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专题14 函数零点问题
专项突破一 函数零点的定义
1．函数f（x）＝x2﹣4x+4的零点是（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．2 D．4
【解析】由f（x）＝x2﹣4x+4＝0得，x＝2，
所以函数f（x）＝x2﹣4x+4的零点是2，故选：C．
2．已知函数 ，则 的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 时，由 得 ， 时，由 得 或 ，
所以四个零点和为 ．故选：D．
3．(多选)若函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a可取值为( )
A．－2 B．0 C． D．－
【解析】由题可知ax－1≠0或ax－1＝0的解为x＝－2，
故a＝0或a＝ .故选：BD.
4．(多选)若函数 只有一个零点 ，那么函数 的零点是（ ）．
A． B． C． D．
【解析】由题意知 ，∴ ， ，
∴ ，使 ，则 或 .故选：AB
5．函数 的零点为________．
【解析】当 时，令 ，解得 ；当 时，令 ，解得 (舍去)，所以函数 存在零点，且零点为 .
6．若函数 的两个零点是2和3，则不等式 的解集为________ ．
【解析】根据题意， ，则不等式可化为
.
7．函数 的零点为______.
【解析】由 定义域为
由 ，即 ，可得 ,解得 或
又 时，不满足方程 , 时满足条件.故答案为：
8．函数 的零点之和为__________．
【解析】令 得， ，只有 符合题意，即
令 得， ，所以函数 的零点之和为
专项突破二 零点存在定理判断零点所在区间
1．函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 是 上的连续增函数,
,可得 ,
所以函数 的零点所在的区间是 .故选：C2．函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
又 ，
所以函数 的零点所在的区间为 .故选：B.
3．方程 的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，易知它是增函数， ， ，
由零点存在定理知 在 上存在唯一零点．故选：B．
4．用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ， ，则其中一个
零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解析】因为 ，由零点存在性知：零点 ，
根据二分法，第二次应计算 ，即 ，故选：D.
5．函数 的零点为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【解析】 是 上的增函数，
又 ， 函数 的零点 所在区间为 ，
又 ， .故选：C.
6．已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ， ，
的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
【解析】在同一坐标系中分别作出 ， ， ， 的图象，如图所示．
由图可知，函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，
则 ， ， ，所以 ．故选:A
7．已知实数 满足 ，则函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得 ，所以 ，
又 ， ，
, ，
，所以零点所在区间为 ，故选：B.8．(多选)已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
y 1.3 0.9
下列区间中函数 一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的图象是一条连续不断的曲线，
且 ，函数在区间 和 上一定有零点.故选：AC.
9．(多选)函数 的一个零点在区间 内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】因为函数 在定义域 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由函数 的一个零点在区间 内，
得 ，解得 ,故选：BC
10．(多选)下列函数中，在区间 上有零点是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】A选项， ，A选项符合.
B选项，当 ，B选项错误.C选项， 在区间 上单调递增， ，
，所以 在区间 上有零点，C选项符合.
D选项， 在区间 上单调递增， ，
，所以 在区间 上有零点，D选项符合.
故选：ACD
11．已知函数 的零点为 ，不等式 的最小整数解为 ，则 __________．
【解析】 函数 为 上的增函数， ， ，
函数 的零点 满足 ， ， 的最小整数解 ．
12．若方程 的实根在区间 内，且 、 ， ，则 ____________
【解析】方程 的实根即函数 与 图象交点的横坐标，
作出函数 与 图象如图所示：
由图知方程 只有一个负实根，
令 ，则函数 只有一个负零点，
因为 ， ，
， 、 ， ，所以方程 的实根在区间 内，所以 ， ， ，
专项突破三 求函数零点个数
1．函数 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】由于函数 在 上是增函数，且 ，
故函数在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点.故选：B.
2．已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】当 时， ，因为 ，所以舍去；
当 时， 或 ，满足 .所以 或 .
函数 的零点个数为2个.故选：C
3．已知函数 ，则方程 的根个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【解析】令 ，即 根的个数，
设 ，所以 ，即 或 ，解得 或 ，
即 或 ，即 或 ，解得 ；
或 或 ，无符合题意的解.综上所述：程 的根个数为 个.故选：A.
4．已知函数 ，且 ，则 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【解析】由
可得 或 ，又 ，则 ，或 ，或
则 的零点个数为3,故选：C
5．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由 可得 .
当 时， ，或 （舍去），
当 时， 或 .
故 是 的零点，
是 的零点， 是 的零点.
综上所述， 共有 个零点.故选：C
6．函数 零点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】由 ，得 ，
所以函数 零点的个数等于 图象的交点的个数，
函数 的图象如图所示，由图象可知两函数图象有4个交点，所以 有4个零点，故选：A
7．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】令 ，可得 ，
则原命题即求 与 图象交点的个数，分别作出 与 图象，如下所示
由图象可得，交点为A、B、C三点，所以函数 的零点个数为3.故选：C
8．函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ,
作出函数 和 的图象：
可由 的图象先关于 对称，再关于 轴对称得 ，作出 的图象，再作出它关于 轴对称
的图象得 的图象，两者结合得 的图象．
如图，函数 和 的图象它们有两个交点，
所以方程 有两个解，即 有两个零点．故选：C．9．已知函数 ，则方程 的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，
①当 时， ， ， ，即 ，
②当 时， ， ，
画出函数 的图象，如图所示，
若 ，即 ，无解；
若 ，直线 与 的图象有3个交点，即 有3个不同实根；
若 ，直线 与 的图象有2个交点，即 有2个不同实根；
综上所述，方程 的实数根的个数为5个，故选： ．
10．函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ， ，则 零点个数即为 与 图象的交点个数；
，则当 时， ；当 时， ；在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，进而可得 图象与 图象如下图所示，
由图象可知： 与 共有 个交点，即 有 个零点.故选：D.
11．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【解析】令 ，令 ，则 ,
当 时，则 ，所以 ， ，
当 时， ，则 ，
作出函数 的图象如下图所示，
直线 与函数 的图象只有1个交点，
线 ，与函数 的图象只有2个交点，
因此，函数 只有3个零点，故选： ．
12．已知函数 ，则 实数根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【解析】做出 图像如下：
或 ，
①若 时，
⑴当 ， 或 ，符合题意；
⑵当 ， ，符合题意；
②若 ,
综上： 共有3个实数根．故选：B．
13．已知函数 在 内零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【解析】因为 ，所以令 等价于 ，
即 ， .又因为 ，所以 .
所以函数 在 内零点的个数为 个.故选：C
14．(多选)函数 （ 为常数）的零点个数可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ．
令 ，则 ， ，如下图所示：
①当 时，由 可得 ， ，方程 只有一解，方程 有两解，此时，函数 有 个零点；
②当 时，方程 有三个正根 、 、 ，
且方程 均有两个正根，此时函数 有 个零点；
③当 时，方程 有两个正根 ， ，
方程 均有两个解，此时函数 有 个零点；
⑤当 时，方程 只有一个正根 ，
且方程 有两个解，此时函数 有 个零点.
综上所述，函数 的零点个数可能为 、 、 、 .故选：ABD.
15．函数 的零点个数为_________．
【解析】当 时， 有一个零点 ；当 时， ，无零点，
故函数 的零点个数为1个
16．函数 的零点个数为___________.
【解析】当 时，令 ，解得 ， ，此时有1个零点；
当 时， ，显然 单调递增，又 ，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
17．已知 是定义在R上的奇函数，当 时， = ，则方程 解的个数为
___________.
【解析】当 时， ，所以 ，因为 是定义在R上的奇函数，
所以 = ，所以 ，
所以 ，所以 = ，
由 的图象知， 有3个零点，所以方程 解的个数为3.
18．函数 的零点个数为___．
【解析】当x≤0时， ，
∵ ，故此时零点为 ；
当x＞0时， 在 上单调递增，
当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；
综上，函数y在R上共有2个零点.
专项突破四 根据函数零点求参
1．函数 在区间 和 内各有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】已知函数 在区间 和 内各有一个零点，如图，则 ，即 ，解得 故选：A
2．已知函数 若方程 有且仅有两个不等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】已知 ，作出函数图像，
通过函数图像可以看出，当 ，函数无限趋近于1，但不等于1，当 ，函数无限趋近于0，但不等
于0，所以 有且仅有两个不等实根，可以得到 .故选：B.
3．已知函数 在区间 内有零点，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题得 ，且函数在定义域内 单调递增（增+增=增），
所以 ，得 .故选：A
4．已知函数 ， ，若 有两个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【解析】令 ，则 , 与 有两个交点，
则 ,设直线与 相切时，切点坐标为 ，则斜率 ,
则切线方程为 ,
∵切线过原点 ，代入得 ，解得 ,
∴ ，因为 与 有两个交点，所以 ,故选：D．
5．若函数 有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意， 时， ，此时
时， ; 时， ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减,
时， ,所以 在 上无零点,
从而 时， 有2个零点，根据二次函数的性质可得,
,故选：D.
6．已知直线 与函数 的图象恰有 个公共点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【解析】根据题意，函数 ，作出 的图象：
当 时，直线 和函数 的图象只有一个交点；
当 时，直线 和函数 的图象只有一个交点，
直线 和函数 的图象有2个交点，即方程 在 上有2个实数根，
，则有 ，解可得 ，
即 的取值范围为 ， ；
7．已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 在 上递增，且 ，当 时， ，
任取 ，
，
其中 ，当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减；，由此画出 的大致图象如下图所示，
有三个不同的零点，即 与 有三个交点，
由图可知， 的取值范围是 .故选：B
8．若关于x的方程 有两个不相等的实根 、 ，且满足 ，则实数t的取值范
围是（ ）
A．（2，5） B．
C． D．
【解析】令 ，且 ，所以只需满足 且 即可，
即 且 ，解得 ，故选:B.
9．若关于x的方程 在 有两个不等实根，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，方程
在 有两个不等实根，即 与 的图象有两个交点，因为 ，所以 ，所以 ，要使方程
在 有两个不等实根，如下图，即则 .
故选：C.
10．已知函数 在 上有且只有5个零点，则实数 的范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，
令 ，即 ，
所以， 在 上有且只有5个零点，
因为 ，所以 ，
所以，如图，由正弦函数图像，要使 在 上有且只有5个零点，
则 ，即 ，所以实数 的范围是 .故选：C
11．已知函数 若方程 恰有四个不同的实数解，分别记为
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，
当 时
令 ，解得 ，当 时 ，
当 时 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，函数 的图象如下所示：
因为方程 恰有四个不同的实数解，即 与 恰有四个交点，所以 ，
不妨令 ，则 ，且 与 关于 对称，所以 ，又 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以 ；故选：A
12．已知函数 ，若函数 与 的图象恰有8个不同公共点，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ， ，
由 时， ，得 单调递减，由 时， ，得 单调递增，
故 时， ；当 时， ，
由 时， ，得 单调递减，
由 时， 得 单调递增，
所以 时， 有极大值 ，当 时， ，
作出 的大致图象如图：
函数 与 的图象恰有8个不同公共点，
即方程 有8个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论 有8解情况如下：令 ，当 在 有两个解时，满足题意，
即 ，解得 ，故选：A.
13．定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若关于x的方程
恰有5个解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵ ，∴函数 关于直线 对称，又 为定义在R上的偶函数，
故函数 关于直线 对称，作出函数 与直线 的图象，
要使关于x的方程 恰有5个解，则函数 与直线 有5个交点，
∴ ，即 .故选：B.
14．(多选)若方程 有且只有一解，则 的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．3【解析】画出 的图象如下图所示，由图可知 或 .
所以CD选项符合.故选：CD
15．若函数 有两个零点,则实数m的取值范围为________,两个零点之和为
________.
【解析】由 得 .
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图像与直线 .如图所示.
由图知,当 ,即 时,两图像有两个交点,
则原函数有两个零点,此时 .设两个零点分别为 , ,由于两交点关于直线 对称,
所以 , .故答案为： ；
16．已知函数 ，且关于 的方程 有且仅有一个实数根，那实数 的取值范围
为________．
【解析】作出 的图象，如下图所示：∵关于 的方程 有且仅有一个实数根，∴函数 的图象与 有且只有一个交点，
由图可知 ，则实数 的取值范围是 .
17．若关于 的方程 的一根大于1，另一根小于1，则实数 的取值范围为______．
【解析】由题意，关于 的方程 的一根大于1，另一根小于1，
设 ，根据二次函数的性质，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
18．若方程 至少有一个正根，则实数 的取值范围是_________．
【解析】记 ，
①当 时， ， 解得 ，不符合条件；
②当 时，（ⅰ）当 只有一个正根，且0不是它的根，则有 或 ，解得 ；
（ⅱ）当 有两个不等正根，则 ，此时 无解，
故答案为： ．
19．设函数 ,若方程 至少有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为
______．
【解析】当 时，由 得 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以当 时， 的最小值为 ，
且 时， ，当 时 ，易知 在 上单调递减，
在 上单调递增，又 ，所以当 时， 的最小值为 ，画出函数 与 的
图象如图所示，
由图可知，要使方程 至少有3个不同的实数根，即 与 的图象至少有3个交点，
只需 ．
20．已知函数 ，若 恰有两个零点.则正数a的取值范围______.
【解析】依题意 ，当 时， 单调递增， ，
所以在区间 上， 有零点 ，所以当 时， 有唯一零点，
所以 .所以 的取值范围是 .
