文档内容
磁场中带电粒子运动
1．两点一线
1.（2017天津高考）平面直角坐标系xoy中,第一象限存在垂直平面向里的匀强磁场，第
三象限存在沿y轴负向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0
沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电
场进入磁场，最终从x轴上P点射出磁场，P点到y轴的距离与Q点到y轴距离相等。不计
粒子重力，问：
（1）粒子到O点的速度大小和方向？
（2）电场强度E和磁感应强度B大小之比？
y
x
O
P
Q
v
0
2.（2023届十二校一模）（16分）如图所示，坐标系xoy的第一象限内有一条平行于x轴
的虚线，与x轴的距离为L，在虚线与x轴之间的区域（包括x轴上）分布有垂直于纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度为B，在虚线上方足够大的区域内分布有竖直向下的匀强电场，
一质量为 电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向以某一速度射入磁场，从
P（ L，L）点第一次射入电场，当粒子在电场中的速度方向第一次沿x轴正方向时到达
Q点（图中未标出），Q点到y轴的距离为2 L。不计粒子的重力。求：
（1）粒子从O点射入时的速度v的大小；
（2）电场强度E的大小；
（3）粒子从O点到Q点的时间。
3. (2022和平区二模)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一
1象限内，存在着平行于x轴的匀强电场，在第4象限内，存在垂直于坐标系平面向外的匀
强磁场，一带电粒子从坐标为（0，-2L）的a点与y轴夹一定角度以速度v 射入磁场，之
0
后从坐标为（L，0）的b点垂直于x轴进入电场，最后从坐标为（0，2L）的c点离开电场，
已知磁场的磁感应强度为B，不计粒子的重力，求：
（1）该粒子的比荷（电荷量q与其质量m的比值）
（2）电场强度E的大小和方向
（3）比较离子在磁场中运动的时间t 和在电场中运动的时间t 的大小，并通过计算式说明
1 2
理由
4.（2022湖南卷）如图，两个定值电阻的阻值分别为 和 ，直流电源的内阻不计，平
行板电容器两极板水平放置，板间距离为 ，板长为 ，极板间存在方向水平向里的匀
强磁场。质量为 、带电量为 的小球以初速度 沿水平方向从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球
未与极板发生碰撞，重力加速度大小为 ，忽略空气阻力。
（1）求直流电源的电动势 ；
（2）求两极板间磁场 磁的感应强度 ；
（3）在图中虚线 右的侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的
最小值 。
25.（2021届一中五月考）如图所示，离子源
产生某种质量为m、带电荷量为q的离子，离
子由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向
右运动，自M点沿圆形匀强磁场区域的半径方
向射入磁场，离子射出磁场后能通过M点正上
方的N点，已知圆形磁场区域的半径为r，磁
0
场的方向垂直于纸面，M、N两点间的距离为
。
（1）求离子从M点射入磁场的速度大小；
（2）求匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）求离子从M点运动到N点的时间。
6. （2023•乙卷）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，
方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。
一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的 S
点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收
l
屏上的P点；SP＝l，S与屏的距离为 ，与x轴的距离为a。
2
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E
的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的
比荷为（ ）
E E B B
A． B． C． D．
2aB2 aB2 2aE2 aE2
32．两线一点
1如图，宽为d的有界匀强磁场的边界为 、 ，一个质量为m，电量
为q的带电粒子，沿图方向以速度 垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使
粒子不能从边界 射出，粒子的入射速度 的最大值可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图所示，在一个直角三角形区域ABC内，存在方向垂直于纸面向
里、磁感应强度为B的匀强磁场，AC边长为3L，∠C=90°，
∠A=53°．一质量为m、电荷量为+q的粒子从AB边上距A点为L的D
点垂直于磁场边界AB射入匀强磁场，要使粒子从BC边射出磁场区域
（sin53°=0.8，cos53°=0.6），则（ ）
A．粒子速率应大于 B．粒子速率应小于
C．粒子速率应小于 D．粒子在磁场中最短的运动时间为
3.如图所示，在xOy平面的第二象限内有沿y轴负方向匀
强电场，电场强度的大小 ，第一象限某区域
内存在着一个边界为等边三角形的匀强磁场，磁场方向垂
直xOy平面向外。一比荷 的带正电粒子从x
轴上的P点射入电场，速度大小 ，与x轴
的夹角 。该粒子经电场偏转后，由y轴上的Q点
以垂直于y轴的方向进入磁场区域，经磁场偏转射出，后来恰好通过坐标原点O，且与x轴
负方向的夹角 ，不计粒子重力。求：
（1）OQ的长度？
（2）磁场的磁感应强度大小；
（3）等边三角形磁场区域的最小面积？
4.如图所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁
场，电场强度E=1.0×103V /m，方向未知，磁感应
强度B=1.0T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆
4形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B'(图中未画出).一质量m=1×10-14kg、电荷量
q=1×10-10C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一
象限，在第一象限内做直线运动，而后从B点进入磁场B'区域．一段时间后，粒子经过x
轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．已知A点坐标为(10,0)，C点坐标为(–30,0)，
不计粒子重力．
(1)求出粒子的速度v；
(2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B'；
(3)求第二象限磁场B'区域的最小面积．
5.如图所示平面直角坐标系中，P点在x轴上，其
坐标x= L，Q点在负y轴上某处。整个第Ⅰ象
p
限内有平行于y轴的匀强电场，第Ⅱ象限和第Ⅳ象
限内均有一圆形区城，其中第Ⅱ象限内的圆形区城
半径为L，与x轴相切于A点(A点坐标未知)。第
IV象限内的圆形区城未知，并且两个圆形区域内
均有垂直于xOy平面的相同的匀强磁场。电荷量为
+q、质量为m、速率为v 的粒子a从A点沿y轴正
0
方向射入圆形区域，射出圆形区域后沿x轴正方向
射入第I象限，通过P点后射入第IV象限；电荷
量为-q、质量为m、速率为 v 的粒子b从Q点向
0
与y轴成60°夹角的方向射入第IV象限，经过并离开未知圆形区域后与粒子a发生相向正
碰。不计粒子的重力和粒子间相互作用力。求：
(1)第Ⅱ象限内圆形区城磁场磁感应强度B的大小和方向
(2)第I象限内匀强电场的场强大小E和方向
(3)第IV象限内未知圆形磁场区域最小面积S
6.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标
(-l,0)，MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的
某区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场(图中未画出).现
有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x
轴正方向的初速度v 射入电场，并从y轴上A点(0,0.5l)射出电场，
0
5射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从矩形
√3l
有界磁场边界上Q点( ,-l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力，求：
6
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小和电子在磁场中运动的时间t；
(3)矩形有界匀强磁场区域的最小面积S ．
min
63.两线一R
1.如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一
个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度为v
0
沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M(2 )
点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强
磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负
方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面(纸面
)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
(1)电场强度的大小；
(2)粒子在匀强磁场中的运动时间；
(3)N点的坐标；
(4)矩形匀强磁场区域的最小面积.
2.如图所示，AB、CD是两块竖直放置且平行正对的矩形金属板，两板的长度与间距均为
l。将AB、CD分别与电压为U的直流电源正、负极相连接，a是两板上边缘连线的中点，b
是CD板中点处的一个小孔。在CD板所在平面的右侧纸面内某位置的正三角形（图中未画
出）中有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为 B。一个质量为m，电荷量为q的粒子从a点
竖直向下射入电场后恰好从CD板下边缘飞出。粒子从正三角形的同一个边进入和离开磁场，
并且会从小孔b再次进入电场，再次进入电场时的速度方向与CD板成45°向下，不计粒子
所受的重力。求：
（1）粒子从a点射入电场时速度的大小；
（2）正三角形面积最小时的边长。
73.（2022届一中四月考）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图甲所
示是离子注入工作原理示意图，一质量为m，电量为q的正离子经电场由静止加速后沿水
平虚线射入和射出速度选择器，然后通过磁场区域、电场区域偏转后注入处在水平面内的
晶圆（硅片）。速度选择器和磁场区域中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂
直纸面向外；速度选择器和电场区域中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上
和水平方向（沿x轴）。电场区域是一边长为L的正方形，其底边与晶圆所在水平面平行，
间距也为L（L< ）。当电场区域不加电场时，离子恰好通过电场区域上边界中点竖直
注入到晶圆上x轴的O点。整个系统置于真空中，不计离子重力。求：
（1）若虚线框内存在一圆形磁场，求圆形磁场的最小面积；
（2）若电场区域加如图乙所示的电场时（电场变化的周期为 ，沿x轴向右为正），
离子从电场区域飞出后，注入到晶圆所在水平面x轴上的范围。
84.（2020河西区2模）如图甲所示，平行金属板M、N相距为d，两板上所加交变电压U
MN
如图乙所示，U 未知)，紧邻两板右侧建有xOy坐标系，两板中线与x轴共线。现有大量质
0
量为m、电荷量为-e的电子以初速度v0平行于两板沿中线持续不断的射入两板间。已知
t=0时刻进入两板间的电子穿过两板间的电场的时间等于所加交变电压的周期T，出射速
度大小为2v ，且所有电子都能穿出两板，忽略电场的边缘效应及重力的影响，求：
0
（1）v 的大小；
0
（2）t=T/2时刻进入电场的电子打在y轴上的坐标；
(3)在y轴右侧有一个未知的有界磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向外。
从O点射出电场的电子经过磁场区域后恰好垂直于x轴向上通过坐标为(a,0)的P点，求B
的范围。
94.发散粒子源
1.如图所示，在矩形区域ABCD内有一垂直纸面向里的匀强磁场，AB=5
cm，AD=10cm，磁感应强度B=0.2T。在AD的中点P有一个发射正离子的装
置，能够连续不断地向纸面内的各个方向均匀地发射出速率为
v=1.0×105m/s的正离子，离子的质量m=2.0×10－12kg，电荷量q=1.0×10－
5C，离子的重力不计，不考虑离子之间的相互作用，则（ ）
A．从边界BC边飞出的离子中，BC中点飞出的离子在磁场中运动的时间最
短
B．边界AP段无离子飞出
C．从CD、BC边飞出的离子数之比为1∶2
D．若离子可从B、C两点飞出，则从B点和C点飞出的离子在磁场中运动的时间相等
2. （2023届红桥二模）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应
强度的大小 ，磁场内有一块足够长的平面感光板 ，板面与磁场方向平行，在
距 的距离 处，有一个点状的 放射源 ，它向各个方向发射 粒子， 粒子
的速度都是 ，（放射源 向平板作垂线交于板上 点）已知 粒子的电
荷与质量之比 ，现只考虑在图纸平面中运动的 粒子，画出偏转图并
求解。
（1） 粒子打到板上左端距 点的最远距离 。
（2） 粒子打到板上右端距 点的最远距离 。
103.如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d
处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度为v、电荷量为q，质量为
m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（ ）
A．粒子能打到板上的区域长度为2 d
B．能打到屏幕MN上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到屏幕MN上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到屏幕MN上的最大时间差为
4.（2022届一中三月考）如图所示，在xoy平面内的坐标原
点处，有一个粒子源，某一时刻以同一速率v发射大量带正电
的同种粒子，速度方向均在xoy平面内，且对称分布在x轴两
侧的30°角的范围内．在直线x=a与x=2a之间包括边界存在
匀强磁场，方向垂直于xoy平面向外，已知粒子在磁场中运动
的轨迹半径为2a．不计粒子重力及粒子间的相互作用力，下
列说法正确的是 ( )
2πa
A. 最先进入磁场的粒子在磁场中运动的时间为
3v
4πa
B. 最后从磁场中射出的粒子在磁场中运动的时间为
3v
7√3a
C. 最后从磁场中射出的粒子出场的位置坐标为（a, - ）
3
D. 最先进入和最后进入磁场中的粒子在磁场中运动的时间都相等
115.（2022河西三模）如图所示，原点 有一粒子源，能向 轴上方 平面内各方向发射
质量为 、电荷量为 的带正电粒子，粒子的初速度大小均相等，在 轴上方直线
与 （ 未知， ）之间存在垂直于 平面向外的有界匀强磁场，磁场的
磁感应强度大小为 ，已知射向第二象限、与 轴正方向成 角的粒子恰好垂直于磁场
上边界射出.粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计，求：
（1）粒子运动的初速度大小 ；
（2）粒子在磁场中运动时间最短且能从上边界射出，其发射时速度与 轴正方向夹角 的
正弦值；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间 及 取不同数值时，在磁场中运动时间最长的粒子
从磁场中射出时的出射点所构成图线的解析方程。
126.（2023届河西区一模）空间高能粒子是引起航天器异常或故障甚至失效的重要因素，是
危害空间生物的空间环境源。某同学设计了一个屏蔽高能粒子辐射的装置，如图所示，铅
盒左侧面中心O点有一放射源，放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ以速率v向外辐射质量
为m、电荷量为q的带正电高能粒子。铅盒右侧有一左右边界平行、磁感应强度大小为B、
方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，过O点的截面MNPQ位于垂直磁场的平面内，
OH⊥MQ， ∠MOH=∠QOH=60°。不计粒子所受重力，忽略粒子间的相互作用。
（1）求垂直磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t；
（2）若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，从而达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度 d
（结果可保留根号）。
7.如图所示，PP'和QQ'是两个同心圆弧，圆心为O，O、P、Q和O、P'、Q'分别共线，
∠NOQ=∠N'OQ'=30°，PP'和QQ'之间的区域内分布着辐射状的电场，U=25 V。MM'和
QP
NN'为有界匀强磁场的边界，MM'∥NN'，间距d=
m，磁场的磁感应强度大小为B=0.2 T，方向如图所
示。圆弧QQ'上均匀分布着质量为m=2×10-8kg、电荷
量为q=4×10-4C的带正电粒子，它们被辐射状的电场由
静止加速，之后进入磁场。不计粒子的重力以及粒子之
间的相互作用。
(1)求粒子刚进入磁场时的速度大小。
(2)求粒子从上边界MM'飞出磁场需要的最短时间。
(3)若要保证所有粒子都能到达置于磁场下边界NN'上适当位置的收集板上，则磁场上边界
MM'至少应向上平移多少?收集板至少多长?
138.如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无
数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过
P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆
弧的弧长是圆周长的。将磁感应强度的大小从原来的 B 变为B ，结果相应的
1 2
弧长变为原来的一半，则等于( )
A．2 B．3 C. D.
9.如图所示，圆形区域内存在一方向垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边
界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率v0在纸面内从P点沿不
同的方向射入磁场。已知圆形磁场区域的半径为R，磁感应强度大小为
B，带电粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子重力，则下列说法正确
的是 ( )
145.和圆边界相切
1.(2020年新课标3)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别
为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如
图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质
量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实
线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
3mv mv 3mv 3mv
A. B. C. D.
2ae ae 4ae 5ae
2.（2023届河西二模）如图所示，两平行金属板A、B长度为l，直流电源能提供的最大电
压为U，位于极板左侧中央的粒子源可以沿水平方向向右连续发射质量为m、电荷量为－
q、重力不计的带电粒子，射入板间的粒子速度均为v ，在极板右侧有一个垂直纸面向里的
0
匀强磁场，磁感应强度为B，分布在环带区域中，该环带的内外圆的圆心与两板间的中心
重合于O点，环带的内圆半径为R．当变阻器滑动触头滑至b点时，带电粒子恰能从右侧
1
极板边缘射向右侧磁场。
（1）问从板间右侧射出的粒子速度的最大值v 是多少?
m
（2）若粒子射出电场时，速度的反向延长线与v 所在直线交于O'点，试证明O'点与极板
0
l
右端边缘的水平距离x= ，即O'与O重合，所有粒子都好像从两板的中心射出一样；
2
（3）为使粒子不从磁场右侧穿出，求环带磁场的最小宽度d。
153.(2020届十二校一模)太阳喷发大量高能量带电粒子，这些粒子形成的“太阳风”接近地
球时，假如没有地磁场，“太阳风”就不会受到地磁场的作用发生偏转而直射地球。在这
种高能粒子的轰击下，地球的大气成份可能不是现在的样子，生命将无法存在。地磁场的
作用使得带电粒子不能径直到达地面，而是被“运到”地球的南北两极，南极光和北极光
就是带电粒子进入大气层的踪迹。假设太阳风主要成分质子,速度为约为 （c为真空光
速）。近似认为地磁场在赤道上空为匀强环形磁场，平均强度为 示意图如图
所示。已知地球半径为r=6400km。质子电荷量 质量 如太阳风
在赤道面内射向地球。太阳喷发大量高能量带电粒子，这些粒子形成的“太阳风”接近地
球时，假如
(1)太阳风中质子的速度的方向任意，则地磁场厚度d为多少时才能保证所有粒子都不能到
达地表？并画出与之对应的粒子在磁场中的轨迹图；(结果保留两位有效数字)
(2)太阳风中质子垂直地表指向地心方向入射，地磁场的厚度至少为多少才能使粒子不能
到达地表？并画出与之对应的粒子在磁场中的轨迹图；(结果保留两位有效数字)(s≪1时，
1
√1+s≈1+ s)
2
(3)太阳风中粒子的入射方向和入射点与地心连线的夹角为α，如图2，0<α<90°，磁场
厚度满足第(1)问中的要求为定值d。电子质量为m0，电荷量为-q，则电子不能到达地表
的最大速度和角度α的关系，并画出与之对应的粒子在磁场中的轨迹图。(图中磁场方向垂
直纸面)
164.（2022级新华中学高二月考）(18分)可控核聚变技术相对于核裂变技术具有原料丰富、
无排放无污染、固有安全性等优势，是未来能源发展的终极解决方案，现有一个控制粒子
运动的简化模型，如图所示，同一平面内存在两同心圆形边界，圆心在0点，半径分别为
R=1m、R=2m，中间侧形区域内没有磁场，只有环形区域内分布着方向垂直于纸面、磁感
1 2
应强度大小为B=0.4T的匀强磁场，在圆心O点有一可看成质点的粒子源，只在与磁场垂直
的平面内朝各个方向源源不断地放出相同种类的带正电的粒子、各粒子的速度大小不一定
q
相同，不计粒子重力、粒子间的相互作用和粒子同碰撞，不考虑相对论效应，粒子比荷
m
=2x108C/kg.
(1)沿垂直纸面向里方向看,粒子进入磁场后是顺时针方向运动还是逆时针方向运动;若某个
粒子的速度大小v=1.6x107m/s，则该粒子进入环形磁场区域后，在磁场中运动的轨道半径
1
r 多大；
1
(2)若刚好没有粒子穿出环形磁场的外圆形边界，求粒子在磁场中运动的最大速度；
(3)若在小圆R 内也加上相同的磁场，粒子源射出粒子的速度方向都只分布在与磁场垂直
1
的平面内，要使粒子源放出的所有粒子都不能穿出外 部
圆形磁场边界，且磁感应强度 B=0.4T不变，则粒子 源
放射的粒子最大速度不能超过多少?
175．科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。某同学为探
究带电粒子“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域∶匀强磁场的磁感应强度大小为
B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的
q
一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为 的带负电粒子，
m
粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求:
（1）粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值v ；
Am
（2）粒子源在O时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值t；
m
（3）粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值v 。
Pm
186.磁聚焦
1.如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子
质量为m，电荷量为－q，速率为v，不考虑粒子的重力及相互
0
间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框
内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度
mv 1
可以是（其中B＝ 0，A、C、D选项中曲线均为半径是L的
0 qL 4
L
圆弧，B选项中曲线为半径是 的圆）（ ）
2
A． B．
C． D．
2. (2019耀华中学校一模)如图所示，ABCD与MNPQ均为边长为l的
正方形区域，且A点为MN的中点。ABCD区域中存在有界的垂直纸
面方向匀强磁场，在整个MNPQ区域中存在图示方向的匀强电场。
质量为m、电荷量为e的电子以大小为v 的初速度垂直于BC射入
0
正方形ABCD区域，且都从A点进入电场，已知从C点进入磁场的
粒子在ABCD区城中运动时始终位于磁场中，不计电子重力，求：
（1）匀强磁场区城中磁感应强度B的大小和方向；
（2）要使所有粒子均能打在PQ边上，电场强度E至少为多大；
（1） ABCD区域中磁场面积的最小值是多少。
193.（2023届南开中学5月考）“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成，其
原理可简化为如图所示。辐射状的加速电场区域I边界为两个同心平行扇形弧面，O为圆
1
心，圆心角θ为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U，M为外圆弧的中点。
0
在紧靠O右侧有一圆形匀强磁场区域Ⅱ，圆心为O，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外
1 2
√2mU
且大小为B＝ 0，在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ．已知MOO和
1 2
qL2
PNQ为两条平行线，且与ON连线垂直。假设太空中漂浮着质量为m，电量为q的带正电粒
2
子，它们能均匀地吸附到AB弧面上，经电场从静止开始加速，然后从O进入磁场，并最终
1
到达PNQ板被收集，忽略一切万有引力和粒子之间作用力，已知从M点出发的粒子恰能到
达N点，求：
（1）粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小；
（2）从M点出发的粒子在磁场中运动的半径R；
（3）粒子到达收集板沿PQ方向的宽度。
204. （2021•湖南）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒
子流（每个粒子的质量为m、电荷量为+q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒
子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为2r 的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r）、半径为r
1 1 1
的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点 O，求该磁场磁感应强度
B 的大小；
1
（2）如图（a），虚线框为边长等于2r 的正方形，其几何中心位于C（0，﹣r ）。在虚
2 2
线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度
变为2r，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B 的大小和方向，以及该磁场区域的
2 2
面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r 的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r
3 4
的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为 2r 的
3
带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r ，
4
并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大
小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
217.磁场中的旋轮线运动
1.如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ间存在
相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为
B。在a点由静止释放一带正电的微粒，释放后微粒沿曲线acb
运动，到达b点时速度为零，c点是曲线上离MN板最远的点。已
知微粒的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，不计微粒所
受空气阻力，则下列说法中正确的是（）
A．微粒在a点时加速度方向竖直向下
B．微粒在c点时电势能最大
C．微粒运动过程中的最大速率为2（mg+qE）/qB
D．微粒到达b点后将沿原路径返回a点
2.（2022广东）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右
的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，
沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，
下列说法正确的有（ ）
A. 电子从N到P，电场力做正功 B. N点的电势高于P点的电势
C. 电子从M到N，洛伦兹力不做功
D. 电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
3.（2022全国甲卷）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（ 平
面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原
点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（ ）
A. B.
C D.
.
224.（2008江苏）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O 静止释
放，小球的运动曲线如图所示．已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x 轴距离的2倍，
重力加速度为g．求：
(1)小球运动到任意位置P(x，y)的速率
(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离y.
m
mg
E>
q
(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为E( )的匀强电场时，小球从O静止释放后
获得的最大速率 ．
235. （2021届和平区一模）如图所示为用质谱仪测定带电粒子比荷的装置示意图，它是由离
子室、加速电场、速度选择器和分离器四部分组成，已知速度选择器的两极板间的匀强电
场场强为E，匀强磁场磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，分离器中匀强磁场磁感应强
1
度为B ，方向垂直纸面向外，某次实验离子室内充有大量氢的同位素离子，经加速电场加
2
速后从速度选择器两极板间的中点O平行于极板进入，部分粒子通过小孔O’后进入分离器
的偏转磁场中，在底片上形成了对应于氕 、氘 、氚 三种离子的三个有一定宽度的
感光区域，测得第一片感光区域的中心P到O’点的距离为D ，不计离子的重力、不计离子
1
间的相互作用，不计小孔O’的孔径。
（1）打在感光区域中心P点的离子，在速度选择器中沿直线运动，试求该离子的速度v和
0
比荷 ；
（2）以 的速度从O点射入的离子，其在速度选择器中所做的运动为一个速度为
v的匀速直线运动和另一个速度为 的匀速圆周运动的合运动，试求该速度选择器极板的
0
最小长度L；
245、(2013福建)（20分）如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿加xoy平面入
射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。
（1）若粒子以初速度v 沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v 的大小；
1 1
（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角
1
θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；
（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速
度v 沿y轴正向发射．研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子
0
速度的x分量v 与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运
x
动过程中的最大速度值v．
m
256.(2011福建)（20分）如图甲，在x>0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于
xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为q(q＞0)的粒
子从坐标原点O处，以初速度v 沿x轴正方向射人，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的
0
质量。
（1） 求该粒子运动到y=h时的速度大小v;
（2） 现只改变人射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹
（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在 y轴方向
上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期 。
Ⅰ求粒子在一个周期 内，沿 轴方向前进的距离s；
Ⅱ当入射粒子的初速度大小为v 时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简
0
谐运动的振幅A,并写出y-t的函数表达式。
268.磁场中的递推关系(通项)
1.（2006全国2）（20分）如图所示，在x＜0与x＞0
的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 与B 的匀强
1 2
磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B ＞B 。一个带
1 2
负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，
要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B 与B 的比值
1 2
应满足什么条件？
2.如图所示，在xoy平面内y轴与MN边界之间有沿x轴负向的匀强电场，y轴左侧和MN边
界右侧的空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小相等的匀强磁场，MN边界与y轴平行且间
距保持不变。一质量为m。电荷量为-q的粒子以速度v 从坐标原点O沿x轴负方向射入磁
0
场，每次经过磁场的时间均为t，粒子重力不计。
0
（1）求磁感应强度的大小B．
（2）若t=5t 时粒子回到原点O，求电场区域的宽度d和此时的电场强度E．
0 0
（3）若带电粒子能够回到原点0，则电场强度E应满足什么条件？
273．（2021届南开区一模）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图
所示，材料表面上方矩形区域 充满竖直向下的匀强电场，宽为 d；矩形区域
充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，宽为s； 为磁场与电场之
间的薄隔离层。一个电荷量为e、质量为m、初速为零的电子，从P点开始被电场加速经隔
离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能
的10%。若最后电子仅能从磁场边界 飞出，不计电子所受重力。
（1）求电子第一次与第二次圆周运动半径之比：
（2）若电场强度取某值时，电子第三次进入磁场后恰能垂直 飞出，求电子在磁场区
域中运动的时间：
（3）若仅满足电子从磁场边界 飞出，求电场强度的取值范围。
284.（2014重庆卷）（18分）如题9图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，
同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度
大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有
P、Q两点，NS和MT间距为1.8h。质量为m、带电量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入
该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。
（1）求该电场强度的大小和方向。
（2）要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
（3）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。
295.（2022届河西区一模）如图所示的直角坐标系 中，在直线 到y轴之间的区域
内存在沿x轴正方向的匀强电场，场强大小为 。在y轴到直线 之间水平放置长为
的两金属板P、Q，两金属板正中间水平放置金属网G，金属网恰好在x轴上，P、Q、
G的尺寸相同。G接地，P、Q电势相等且大于零。在电场左边界上 A点 与B点
之间，连续分布着质量为m、电量为q且均处于静止状态的带正电粒子。若C点
的粒子由静止释放，在电场力作用下，第一次到x轴的位置为D ，不计粒
子的重力及它们间的相互作用。
（1）求C处粒子静止释放后到达y轴时的速度大小 ；
（2）求C处粒子从静止释放到第一次运动至其轨迹最低点所用的时间t；
（3）若粒子离开PQ板间电场时的位置与释放时的位置等高，求粒子释放时可能的位置坐
标。
306.（2018一中四月考）如图甲所示，平行正对金属板A、B 间距为 d，板长为 L，板面水
2
平，加电压后其间匀强电场的场强大小为 E= V/m，方向竖直向上。板间有周期性变化的
π
匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示，设磁感应强度垂直纸面向里为
正方向。t=0 时刻，一带电粒子从电场左侧靠近 B 板处（粒子与极板不接触）以水平向右
的初速度 v 0 开始做匀速直线运动．己知 B 1 =0.2T，B 2 =0.1T，g=10m/s 2 ．
（1）判断粒子的电性并求出粒子的比荷；
（2）若从 t 时刻起，经过3s 的时间粒子速度再次变为水平向右，则 t 至少多大；
0 0
（3）若 t =2/π s，要使粒子不与金属板 A 碰撞且恰能平行向右到达A 的右端，试求 d
0
与
L 比值的最大值 k 与最小值 k ，并求比值的取值范围△k 的最大值。
max min
317.(2020一中三月考)如图(a)所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在
同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电量为+q的a
水平向右，不带电的b竖直向上。b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，
瞬间结合成油滴p。忽略空气阻力，重力加速度为g。求
(1)油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离；
(2)匀强电场的场强及油滴a、b结合为P后瞬间的速度
(3)若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t=0时刻，同时在该矩形区域加一个
垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图(b)所示，磁场变化周期为T(垂
0
直纸面向外为正)，已知P始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。(忽略磁场突
变的影响)
328.（2022滨海七校）如图甲所示，以两虚线M、N为边界，中间存在平行纸面且与边界垂
直的电场，M、N间电压U 的变化图像如图乙所示，电压的最大值为U、周期为T；M、N
MN 0 0
两侧为相同的匀强磁场区域I、II，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均为B。t = 0时，
将一带正电的粒子从边界线M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场
中做圆周运动的周期也为T 。两虚线M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间忽略不计，
0
也不考虑粒子所受的重力。
（1）求该粒子的比荷 ；
（2）求粒子第1次和第3次到达磁场区域I的左边界线N的两位置间的距离Δd；
（3）若粒子的质量增加为 倍，电荷量不变，t = 0时，将其在A处由静止释放，求
t=2T时粒子的速度v 。
0
339.洛伦兹力分力冲量
1.（2015天津）（20分）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存
在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强
度为E，方向水平向右；磁感应强度为，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行
且与电场方向垂直。一个质量为m，电荷量为q的带正电例子在第1层电场左侧边界某处由
静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射，
求：
（1）粒子在第2层磁场中的运动时速度V2的大小与轨迹半径r2；
（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为 ，试求 ；
（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入
第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之
342.(2019天津五校联考2模)(20分)如图所示，在xOy平面坐标系中，x轴上方存在电场强
E=100V/m、方向沿y轴负方向的匀强电场；虚线PQ与x轴平行，在x轴与PQ之间存在着磁
感应强度为B=20T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场宽度为d。一个质量m=2×10-
5kg、电荷量q=+1.0×10-5C的粒子从y轴上（0,1）的位置以v=10m/s的初速度沿x轴正方
0
向射入匀强电场，不计粒子的重力。求：
（1）粒子第一次进入磁场时速度的大小和方向；
（2）若磁场宽度足够大，粒子第一次射出磁场时的位置；
（3）若粒子可以以不同大小的初速度水平射入电场，要使所有粒子都能经磁场返回，磁场
的最小宽度是多少。
353.(2019天津一中四月考)如图所示，磁感应强度为B的条形匀强磁场区域的宽度都是d，
1
相邻磁场区域的间距均为d，x轴的正上方有一电场强度为E、方向与x轴和磁场均垂直的
2
匀强电场区域。现将质量为m、带电荷量为+q的粒子(重力忽略不计)从x轴正上方高h处
自由释放。
（1）求粒子在磁场区域做圆周运动的轨迹半径r。
（2）若粒子只经过第1个和第2个磁场区域回到x轴，则粒子在磁场中的运动时间为多
少？
（3）若粒子以初速度v 从高h处沿x轴正方向水平射出后，最远到达第k个磁场区域并回
0
到x轴,则d、d 如应该满足什么条件？
1 2
364. 如图所示，在真空中沿竖直方向分布着许多足够大的、水平放置的金属网（厚度不计），
编号为1，2，3，……，相邻的网间距离都为 。金属网间存在方向竖直（交替反
向）的匀强电场，场强大小为 。一质量 、电量 的带正
电微粒，在 时从1号金属网处由静止释放开始运动，若微粒经过任意金属网时都能从
网孔中无机械能损失的自由穿过。重力加速度 。
(1)求微粒穿过3号金属网时的速度大小及从1号到3号金属网所用的时间。
(2)若维持电场不变，在2~3、4~5、6~7、……网间再加上磁感应强度 、方向垂直于
纸面向里的匀强磁场（图中未画出），仍让微粒从1号金属网处静止释放，求微粒穿过3
号金属网时的速度大小及从1号到3号金属网所用的时间。
(3)保持(2)中条件不变，求该微粒可到达的金属网的编号最大值。
375.（2022十二校一模）质谱仪是一种分离和检测同位素的重要工具，其结构原理如图所示。
区域 Ⅰ 为粒子加速器，加速电压为U(未知)；区域 Ⅱ 为速度选择器，磁感应强度大小
1
为B，方向垂直纸面向里，电场方向水平向左，板间电压为U，板间距离为d；区域 Ⅲ 为
1 2
1 H
偏转分离器，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。让氢的两种同位素氕核1 和氘
2
2 H 1 H 1 H
核1 ，从同一位置A由静止出发进入区域Ⅰ，设氕核1 的质量为m，若氕核1 恰好沿
图中虚线经区域 Ⅱ 从边界线MN上的O点射入区域 Ⅲ，击中位于边界线MN的照相底片的P
点。忽略空气阻力、粒子重力及粒子间相互作用力。
1 H
（1）求氕核1 进入区域 Ⅱ 的速度v的大小；
2 H
（2）现将区域 I 和 Ⅱ 的电压分别进行调节，使氘核1 经区域 Ⅱ 同样沿直线从O点射
入区域 Ⅲ，也恰好击中位于边界线MN的照相底片的P点，求区域 I 和 Ⅱ 前后两次电压
U U
1 2
U ' U '
1 和 2 的比值；
2 H
（3）如果保持区域 I 和区域 Ⅱ 的板间电压U(未知)、U 不变，氘核1 可以从区域Ⅱ飞
1 2
2 H 2 H
出，请简要分析说明氘核1 是从O点左侧还是右侧通过边界线MN？测得氘核1 通过边
√2mU
d'= 2
qdB 2 H
界MN时离O点的距离为 1 2 ，求氘核1 离开区域 Ⅱ 时垂直于照相底片边界线
MN的速度竖直分量v。
y
38(2020和平2模)在现代科学实验室中，经常用磁场来控制带电粒子的运动。某仪器的内部
结构简化如图：足够长的条形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ宽度均为L，边界水平，相距也为L，磁场方
向相反且垂直于纸面，Ⅰ区紧密相邻的足够长匀强电场，方向竖直向下，宽度为 d，场强E
＝。一质量为m，电量为＋q的粒子(重力不计)以速度v平行于纸面从电场上边界水平射入
0
电场，并由A点射入磁场Ⅰ区(图中未标出A点)。不计空气阻力。
（1）当B＝B时，粒子从Ⅰ区下边界射出时速度方向与边界夹角为 60°，求B的大小及
1 0 0
粒子在Ⅰ区运动的时间t；
（2）若B＝B＝B，求粒子从Ⅱ区射出时速度方向相对射入Ⅰ区时速度方向的侧移量h；
2 1 0
（3）若B＝B，且Ⅱ区的宽度可变，为使粒子经Ⅱ区恰能返回A点，求Ⅱ区的宽度最小值
1 0
L和B的大小。
x 2
3910.回旋粒子加速器
1.多级加速器原理如图甲所示，多个横截面积相同的金属圆筒 0,1,2,3…n依次排列，其中
心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。圆筒和交变电源两极交替相
连，交变电压变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，
此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子，在电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲
进圆筒。若已知电子的质量为m、电子电荷量为e，电压的绝对值为u，周期为T，电子通
过圆筒间隙的时间忽略不计，为使其能不断加速，下列说法正确的是（ ）
A.金属导体内部场强处处为零，电子在圆筒内匀速运动
B.若电子穿越某个圆筒的时间恰好为0.5T,则电子能不断加速
C.第n个圆筒的长度正比于(2n-1)
D.第n个圆筒的长度正比于
2.（2023届南开中学二月考）多级串线加速器原理如图甲所示，多个横截面积相同的金属
圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。圆筒和
交变电源两极交替相连，交变电压变化规律如图乙所示，在 时，奇数圆筒相对偶数圆
筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子，在电场中由静止开始
加速，沿中心轴线冲进圆筒。若已知电子的质量为m、电子电荷量为e、电压的绝对值为
u，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计。为使其能不断加速，下列说法正确的是
（ ）
A. 金属导体内部场强处处为零，电子在圆筒内匀速运动
B. 时，电子刚从3号圆筒中心出来
40C. 第n个圆筒的长度正比于
D. 第 个圆筒的长度正比于
3.(2005天津)正电子发射计算机断层（PET）是分子水平上的人体
功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。
（1）PET在心脏疾病诊疗中，需要使用放射正电子的同位素氮13
导向板
示踪剂。氮13是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得 × B× × ×
的，反应中同还产生另一个粒子，试写出该核反应方程。
（2）PET所用回旋加速器示意如图，其中置于高真空中的金属D × × × ×
形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源 S
S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示。质子质量为m，电 × × × ×
荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，质子
在加速器中运动的总时间为t（其中已略去了质子在加速电场中的 × × × ×
运动时间），质子在电场中的加速次数与加旋半周的次数相同，加
d
速电子时的电压大小可视为不变。求此时加速器所需的高频电源频
率f和加速电压U。
高频电源
（3）试推证当R>>d时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的总时间可忽
略不计（质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）。
414、(2011天津)回旋加速器在核科学、核技术、核医学
等高新科技领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科
学技术的发展。
（1） 当今医学影像诊断设备PET/CT堪称“现在医学
高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放
射正电子的同位素碳11作示踪原子。碳11是
由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮 14获
得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程。
若碳11的半衰期t为20min，经2.0h剩余碳11的质量占原来的百分之几？（结果
取2位有效数字）
（2） 回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在
电压一定、频率为f的交流电源上，位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子
（初速度可以忽略，重力不计）它们在两盒之间被电场加速，D1、D2置于与盒面
垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。若质子束从回旋加速器输出时平均功率为
P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中的运
动时间，其最大速度远小于光速）
（3） 试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨
道的半径之差Δr是增大、减小还是不变？
425.（2022届南开中学高三3月考）回旋加速器在核科学、
核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推
动了现代科学技术的发展．回旋加速器的原理如图所示，D
1
和D 是两个正对的中空半圆金属盒，它们的半径均为R，且
2
分别接在电压一定的交流电源两端，可在两金属盒之间的狭
缝处形成变化的加速电场，两金属盒处于与盒面垂直、磁感
应强度为B的匀强磁场中．A点处的粒子源能不断产生带电
粒子，它们在两盒之间被电场加速后在金属盒内的磁场中做
匀速圆周运动．调节交流电源的频率，使得每当带电粒子运
动到两金属盒之间的狭缝边缘时恰好改变加速电场的方向，
从而保证带电粒子能在两金属盒之间狭缝处总被加速，且最终都能沿位于D 盒边缘的C口
2
射出．该回旋加速器可将原来静止的α粒子（氦的原子核）加速到最大速率v，使它获得
的最大动能为E ．若带电粒子在A点的初速度、所受重力、通过狭缝的时间及C口的口径
k
大小均可忽略不计，且不考虑相对论效应，则用该回旋加速器( )
A．加速质子的总次数与加速α粒子总次数之比为2：1
D．能使原来静止的质子获得的最大速率为 v
B．能使原来静止的质子获得的动能为E
k
C．加速质子的交流电场频率与加速α粒子的交流电场频率之比为1：1
436.（2016江苏）回旋加速器的工作原理如题15-1图所示，置于真空中的D形金属盒半径为
R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为
m，电荷量为+q，加在狭缝间的交变电压如题15-2图所示，电压值的大小为U。周期T=
0
2πm T
qB 2
。一束该种粒子在t=0~ 时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零。现考虑
粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子
间的相互作用。求：
E
（1）出射粒子的动能 m；
E t
（2）粒子从飘入狭缝至动能达到 m所需的总时间 0；
（3）要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d应满足的条件.
447.（2023届一中五月考）回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于高真空中的D形金属盒
半径为R，两盒间距很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计｡磁感应强度为 的匀强磁场
与盒面垂直｡圆心O处粒子源产生的粒子，质量为m､电荷量为+q，在加速器中被加速，加
速电压u随时间的变化关系如图乙所示，其中 。加速过程中不考虑相对论效应和
变化电场对磁场分布的影响，不计粒子的重力｡
（1）粒子从静止开始被加速，估算该离子离开加速器时获得的动能 ；
（2）若 时粒子从静止开始被加速，求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；
（3）实际使用中，磁感应强度B会出现波动，若在 时产生的粒子第一次被加速，
要实现连续n次加速，求B可波动的最大范围｡
（4）实际上，带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心并不是金属盒的圆心O，而且在不断的
变动。设粒子从静止开始被加速，第一次加速后在磁场中做圆周运动的圆心 到O的距离
为 （r已知），第二次加速后做圆周运动的圆心 到O的距离为 ，求n次加速后做
圆周运动的圆心 到O的距离 ；
4511. 立体空间三维偏转
1.（2023届十二校二模）（18分）在电子工业中，离子注入成为了微电子工艺中一种重要
的掺杂技术，利用磁场、电场可以实现离子的分离和注入．某同学设想的一种离子分离与
注入原理如图所示．空间直角坐标系 中，x轴正半轴上放置有足够长涂有荧光物质的
细棒，有离子击中的点会发出荧光．在 平面的上方分布有沿y轴正向的匀强磁场，磁
感应强度为B．一发射带正电离子的离子源置于坐标原点O，只在 平面内不断射出速率
均为v的离子，速度方向分布在z轴两侧各为 角的范围内，且沿各个方向的离子个
数均匀分布，包含有电量相同，质量分别为m和 的两种离子．发现x轴上出现两条亮
线，可确认击中右侧亮线最右端的是沿z轴正向射入磁场的质量为m的离子，且右侧亮线
最右端到O点的距离为L．不计离子间的相互作用力和离子重力，整个装置置于真空中．
（1）求离子的电量q；
（2）若磁感应强度在 范围内波动（k小于0.5，波动周期远大于离子
在磁场中的运动时间），要使x轴上的两条亮线某时刻恰好能连接成一条亮线，求k值；
（3）若某段时间内磁感应强度恒为B， 角增为 ，离子源只发出质量为m的离子．在
平面的上方再施加沿y轴正向的匀强电场，电场强度为E，在 平面上某点（O点
除外）垂直离子速度方向放置待注入离子的某种材料小圆板（忽略大小），可得到最大注
入深度，若离子进入该材料过程中受到的阻力恒为其速度的k倍，求该最大深度d
462.（2023届河北区二模）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中
间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N
的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场
强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量
始终为零，沿x和y方向的分量 和 随时间周期性变化规律如图乙所示，图中 可调。
氙离子（ ）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场
区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速
度为v。已知单个离子的质量为m、电荷量为 ，忽略离子间的相互作用，且射出的离子
0
总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v；
S
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节 的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷
口后端面P射出，求 的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数
为n，且 。求图乙中 时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
473.（2022河北区一模）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，
两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，
M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，
向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，
竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向
的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷
量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点
（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。
(1) 求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；
(2) 求粒子打到记录板上位置的x坐标；
(3) 求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）；
(4) 如图乙所示，在记录板上得到三个点s、s、s，若这三个点是质子 、氚核 、氦
1 2 3
核 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写
出推导过程）。
484.（2022届一中三月考）如图所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间
有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的
中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强
为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，氙离子（Xe2+）束从离子源小孔
S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离
子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v。已知单个离子的质量为m、
0
电荷量为2e，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v ；
s
（2）若空间只存在沿x轴正方向磁场，为了使从小孔S射出的粒子均能从喷口后端P射出，
则磁感应强度B 的最大值是多少？
x
（3）若空间同时存在沿x轴正方向和沿y轴正方向的磁场且磁感应强度大小均为B(未知)，
试回答下列问题：
①为了使从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，则磁感应强度B的最大值是多少？
√2mv
②设B= 0 ，单位时间从端面P射出的离子数为n，求离子束对推进器作用力沿z轴
5eL
方向的分力大小。
495. （2010天津）质谱分析技术已广泛应用于各前沿科学领域。汤姆孙发现电子的质谱装置
示意如图，M、N为两块水平放置的平行金属极板，
板长为L，板右端到屏的距离为D，且D远大于L，
O’O为垂直于屏的中心轴线，不计离子重力和离
子在板间偏离O’O的距离。以屏中心O为原点建
立xOy直角坐标系，其中x轴沿水平方向，y轴沿
竖直方向。
（1）设一个质量为m 、电荷量为q 的正离子以速
0 0
度v 沿O’O的方向从O’点射入，板间不加电场和磁场时，离子打在屏上O点。若在两极
0
板间加一沿+y方向场强为E的匀强电场，求离子射到屏上时偏离O点的距离y;
0
(2)假设你利用该装置探究未知离子，试依照以下实验结果计算未知离子的质量数。
上述装置中，保留原电场，再在板间加沿-y方向的匀强磁场。现有电荷量相同的两种正离
子组成的离子流，仍从O’点沿O’O方向射入，屏上出现两条亮线。在两线上取y坐标相
同的两个光点，对应的x坐标分别为3.24mm和3.00mm，其中x坐标大的光点是碳12离子
击中屏产生的，另一光点是未知离子产生的。尽管入射离子速度不完全相同，但入射速度
都很大，且在板间运动时O’O方向的分速度总是远大于x方向和y方向的分速度。
506.（2022一中五月考）2021年5月28日凌晨，中科院合肥物质科学研究院的全超导托卡
马克核聚变实验装置创造新的世界纪录，成功实现可重复的1.2 亿摄氏度101秒和1.6亿
摄氏度20秒等离子体运行。托卡马克装置是利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器(如
图甲)。简化的模拟磁场如图乙所示，半径为R的足够长水平圆柱形区域内，分布着水平向
右的匀强磁场I，磁感应强度大小为B，磁场I所在区域外侧分布有厚度为L的环形磁场
BR
II，其磁感应强度大小为 ，且大小处处相同，方向与磁场I中磁场方向垂直，其横截
L
面图与纵截面图分别如图丙、丁所示。某时刻氘原子核（已知氘原子核质量为m，电荷量
为q）从磁场I最低点以速度v（未知）竖直向下射入磁场II，氘原子核 恰好不能飞出磁
场区域，不计粒子的重力和空气阻力，不考虑相对论效应。求:
（1）氘原子核射入环形磁场II的速度v的大小;
（2）氘原子核从磁场I最低点第一次射入磁场II到第二次射入磁场II前的路程为多少;
（3）该氘原子核从磁场I最低处出发后第N（N为正整数）次回到磁场I最低处需要的时
间。
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