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重难点 06 几何最值问题综合训练
中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：
一、将军饮马类最值
二、动点辅助圆类最值
三、四点共圆类最值
四、瓜豆原理类最值
五、胡不归类最值
几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但
是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的
时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值
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普通
异侧
“两定
一动”
普通
同侧
“两定
一动”
“一
定
两
动”
“两
定
两
动”
构造平行四边形
AMNA`，转化AM为
A`N，之后再对称连
同侧
接求A`N＋NB的最
“两定 小值即可
两动”
异侧
“两定
两动”
A`
1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线y=−x2+px+q的对称轴为x=−3，过其顶点M的一条直线
y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(−1,1)，要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则
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点P的坐标为（ ）
( 4 ) ( 4 ) ( 4)
A．(0,2) B． − ,0 C．(0,2)或 − ,0 D． 0, 或(−2,0)
3 3 3
2．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正
方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4√3 B．2√3 C．√6 D．√3
3．（2021·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，
则DN+MN的最小值为
4．（2023·广东广州·一模）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，
CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值等于 ．
5．（2022·四川眉山·一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两
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个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE＋AP的最小值为 ；②连结QE，若
PQ＝3，当CQ＝ 时，四边形APQE的周长最小．
考向二：动点辅助圆类最值
动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：
一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径
的圆（或圆弧）
二.定边对直角
模型原理：直径所对的圆周角是直角
思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆
弧）
三．定边对定角
模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为
圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，
点M为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）
5 12 3
A． B． C．√13− D．√13−2
2 5 2
2．（2022·广东梅州·一模）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，
AB=AE=5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，△ACE的面
积为（ ）．
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A．6 B．6√2 C．9 D．9√2
3．（2022·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足
DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角 AHG使得∠AHG=90°，连接BH．
则BH的最小值为（ ）
△
A．2√5−2 B．2√5+2 C．√10−√2 D．√10+√2
4．（2023·安徽·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是矩形ABCD内部一动点，且
∠BEC=90°，点P是AB边上一动点，连接PD、PE，则PD+PE的最小值为（ ）
A．8 B．4√5 C．10 D．4√5−2
3
5．（2022·福建厦门·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x−3分别与x轴、y轴相交于点A、
4
B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE=AF，过原点O作OH⊥EF，垂足
为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（ ）
13+5√2
A．6+5√2 B．12 C．6+3√2 D．
2
6．（2022·山东济南·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动
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点，且EF=4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为 ．
7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E,F分别在边AB和AD上，
且EF=4．当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为 ．
考向三：四点共圆类最值
对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生
模型原理：圆内接四边形对角互补
1．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小
组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，
D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则
∠AEC+∠D=180°（依据1）
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∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），
连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB=2√2，AD⋅AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
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2．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，点O是AB的中点，以点O为圆心，
OA为半径向AB上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接CP，则线段CP的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，AC=2，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，
∠PAB=∠PCA，求线段BP长度的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形ABCD，其边长AB=1000米，现计划在小区内部
（正方形ABCD内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的
距离相等（即BE=BA），过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG的内心F处修建一个健身房，使
得D栋楼的居民到健身房F的距离DF最小，请问DF是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；
若不存在，请说明理由．
考向四：瓜豆原理类最值
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点
的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．）
常考模型
模型一：运动轨迹为圆弧
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是一个圆
连接 AO，取 AO中点 M，则 M点即为 Q点轨迹圆圆心，半径 MQ是 OP一半，任意时刻，均有
△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
模型二：运动轨迹为线段
如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是一条
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直线。
方法：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始
终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
【模型总结】
必要条件：
①两动一定；②动点与定点的连线夹角是定角；③动点到定点的距离比值是定值．
做题方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；
第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，
第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值．
1.（2023·四川·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB
为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径
长为 ．
2.（2023·山东·中考模拟）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点 P是以O为圆心，2
个单位长为半径的圆上的一个动点，连接 AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．
当点P在 O上运动一周时，点B运动的路径长是 ．
⊙
考向五：胡不归类最值
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胡不归模型解决步骤：
模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时
间最小；
解决步骤：
由系数k·PB确定分割线为PB
PA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一
边为BD
过点P作PQ⊥BD，转化 kPB=PQ
过定点A作AH⊥BD，转化 （PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即
可。
√3 √3
1．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= x2− x−√3的图象与x
2 2
轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，
1
则 PB+PD的最小值为（ ）
2
3√3 √3 5
A． B． C．√3 D． √3
4 2 4
2．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC
边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+3的图像与x轴交于A、C
两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,−1)，连接PD，则√2PD+PC
的最小值是（ ）
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3 2
A．4 B．2+2√2 C．2√2 D． + √2
2 3
4．（2022·四川成都·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+√3分别交x轴于点A(1,0)，B(−3,0)，交y轴于点
C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且
MN⊥AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
1
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
2
5．（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中
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3
点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，
求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为
√2
⊙C上的一个动点，求 BQ+FQ的最小值．
4
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（建议用时：35分钟）
1．（2022·四川南充·一模）如图，矩形ABCD中，BC＝12，点P是边AD上一动点（不与端点重合），点
E与点A关于BP对称，线段DE最小为8，则AB的长为 ．
2.（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为
D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
3．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA
上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．
4．（2022·湖南湘潭·模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路
(AC
