文档内容
专题 12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
目 录
01 倍长定比分线模型...........................................................................................................................2
02 倍角定理..........................................................................................................................................3
03 角平分线模型..................................................................................................................................4
04 隐圆问题..........................................................................................................................................6
05 正切比值与和差问题.......................................................................................................................7
06 四边形定值和最值...........................................................................................................................8
07 边角特殊，构建坐标系.................................................................................................................10
08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题.........................................................12
09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围............................................................................13
10 三角形中的几何计算.....................................................................................................................17
11 三角形的形状判定.........................................................................................................................1801 倍长定比分线模型
1．（2023·四川成都·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 是
的中点， ，则 ， .
2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在① ，②
，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在 中，内角 的对边分别为 ，且满足____．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 在边 上，且 ， ，求 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在① ，② ，③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 ，D在边AC上，且CD= CA，求BD的最小值．
4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 为边上的中线，已知 ， ， ．
(1)求边 、 的长度；
(2)求 的面积；
(3)点 为 上一点， ，过点 的直线与边 、 （不含端点）分别交于 、 ．若
，求 的值．
02 倍角定理
5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且________．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，
．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的取值范围．
7．（2023·湖南·高三校联考期末）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且
.
(1)证明： ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
03 角平分线模型
8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
(1)求角 和角 之间的等式关系；
(2)若 ， 为 的角平分线，且 ， 的面积为 ，求 的长．
9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分
别a，b，c，且(1)求角A的值；
(2)若 ，BC边上的中线长为1， 为角A的角平分线，求 的长．
10．（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积记为S，已
知 ， ．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
11．（2023•甲卷）在 中， ， ， ， 为 上一点， 为 的平
分线，则 ．
12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ， ， 的角平分线交BC于点D，求 的长．
13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知， ．
(1)求边b的长；
(2)延长BC至D，使得 ，连接AD．已知 为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若
外接圆半径为 ．求 长．
04 隐圆问题
14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作
《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他
证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆
称为阿氏圆现有 ， ， ，则当 的面积最大时，它的内切圆的半径为 .
15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世
界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平
面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有 ，
，当 的面积最大时，则 的长为 .
16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓
氏命名的
“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数 的动点轨迹”，设 的角A，
B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点， 的一个阿氏圆上，且 ， 的面积为 ，则 .
17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为 ，则三角形的面积为
，其中 .这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯
（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数
（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知 中， ，则
面积的最大值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．2
05 正切比值与和差问题
18．（2023·江苏南京·高三金陵中学校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为
a，b，c．R为△ABC外接圆半径．
（1）若R＝1，且满足 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的最小值．
19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ， ，则（ ）
A． B．C． 的面积为 D． 的周长为
20．（2023·湖北·统考一模）锐角 中，角A所对的边为 ， 的面积 ，给出以下结论：①
；② ；③ ；
④ 有最小值8.其中结论正确的是
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的值．
06 四边形定值和最值
22．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅
游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长
廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中
P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、
观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设 ．(1)当 时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；
(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是
否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时 的值；若没有，请说明理由．
23．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平面四边形 中， ， ， ，
.
(1)若 ，求 的面积.
(2)求 的最大值.
24．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
满足 .
(1)求 的大小；
(2)如图， ，在直线 的右侧取点 ，使得 ，求 为何值时，四边形 面积
的最大，并求出该最大值．25．（2023·辽宁·高三统考期中）如图，已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ， ．
(1)求 ；
(2) 是 外一点，连接 ， 构成平面四边形 ，若 ，求 的最大值．
26．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意
图，在 四个点分别建造了供老年人活动的器械. 四个点所围成的四边形即为老年人的活
动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了 ， ， ， ， ， 六条步行道，其中
， ， ， .设 ， ， 为四边形 的面积.
(1)若 ，求 的值:
(2)求 的最大值，并求 取到最大值时 的值.27．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园
音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求 ， ，
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，四边形ABCD面积为4，求 的值．
07 边角特殊，构建坐标系
28．（2023·江苏南京·统考一模）在△ABC中，角 所对的边分别为 ．若 ，
则△ABC的面积的最大值为 ．
29．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ．若 ，在
所在的平面内存在点 ，使得 ，则 的面积的最大值为 ．
30．（2023·河北张家口·高三统考开学考试）在 中， ， 为 边上的中线， ，
则该三角形面积最大值为 ．
31．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在 中，内角 所对的三边分别为 ，
且 ，若 的面积为 ，则 的最小值是 .32．（2023·全国·高三专题练习） 为等边 内一动点，且 ，则 的最小值为 ．
33．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）正三角形 中， 为 中点， 为三角形内满足
的动点，则 最小值为 .
34．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为
，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
35．（2023·福建·统考模拟预测）在 中， ， ， ， 为 所在平面上的一
点， ，则 的最大值为（ ）
A． B．25 C． D．
08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
36．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在 中， 所对的边分别为 ，且
，
(1)求 ；(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）已知函数
(1)当 ，求 的最值，及取最值时对应的 的值；
(2)在 中， 为锐角，且 ，求 的面积．
38．（2023·四川甘孜·统考一模）已知① ，② ，③
，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在 中，内
角 的对边分别为 ，并且满足__________.
(1)求角 ；
(2)若 为角 的平分线，点 在 上，且 ，求 的面积.
39．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若 的面积为 ，求a的最小值；
(2)若 ，BC边上的中线长为 ，且 的外接圆半径为 ，求 的周长．
40．（2023·江西上饶·高三校联考期末）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任
意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
的顶点”.如图，在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .以
AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， .
(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
41．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
42．（2022•上海）如图，在同一平面上， ， ， 为 中点，曲线 上任一点到
距离相等，角 ， ， 关于 对称， ；
（1）若点 与点 重合，求 的大小；
（2） 在何位置，求五边形 面积 的最大值．
43．（2020•新课标Ⅱ） 中， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 周长的最大值．44．（2022•新高考Ⅰ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
45．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为钝角三角形，且 ，求 的取值范围.
46．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且a，b， 成等比数列．
(1)若 ，求角C；
(2)若 的面积为S，求 的取值范围．
47．（2023·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角 的垂心， 为三角形
的三条高线，且满足 .(1)求 的值.
(2)求 的取值范围.
48．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形 中，
为边 的中点．
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的最大值．
49．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
.
(1)若 ，求 ；(2)求 的最大值.
50．（2023·山东青岛·高三统考期中）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
．
(1)若 ，求C；
(2)若 ，且 ，求 的最小值．
10 三角形中的几何计算
51．（2023·广东汕头·高三统考期中）在凸四边形 中，对角线 交于点 ，且
.
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求边 的长.52．（2023·河南·高三内黄县第一中学校联考阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角
的平分线，CB与AD相交于点O， ， ， .
(1)求CO的长；
(2)若 ，求 的面积.
53．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）在 中， ， 的面积为 ， 为
的中点， 于点 于点 .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的值.11 三角形的形状判定
54．（2023·全国·高三专题练习）设△ 的三边长为 ， ， ，若 ，
，则△ 是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
55．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高三海拉尔第一中学校考阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，
且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形或直角三角形
56．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，则 为（ ）
A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
