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专题 17 球与几何体的切接
一、单选题
1．（2024届四川省仁寿高三上学期9月月考）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一
个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024届广东省四校高三上学期联考）如图，在边长为2的正方形 中， 分别是 的中
点，将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使得 三点重合于点 ，若三棱锥
的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023届山西省运城市学业水平考试）在三棱锥 中， 平面 ，
且 ，当三棱锥 的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023届江西省九江市高三第一次模拟）三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三
角形，若平面 平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023届河北省秦皇岛市高三冲刺卷）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成
的组合体，设它的体积为 ，它的内切球的体积为 ，则 （ ）A． B．
C． D．
6．（2023届海南省高三全真模拟）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ，
在底面 中， ， ，若球 的体积为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月质量检测）直观想象是数学六大核心素养之一，某位
教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进
棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知四面体 中， ， ，
，直线 与 所成的角为 ，且二面角 为锐二面角．当四面体 的体积
最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）将一个半径为 的球削成一个体积最大的圆锥，则
该圆锥的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024届广东省高三上学期新联合质量测评）已知等腰直角 中， 为直角，边 ，
P，Q分别为AC，AB上的动点（P与C不重合），将 沿PQ折起，使点A到达点 的位置，且平面
平面BCPQ．若点 ，B，C，P，Q均在球O的球面上，则球O体积的最小值为（ ）
A． B．C． D．
11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知一个棱长为2的正方体，点 是其内切球上
两点， 是其外接球上两点，连接 ，且线段 均不穿过内切球内部，当四面体 的
体积取得最大值时，异面直线 与 的夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
12．（2023届重庆市巴蜀中学校高三下学期4月月考）已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为
3．以点 为球心， 为半径的球 与过点 的球 相交，相交圆的面积为 ，则球 的半径为
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、多选题
13．（2023届辽宁省实验中学高三第五次模拟）在棱长为2的正方体 中， 分别为
棱 ， ， 的中点， 为侧面 的中心，则（ ）
A．直线 平面
B．直线 平面
C．三棱锥 的体积为
D．三棱锥 的外接球表面积
14．（2024届广东省广州市培英中学高三上学期月考）已知四面体 的所有棱长均为 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角为 B．点 到平面 的距离为C．四面体 的外接球体积为 D．四面体 的内切球表面积为
15．（2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）已知正六棱柱 的底面边长为
2，侧棱长为 ，所有顶点均在球 的球面上，则（ ）
A．直线 与直线 异面
B．若 是侧棱 上的动点，则 的最小值为
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．球 的表面积为
16．（2023届安徽省合肥市庐阳区高三12月月考）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1
的正方形． 底面 ， ，点E是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面PCD内一点，则
（ ）
A．一定存在点E，使 平面PCD
B．一定存在点E，使 平面ACE
C． 的最小值为
D．以D为球心，半径为1的球与四棱锥 的四个侧面的交线长为
17．（2024届山西省山西大学附属中学高三上学期月考）如图所示，有一个棱长为4的正四面体
容器， 是 的中点， 是 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．直线 与 所成的角为
B． 的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
三、填空题
18．（2024届广西柳州市高三摸底考试）已知圆锥的底面直径为 ，轴截面为正三角形，则该圆锥内半
径最大的球的体积为 .
19．（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍
华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长
为 ，高为 ，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为 .
20．（2023届宁夏石嘴山市高三一模）已知正六棱锥 的各顶点都在球 的球面上，球心 在
该正六棱锥的内部，若球 的体积为 ，则该正六棱锥体积的最大值是 .
21．（2023届广东省深圳市实验中学、深圳市高级中学、珠海市第一中学、北江中学、湛江市第一中学等
五校高三期中联考）已知正四棱台 的体积为 ，记侧面与底面的夹角为 ，且
，记正四棱台的侧面积为 ，底面积为 ，且 ，若正四棱台所有顶点都在同一球面
上，则该球的体积为 .22．（2023届辽宁省实验中学高三第五次模拟）斜三棱柱 中，平面 平面 ，若
， ， ，在三棱柱 内放置两个半径相等的球，使这两个球相
切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱 的高为 ．
