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专题 09 三角函数拆角与恒等变形归类
目录
题型一：诱导公式.................................................................................................................................................................1
题型二：辅助角：特殊角型.................................................................................................................................................3
题型三：辅助角：非特殊角型.............................................................................................................................................7
题型四：sinx cosx与sinxcosx型转化.............................................................................................................................11
题型五：齐次式转化...........................................................................................................................................................13
题型六：拆角：互补型拆角---缺.......................................................................................................................................15
题型七：拆角：互余型拆角...............................................................................................................................................17
题型八：拆角：二倍角型拆角...........................................................................................................................................18
题型九：拆角：30度型拆角..............................................................................................................................................20
题型十：拆角：60度型拆角..............................................................................................................................................21
题型十一：拆角：正切型...................................................................................................................................................23
题型十二：拆角：分式型...................................................................................................................................................25
题型十三：对偶型恒等变形求值.......................................................................................................................................27
题型十四：拆角求最值.......................................................................................................................................................29
题型十五：韦达定理型恒等变形求值...............................................................................................................................31
题型十六：恒等变形求角...................................................................................................................................................33
题型一：诱导公式
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．
“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．
“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
1．（23-24高三 ·浙江·模拟）已知锐角 满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得到 ，再利用余弦的
倍角公式，即可求解.
【详解】由 ，
可得 ，
可得 ，所以
可得
即 ，
可得
，
所以 ，则 .
故选：B.
2．（23-24高三 ·浙江宁波·模拟）已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得 ，再利用两角
和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得 ，继而利用三角恒等变换，化简
求值，即得答案.
【详解】由题意知，
即 ，
故 ，
即 ，
故 ，
即
，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出 的表达
式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.
3．（15-16高三 ·吉林长春·模拟）设 ，那么
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由诱导公式得 ， ，
， ，故答案为B．
考点：1、三角函数的诱导公式；2、同角三角函数的基本关系．
4．（安徽省阜阳市2023-2024学年高三模拟质量统测数学试题）若角 满足 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.
【详解】由 ，得 ，
即 ，则
所以
.
故选：B
5．（2024·广东·二模） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.
【详解】
.
故选：D
题型二：辅助角：特殊角型
辅助角
asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角）
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的
图象与性质进行求解即可.
【详解】法一:由题，令 ， ，
因为 ，所以 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 且 ，
得 ．由 ，得 ，
又 且 ，所以 ， .
故选:C.
法二:由题
，
由 ，得 ，
设 的最小正周期为T，则由题意得 ，所以 ，
从而 ，结合函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，得
，且 ，解得 .
故选:C.
2．（23-24高三 ·四川·阶段练习）若函数 在区间 上的值域分别为
，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为
B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
【答案】C
【分析】将 整合为 ，再针对选项逐项分析即可.
【详解】由题知 ，图像在 轴右侧的第一条对称轴为 ，
轴右侧的第二条对称轴为 .
对于A，令 ， ，若 ，则 ，
取 时 ，则 ，此时必有 ，
此时满足 ，A正确；
对于B，因为 ，若 ，则 ，
此时 ，因为 ，
故 ，故 ，矛盾，故 ，
当 时， ， ，
故 在 上的值域为 ，在 的值域为 ，
符合题意，故 的最小值为 ，B正确；
对于C，当 时， ，此时 ，与条件 不符，
当 时， ，故 ，
因为 ，故 即 .
所以当 时， 不成立.
当 时， ，不满足条件 ，C错误；
对于D，当 时， ，故 ，
因为 ，故 即 时，满足条件 ，
当 时， ，不满足条件 ，D正确.
故选：C.
3．（22-23高三 ·广西南宁·模拟）已知函数 ，若 在
上无零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得 ，由于 在 上
无零点，因此 ，且 ， ，在 的条件下，解不等式可得解.
【详解】
，
由 ，得 ，
因为 在 上无零点，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以解得 ，
因为 ，所以解得 ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围是 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查三角恒等变换公式的应用，考查函数与方程，
解题的关键是将函数在 上无零点，利用正弦函数的性质转化为关于 的不等式组，从而可求得结
果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
4．（22-23高三 ·江西·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上有4个极值点 D． 在 上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数周期性、对称性定义判断A，B；求导并探讨导数在 上的正负情况
判断C；探讨函数在 上单调性判断D作答.
【详解】函数 ，
对于A， ，
即 不是 的周期，A不正确；
对于B，因为 ，而 ，显然函数 图象上的点 关于直线 的对称点 不在 的图象上，B不正确；
对于C，当 或 时， ， ，
此时 或 ，当 或 ，
即 或 时，函数 取得最值，因此 在 或 取极值，
当 时， ， ，此时 ，
当 或 ，即 或 时，函数 取得最值，因此 在 或
取极值，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又函数 是定义域R上的连续函数，则 是函数 的一个极小值点，
所以函数 在 上的极值点至少有5个，C不正确；
对于D，因为 ，则 是函数 的一个周期，
当 时， ，由选项C知函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，D正确.
故选：D
5．（23-24高三 辽宁·模拟）已知函数 ，若关于x的方程 在区间
上有且只有四个不相等的实数根，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简函数为 ，根据题意，转化为 在区间 上有且只有四个
不相等的实数根，求得 或 ，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，
因为方程 在区间 上有且只有四个不相等的实数根，且 ，
可得 在区间 上有且只有四个不相等的实数根，
则 或 ，解得 或 ， 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
题型三：辅助角：非特殊角型
辅助角
辅助角范围满足：
1．（22-23高三 上海宝山·阶段练习）若 ，
，下列判断错误的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角 的取值作答.
【详解】由选项知， ， ，
令 ，有 ， ，
则 ，
对于A，当 时， 为第一象限角，且 ， ， ，则 ，A正确；
对于B，当 时， 为第四象限角，且 ， ， ，则 ，
B正确；对于C，当 时， 为第二象限角，且 ， ， ，则 ，C
正确；
对于D，当 时， 为第三象限角，且 ， ， ，则 ，D
错误.
故选：D
2．（2023·河南·模拟预测）若关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得 ，进而求得 .
【详解】关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，
即 （ ，取 为锐角）
在 内有两个不同的解 ，
即方程 在 内有两个不同的解 ．
不妨令 ，由 ，则 ，
所以 ，
所以 ．则 ，
即 ，
所以 ．
故选：D．
3．（23-24高三 ·江西赣州·模拟）已知 是圆 上两点．若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用 得向量 、 的夹角为 ，设
，利用两角和与差的公式、三角函数的现在化简
可得答案.
【详解】由题意 ， ，
因为 ， ，
所以向量 、 的夹角为 ，如图，设 ，
所以
，且 ，
因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出向量 、 的夹角，设
进行化简计算.
4．（2023·四川雅安·一模）已知函数 ，设 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式得到 最大值，即得到关于 的关系式，代入 利用诱导公式即可.
【详解】 ，
，
，
，
，
，
.
故选：B.
5．（22-23高三 辽宁大连·模拟）已知函数 （ ， ， ）在区间
上单调，且 ，则不等式 的解集是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将 化成 的形式，根据单调性及周期性得到 的取值范围，根据等式关系
得到各参数的关系，最后利用辅助角公式中的关系得到关于 的不等式，解出不等式即可.
【详解】 ，
， ，
在区间 单调， ， ， ， ，
， ，， ， ，
， ， ， ， ，
， .故选：A.
【点睛】关键点定睛：本题难点在于单调性与周期性之间的关系以及辅助角公式的巧妙运用.
题型四：
sinx cosx与sinxcosx型转化
与
的函数中一般可设 进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
1．（23-24高三 ·湖北武汉·模拟）函数 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设 ，根据 ， 之间的关系将原函数转化成二次函数的最值问题
处理.
【详解】设 ，根据辅助角公式， ，
由 ，于是 ，
故 ，当 时， 取得最大值 .
故选：A
2．（23-24高三 ·辽宁大连·阶段练习）若 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】结合二次方程的韦达定理，利用同角三角函数基本关系列式求解即可.
【详解】由题设 ，得 或 .
由韦达定理得 且 ，
所以 ，所以 ，即 ，
可得 ，又 或 ，所以 .
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系变形，已知式由两角差的余弦公式展开化简得
，再利用同角间三角函数关系变形得出 ，代入待求式变形后的式子计算可得．
【详解】
（※）
而 ，则 ，
两侧平方可得 ，则 ，
代入（※）式可知 ，
故选：A．
4．（23-24高三 ·江苏苏州·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，则 ，从而得到 ，依题意得到关于 的方程，求
出 的值，再由二倍角公式及诱导公式计算可得.
【详解】令 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由 ，所以 ，解得 （舍去）或 ，
所以 .
故选：B
5．（23-24高三 ·湖北武汉·模拟）已知 ，则函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，可得出 ，求出二次函数 在
上的值域即可得解.
【详解】因为 ，则 ，则 ，
令 ，
所以， ，则 ，
则 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以， ，
当 时， ；当 时， ，则 .
因此，当 时，则函数 的值域为 .
故选：D.
题型五：齐次式转化
正切齐次求值型
给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切
二次型求正切，充分运用“1”的代换：
（1）
（2）
1．（2024·新疆·一模）已知: ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由
，
则.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出
，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
2．（23-24高三 辽宁大连·模拟）已知 ， 均为锐角， ，则 取得最大值时，
的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】由 ，两边同时除以 得
，再将 用 表示，再结合基本不等式求出 的最大值及此时
的值，再根据两角和的正切公式即可得解.
【详解】由 ，
两边同时除以 得 ，
所以 ，
因为 ， 均为锐角，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 取得最大值时， .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将已知变形成 是解决本题的关键.
3．（20-21高三 ·河南新乡·阶段练习）函数 的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C． ，0 D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得 ，再令 ，
，可得 ，再根据二次函数的性质即可求出结果.
【详解】设 ，则 ，则，
由 ，得 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ；当 ，即 时， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了二倍角公式、同角基本关系，以及换元法在求函数值域中的应用，属于中档题.
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于解法一：由二倍角公式解出 ，进而将所求分式利用三角恒等变换化为齐次式弦化切求解
即可；对于解法二：将已知变形代入同角基本关系式，求解出 和 代入求解即可.
【详解】解法一:由题意可知， ，
得 ，
由二倍角公式可知： .
故选：B．
解法二： 由 可得 ，代入 ，得 ，
因为 ，则 ，则 ，则 ．故选：B．
5．（23-24高三江苏南京·模拟）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求得 或 ，再将 化为 ，
代入 的值即可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，则，
所以 ，即 ，解得 或 .
又 ，将 或 代入，
均得到 .故选：C.
题型六：拆角：互补型拆角---缺
角度“互补”与“广义互补余”可以用诱导公式转化：
1.“互补”：两个复合型角度相加为180°，可以用诱导公式转化
2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化
1.（2022秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角的三角函数关系求出 ，结合诱导公式计算化简即可求解.
【详解】由 ，得 ，
则 ，得 ，
所以 故选：A.
2（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过 ，利用诱导公式变形计算.
【详解】 .故选：A.
3.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式直接计算即可得出结果.
【详解】因为 .
故选A.
4.（山东省青岛市青岛中学2022-2023学年10月月考）已知 ,且 ,则
______．
【答案】0
【分析】先用换元,再用诱导公式,将所求转化为换元后的三角函数,计算结果即可.
【详解】解:由题知,令 所以 ,
故答案为:0
题型七：拆角：互余型拆角
角度“互余”与“广义互余”可以用诱导公式转化：
1.“互余”：两个复合型角度相加为90°，可以用诱导公式转化
2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°，可以用诱导公式转化
1．（23-24高三·河南洛阳·模拟）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式即可求得答案.
【详解】由 ，可得 .
故选：C.
2．（23-24高三 广东梅州·模拟）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得 ，即可由诱导公式求解.
【详解】由 得 ，故 ，
故选：B
3．（23-24高三下·山东威海·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】由 可得 ，
故选：A
4．（2024·浙江·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】 .
故选：C
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得.
【详解】由 ，得 .
故选：B
题型八：拆角：二倍角型拆角二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
tan 2α＝
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α
1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，根据诱导公式及二倍角公式可得 ，根据诱导公式
和弦切互化得 ，代入并利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】设 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故选：D
2．（23-24高三·四川眉山·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式得到 ，再利用余弦二倍角公式求出答案.
【详解】
.
故选：B
3．（23-24高三·江西·阶段练习）已知角 满足 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由 ，得 ．
故选：B
4．（23-24高三·江苏连云港·模拟）已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.
【详解】由 ，得
.
故选：B
5．（2024·浙江·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果；
【详解】∵
，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
题型九：拆角：30 度型拆角
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆
角求值
1．（23-24高三 ·江苏盐城·模拟）化简 值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】
.
故选：B
2．（2024高三·全国·专题练习） 等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据基本关系式、诱导公式、二倍角正弦公式及辅助角公式化简可得结果.
【详解】
.
故选：C.
3．（2024·陕西西安·一模） 等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.故选：C
4（23-24高三·重庆·模拟） （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.
【详解】
故选：A5．（22-23高三·河南·模拟） 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，利用两角和的正弦公式求解即可．
【详解】
，
故选：B.
题型十：拆角：60 度型拆角
常见的变角技巧有：
，
，
，
，
等．
1．（23-24高三·湖南湘潭·阶段练习） 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用三角函数的和差公式与倍角公式化简即可得解.
【详解】
.
故选：C.
2．（23-24高三·内蒙古赤峰·阶段练习）计算 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先利用诱导公式化简，再结合两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简即可得解.【详解】
.
故选：C.
3．（2024·河北沧州·二模）化简 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和 角即可进行化简.
【详解】 .
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可.
【详解】
.故选：A.
5．（23-24高三·湖南·阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，结合两角和差公式分析求解.
【详解】由题意可得：
，
所以 .
故选：C.
题型十一：拆角：正切型正切型公式：
tan(α＋β)＝ (T )
(α＋β)
tan(α－β)＝ (T )
(α－β)
tan 2α＝
1．（23-24高三·重庆大足·阶段练习）设 ， ， ， ，若满足条件的
与 存在且唯一，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先由 ，可得 ，再根据 ，结合两角差的正弦公
式求出 ，进而可求出 ，再根据唯一性可求出 ，再求出 ，结合
两角差的正切公式求出 ，即可得解.
【详解】由 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因为满足条件的 与 存在且唯一，所以 唯一，
所以 ，所以 ，经检验符合题意，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .故选：B.
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除 ，得到 .再利用两角差的正切公式展开 ，将 换成 ，化简即可得到答案.
【详解】 ，所以 ，
两边同除 ，得到 ，即 .
， .
故选：C.
3．（23-24高三下·江苏镇江·模拟）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合两角差的正切公式求得.
【详解】由
得 ，
故选：A.
4．（2024·福建泉州·二模）若 ，且 与 存在且唯一，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】由 ，得 ，由 ，得 ，
，则有 ， 与 存在且唯一，得 ，解得
，即 ，再由 ，可求出 ，计算
的值即可.
【详解】 ，由 ，得 ，即 ，
所以 ，有 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，因为满足条件的 与 存在且唯一，所以 唯一，
若 ， 有两解，其中一解 中有钝角，此情况不存在.
所以 ，解得 ，经检验符合题意，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以 ．
故选：B．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 , ,且 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出 ,再根据 结合两角和的正切
公式求得 ,根据 求出 ,从而可得 的范围,即可得出 的范围,
即可得解.
【详解】因为 ,
所以 ,
故 ,
由 ,所以 ,又 ,所以 ,
故 ,所以 .故选：A.
题型十二：拆角：分式型
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积
的形式，便于约去。
1．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）求值： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】易知 ，再利用两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】
.
故选：A.
2．（23-24高三·四川成都·模拟）求值 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可.
【详解】因为 ；
；
，
所以
.
故选：D.
3．（23-24高三·辽宁·模拟）化简 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角和与差公式和二倍角公式求解即可.
【详解】
.
故选：C.
4．（2021·广西·一模） ＝ （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 ，然后，利用 ，代入 的值求解即可【详解】 ，
令 ，得 ， ， ，所以， ，
所以，
故选：A
【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用 和 ，求出
，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题
5．（2023·全国·模拟预测）化简： （ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换的公式求解即可.
【详解】 .
故选：A．
题型十三：对偶型恒等变形求值
常见的对称型结构：
为对称结构，可以借助
消元求解
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和与差的正弦公式化简已知条件得 ， ，由
，代入求值即可.
【详解】由 ， ，
得 ， ，所以 .
故选：A.
2．（2024·山西晋中·三模）已知 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知 平分求和可得 的值，结合角度范围可得所求.
【详解】因为
平方求和得： 所以
由 得 所以 或 ，
又 ，则 ，所以 ，
所以
故选：B.
3．（2024·山东·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用两角和的正弦公式求出 ，再根据
结合两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】 ，
，
所以 .
故选：D.
4．（23-24高三·江苏连云港·模拟）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对给定式子平方，再进行相加得到 ，最后利用两角和的正弦公式求
解即可.
【详解】若 ，则若 ，则 ，
将两式子相加可得 ，
化简得 ，
由两角和的正弦公式得 ，故C正确.
故选：C
5．（22-23高三·江苏徐州·模拟）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】 ，
，
两式相加得 ，
.
故选：D.
题型十四：拆角求最值
1．（23-24高三·湖南·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两角和的余弦展开式化简可得 的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答
案.
【详解】由 ，
得 ，
因为 ， ，所以 ，且 ，
，
当且仅当 取等号.
故选：C.
2．（2014高三·全国·竞赛）若 ， ，且 满足关系式 ，
则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用已知等式变形可得 ，结合两角和差正切公式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由 得： ，
， ， ， ，
且 ，
（当且仅当
时取等号），
的最小值为 .
故选：B.
3．（2024高三·江苏·专题练习） 中， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】由 ，利用两角和与差的正弦公式化简得 ，再由
，代入 中由基本不等式求最小值.
【详解】 中， ，即 ，
有 ，
得 ，
则有 ，得 ，
且 ，
则 ，
若A为钝角，则 为钝角，∴ ，与 矛盾，舍去，
故A为锐角，∴ ， ，当且仅当 时取“ ”，
的最小值为2.
故选：A．
4．（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知 ， 均为锐角，且满足 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知等式利用两角差的正弦公式和同角三角函数的商数关系化简得 ，结合基本不等
式可得 ，由正切函数的单调性可得 的最大值.【详解】由 ，得 ，
即 ，化简得 ，
则 ，
所以 ，
由 为锐角， ，则有 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
，
由 ，函数 在 上单调递增，
所以 的最大值为 .
故选：B
5．（2024·山西·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C． D．2
【答案】C
【分析】由两角和与差的余弦公式变形已知式得出 ，再利用两角和的正切公式变形得出关于
的代数式，利用基本不等式得出其范围．
【详解】 ， ，
，
又 ，
，即 ，
．
， ，
当且仅当 ，即 等号成立，
的最小值为 ．
故选：C．
题型十五：韦达定理型恒等变形求值若 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，则：
1．（21-22高三·贵州遵义·阶段练习）若 是方程 的两根，则 的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题设 ，所以 可得
，解之得 ，由于二次方程的判别式 ，
所以 （舍去 ），应选答案B．
点睛：解答本题时充分借助题设条件及同角三角函数之间的平方关系 建立了
关于参数 的方程 ，即 ，当求得 时，要运用二次方程的判别式进行检
验，最终获得答案 ．
2．（22-23高三·北京西城·阶段练习）已知 是关于x的一元二次方程 的两根，则
，m＝ .
【答案】 / /
【分析】根据给定条件，利用韦达定理结合同角公式求解作答.
【详解】因为 是关于x的一元二次方程 的两根，则 ，即 ，
显然 ，又 ，即 ，
于是 ，解得 ，而当 时，方程 的两根为 ，满足 ，符合题
意，
所以 ， .
故答案为： ；
3．（2023高三·全国·专题练习）已知 是方程 的两根，则 .【答案】
【分析】根据一元二次方程根与关系，结合同角的三角函数关系式进行化简即可.
【详解】 ，
因为 是方程 的两根，
所以 ，
因此 ，
所以
故答案为：
4．（21-22高三·天津·模拟）已知 ， 是方程 的两根，则 ．
【答案】 /
【分析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达
定理即可求解.
【详解】解：因为 ， 是方程 的两根，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
5．（2022·江苏南通·一模）已知 ， 是方程 的两根，则 .
【答案】
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得 ， ，再运用余弦、正弦
和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】解：由已知得 ， ，
.故答案为： .
题型十六：恒等变形求角
求复合型角，
1.
以给了函数值的角度为基角来拆角。
2.
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
1．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）已知 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小 与 的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角
公式求得 的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为 所以 则
所以 则 ，
因为 ，所以 ，又 则 ，
所以 故
因为 所以
则 .故选：A.
2．（23-24高三·江苏徐州·模拟）已知 ， ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出
和 即可判断CD.
【详解】由 得 ，两边平方得： ，①
由 得 ，两边平方得： ，②
①+②得： ，因为 ，所以 ，
由 可得： ，即 ，
所以 ， 又 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
由 ，两边平方得 ，③
由 得 ，两边平方得： ，④
③+④得： ，
因为 ，所以 ，故 ，
由 ， ，可得 ，故C正确，D错误；
综上 不是定值，故B错误.
故选：C
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得 ，利用两角和与差的正弦公式化简
，可得 ，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ．
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，所以 ．
又 ，所以 ．
故选：D
4．（23-24高三·浙江·模拟）已知 为钝角，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据同角三角函数基本关系式求出 ，再由两角和的余弦公式，结合
角的范围，即可求解.【详解】由于 为钝角，且 ，
所以 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，故选：D.
5．（23-24高三·河南·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到 ，即 ，根据 ，得
到 ，即 .
【详解】 ，
所以 ，
则 ，
即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 ．
故选：B．
