5 故答案为：x− x− ．    2 2    k k 13. 由y与z成反比例,可得出y= ；z与x成正比例,可得出z=k′x，两式结合得： k， z y= x 9故y与x的关系是反比例函数 故答案为反比例. 1 14. 解： f (x)= ， 3− x 1 1 3+2 f (4)= = = =− 3−2 ( )( ) ， 3− 4 3−2 3+2 3−2 故答案为：− 3−2． 15. 解： 2a3， ∴2−a0，a−30，  (2−a)2 − (a−3)2 = 2−a − a−3 =(a−2)−(3−a)=2a−5． 故答案为：2a−5． k 16. 解：根据题意得：y = 1 ，y =k x2， 1 x 2 2 k y= y +y = 1 +k x2， 1 2 x 2 把x=−1，y=0代入得： −k +k =0，即k =k ， 1 2 1 2 故答案为：k =k ． 1 2 17. 解：由题意得： a2−a−1=1且a2−10， a=2或a=−1且a1， a=2， 故答案为：2． 10知识加油站 2——阶段真题简答题练习【建议时长：35 分钟】 考点二：阶段真题简答题练习 例题2:【参考时间：18分钟】 （★★★☆☆）2023-2024年博文学校期中试卷 ( )0 1 2−1 1 1. 计算： 1− 2 −92 + −4 ． 2+1 8 1  y2  2 2 计算： x4y−4  xy2 3  x  9   3. 用配方法解一元二次方程：3x2 −2=6x ． 4. 解方程： (3x−1)(x+2)=2x+4 1 x2 −8x+16 5. 已知 x= ，求代数式 的值． 2+ 3 x2 −9x+20 6. 已知 y = y + y，y 与 x成正比例，y 与 2x−3成反比例． 并且当 x=2时，y =5； 1 2 1 2 1 7 当 x= ，y =− 求 y 与 x之间的函数关系式． 2 4 7. 第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧《吉赛尔》 在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙26米）的空旷场地为提前 到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两 边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形 的相邻两边长分别是多少米？ 【常规讲解】 1. 解：原式 ( )2 1 ( ) 1 1 1 =1−3+ 2−1 −4 =−2+ 3−2 2 −4 =−2+3−2 2−4 =−3 −2 2 8 8 8 8 1  y2  2 2. 解： x4y−4  xy2 3  x  9   111  y2  9 = x4y−4  3  x  2 xy2   1 9 y2 1 = (−4)  x4y  3 2 x xy2 =−6 x2y ， y2 由二次根式被开方式非负可知x4y0, 0,xy2 0，即x0,y0， x −6 x2y =−6x y ， 1  y2  2  x4y−4  xy2 =−6x y ． 3  x  9   3. 解：3x2 −2=6x， 3x2 −6x =2， 2 x2 −2x= ， 3 2 x2 −2x+1= +1， 3 5 (x−1)2 = ， 3 5 15 x−1= = ， 3 3 15 3 15 x=1 = ， 3 3 3+ 15 3− 15 ∴x = ,x = ． 1 3 1 3 4. 解： (3x−1)(x+2)=2x+4 (3x−1)(x+2)−2(x+2)=0 (3x−1−2)(x+2)=0 (3x−3)(x+2)=0， ∴3x−3=0或x+2=0， ∴x =1，x =−2． 1 2 (x−4)2 x−4 5. 解：原式= = ， (x−4)(x−5) (x−4)(x−5) 121 2− 3 x= = =2− 3 ∵ ( )( ) ， 2+ 3 2+ 3 2− 3 ∴x−40， −(x−4) 1 1 3− 3 3− 3 = = = = = ∴原式 (x−4)(x−5) 5−x 5−2+ 3 ( 3+ 3 )( 3− 3 ) 6 ． k 6. 解：设y =k x,y = 2 ， 1 1 2 2x−3 k 则：y = y + y =k x+ 2 ， 1 2 1 2x−3  k 2k + 2 =5  1 22−3  1  k = 由题意，得：1 k 7 ，解得： 1 2， k + 2 =−  2 1 1 4   k =4  2 −3 2  2 1 4 ∴y = x+ ． 2 2x−3 7. 解：设封闭型长方形等候区的边AB为x米， 由题意得：x（48﹣2x+2）＝300， 整理，得x2﹣25x+150＝0， 解得 x ＝10， x ＝15， 1 2 当x＝10时，BC＝30＞26； 当x＝15时，BC＝20＜26， ∴x＝10不合题意，应舍去． 答：封闭型长方形等候区的边AB为15米，BC为20米． 13练习2:【参考时间：18分钟】【学习框10】 （★★★☆☆） 1 2 1．计算： 12−2 − +4 0.5 2 3 2．在实数范围内因式分解：3x2+12 2xy+11y2 3．用配方法解方程：3x2﹣8x+3＝0． x2−1 1 4．解方程.x− =− 2 2 5．已知关于x的一元二次方程 (m−1)x2+2mx+m+3=0有实数根，求m的取值范围． 6. 已知点A（a，3），B（b，6），C（5，c），AC⊥x轴，BC⊥y轴，且点B在第二象限的角 平分线上． （1）求出A，B，C三点的坐标． （2）求△ABC的面积． 7. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为 a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果 商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？ 【常规讲解】 1 2 1. 解： 12−2 − +4 0.5 2 3 2 =2 3− 2− 3+2 2 3 4 = 3+ 2 3 ( ) ( ) −6 2+ 39 y −6 2− 39 y 2. 解：令3x2+12 2xy+11y2 =0，解得：x = ，x = ， 1 3 2 3 14 6 2− 39  6 2+ 39  则原式可分解为a(x−x )(x−x )=3x+ yx+ y 1 2  3  3     3. 解：3x2−8x+3=0， 8 16 16 3(x2− x+ )− +3=0， 3 9 3 4 7 4 7 3(x− )2− =0，即3(x− )2 = ， 3 3 3 3 4 7 (x− )2 = ， 3 9 4 7 x− = ， 3 3 4 7 x=  ， 3 3 4+ 7 4− 7 即x = ,x = ． 1 3 2 3 4. 整理得： x2−2x=2 ，∴x2−2x+1=3 ， ∴(x−1)2 =3 ，∴x−1= 3 ，∴x=1 3 ， x =1+ 3 x =1− 3 ∴ 1 ， 2 ． 5. 解：∵关于x的一元二次方程 (m−1)x2+2mx+m+3=0有实数根， (2m)2 −4(m−1)(m+3)0  ， m−10 3 解得m 且m1． 2 6. 解：（1）∵AC⊥x轴， ∴a＝5， ∵BC⊥y轴， ∴c＝6， ∵点B在第二象限的角平分线上，即在y＝﹣x上，故b＝﹣6， ∴A（5，3），B（﹣6，6），C（5，6）． （2）∵AC＝6﹣3＝3，BC＝5﹣（﹣6）＝11，AC⊥BC， 1 33 ∴S ABC＝ AC BC＝ ． △ 2 2 7. 解：设每件商品售价是x元， 由题意，得（x﹣21）（350﹣10x）＝400； 化简，得x2﹣56x＋775＝0； 15解得 x 1＝25，x 2＝31； 又21×（1＋0.2）＝25.2， ∴x＝31不合题意，舍去． 答：每件商品售价是25元． 16知识加油站 3——阶段真题综合题练习【建议时长：25 分钟】 考点三：阶段真题综合题练习 例题3:【参考时间：15分钟】 （★★★★☆）2022-2023年松江区九亭第二中学期中卷 如图，在平面直角坐标系中，点A(−3,0)、点B(0,3)，直线AB的解析式为：y= x+3， 过原点的直线OP交直线AB于点P． 1 （1）当直线OP的解析式为y = x时，求点P的坐标和△BOP的面积； 2 S 1 （2）当 △BOP = 时，求直线OP的解析式； S 2 △AOP S （3）当 △BOP =n （n为正整数）时，那么直线OP的解析式是 ． S △AOP 【常规讲解】 1 解：∵直线OP的解析式为y = x， 2 y = x+3  x=−6 ∴ 1 ，解得： ，  y = x y =−3  2 ∴点P的坐标为： (−6,−3) ， ∴△BOP中，OB边上的高线为：6， ∵B(0,3)， 17∴OB =3， 1 ∴S = 36=9 △BOP 2 （2）解：分两种情况： ①设点P(a,b) ， 当点P在AB上时， 作PC ⊥OA于C，作PD⊥OB于D， S 1 ∵ △BOP = ， S 2 △AOP 1 OBPD 1 2 ∴ = ， 1 2 OAPC 2 ∵OA=OB， PD 1 ∴ = ， PC 2 ∴PC =2PD， ∴b=−2a 又∵b= a+3， ∴a=−1，b=2， ∴P(−1，2) ， ∴直线OP的解析式是：y =−2x； ②设点P(a,b) ， 当点P在AB的延长线上时， 作PE ⊥OA于E，作PF ⊥OB于F， S 1 ∵ △BOP = ， S 2 △AOP 1 OBPF 1 2 ∴ = ， 1 2 OAPE 2 ∵OA=OB， PF 1 ∴ = ， PE 2 18∴PE =2PF ， ∴b=2a 又∵b= a+3， ∴a=3，b=6， ∴P(3，6) ， 1 ∴直线OP的解析式是：y = x； 2 1 综上，直线OP的解析式是：y =−2x或y = x． 2 S （3）∵ △BOP =n （n为正整数）， S △AOP S 1 ∴ △AOP = ， S n △BOP 分两种情况： ①如图，过P作PC⊥OA于C， S 1 ∵ △AOP = ， S n △BOP S 1 ∴ △AOP = ， S n+1 △AOB PC 1 ∴ = ， OB n+1 ∵OB =3， 3 ∴PC = ， n+1 3 把y = PC = 代入y= x+3，得： n+1 3 −3n y = −3= ， n+1 n+1  −3n 3  ∴P  ， ， n+1 n+1 1 ∴直线OP的解析式是：y =− x； n 19②如图，过P作PE ⊥OA于E， S 1 ∵ △AOP = ， S n △BOP S 1 ∴ △AOP = ， S n−1 △AOB PE 1 ∴ = ， OB n−1 ∵OB =3， 3 ∴PC = ， n−1 −3 −3 −3 把y = PC = 代入y= x+3，得：y = −3= ， n−1 n−1 n−1  −3 −3  ∴P  ， ， n−1 n−1 1 ∴直线OP的解析式是：y = x； n 1 1 综上，直线OP的解析式是：y =− x或y = x． n n 练习3:【参考时间：10分钟】【学习框12】 （★★★☆☆）2023-2024年博文学校期中试卷 k 已知正比例函数 y =k x的图象与反比例函数 y = 2 的图象都经过点P(2,3) ，点 D是正 1 x 比例函数图象上的一点，过点 D作 y 轴的垂线，垂足为 Q，DQ交反比例函数的图象于 点 A ，过点 A 作 x轴的垂线，垂足为 B，AB交正比例函数的图于点 E． （1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式． （2）当点D的纵坐标为6时，求 △AEP的面积． （3）在第（2）小题的条件下，若直线 OD上存在一点 M ，且点 M 的横坐标为 m ， △AEM 的面积为 S，直接写出 S关于 m 的解析式，并写出定义域． 【常规讲解】 k （1）解：∵正比例函数y =k x的图象与反比例函数y = 2 的图象都经过点P(2,3) ， 1 x k 3=2k ,3= 2 ， 1 2 3 k = ,k =6， 1 2 2 203 6 正比例函数解析式为y = x，反比例函数解析式为y = ； 2 x 6 （2）当y=6= 时，x =1， x A(1,6) ， 3 3 把x =1代入y = x，得y = ， 2 2  3 E  1, ，  2 3 9 AE =6− = ， 2 2 1 1 9 9 S = AE x −x =   2−1 = ； AEP 2 P A 2 2 4 1 1 9 （3）由题意得，S = AE x −x =   m−1， AEM 2 M E 2 2 9 9 m− (m1)  4 4 ∴S关于 m 的解析式为S = 9 9  − m+ (m1)  4 4 21全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★★☆☆） 一、单选题 1．在式子 19、 0.25、 x2+2x+1、 a2+b2 中，是最简二次根式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一元二次方程x2+ px+q=0在用配方法配成(x+m)2 =n时，下面的说法正确的是（ ） 1 A．m是p的 B．m是p的一半的平方 2 1 C．m是p的2倍 D．m是p的 的相反数 2 k 3. 反比例函数y= 的图象与函数y=2x的图象没有交点，若点 (−2,y ) 、 (−1,y ) 、 (1,y ) 在 x 1 2 3 k 这个反比例函数y= 的图象上，则下列结论中正确的是（ ） x A．.y  y  y B． y  y  y C． y  y  y D． y  y  y 1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1 4. 如图，将边长2cm 正方形ABCD沿其对角线AC 剪开，再把 ABC沿着AD方向平 移，得到 ABC，若两个的三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA等于（ ） A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm 5．下列计算正确的是（ ） A． 2+ 3= 6 B． 2 3= 6 C． 18=2 3 D． 6  3 =2 二、填空题 1. 化简： 50 =___________． 2. 当x 时， 3−2x 在实数范围内有意义． 3. 方程x2 =−2022x的根是________． 224. 若关于x的方程x2 −2mx+3=0的一个根是-1，则m的值是______． 5. 如果正比例函数y=(3k+1)x的图像经过第二、四象限，那么k 的取值范围是 ． 6. 已知点A(2,−3)在正比例函数的图像上，则这个函数的解析式为________． 7. 若x2 −2(m−1)x+16是一个完全平方式，则为 m 值___________. 8. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数的根，我们就称这两个方程为“同伴方 程”．例如x2 =4和 (x−2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同 伴方程”．若关于 x 的方程ax2+bx+c=0(a0) 的参数同时满足a+b+c=0和a−b+c=0， 且该方程与 (x+2)(x−n)=0互为“同伴方程”，则n= ． 三、计算题 1 1 1. 计算： + 27− +( 48− 24) 6. 2− 3 2 12x  y 2  2. 计算：      y x y   3. 用配方法解方程：2x2 −4x+1=0 4. 解方程：(4x−3)2 −10(4x−3)=24 5. 已知x= 3+ 2−1，y = 3− 2+1，求x2 +4xy+ y2 的值． 四、解答题 1. 已知正比例函数y =kx(k 0)的图像经过第一、三象限，且过点(2k，−k+6)，求这个正 比例函数的解析式． 2. 已知关于x的方程kx2 −(3k−1)x+2k =1中，根的判别式的值是1，求k的值并解这个 方程． 3. 某校的分校区规划时决定在长为 32 米，宽为 20 米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条 互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的的四块小草坪，每块小草坪的面积为135 平方米，问道路的宽是多少米？ 23【常规讲解】 一、单选题 1. 解：∵ 0.25 =0.5， x2+2x+1= x+1， ∴最简二次根式有 19、 a2+b2 共2个； 故选B． 2. 解：移项，得x2+ px=−q 2 2 2  p  p  p 两边同时加上  ，得x2+ px+  =−q+  2 2 2  p 2 p2 −4q ∴ x+  =  2 4 p ∴m= 2 1 即m是p的 2 故选A． k 3. ∵直线y=2x经过一、三象限,反比例函数y= 的图象与函数y=2x的图象没有交点， x k ∴反比例函数y= 的图象在二、四象限， x k ∵点 (−2,y ) 、 (−1,y ) 、 (1,y ) 在这个反比例函数y= 的图象上， 1 2 3 x ∴点 (−2,y ) 、 (−1,y ) 在第二象限,点 (1,y ) 在第四象限， 1 2 3 ∵−2<−1， ∴.y  y >0， 2 1 ∴1>0， ∴y <0， 3 ∴.y  y  y ， 2 1 3 故选：B. 4. 解：设AC交A′B′于H， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠A=45°，∠D=90°， ∴△A′HA是等腰直角三角形， 设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x， ∴x•(2-x)=1，即x2 −2x+1=0， 24解得：x = x =1， 1 2 即AA′=1cm． 故选：B． 5. 解：A、 2， 3不是同类二次根式，没法合并，故本选项不符合题意； B、 2 3= 6，故本选项符合题意； C、 18=3 2，故本选项不符合题意； D、 6 3= 2，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 1. 50 = 252 =5 2， 故答案为：5 2. 2. 解：由题意得：3−2x0 3 解得：x≤ 2 3 故答案为：x≤ 2 3. 解：∵x2 +2022x=0， ∴x(x+2022)=0， ∴x=0或x+2022=0， ∴x =0，x =−2022． 1 2 故答案为：x =0，x =−2022． 1 2 4. 解：把x=−1代入方程x2 −2mx+3=0可得：1+2m+3=0， 解得：m=−2． 故答案为：−2． 5. 解：∵正比例函数y=(3k+1)x 的图象经过第二、四象限， ∴3k+10， 1 解得k − ， 3 1 故答案为：k − ． 3 6. 解：∵点A(2,−3)在正比例函数的图像上，设正比例函数解析式为y =kx， 3 ∴2k = −3，则k =− ， 2 253 ∴这个函数的解析式y =− x， 2 3 故答案为：y =− x． 2 7. ∵关于x的二次三项式x2−2（m−1）x＋16是一个完全平方式， ∴−2（m−1）x＝±2×4x ∴m−1＝±4， ∴m＝−3或5． 故答案 ：−3或5． 8. 解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0(a0) 的参数同时满足a+b+c=0和a−b+c=0， 为 ∴方程的两根为x =1,x =−1， 1 2 ∵(x+2)(x−n)=0， ∴x =−2,x =n， 1 2 ∵ax2+bx+c=0(a0) 与 (x+2)(x−n)=0互为“同伴方程”， ∴n=1或−1． 故答案为：1或−1． 三、计算题 2 2 1. 原式=2+ 3+3 3﹣ + 486 ﹣ 246=2+ 3+3 3﹣ +2 2 ﹣2 2 2 3 2 =4 3+ ． 2 12x  y 2  2. 解：      y x y   12x y y =   y x 2 2 3x 1 = y y 2x 2 3 = 2 = 6． 3. 2x2 −4x+1=0 1 解：x2 −2x=− 2 261 (x−1)2 = 2 2 x−1= 2 2 2 x =1+ ,x =1− 1 2 2 2 4. 原方程变形为：(4x−3)2 −10(4x−3)−24=0， 分解因式得： (4x−3)−12(4x−3)+2=0， 即(4x−15)(4x−1)=0， 即4x−15=0，4x−1=0， 15 1 解得：x = ，x = ． 1 4 2 4 5.解：∵x= 3+ 2−1，y = 3− 2+1， ( )( ) ( )2 ( )2 ∴x+ y =2 3，xy = 3+ 2−1 3+ 2−1 = 3 − 2−1 =2 2 ， ∴x2 +4xy+ y2 =(x+ y)2 +2xy ( )2 = 2 3 +22 2 =12+4 2 ． 四、解答题 1. y =kx过点(2k，−k+6)， −k+6=k2k， 3 解得：k = ，k =−2， 1 2 2 由于函数图象经过第一、三象限，所以k＞0， 故k =−2不合题意， 3 k = ， 2 3 故所求正比例函数解析式为y = x． 2 2.原方程整理得：kx2 −(3k−1)x+2k−1=0， 由题意知，k 0，且 −(3k−1)2 −4k(2k−1)=1， 解得k =2，k =0（舍去）， 当k =2时，原方程为：2x2 −5x−3=0， 271 解得：x =− ，x =3． 1 2 2 3. 设道路的宽度为x米. 由题意得， （32-x）（20-x）=135×4 整理得， x2-52x+100=0 x 1 =2，x 2 =50不合题意，舍去 ∴x=2. 答：道路的宽度为2米. 关卡二 练习2: （★★★★☆）计算： ． 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 4+2 3 = 【常规讲解】 解：原式 ( )2 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 ( ) = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 4+2 3 ( )2 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 ( 1+ 3 ) = 2+2 2+2 2+2 2+2 4+2 3 ( )2 = 2+2 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 2+2 2+2 ( 1+ 3 ) = 2+2 2+2 2+2 4+2 3 28( )2 = 2+2 2+2 2+2 1+ 3 ( ) = 2+2 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 2+2 4+2 3 = 2+2 2+2 ( 1+ 3 )2 ( ) = 2+2 2+2 1+ 3 = 2+2 4+2 3 = 2+2 ( 1+ 3 )2 ( ) = 2+2 1+ 3 = 4+2 3 ( )2 = 1+ 3 =1+ 3． 故答案为：1+ 3． 练习3: （★★★★☆）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆 方图注》对x2+ px+q=0 ( p2−4q0 ) 给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的 探索之旅． （1）用x,x 表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 1 2 一元二次方程 x +x x x 1 2 1 2 4x2− p2 =0(p0) 0 ① x2+ px+q=0 ( p2−4q0 ) ② ③ 6 1 5x2−6x+1=0 5 5 （2）数学家韦达对规律进行归纳；对于 ax2+bx+c=0(a0) ，若b2−4ac0 ，则 x +x = ；x x = ．（用含a,b,c的代数式表示）． 1 2 1 2 （3）设,是方程2x2−2x−1=0的两个实根，利用上述结论求2+2的值． （ 4 ） 类 比 探 索 ， 若 一 元 三 次 方 程 ax3+bx2+cx+d =0(a0) 可 以 转 化 为 29a(x−x )(x−x )(x−x )=0，则x +x +x = ；x x x = （用含 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a,b,c,d的代数式表示）． 【常规讲解】 （1）解： 4x2− p2 =0(p0) ， p2 x2 = ， 4 p p x = ,x =− ， 1 2 2 2 p2 则x x =− ， 1 2 4 x2+ px+q=0 ( p2−4q0 ) ， −p p2−4q x= ， 2 −p+ p2−4q −p− p2−4q 即x = ,x = ， 1 2 2 2 则x +x =−p，x x =q， 1 2 1 2 p2 −p q 故答案为：①− ；② ；③ ． 4 （2）解： ax2+bx+c=0(a0) ， −b b2−4ac x= ， 2a −b+ b2−4ac −b− b2−4ac 即x = ,x = ， 1 2a 2 2a b c 则x +x =− ，x x = ， 1 2 a 1 2 a c b 故答案为：− ， ． a a （3）解： ,是方程2x2−2x−1=0的两个实根， −2 1 +=− =1，=− ， 2 2 则 2+2 =(+) 1 = − 1 2 1 =− ． 2 30（4）解：a(x−x 1 )(x−x 2 )(x−x 3 )=a  x2−(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2   (x−x 3 ) =ax3−(x +x )x2+xx x−x x2+(xx +x x )x−xx x   1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 =ax3−a(x +x +x )x2+a(xx +xx +x x )x−axx x ， 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 则 −a(x +x +x )=b ，−ax x x =d， 1 2 3 1 2 3 d b 所以x +x +x =− ，x x x =− ， 1 2 3 a 1 2 3 a d b 故答案为：− ，− ． a a 练习4: m （★★★★☆）在平面直角坐标系中，点 A(−2,1) 为直线y=kx (k0) 和双曲线y= (m0) 的 x 一个交点，点B在x轴负半轴上，且点B到 y 轴的距离为3，如果在直线y=kx (k0) 上有一 点P，使得S ABP =2S ABO ，那么点P的坐标是 ． 【常规讲解】 过点B作BC ⊥ x轴， m ∵点 A(−2,1) 为直线y=kx (k0) 和双曲线y= (m0) 的一个交点， x 1 k =− ,m=−2， 2 1 2 直线解析式为y=− x，双曲线的解析式为y=− ， 2 x y ∵点B在x轴负半轴上，且点B到 轴的距离为3， ∴B(−3,0)， x =−3， C 313 y = ， C 2 3 BC= ， 2 ∵点 A(−2,1) ，B(−3,0)， 1 3 S = 31= ， ABO 2 2 S =2S =3， ABP ABO  1  设Pt,− t，  2  1 3 ①当点P在A点左侧时，由题意得  (−t−2)=3， 2 2 解得t =−6， 点P的坐标是(−6,3)； ②当点P在A点左侧时， 1 1  1  由题意得 OB y −y = 31+ t=3， 2 A P 2  2  解得t=2， 点P的坐标是 2, 1 ； 故答案为：(−6,3)或 2, 1 ． 32