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专题 15 导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练）
目录：
01 函数极值的辨析
02求已知函数的极值
03 根据极值求参数
04 函数（导函数）图像与极值的关系
05 由导数求函数的最值
06 已知函数最值求参数
07 根据极值点求参数
08 由导数求函数的最大值（含参）
09 恒成立问题
10 零点问题
11 导数的综合应用
01 函数极值的辨析
1．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）下列结论中，正确的是（ ）A．若 在 上有极大值，则极大值一定是 上的最大值．
B．若 在 上有极小值，则极小值一定是 上的最小值．
C．若 在 上有极大值，则极大值一定是在 和 处取得．
D．若 在 上连续，则 在 上存在最大值和最小值．
3．（2024高三·全国·专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（22-23高二上·河南许昌·期末）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 为函数 的零点
B． 是函数 的最小值
C．函数 在 上单调递减
D． 为函数 的极大值点
02求已知函数的极值5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性，并求出 的极小值．
6．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)当 时，求 的单调区间和极值．
03 根据极值求参数
7．（22-23高二下·北京·期中）若函数 恰好有两个极值，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·贵州遵义·三模）已知函数 在 处取得极值0，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
9．（21-22高三下·广西·阶段练习）已知函数 在其定义域的一个子区间 上有极值，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
04 函数（导函数）图像与极值的关系
10．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法错误
的是（ ）A．函数 在 上单调递增 B．函数 至少有2个极值点
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 处取得极大值
11．（23-24高二下·四川广元·期中）函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断中
正确的是（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递减
C． 在 上存在极小值点 D． 在 上有最大值
05 由导数求函数的最值
12．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 ， ，若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数 ， ，则下列命题不正确的是（ ）
A． 有且只有一个极值点 B． 在 上单调递增
C．存在实数 ，使得 D． 有最小值14．（23-24高二下·北京海淀·期中）关于函数 ，下列结论错误的是（ ）
A． 的解集是 B． 是极小值， 是极大值
C． 没有最小值，也没有最大值 D． 有最大值，没有最小值
06 已知函数最值求参数
15．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知 在区间 上有最小值，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数 在区间 上存在
最值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
17．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数 ，若 ，且
的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
07 根据极值点求参数
18．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数 的导函数 ，若 是函数
的极大值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．19．（23-24高三上·河南南阳·期末）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
20．（22-23高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数 存在两个极值点 ，则
以下结论正确的为（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
08 由导数求函数的最大值（含参）
21．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，函数 在区间 上的最小值 ．
22．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)求 在区间 上的最大值.
09 恒成立问题
23．（2024·山东烟台·一模）已如曲线 在 处的切线与直线
垂直.(1)求 的值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
24．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， 其中 为常数.
(1)过原点作 图象的切线 ，求直线 的方程；
(2)若 ，使 成立，求 的最小值.
10 零点问题
25．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求函数 在 上的零点个数.
26．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数 ．
(1)函数 在 处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)若函数 有两个零点，求a的取值范围．
11 导数的综合应用
27．（2024·江苏·二模）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围.
28．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数 为 的极值点．
(1)求 的最小值；
(2)若关于 的方程 有且仅有两个实数解，求 的取值范围．29．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 恰有两个零点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若函数 ，求证： 在 上单调递减；
(3)证明： ．
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 的极小值点为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知 的一个极值点为 ，若tan ，则实数a的值
为（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为1，则实数a的值为
（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为增函数 B． 有两个零点
C． 的最大值为2e D． 的图象关于 对称
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）若实数 满足 ，则下列不等式错误的是
（ ）
A． B． C． D．6．（2023·浙江金华·模拟预测）在半径为 的实心球 中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球 ，
则球 的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程 的不
同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·福建莆田·二模）对于函数 和 ，及区间 ，若存在实数 ，使得
对任意 恒成立，则称 在区间 上“优于” ．有以下四个结论：
① 在区间 上“优于” ；
② 在区间 上“优于” ；
③ 在区间 上“优于” ；
④若 在区间 上“优于” ，则 ．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．（2024·贵州安顺·一模）设函数 ，则（ ）
A． 有 个极大值点B． 有 个极小值点
C． 是 的极大值点
D． 是 的极小值点
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 在 上递增
B．若 为奇函数，则
C．若 是 的极值点，则
D．若 和 都是 的零点， 在 上具有单调性，则 的取值集合为
11．（2024·广东广州·模拟预测）设函数 ，则（ ）
A．函数 的单调递增区间为
B．函数 有极小值且极小值为
C．若方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围为
D．经过坐标原点的曲线 的切线方程为
三、填空题
12．（2023·广东汕头·一模）函数 的一个极值点为1，则 的极大值是 ．
13．（2024·全国·模拟预测）方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为．
14．（2024·重庆·模拟预测）若函数 的图象与函数 的图象有三个不同的公共点，
则实数 的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值．
16．（2024·河南·三模）已知函数 ，且 在 处的切线方程是 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值．
17．（2024·江苏南京·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，若 在区间 上的最小值为 ，求a的值．
18．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知函数 ，（ 为自然对数的底数）．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最大值．
19．（2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其
推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，
即如果 是关于x的实系数一元n次方程 在复数集C内的n个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
(1)已知 ， ， ，求 的最小值；
(2)已知 ，关于x的方程 有三个实数根，其中至少有一个实效根在区
间 内，求 的最大值．
