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专题16 一元二次不等式和基本不等式问题
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2023·山东潍坊·统考一模）“ ”是“ ， 成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足 ， 且 ， 若不等
式 恒成立， 则实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布
施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，
记此人第n日布施了 子安贝（其中 ， ），数列 的前n项和为 ．若关于n的不等式
恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且
，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， ， ，则
的最小值为（ ）A． B．1 C． D．4
7．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知 ， ， 是 与 的等比中项，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若存在 使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·广西·校联考模拟预测）双曲线 的左右顶点分别为 ，曲线 上的一点
关于 轴的对称点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到最小值时，双曲线离心
率为（ ）
A． B．2 C．3 D．6二、多选题
10．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 ，且 ，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知m，n为正实数，且满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）已知命题 ：关于 的不等式 的解集为
R，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使得 成立是假命题，则实数 可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
14．（2022秋·江苏淮安·高三校考开学考试）已知曲线 上存在两条斜率为3的不同切线，且
切点的横坐标都大于零，则实数 可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
15．（2023·辽宁·校联考模拟预测）设 均为正数，且 ，则（ ）
A． B．当 时， 可能成立
C． D．
16．（2023·福建·统考一模）已知正实数x，y满足 ，则（ ）A． 的最小值为 B． 的最小值为8
C． 的最大值为 D． 没有最大值
17．（2023·山西·统考一模）设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为9 D． 的最小值为
三、填空题
18．（2022·上海松江·统考一模）对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
______
19．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）若命题：“ ，使 ”是假命题，则
实数m的取值范围为____．
20．（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知函数 ，关于 的方程 有三个不等的
实根，则实数 的取值范围是___________.
21．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，且a，b均为正数.则
ab的最大值为______.
22．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知实数 ，满足 ，则 的最小值是
______.
23．（2023·湖北·校联考模拟预测）设 且 ，若对 都有 恒成立，则实数a的取值范
围为______.
24．（2023·四川内江·统考一模）已知正实数a、b满足 ，则a、b一定满足的关系有______．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ．【提能力】
一、单选题
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恰有两个零点，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知椭圆 的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在
点P，使得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
28．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在正四棱台 中， ， ．
当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数 ，若不等式对任意 均成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
31．（2022秋·福建福州·高三校考阶段练习）已知 且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知函数 ，（ ）的三个零点分
别为 ， ， ，其中 ， 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
33．（2022·浙江·模拟预测）已知a，b为正数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
34．（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且 ，则（ ）
A．ab的最大值为8 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 的最小值为35．（2022·全国·南京外国语学校校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，且 ，则 的最大值是1
C．若 ， ，则
D．函数 的最小值为9
36．（2022·山东·烟台二中校联考模拟预测）著名的伯努利（Bemoulli）不等式为：
，其中实数 同号，且均大于－1．特别地，当 ，且
时，有 ．已知伯努利不等式还可以推广为：设x， ，若 ，且 ，则
．设a，b为实数，则下列结论正确的为（ ）
A．任意 ，且任意 ，都有
B．任意 ，存在 ，使得
C．任意 ，且任意 ，都有
D．任意 ，存在 ，且 ，使得
三、填空题37．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为
__________.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足 ，则a、b满足的关系有__________.（填序号）
① ；② ；③ ；④ .
39．（2022·浙江·模拟预测）已知实数x，y满足 ，则 的最小值是______．
40．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市第一中学校考阶段练习）已知函数 （ 且 ），若不等
式 的解集为 ，则a的取值范围是___________.
41．（2023·全国·高三专题练习）若非负实数 满足 ，则 的最大值为
_____.
