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专题 08 函数的图象与性质
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数为 ，在R上单调递增，则a取值的范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
2．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数为 的定义域为R， ，且当 时 ，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 时 ，所以 ，
又因为 ，则 ，
，
，
，
，则依次下去可知 ，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（新课标全国Ⅱ卷）设函数 ， ，当 时，曲线 与
恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即可
得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
4．（新课标全国Ⅱ卷）设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符号
分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而可得
的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
5．（全国甲卷数学（理）（文））函数 在区间 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.
【详解】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.故选：B.
6．（新高考北京卷）已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故A正确，B错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误，
故选：A.
7．（新高考天津卷）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件.
故选：C.
8．（新高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故
A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 ，则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
9．（新高考天津卷）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故选：B
10．（新高考上海卷）已知函数 的定义域为R，定义集合 ，
在使得 的所有 中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是严格增函数 D．存在 在 处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数
即可判断.
【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,
则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数 满足集合 ，
当 时，则 ，当 时， ，当 时， ，
则该函数 的最大值是 ，则B正确；
对C，假设存在 ，使得 严格递增，则 ，与已知 矛盾，则C错误；
对D，假设存在 ，使得 在 处取极小值，则在 的左侧附近存在 ，使得 ，
这与已知集合 的定义矛盾，故D错误；
故选：B.11．（新高考北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的
生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有
变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 ，消去 即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，即 ，所以 .
故选：D.
12．（全国甲卷数学（理）（文））已知 ， ，则 ．
【答案】64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
13．（新高考天津卷）若函数 有唯一零点，则 的取值范围为 ．
【答案】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 与 ，则两函
数图象有唯一交点，分 、 与 进行讨论，当 时，计算函数定义域可得 或 ，计
算可得 时，两函数在 轴左侧有一交点，则只需找到当 时，在 轴右侧无交点的情况即
可得；当 时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令 ，即 ，
由题可得 ，
当 时， ，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，
故 时， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，
由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
当 时，则 ，即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 的零点问题转化为函数 与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
14．（新高考上海卷）已知 则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求 .
【详解】因为 故 ，
故答案为： .
15．（新高考上海卷）已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可求参数 .
【详解】因为 是奇函数，故 即 ，
故 ，故答案为： .
16．（新高考上海卷）若 ．
(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出底数 ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在 使得 成等差数列等价于 在 上有解，利用换
元法结合二次函数的性质可求 的取值范围．
【详解】（1）因为 的图象过 ，故 ，故 即 （负的舍去），
而 在 上为增函数，故 ，
故 即 ，
故 的解集为 .
（2）因为存在 使得 成等差数列，
故 有解，故 ，
因为 ，故 ，故 在 上有解，
由 在 上有解，
令 ，而 在 上的值域为 ，
故 即 .一、单选题
1．（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由指数函数的性质，可得函数 为非奇非偶函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数 的定义域为 关于原点对称，
且 ，所以 为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数 的定义域为 关于原点对称，且满足 ，所以 为
偶函数，
当 时， ，在区间 上单调递增，所以C符合题意；
对于D中，函数 在期间 上不是单调递增函数，所以D不符合题意.
故选：C.
2．（2024·河南·三模）设函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，若
1，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得 的图象关于点 中心对称且关于直线 轴对称，进而得
的周期为4，即可求解.【详解】因为 为奇函数，所以 ，
所以 的图象关于点 中心对称，则 .
因为 为偶函数，所以 ，
所以 的图象关于直线 轴对称.
由 ，得 ，
所以 ，则 ，
则 的周期为4，
，则 .
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1） 关于 轴对称，
（2） 关于 中心对称，
（3） 的一个周期为 ，
（4） 的一个周期为 .
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
3．（2024·山东·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】求出函数 的定义域及奇偶性，再由奇偶性在 内函数值的正负判断即可.
【详解】依题意，函数 的定义域为 ，
，则 是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足；
当 时， ，则 ，AD不满足，C满足.
故选：C
4．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.
【详解】 ，
故选：A
5．（2024·河北保定·二模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设 ，则 ，
所以 为奇函数，
设 ，可知 为偶函数，
所以 为奇函数，则B，C错误，
易知 ，所以A正确，D错误．
故选：A.
6．（2024·四川内江·三模）已知函数 的定义域为R，对任意实数x都有 成立，且函数
为偶函数， ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1012 D．2024
【答案】B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由 ，即 的一个周期为4，
由 为偶函数可知 关于 轴对称，即 ，
又 可知 ，
所以 ，显然 ，
所以 .
故选：B
7．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为 ，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为 ，
对于选项D：若 ，但此时 ，矛盾，故可排除D；
对于选项C：若 ，但此时 ，矛盾，故可排除C；
对于选项B：若 ，但此时 ，矛盾，故可排除B.
故选：A.
8．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 若关于 的方程 有5个不
同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】直线 与函数 的图象有5个交点，可得 是奇函数，可
得只需直线 与曲线 有2个交点即可，即方程 有2个实数根，利用导数即
可求解.
【详解】由题意得 ，则直线 与函数 的图象有5个交点.
显然，直线 与 的图象交于点 .
又当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，所以 是奇函数，
则必须且只需直线 与曲线 有2个交点即可，
所以方程 有2个实数根.令 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以 .
又当 趋近于0时， ,所以 ；
当 趋近于 时， ，
所以必须且只需 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数
形结合法.9．（2024·浙江温州·三模）已知函数 ，则关于 方程 的根个数不可
能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线 与函数 的图象交点的个数，作出 的图象，分 、
、 三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数 的图象，如图所示：
将原问题转化为直线 （过定点 ）与函数 的图象交点的个数，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点；
当 时，直线 与函数 的图象没有交点；
当 时，直线 与函数 的图象有三个交点；
所以直线 与函数 的图象不可能有两个交点．
故选：C．
10．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 ， ，若关于x的方程
有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】令 ，作出函数 的图象，结合图象得出关于 的方程 根的情况，再根据一
元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】如图，作出函数 的图象，
令 ，
由图可知，当 时，关于 的方程 有 个不同的实数根，
当 或 时，关于 的方程 只有 个实数根，
因为关于x的方程 有三个不同实数根，
所以关于 的方程 的一个根在 上，另一个根在 上，
或方程的两个根一个为 ，另一个在 上，
若 为方程 的根时，则 ，
当 时，方程的另一个根为 ，不符题意，
当 时，方程的另一个根为 ，不符题意，
若 为方程 的根时，则 或 ，
当 时，方程的另一个根为 ，不符题意，
当 时，方程只有一个根为 ，不符题意，
若关于 的方程 的一个根在 上，另一个在 上时，
令 ，则 ，即 ，解得 ，
综上所述，实数t的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
11．（2024·江西南昌·三模）若 ， ， ，则正数 大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.
【详解】由 ，则 为 与 交点的横坐标，
由 ，则 为 与 交点的横坐标，
由 ，即 ，则 为 与 交点的横坐标，
作出 ， ， ， 的图象如下所示，由图可知， .
故选：B
12．（2024·安徽·三模）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质有 ，可比较 ，然后 再与2比较大小，可得结果.
【详解】依题意， ，故 ；而 ，
故 ，
故选：D.
二、多选题
13．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是 上的增函数 B．函数 有且仅有一个零点
C．函数 的最小值为 D． 存在唯一个极值点
【答案】BD
【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分 、 和 三种情况，结合函数值的符号
分析判断零点；对于C：分 、 和 三种情况，可得 ，即可判断；对于D：根据
的单调性，结合零点存在性定理分析可知 ，使 ，进而判断 的单调性和极值.
【详解】对于选项A：因为 ，则 ，当 时，则 ， 可得 ，
即 ，所以 不是 上的增函数，故A错误；
对于选项B：因为 ，
当 时， ，可知 是 的零点；
当 时， ，可知 在 内无零点；
当 时， ，则 ，
可得 ，可知 在 内无零点；
综上所述：函数 有且仅有一个零点，故B正确；
对于选项C：当 时， ；
当 时， ；
当 时，则 ， ，可得 ，
综上所述： ，所以 不是函数 的最小值，故C错误；
对于选项D：因为 ， ，
所以 的符号决定于 ，
显然 是 上的增函数，
又因为当 时， ；当 时， ，
所以 ，使 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
所以 有唯一极小值点. 故D正确.
故选 ：BD.
14．（2024·河南·三模）定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求 及 ，故可判断各项的正误，也可以由题意得
，结合条件 推出 的解析式，进而即可求解
判断ABCD四个选项.
【详解】法1：令 ，则 ，
令 ，则 ，
若 或 ，
若 ，则 即 ，
由 的任意性可得 不恒成立，故 不成立，故 ，
故A错误，B正确.
令 ，则 ，
故 为奇函数，且 ，它为 上的增函数，故CD正确.
法2：由条件 ，得
，
由 的任意性得 为常数，
故代回去 得：
，
所以由 的任意性只能 ，即 ，为增函数，
所以 ， 为奇函数，
故A错，BCD对.
故选：BCD.
15．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 不存在零点 D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由 ，令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，函数 的定义域为全体实数，由 ，显然不符合 ，
所以函数 不是奇函数，所以B不正确；
对于C中，由 ，令 ，可得 ，即 ，解得 或 ，
所以函数 没有零点，所以C正确；
对于D中，由 ，
令 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以D正确.
故选：ACD．
16．（2024·重庆·三模）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先依据题目所给条件得 ，所以对于A，依据函数 的增减性即可判断；对于
B、D，对 取特殊值为 即可判断；对于C，由 可直接判断.
【详解】因为 ，
所以 ，又 为增函数，故 ，
对于A，因为 为减函数，所以 ，故A错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，当 时，且 与 均为增函数，所以 ，此时 ，故D错误.
故选：C.
17．（2024·湖南怀化·二模）已知函数 的零点为 的零点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数 与 互为反函数，确定 的关系，再逐项分析判断
得解.
【详解】依题意， ， ，
则 分别是直线 与函数 ， 图象交点的横坐标，
而函数 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
又直线 垂直于直线 ，则点 与点 关于直线 对称，
则 ，于是 ， ， ，BC正确，A错误；
，即 ，D错误.
故选：BC
18．（2024·河南·三模）已知函数 ，则（ ）A． 的定义域为
B． 的值域为
C．
D． 的单调递增区间为
【答案】ABC
【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出 利用对数运算法
则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D.
【详解】对AB，由 ，得 ，则 的定义域为 ，值域为 ，A，B均正确；
对C， ，C正确；
对D，因为 ，所以 ，外层函数为增函数，
，令 ，所以函数定义域为 ，
内层函数 ，在 上单调递增， 上单调递减，
所以 的单调递增区间为 不是 D错误.
故选：ABC
19．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 单调递增
B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求
解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义， 与 的关系，即可判断CD.
【详解】 ，
函数 ， ，则 ，
又内层函数 在 上单调递增，外层函数 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 单调递增，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，所以函数 的值域为 ，故B正确；
， ，所以函数 关于点 对称，故C错误，D
正确.
故选：ABD
20．（2024·广东广州·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 的图象在 处的切线斜率为
C． D． 有两个零点 ，且
【答案】BCD
【分析】根据题意直接求出 的范围即可判断 ；求出导函数，进而求得 即可判断B；求得 即
可判断C；易知 的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D．
【详解】由题意， ，
对于选项A，易知 且 ，故选项A错误，对于选项B，因为 ，则 ，故选项B正确，
对于选项C，因为 ，所以 ，故选项C正确，
对于选项D，由选项 可知 ，易知 在 和 上单调递增，
因为 ，
，
所以 ，使得 ，
又因为 ，则 ，结合选项C，得 ，
即 也是 的零点，则 ， ，故 ，故选项D正确，
故选：BCD.
21．（2024·山东日照·三模）在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为2的正方形 沿 轴滚动
（无滑动滚动），点 恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则（ ）
A．方程 在 上有三个根
B．
C． 在 上单调递增D．对任意 ，都有
【答案】AC
【分析】根据正方形的运动，得到点B的轨迹，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.
【详解】分析正方形顶点 的运动状态可知，
当 时， 的轨迹是以 为圆心，半径为2的 圆；
当 时， 的轨迹是以 为圆心，半径为 的 圆；
当 时， 的轨迹是以 为圆心，半径为2的 圆；
当 时， 的轨迹是以 为圆心，半径为2的 圆，
作出函数的图象如下图所示：
由图知：函数 的图象与直线 在 上有三个交点，
即方程 在 上有三个根，A正确；
函数 的图象关于 轴对称，所以函数 是偶函数，B错误；
函数 在 上单调递增，C正确；
由图象知： ， ， ，D错误.
故选：AC.
三、填空题
22．（2024·四川雅安·三模）已知函数 是偶函数，则实数 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.【详解】 定义域为 ，
，
所以 ，
故 ，
故答案为：
23．（2024·山东济宁·三模）已知函数 ，则 .
【答案】
【分析】利用已知的分段函数，可先求 ，再求 即可.
【详解】因为 ，所以 .
所以 .
故答案为： .
24．（2024·宁夏银川·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则
．
【答案】 /0.75
【分析】求出函数 的定义域，利用对称性的特征可得定义域关于数 对称，再利用特值求出 并验证
即得.
【详解】函数 的定义域为 ，
由函数 的图象关于直线 对称，得 的定义域关于数 对称，则 ，此时必有 ，即 ，解得 ，
此时 ，
因此函数 的图象关于直线 对称，即 满足题意，
所以 .
故答案为：
25．（2024·广东广州·三模）函数 ，其中 且 ，若函数是单调函数，则
a的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意， 在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为 且 ，若函数是单调函数，结合二次函数可知： 在R上单调递增，
，解得 .
故答案为：4（答案不唯一）.
26．（2024·四川内江·三模）若函数 是奇函数，则 .
【答案】
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【详解】函数 是奇函数， ，
当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，当 时， ， ，
而当 时， ，则 ，
所以 ， .
故答案为：
27．（2024·河北保定·三模）定义在 上的函数 满足 为偶函数， 为奇函数，且当
时， .当 时，函数 与 图象的交点个数为 .
【答案】4
【分析】根据题意，推出函数 的对称性和周期性，再利用作图即得.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，所以 ，
，
则 的图象关于直线 对称，也关于点 对称，所以 ， ，
故有 ，则 ，从而， ，即函数 是周期为
8的周期函数.
根据函数的对称性和周期性，可以画出函数 和 在 上的图象（如图）.
由图可知 与 的图象在 上有4个交点.
故答案为：4.【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的对称性和周期性应用，属于难题.
解题思路在于，根据函数的奇偶性，写出抽象函数满足的等式，据此推出函数的轴对称或中心对称特点，
再利用条件推得函数的周期性，最后利用这些性质作图即得.
28．（2024·上海·三模）设 ，若在区间 上，关于x的不等式 有意义且能恒成立，则t的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据 在 上恒成立，故 ，分 时，满足要求，当
时，变形为 在 上恒成立，构造 ， ，根据函数单调性得到
，从而得到 ，得到答案.
【详解】由题意得 在 上有意义，故 在 上恒成立，
故 ，
当 时， ，而 ，满足 ，符合题意，
当 时， ， 在 上恒成立，
令 ， ，
其中 在 上单调递减，
故 ，
故 ，
综上，t的取值范围是 ，故答案为：
29．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内 两点满足: （1）点 都在 的图象上; （2）点
关于原点对称，则称点对 是函数 的一个“姊妹点对”，且点对 与 记为一个“姊
妹点对”. 已知函数 ，则 的“姊妹点对”有 个.
【答案】2
【分析】问题转化为 关于原点对称的函数与 在 交点的个数，先求出
关于原点对称的函数 ，利用导数方法求出 在 解的个数，即可得出结论.
【详解】设 是 关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为 在 上，
，设 ，“姊妹点对”的个数即为 与 在 交点的个数，
于是 ，即 ，令 ，
由 ，得 ，即 ，于是只考虑 即可，
求导得 ，显然函数 在区间 上单调递增，
而 ， ，则存在 使得 ，
当 单调递减， 单调递增，
而 ， ， ，
因此函数 在区间 ， 分别各有一个零点，
所以函数 的“姊妹点对”有2个.故答案为：2
【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存
在性定理是解题的关键.
30．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数 的定义域为 ， ，且 ，则
在 上的零点个数的最小值为 .
【答案】9
【分析】由 结合 是奇函数可求出 的周期为3，即可求出
，再由 的对称性和周期性可得 .
【详解】由 ，可得 的图象关于点 对称，
又 是奇函数，所以 ，
则 的周期为3，所以 ，
，
而 ，则 .
故 在 上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
