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重难点 06 几何最值问题
中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：
一、将军饮马类最值
二、动点辅助圆类最值
三、四点共圆类最值
四、瓜豆原理类最值
五、胡不归类最值
几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但
是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的
时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值
满分技巧
将军饮马：
普通
异侧
“两定
一动”
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。
普通
同侧
“两定
一动”
“一
定
两
动”
“两
定
两
动”
同侧
“两定
两动”
异侧 构 造 平 行 四 边 形
AA`NM，则 AM 转化为
“两定
A`N，之后再依据两点之
两动”
间线段最短，连接 A`B
即为A、B之间陆地距离
的最小值
1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点
C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 ．
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2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE
＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为 ．
考向二：动点辅助圆类最值
满分技巧
动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：
一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径
的圆（或圆弧）
二.定边对直角
模型原理：直径所对的圆周角是直角
思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆
弧）
三．定边对定角
模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定
边为弦的圆（或圆弧）
1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，
使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 ．
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2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕
点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在
旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 ．
3．（2023•大庆模拟）如图，AB是 O的直径，AB＝4，C为 的三等分点（更靠近A点），点P是 O
上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B． C． D．
考向三：四点共圆类最值
满分技巧
对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生
模型原理：圆内接四边形对角互补
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等
腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD＝45°，则PE长为 ．
考向四：瓜豆原理类最值
满分技巧
瓜豆原理的特征和结论：
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1．（2023•金平区三模）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝ ，E为BC上一点，且BE＝ ，F为
AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的
最小值为 ．
2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，
，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
考向五：胡不归类最值
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满分技巧
胡不归模型解决步骤：
模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，
使从B走道P，再从P走到A的总时间最小
解决步骤：
由系数k·PB确定分割线为PB
PA 在分割线一侧，在分割线 PB 另一侧依定点 B 构 α 角，使
sinα=k，α角另一边为BD
过点P作PQ⊥BD，转化 kPB=PQ
过定点A作AH⊥BD，转化 （PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。
1．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC
和AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，
两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则
CP+ AP的最小值是 ．
2．（2023•合肥三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则
2AD+DC的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
（建议用时：20分钟）
1．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF
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取得最小值时， 的值是 ．
2．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3 ，点C为平面内一动点，BC＝
，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐
标是（ ）
A．（ ， ） B．（ ， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
3．（2023•台州）如图， O的圆心O与正方形的中心重合，已知 O的半径和正方形的边长都为4，则
圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
⊙ ⊙
A． B．2 C． D．
4．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为
斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，则AD的最小值为 ．
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（建议用时：20分钟）
1．（2023•利州区模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从
点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段
AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 ．
2．（2023•营口一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，
AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
3．（2023•宿城区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ 与x轴的正半轴交于点A，B
点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（ ）
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A．24 B．25 C．30 D．36
4．（2023•天心区校级三模）如图1：在 O中，AB为直径，C是 O上一点，AC＝3，BC＝4．过O分
别作OH⊥BC于点H，OD⊥AC于点D，点E、F分别在线段BC、AC上运动（不含端点），且保持
⊙ ⊙
∠EOF＝90°．
（1）OC＝ ；四边形CDOH是 （填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH ＝ ；
（2）当F和D不重合时，求证：△OFD∽△OEH；
（3）①在图1中， P是△CEO的外接圆，设 P面积为S，求S的最小值，并说明理由；
②如图2：若Q是线段AB上一动点，且QA：QB＝1：n，∠EQF＝90°， M是四边形CEQF的外接圆，
⊙ ⊙
则当n为何值时， M的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
⊙
⊙
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