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专题 09 三角函数拆角与恒等变形归类
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题型一：诱导公式.................................................................................................................................................................1
题型二：辅助角：特殊角型.................................................................................................................................................2
题型三：辅助角：非特殊角型.............................................................................................................................................3
题型四：sinx cosx与sinxcosx型转化..............................................................................................................................4
题型五：齐次式转化.............................................................................................................................................................5
题型六：拆角：互补型拆角---缺.........................................................................................................................................5
题型七：拆角：互余型拆角.................................................................................................................................................6
题型八：拆角：二倍角型拆角.............................................................................................................................................7
题型九：拆角：30度型拆角................................................................................................................................................8
题型十：拆角：60度型拆角................................................................................................................................................8
题型十一：拆角：正切型.....................................................................................................................................................9
题型十二：拆角：分式型...................................................................................................................................................10
题型十三：对偶型恒等变形求值.......................................................................................................................................11
题型十四：拆角求最值.......................................................................................................................................................11
题型十五：韦达定理型恒等变形求值...............................................................................................................................12
题型十六：恒等变形求角...................................................................................................................................................13
题型一：诱导公式
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．
“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．
“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
1．（23-24高三 ·浙江·模拟）已知锐角 满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三 ·浙江宁波·模拟）已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
3．（15-16高三 ·吉林长春·模拟）设 ，那么
A． B． C． D．4．（安徽省阜阳市2023-2024学年高三模拟质量统测数学试题）若角 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东·二模） （ ）
A． B． C． D．
题型二：辅助角：特殊角型
辅助角
asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角）
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三 ·四川·阶段练习）若函数 在区间 上的值域分别为
，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为
B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
3．（22-23高三 ·广西南宁·模拟）已知函数 ，若 在
上无零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三 ·江西·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的图象关于直线 对称C． 在 上有4个极值点 D． 在 上单调递减
5．（23-24高三 辽宁·模拟）已知函数 ，若关于x的方程 在区间
上有且只有四个不相等的实数根，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：辅助角：非特殊角型
辅助角
辅助角范围满足：
1．（22-23高三 上海宝山·阶段练习）若 ，
，下列判断错误的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
2．（2023·河南·模拟预测）若关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三 ·江西赣州·模拟）已知 是圆 上两点．若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
4．（2023·四川雅安·一模）已知函数 ，设 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三 辽宁大连·模拟）已知函数 （ ， ， ）在区间
上单调，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：
sinx cosx与sinxcosx型转化
与
的函数中一般可设 进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
1．（23-24高三 ·湖北武汉·模拟）函数 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（23-24高三 ·辽宁大连·阶段练习）若 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三 ·江苏苏州·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三 ·湖北武汉·模拟）已知 ，则函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
题型五：齐次式转化
正切齐次求值型
给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切
二次型求正切，充分运用“1”的代换：
（1）
（2）
1．（2024·新疆·一模）已知: ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三 辽宁大连·模拟）已知 ， 均为锐角， ，则 取得最大值时，
的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
3．（20-21高三 ·河南新乡·阶段练习）函数 的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C． ，0 D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三江苏南京·模拟）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型六：拆角：互补型拆角---缺角度“互补”与“广义互补余”可以用诱导公式转化：
1.“互补”：两个复合型角度相加为180°，可以用诱导公式转化
2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化
1.（2022秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4.（山东省青岛市青岛中学2022-2023学年10月月考）已知 ,且 ,则
______．
题型七：拆角：互余型拆角
角度“互余”与“广义互余”可以用诱导公式转化：
1.“互余”：两个复合型角度相加为90°，可以用诱导公式转化
2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°，可以用诱导公式转化
1．（23-24高三·河南洛阳·模拟）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（23-24高三 广东梅州·模拟）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·山东威海·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型八：拆角：二倍角型拆角
二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
tan 2α＝
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α
1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2．（23-24高三·四川眉山·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·江西·阶段练习）已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·江苏连云港·模拟）已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型九：拆角：30 度型拆角
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆
角求值
1．（23-24高三 ·江苏盐城·模拟）化简 值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习） 等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（2024·陕西西安·一模） 等于（ ）
A． B． C． D．1
4（23-24高三·重庆·模拟） （ ）
A． B． C． D．25．（22-23高三·河南·模拟） 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
题型十：拆角：60 度型拆角
常见的变角技巧有：
，
，
，
，
等．
1．（23-24高三·湖南湘潭·阶段练习） 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（23-24高三·内蒙古赤峰·阶段练习）计算 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2024·河北沧州·二模）化简 （ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024·全国·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·湖南·阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
题型十一：拆角：正切型正切型公式：
tan(α＋β)＝ (T )
(α＋β)
tan(α－β)＝ (T )
(α－β)
tan 2α＝
1．（23-24高三·重庆大足·阶段练习）设 ， ， ， ，若满足条件的
与 存在且唯一，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·江苏镇江·模拟）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建泉州·二模）若 ，且 与 存在且唯一，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 , ,且 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
题型十二：拆角：分式型分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积
的形式，便于约去。
1．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）求值： （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·四川成都·模拟）求值 （ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三·辽宁·模拟）化简 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2021·广西·一模） ＝ （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）化简： （ ）
A．4 B．2 C． D．
题型十三：对偶型恒等变形求值
常见的对称型结构：
为对称结构，可以借助
消元求解
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2．（2024·山西晋中·三模）已知 则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·江苏连云港·模拟）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三·江苏徐州·模拟）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型十四：拆角求最值
1．（23-24高三·湖南·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2014高三·全国·竞赛）若 ， ，且 满足关系式 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·江苏·专题练习） 中， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知 ， 均为锐角，且满足 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．5．（2024·山西·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C． D．2
题型十五：韦达定理型恒等变形求值
若 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，则：
1．（21-22高三·贵州遵义·阶段练习）若 是方程 的两根，则 的值为
A． B．
C． D．
2．（22-23高三·北京西城·阶段练习）已知 是关于x的一元二次方程 的两根，则
，m＝ .
3．（2023高三·全国·专题练习）已知 是方程 的两根，则
.
4．（21-22高三·天津·模拟）已知 ， 是方程 的两根，则 ．
5．（2022·江苏南通·一模）已知 ， 是方程 的两根，则 .
题型十六：恒等变形求角
求复合型角，
1.
以给了函数值的角度为基角来拆角。
2.
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号1．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）已知 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（23-24高三·江苏徐州·模拟）已知 ， ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·浙江·模拟）已知 为钝角，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·河南·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
