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专题 11 平面向量
1．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(−2,4)，则|⃑a−⃑b|（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得⃑a−⃑b，然后求得|⃑a−⃑b|.
【详解】
因为⃑a−⃑b=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|⃑a−⃑b|=√42+(−3) 2=5.
故选：D
2．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=
（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
2
解：∵|⃗a−2⃗b|2=|⃗a|2−4⃗a⋅⃗b+4|⃗b|，
又∵|⃗a|=1,|⃗b|=√3,|⃗a−2⃗b|=3,
∴9=1−4⃗a⋅⃗b+4×3=13−4⃗a⋅⃗b，
∴⃗a⋅⃗b=1
故选：C.
3．【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记
⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB=（ ）
A．3⃗m−2⃗n B．−2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n
【答案】B
【解析】【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，BD=2DA，所以⃑BD=2⃑DA，即⃑CD−⃑CB=2(⃑CA−⃑CD)，
所以⃑CB= 3⃑CD−2⃑CA=3⃑n−2⃑m =−2⃗m+3⃗n．
故选：B．
4．【2022年新高考2卷】已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c=⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则
t=（ ）
A．−6 B．−5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
9+3t+16 3+t
解：⃗c=(3+t,4),cos⟨⃗a,⃗c⟩=cos⟨b,⃗c⟩,即 = ,解得t=5,
5|⃗c| |⃗c|
故选：C
5．【2020年新课标2卷文科】已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与
垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判
断即可.
【详解】
由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平
面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6．【2020年新课标3卷理科】已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】
， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的
计算，考查计算能力，属于中等题.
7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围
是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】
该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数
量积的定义式，属于简单题目.8．【2020年新高考2卷（海南卷）】在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查的是向量的加减法，较简单.
9．【2019年新课标1卷理科】已知非零向量 满足 ，且 ，则 与
的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、
数学计算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹
角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，
所以 与 的夹角为 ，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹
角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
10．【2019年新课标2卷理科】已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A．-3 B．-2
C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】
由 ， ，得 ，则 ，
．故选C．
【点睛】
本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
11．【2019年新课标2卷文科】已知向量 ，则
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【解析】【分析】
本题先计算 ，再根据模的概念求出 ．
【详解】
由已知， ，
所以 ，
故选A
【点睛】
本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由
于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中
出错．
12．【2018年新课标1卷理科】在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，
则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后
应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到
，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得，
所以 ，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、
向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认
真对待每一步运算.
13．【2018年新课标2卷理科】已知向量 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
14．【2021年新高考1卷】已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据
向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
同理 ，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
15．【2022年全国甲卷】已知向量⃑a=(m,3),⃑b=(1,m+1)．若⃑a⊥⃑b，则m=
______________．3
【答案】− ##−0.75
4
【解析】
【分析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
3
由题意知：⃑a⋅⃑b=m+3(m+1)=0，解得m=− .
4
3
故答案为：− .
4
1
16．【2022年全国甲卷】设向量⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则
3
(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=_________．
【答案】11
【解析】
【分析】
1
设⃑a与⃑b的夹角为θ，依题意可得cosθ= ，再根据数量积的定义求出⃑a⋅⃑b，最后根据数量
3
积的运算律计算可得．
【详解】
1 1
解：设⃑a与⃑b的夹角为θ，因为⃑a与⃑b的夹角的余弦值为 ，即cosθ= ，
3 3
1
又|⃑a|=1，|⃑b|=3，所以⃑a⋅⃑b=|⃑a|⋅|⃑b|cosθ=1×3× =1，
3
所以(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=2⃑a⋅⃑b+⃑b2=2⃑a⋅⃑b+|⃑b| 2 =2×1+32=11．
故答案为：11．
17．【2021年甲卷文科】若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】
∵
∴
∴ .
故答案为： .
18．【2021年甲卷理科】已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】
,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
19．【2021年乙卷文科】已知向量 ，若 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
20．【2021年乙卷理科】已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
21．【2021年新高考2卷】已知向量 ， ， ，
_______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
22．【2020年新课标1卷理科】设 为单位向量，且 ，则
______________.
【答案】
【解析】
【分析】
整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变
形可得： ，问题得解.
【详解】
因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
23．【2020年新课标1卷文科】设向量 ，若 ，则______________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】
由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
24．【2020年新课标2卷理科】已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则
k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】
由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在
考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．【2019年新课标3卷理科】已知 为单位向量，且 =0，若 ，则
___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据 结合向量夹角公式求出 ，进一步求出结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
，所以 ，
所以 ．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转
化思想得出答案．
26．【2019年新课标3卷文科】已知向量 ，则 ___________.
【答案】【解析】
【分析】
根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】
．
【点睛】
本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
27．【2018年新课标3卷理科】已知向量 ， ， ．若 ，
则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】
由题可得
,即
故答案为
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
