文档文本内容
专题 12 解三角形
【考纲要求】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
一、正弦定理和余弦定理
【思维导图】
【考点总结】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
＝＝＝2R
内容 b2＝c2＋a2－2cacos_B；
(R为△ABC外接圆半径)
c2＝a2＋b2－2abcos_C
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
cos A＝；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
变形形式 cos B＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
cos C＝
＝
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
【常用结论】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acosB．
二、解三角形的综合应用
【思维导图】
【考点总结】
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
常用结论
测量中的几种常见问题求AB 图形 需要测量的元素 解法
∠ACB＝α 解直角三角形AB＝atan
底部可达
求竖 BC＝a α
直高
∠ACB＝α
度 底部不可 解两个直角三角形AB＝
∠ADB＝β
达
CD＝a
∠ACB＝α
山两侧 AC＝b 用余弦定理AB＝
BC＝a
∠ACB＝α
用正弦定理
河两岸 ∠ABC＝β
求水 AB＝
CB＝a
平距
在△ADC中，
离
∠ADC＝α
AC＝
∠BDC＝β
在△BDC中，
河对岸 ∠BCD＝δ
BC＝
∠ACD＝γ
在△ABC中，应用余弦定
CD＝a
理求AB
【题型汇编】
题型一：正弦定理
题型二：余弦定理
题型三：三角形的面积公式
题型四：解三角形的实际应用
【题型讲解】
题型一：正弦定理
一、单选题
1．（2022·江西南昌·二模（理））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
，则 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．3【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 ，由正弦定理 ，化简计算可得.
【详解】
解： 中，因为 ，所以 ，由正弦定理 得 ，化简得 6.
故选：B.
2．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知 ，内角 的对边分别是
，则 等于（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据正弦定理求解即可．
【详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
由正弦定理 得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题．
3．（2022·江西·二模（文））设在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的 不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理计算可得；
【详解】
解：由正弦定理 ，即 ，所以 ，
因为 不唯一，即 有两解，所以 且 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ；
故选：A
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且 ，则A=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的关系、两角和的正弦公式、诱导公式和正弦定理化简计算可得 ，进而即可
求出A.
【详解】由题意知，
，
，
，
，
由正弦定理，得 ，
又 ，所以 ，
即 ，由 ，得 .
故选：D
5．（2022·陕西西安·三模（文））在 中，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
运用同角平方关系可求 ，然后利用正弦定理，计算即可得到 ．
【详解】
解： ， ， ，
，
由正弦定理可得， ，．
故选：D．
6．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
△
，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理边化角，再结合正弦的和角公式求出 ，进而求出角A.
【详解】
由 得 ，由正弦定理得
，又 ，
得 ， .
故选：A.
7．（2022·贵州黔东南·一模（理））设a，b，c分别为 内角A，B，C的对边．已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理得到 ，确定B为锐角，利用同角三角函数的平方关系求出结果.
【详解】
因为 ，所以由正弦定理得 ，则 ，又因为 ，所以
，所以 ，因为 ，所以 ，所以B为锐角，故
．
故选：C
8．（2022·湖南省临澧县第一中学一模）在 中，若 ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件利用正弦定理直接计算即可判断作答.
【详解】
在 中，若 ， ， ，由正弦定理 得：
，
所以 .
故选：B
二、多选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）在△ 中，内角 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．若 ，且 ，则△ 为等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A由正弦定理及等比的性质可说明；B令 可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质
有 ，由正弦定理即可证；D若 ， ，根据单位
向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ 的形状.
【详解】
A：由 ，根据等比的性质有 ，正确；
B：当 时，有 ，错误；
C： ，而 ，即 ，由正弦定理易得
，正确；
D：如下图， 是单位向量，则 ，即 、
，则 且 平分 ， 的夹角为 ， 易知△ 为等边三角形，正确.故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断
夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.
题型二：余弦定理
一、单选题
1．（2022·陕西商洛·二模（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，则 的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理可求得 ，再根据三角形的面积公式 ，即可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
2．（2022·四川雅安·三模（文））在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ，利用余弦定理可求得 的值.
【详解】
因为 ，令 ， ， ，
则 .
故选：A.
3．（2022·陕西咸阳·二模（文））在 中，已知 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理即可求得.
【详解】
在 中，已知 ，即为 ，
由余弦定理 得： ,解得： （边长大于0，所以 舍去）
即 .
故选：C
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．16 B．9 C．－9 D．－16
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦定理求出 ，再由数量积的定义及诱导公式计算可得；【详解】
解：由余弦定理，可得 ，
所以 ．
故选：C．
5．（2022·北京昌平·二模）在 中， 只需添加一个条件，即可使 存在且唯一.条
△ △
件：① ； ② ；③ 中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.
【详解】
对于①， ，所以， ，得 ，所以，此时， 存
△
在且唯一，符合题意；
对于②， ，所以， ，解得 ，因为 ，所以，
，所以 为锐角，此时， 存在且唯一，符合题意；
△
对于③， ，所以， ，得 ，进而 ，
可得 ，明显可见， ，与 矛盾，故③不符题意.
故可以选择的条件序号为：①②
故选：B
6．（2022·内蒙古包头·二模（文）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，
， ，则 的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
由余弦定理可知： ，
解得 （负值舍去），即 ，
所以 的面积为 ，
故选：C
7．（2022·陕西榆林·三模（理）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为
△ △
， ， ，则 （ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知及三角形面积公式可得 ，进而求出b、c，应用余弦定理求a即可.
【详解】
因为 ，则 ，又 ，
所以 ，又 ，可得 ， ，
所以 ，即 .
故选：C
8．（2022·全国·二模（理））△ABC中， ，若 ，则AB边上的高的最大值
为（ ）A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知条件利用余弦的二倍角公式化简可得 ，然后由余弦定理和基本不等式可得面积的最大值，从
而得到高的最大值.
【详解】
△ABC中， ，可得 ，即 ，解得
即 ，
, ,
可得 ，当 时取到最大值16，
设AB边上的高为h，则 ，解得 ，
即AB边上的高的最大值为 ，
故选：C
二、多选题
1．（2022·广东广州·三模）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下面四个结论正确的是
（ ）
A． ， ，则 的外接圆半径是4
B．若 ，则
C．若 ，则 一定是钝角三角形
D．若 ，则
【答案】BC
【解析】
根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出 ，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.
【详解】
由正弦定理知 ，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及 可得， ，即 ，由 ，知 ，故B正确；
因为 ，所以C为钝角， 一定是钝角三角形，故C正确；
若 ，显然 ，故D错误.
故选：BC
三、解答题
1．（2022·北京市第十二中学三模） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求角 的大小；
(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： ；条件④： .
【答案】(1)
(2)答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简可得出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）选①②，利用余弦定理可判断 不唯一；
选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断 唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判
断 的面积；
选①④，直接判断 唯一，再利用三角形的面积公式可求得 的面积；
选②④，利用余弦定理可判断 唯一，再利用三角形的面积公式可求得 的面积.
(1)
解：由 及正弦定理可得 ，、 ，则 ， ， ，故 .
(2)
解：若选①②，由余弦定理可得 ，即 ，
解得 ，此时， 不唯一；
若选①③，已知 ， ， ，
且 ，则 ，所以， ，则 唯一，
， ，
由正弦定理 可得 ，
所以， ；
若选①④，已知 ， ， ，此时 唯一， ；
若选②③，已知 ， ， ，
且 ，则 ，所以， ，则 唯一，
， ，
由正弦定理 可得 ，
所以， ；
若选②④，已知 ， ， ，由余弦定理可得 ，可得 ，
，解得 ，此时， 唯一， ；
若选③④，已知 ， ， ，
且 ，则 ，所以， ，则 唯一，
， ，
由正弦定理 可得 ， .
题型三：三角形的面积公式
一、单选题
1．（2022·江西萍乡·三模（文））在 中， 分别为角 的对边，已知 ，
的面积为2，则边长 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形的面积公式代入即可求出答案.
【详解】
因为 ，所以 ，则 .
故选：A.
2．（2022·江西鹰潭·一模（理）） 中，已知 ，设D是 边
的中点，且 的面积为 ，则 等于( )A．2 B．4 C．-4 D．-2
【答案】A
【解析】
根据正、余弦定理求出 ；根据三角形面积公式求出 ；再根据D是 边的中点，将 ， 用 和
表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，又角 是 的内角，
∴ ，
又 ，即 ，
∴ ；
又D是 边的中点
∴
.
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中
档题．
3．（2022·天津河西·三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，
，则A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由 ，
则 ，
即 ，
所以 ，且 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.
4．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））在 中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若
， 的面积为 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或3
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，可求得 ，再结合面积和 ，即可求得边 ，
再由余弦定理求得 .
【详解】
由 ，由正弦定理得 ，又 ，得 ，得 ，得 ，又 ，得 ，
则 ，则 ，由余弦定理 ，
得 ，得 或 .
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，根据边角关系正确选用正弦定理和余弦定理是解题
的关键.
5．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））在 中， ， ， 所对应边分别为 ， ， ，已知
，且 ，则 的面积为（ ）.
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理化简 求得 ，由此求得 ，再结合三角形面积公式求得三角形
的面积.
【详解】
由余弦定理得 ，所以 ，由 得
.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
6．（2022·宁夏银川·一模（理））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则
△ABC面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到 ，利用余弦定理和面积公式，化简得到 ，
结合 ，得到 ，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，
由余弦定理可得 .
因为 的面积 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故当 时， 取得最大值3，此时 .
故选：B.
二、解答题
1．（2022·北京·潞河中学三模）在 中， ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为
已知，求：
(1) 的值；
(2) 的面积.条件①： ；条件②： .
【答案】(1)若选择条件①， ；若选择条件②，
(2)若选择条件①， 的面积 ；若选择条件②， 的面积
【解析】
【分析】
（1）若选择条件①，根据二倍角正弦公式，化简整理，可得 ；若选择条件②，根据二倍角的余弦公式，
化简整理，可得 .
（2）若选择条件①，根据余弦定理，可求得a值，代入面积公式，即可得答案；若选择条件②，根据余弦
定理，可求得a值，代入面积公式，即可得答案；
(1)
若选择条件①，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 .
若选择条件②，则 ，
所以 或 ，
因为 ，所以 ，则 .
(2)
若选择条件①，则 ，
所以 ，
所以 或-3（舍），
所以 的面积 ；
若选择条件②，则 ，
所以 ，
所以 或-8（舍），所以 的面积
题型四：解三角形的实际应用
一、单选题
1．（2022·青海西宁·一模（文））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的
两边长分别为32m和68m，它们的夹角是 .已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费
用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【解析】
【分析】
求出三角形空地的面积，即可求出这块三角形空地的改造费用.
【详解】
由题意，三角形空地的面积为 ，
改造费用为50元 ，
这块三角形空地的改造费用为： 元.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查的是正弦定理中的面积公式的应用，熟记公式是解决本题的关键，是基础题.
2．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永
徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量
滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为 ，在它们的地面上的点M（B，M，D
三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为 和 ，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为 ，
则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到 ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在 中求得 ，由正弦定理得 ，再在 中
，计算即可.
【详解】
由题意得，在 中， ，
在 中， ， ，
所以 ，由正弦定理 ，
得 ，
又 ，
在 中， .
故选：D.
3．（2022·江西师大附中三模（文））地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，
是中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落
霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃
对腾王阁的生动描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到
达E点，此时看点C的仰角为45°，若 ，则楼高AB约为（ ）A．58米 B．68米 C．78米 D．88米
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，得到 ，列出方程 ，求得 的值，即
可求得楼高，得到答案.
【详解】
设 ，则由题意可得 ，
所以 ，
解得 ，
所以楼高 .
故选: A.4．（2022·四川泸州·二模（理））如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的
海拔高度为10000 ，速度为50 .某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，
则山顶的海拔高度大约为（ ， ）（ ）
A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，设飞机的初始位置为点 ，经过420s后的位置为点 ，山顶为点 ，作 于点 ，在
中，利用正弦定理求得 ，在 中，解直角三角形即可的解.
【详解】
解：如图，设飞机的初始位置为点 ，经过420s后的位置为点 ，山顶为点 ，作 于点 ，
则 ，所以 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，
则 ，因为 ，
所以 ，
所以山顶的海拔高度大约为 .
故选：B.
二、多选题
5．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 (A为塔顶，B为
塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得 .测绘兴趣
小组利用测角仪可测得的角有： ，则根据下列各组中的测量数
据可计算出塔 的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项的条件看
是否能求出塔 的高度.
【详解】
解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.
A. 在 中，已知 ，可以解这个三角形得到 ，再利用 、 解直角 得到的值；
B. 在 中，已知 无法解出此三角形，在 中，已知 无法解出此三角形，也无法
通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔 的高度；
C. 在 中，已知 ，可以解 得到 ,再利用 、 解直角 得到
的值；
D.
如图，过点 作 ,连接 .
由于 ,
所以 ，所以可以求出 的大小，
在 中，已知 可以求出 再利用 、 解直角 得到 的值.
故选：ACD
【点睛】
方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出来常利用
该原理.
三、解答题
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图：某公园改建一个三角形池塘， ， （百米），
（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，
且 ，求连廊 的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供
游客观赏．如图②，当 为正三角形时，求 的面积的最小值 ．
【答案】(1) 百米
(2) (百米)
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理即可求得 ，在 中，确定 ，由余弦定理求得 ，即可求
得答案；
（2）设正三角形DEF的边长a， ，（ ）则可表示 ， ，从
而可由正弦定理表示出 ，结合三角函数的性质求得其最小值，即可求得答案.
(1)
∵点P是等腰三角形PBC的顶点，且 ， ，∴ 且由余弦定理可得： ，
解得 ，
又∵ ∴ ,
∵在 中， ， ,∴ ,
在 ACP中，由余弦定理得 ,
△
解得， ；
∴ ，
∴连廊的长为 百米．
(2)
设正三角形DEF的边长a， ，（ ）
则 ， ，
设 ,
可得 ， ，
∴ ，
在 中，由正弦定理得： ，
即 ，即 ,
化简得： ，
∴ （其中，θ为锐角，且 ）∴ .
