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专题 16 妙解离心率问题
目录
01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题...................................................................2
02焦点三角形顶角范围与离心率.........................................................................................................2
03共焦点的椭圆与双曲线问题.............................................................................................................3
04椭圆与双曲线的4a通径体...............................................................................................................4
05椭圆与双曲线的4a直角体...............................................................................................................5
06椭圆与双曲线的等腰三角形问题.....................................................................................................6
07双曲线的4a底边等腰三角形...........................................................................................................7
08焦点到渐近线距离为b......................................................................................................................8
09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形..............................................................................................9
10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题........................................................................................10
11渐近线平行线与面积问题...............................................................................................................10
12数形结合转化长度角度...................................................................................................................1101顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ，
为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ，
为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点
为 点， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线 ： （ ， ）右支上非顶
点的一点 关于原点 的对称点为 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则双曲
线 离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
02焦点三角形顶角范围与离心率
5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知 ， 是椭圆 的左右两
个焦点，P为椭圆上的一点，且 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江·校联考）已知 ， ， ，是双曲线 的两个焦点，若点Р为椭
圆 上的动点，当P为椭圆的短轴端点时， 取最小值，则椭圆 离心率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左右
焦点，若椭圆 上存在点 使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左右焦点，若椭
圆C上存在点 （ ）使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
03共焦点的椭圆与双曲线问题9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 、 ，且两条曲
线在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分
别为 、 ，则 与 满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆 ：
与双曲线 ： （ ， ）有公共焦点 ， ，且两条曲线在第一象限的交点为 ，若
是以 为底边的等腰三角形， ， 的离心率分别为 和 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 、 ， 是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 的最大值为 ．
12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，则 等于 ．13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 、 ， 是它们的一
个交点， ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 的最小值是 .
04椭圆与双曲线的4a通径体
14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为
、 ，过 的直线与椭圆 交于 、 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， (如
图)，过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， （如
图），过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E: 的左，右焦点分别
为 ， （如图），过 的直线交E于P，Q两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
05椭圆与双曲线的4a直角体
18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，过 的直线交 于 ， 两
点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若 ，且 的周长为 ，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点
的直线交椭圆 于 ， 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·湖南·校联考）已知 ， ， 是双曲线 上的三个点，直线 经过原点 ，
经过右焦 ，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
22．（2024·湖北·高三开学考试）已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ，
经过右焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·山东聊城·统考）已知A，B，C是双曲线 上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
06椭圆与双曲线的等腰三角形问题
24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线与双曲线 的右支相交于 两点，若 ，且 ，则双曲线的离心率
A． B． C． D．
25．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线 ： 的左、右焦点分别为F、F，过
1 2
F 的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且 ABF 为等边三角形，则双曲
1 2
线的离心率为（ ） △
A． B． C． D．
26．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知 ， 分别为双曲线 ： 的左
右焦点，过 的直线与双曲线 的左支交于 、 两点，连接 ， ，在 中， ，
，则双曲线的离心率为（ ）A．2 B．
C． D．
07双曲线的4a底边等腰三角形
27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，过点
作斜率为 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于 ， 两点，以 为圆心的圆过 ， ，则双曲
线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
28．（2024·江西九江·统考）设双曲线 的左、右焦点分别为F，F，过点F 的直
1 2 2
线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F 都在以M为圆心的圆上，且
1
，则双曲线C的离心率为（ ）A． B．2 C． D．2
29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线 与双曲线左右两支交于 ， 两点，以 为直径的圆过 ，且 ，则双曲线
C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
30．（2024·河北石家庄·统考）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上
位于第一象限内的点，延长 交椭圆于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
31．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在
的右支上， 与 交于点 ，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
08焦点到渐近线距离为b
32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F，F 为双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，
1 2过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若 （O为坐标原点），则C
2
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
33．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F，F 分别是双曲线 的左、右焦点，过
1 2
F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF|=3|HF|，则双曲线的离心率为（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F，F 是双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标
1 2
原点．过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF|＝3|OP|，则C的离心率为（ ）
2 1
A． B．2 C． D．
35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线 的焦点在 ，过点 的直线与
两条渐近线的交点分别为M､N两点(点 位于点M与点N之间)，且 ，又过点 作 于
P(点O为坐标原点)，且 ，则双曲线E的离心率 （ ）
A． B． C． D．
09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
36．（2024·安徽宣城·统考）设 是双曲线 的一个焦点，过 作双曲线的一条渐近线
的垂线，与两条渐近线分别交于 两点．若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．537．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线 ，过其右焦
点F作渐近线的垂线，垂足为H，交另一条渐近线于点A，已知O为原点，且 ，则该双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线 ，过其右焦点 作
渐近线的垂线，垂足为 ，交 轴于点 ，交另一条渐近线于点 ，并且点 位于点 ， 之间．已知
为原点，且 ，则双曲线离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
39．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ），过 的右焦点 作垂
直于渐近线的直线 交两渐近线于 ， 两点， ， 两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C： （ ， ）的
左、右焦点分别为 、 ，过 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ，
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
41．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知 是双曲线 的左焦点，圆 与双曲
线在第一象限的交点为 ，若 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作倾斜角
为 的直线与 轴和双曲线的右支分别交于点 、 ，若 ，则该双曲线的离心率为
A．2 B． C． D．
43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F，F 为双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦
1 2
点，以FF 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF 与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF|，则该双
1 2 1 1
曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以线段 为
直径的圆与 的渐近线在第一象限的交点为 ，且 .设 的离心率为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
11渐近线平行线与面积问题45．（2024·安徽芜湖·统考）设 为双曲线 上任意一点，过点 作双曲线两渐近线的
平行线，分别与两渐近线交于 ， 两点．若 的面积为4，则双曲线D的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线 上的任意一点 ，作双曲线渐近线的
平行线，分别交渐近线于点 ， ，若 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
47．（2024·福建·）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过双曲线C上任意一点
P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， 等于 展开式的常数项，
则双曲线C的离心率为
A．3 B．3或 C． D． 或
12数形结合转化长度角度
48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，椭圆C在第
一象限存在点M，使得 ，直线 与y轴交于点A，且 是 的角平分线，则椭圆C
的离心率为 .
49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分别为， ，右焦点为 ， 为椭圆上一点，直线 与直线 交于点 ， 的角平分线与直线 交
于点 ，若 ， 的面积是 面积的6倍，则椭圆 的离心率是 .
50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆 ，左、右焦点分别为 、 ，若过
的直线与圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 垂直于x轴，则椭圆的离心率
为 ．
