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专题 18 立体几何中的正方体
一、单选题
1．（2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）棱长为1的正方体 中，点P在棱CD
上运动，点Q在侧面 上运动，满足 平面 ，则线段PQ的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）在正方体 中，过点B的平面 与直
线 垂直，则 截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（2024届江西省万安中学高三上学期开学考试）如图，在棱长为1的正方体 中，E为
线段 的中点，F为线段 的中点．直线 到平面 的距离为（ ）．
A． B． C． D．4．（2023届山西省百师联盟高三下学期联考）在棱长为2的正方体 中，E为CD 上的动
1
点，则AE与平面 所成角的正切值不可能为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考）已知正方体 的棱长为 ，
A B C D
分别为 和 的中点, 为线段 上的动点， 为上底面 1 1 1 1内的动点，下列判断正确的是
（ ）
①三棱锥 的体积是定值；②若 恒成立，则线段 的最大值为 ；③当 与 所
成的角为 时，点 的轨迹为双曲线的一部分；
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2024届四川省成都外国语学校高三上学期入学考试）如图，在棱长为1的正方体 中，
点 分别在线段 和 上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（ ）个
① 的最小值为1②四面体 的体积为
③存在无数条直线 与 垂直
④点 为所在边中点时，四面体 的外接球半径为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知正方体 的棱长为 为棱 上的靠近点 的三等分点，点 在侧面 上
运动，当平面 与平面 和平面 所成的角相等时，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知正方体 的
棱长为 ， 分别为棱 ， 上的动点，则四面体 的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
9（2023届河南省TOP二十名校高三下学期3月调研模拟）正方体 的棱长为 ， 为
中点， 为平面 内一动点，若平面 与平面 和平面 所成锐二面角相等，则点
到 的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023届河南省商丘市等2地高三三模）设正方体 的棱长为1，点E是棱 的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：
①如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ；
②如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
③如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
④如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知一个棱长为2的正方体，点 是其内切球上
两点， 是其外接球上两点，连接 ，且线段 均不穿过内切球内部，当四面体 的
体积取得最大值时，异面直线 与 的夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
12．（2023届浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”高三下学期3月联考）在正方体 中，
平面 经过点B、D，平面 经过点A、 ，当平面 分别截正方体所得截面面积最大时，平面
所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2024届甘肃省白银市靖远县高三上学期10月月考数）如图，正方体 的棱长为2，若点M在线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 平面
B．三棱锥 与三棱锥 的体积之和为
C． 的周长的最小值为
D．当点M是 的中点时，CM与平面 所成角最大
14．（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）在棱长为2的正方体 中， ， 分别是
线段 ， 上的点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积是
B．线段 的长的取值范围是
C．若 ， 分别是线段 ， 的中点，则 与平面 所成的角为
D．若 ， 分别是线段 ， 的中点，则 与直线 所成的角为
15．（2023届云南省曲靖市第二中学学联体高三下学期第二次联考）如图，点 是棱长为2的正方体
的表面上一个动点，则（ ）A．当 在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若 是 的中点，当 在底面 上运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是
D．使直线 与平面 所成的角为 的点 的轨迹长度为
16．（2024届广东省四校高三上学期第一次联考）如图，正方体 中，E为 的中点，P
为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，使 平面
B．存在点P，使
C．四面体 的体积为定值
D．二面角 的余弦值取值范围是17．（2023届新老高考过渡省份适应性联考）如图，已知正方体 的棱长为2，P为空间中
一点且满足 ，则以下说法正确的有（ ）
A．若P在面 上，则其轨迹周长为
B．若 ，则 的最小值为
C．P的轨迹围成的封闭曲面体积为
D．四棱锥P-ABCD体积最大值为
三、填空题
18．（2024届广西玉林市高三联考高三上学期开学考试）在正方体 中， 为 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
19．（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不
计）的上底面半径为1，下底面半径为6，母线与底面所成的角为 .在圆台容器内放置一个可以任意转动
的正方体，则正方体的棱长的最大值是 .
20．（2024届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期质量调研）点 是正四面体 的中心，
.若 ，其中 ，则动点 扫过的区
域的体积为 .21．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）如图，棱长为2的正方体容器 中，
， 分别是棱 ， 的中点，在 ， ， 处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装
水的最大体积为 .
22．（2023届河北省邯郸市部分学校高三下学期开学考试）如图，某正方体的顶点A在平面 内，三条棱
都在平面 的同侧.若顶点B，C，D到平面 的距离分别为 ， ，2，则该正方体外接球的
表面积为 .
