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专题 19 排列组合与二项式定理常考小题
目 录
01 二项式定理之特定项、三项式问题.................................................................................................2
02 二项式定理之系数和问题................................................................................................................3
03 二项式定理之系数最值问题............................................................................................................3
04 特殊优先与正难则反策略................................................................................................................4
05 相邻问题与不相邻问题...................................................................................................................4
06 列举法..............................................................................................................................................5
07 定序问题（先选后排）...................................................................................................................5
08 多面手问题......................................................................................................................................6
09 错位排列问题..................................................................................................................................6
10 涂色问题..........................................................................................................................................7
11 分组与分配问题...............................................................................................................................8
12 隔板法..............................................................................................................................................813 查字典问题......................................................................................................................................8
14 分解法模型与最短路径问题............................................................................................................9
15 构造法模型和递推模型.................................................................................................................11
16 环排与多排问题.............................................................................................................................11
17 配对型模型....................................................................................................................................12
18 电路图模型....................................................................................................................................12
19 机器人跳动模型.............................................................................................................................13
20 波浪数模型....................................................................................................................................13
01 二项式定理之特定项、三项式问题
1．（2024·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习） 的展开式中 的系数为（ ）
A．208 B． C．217 D．
2．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）若 的展开式中的 的系数为 ，则实数
（ ）
A．8 B．7 C．9 D．10
3．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考）若 的展开式中共有 个有理项，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式 ，则（ ）
A．－960 B．960 C．－480 D．480
02 二项式定理之系数和问题
5．（多选题）（2024·广东佛山·高三校考阶段练习）若 ，其中
为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 （ ， 且
），其中 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设 ，则下列选项正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
03 二项式定理之系数最值问题
10．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于
121，则展开式中系数最大的项为 .（不用计算，写出表达式即可）
11．（2024·全国·高三专题练习）若 的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开
式的第5项的系数最大，则a的取值范围为 .
12．（2024·浙江·统考模拟预测）已知 展开式中第三项的二项式系数是10，则 ，
展开式中系数的绝对值最大的项是 .
04 特殊优先与正难则反策略
13．（2024·四川成都·高三统考）某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求
每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（ ）
A．81 B．72 C．48 D．36
14．（云南省红河州第一中学2024届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，
要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去
法共有（ ）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
15．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只
能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ）
A．65 B．73 C．70 D．60.
16．（2024·湖南长沙·雅礼中学校联考）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的
个数为（ ）
A．360 B．630 C．1170 D．84005 相邻问题与不相邻问题
17．（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一
组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”
“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，
则排法种数共有 .（用数字作答）
18．（2024·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、
体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是
．
19．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5
名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相
邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
06 列举法
20．（2024·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．
四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设 ，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的
有序数组 的个数是（ ）
A．28 B．24 C．20 D．16
21．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母 ， ， 各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且
仅有一组字母相邻（如 ），则不同的排法共有（ ）种
A．36 B．30 C．24 D．16
22．（2024·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是
一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数 的一种方法．例如：3可表示为“ ”，26可表示
为“ ”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 这9数字表示两位数的个数为A．13 B．14 C．15 D．16
07 定序问题（先选后排）
23．（2024·全国·高三专题练习）某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则
不同的排法有（ ）
A．120种 B．80种 C．20种 D．48种
24．（2024·全国·高二专题练习）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏
一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法
数为（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装
运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是
A．6 B．10 C．12 D．24
08 多面手问题
26．（2024·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人
只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，
有（ ）种不同的选法．
A． B． C． D．
27．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会
法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不
同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
28．（2024·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有
3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共
6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
09 错位排列问题
29．（2024·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人
从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
30．（2024·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5
张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡
片的方法数有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
31．（2023·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有
种不同的站法（ ）
A．42 B．44 C．46 D．48
10 涂色问题
32．（2024·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不
同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A．72 B．96 C．108 D．144
33．（2024·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成
六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂
色方法有（ ）A．48种 B．64种 C．96种 D．144种
34．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同
的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种
颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
11 分组与分配问题
35．（2024·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农
业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位
乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到 地，李指导员不安排
在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．240种 C．480种 D．540种
36．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海
市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，
共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路
口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（ ）
A．15 B．30 C．25 D．16
37．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在第19届杭州亚运会期间，某项目有 四个不间的
服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志感者，则甲志愿者被分到 服务站的不同分法的种数为（ ）
A．80 B．120 C．160 D．60
12 隔板法
38．（2024·全国·高三专题练习）若方程 ，其中 ，则方程的正整数解的个数为
（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
39．（2024·全国·高三专题练习） 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共
有（ ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
40．（2024·全国·高三专题练习）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至
少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
13 查字典问题
41．（2024·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）用 、 、 、 、 、 这六个数字，组成数字不
重复且大于 ，小于 的四位数有（ ）个
A． B． C． D．
42．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）用数字 、 、 、 、 组成没有重复数字的五位数，
其中比 大的偶数共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
43．（2024·广西防城港·高二防城港市高级中学校考）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位
数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（ ）
A．2301 B．2304 C．2305 D．2310
14 分解法模型与最短路径问题
44．（2024·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段
马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）A．20条 B．21条 C．22条 D．23条
45．（2024·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走
法有（ ）
A．6种 B．8种
C．9种 D．10种
46．（2024·江苏扬州·高二统考）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成
的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成
底盘的菱形的所有钝角都是 ，所有的锐角都是 . 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家
马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，
蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都
表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交
点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第 层（有 条竖直线段）第 通
道（从左向右计）的不同路径数为 . 例如： ， . 则不等式 的解集
为（ ）A． B．
C． D．
47．（2024·江苏扬州·高二统考）如图，在某城市中， ､ 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 、
、 、 、 是道路网中的 个指定交汇处. 今在道路网 ､ 处的甲､乙两人分别要到 ､ 处，他
们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达 ､ 处为止. 则下列说法正确
的是（ ）
A．甲从 到达 处的方法有 种
B．甲从 必须经过 到达 处的方法有 种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中 个指定交汇处相遇的概率为
15 构造法模型和递推模型
48．将 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方
格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）A．33 B．56 C．64 D．78
49．（2024·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过 次
传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．22种
50．（2024·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向
前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为
A．8种 B．13种 C．21种 D．34种
16 环排与多排问题
51．现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
52．（2024·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七
种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的
此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种
53．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙
丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有 位同学，
若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有 种，那么这 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为
（ ）
A． B． C． D．
17 配对型模型
54．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流.因保管不善，四个快递A､B､C､D上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这四个快递应分别送去甲､乙､丙､丁四个地方，全部送错
的概率是（ ）
A． B． C． D．
55．（2024·高二单元测试）箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件
A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为（ ）
A． B． C． D．
56．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则
取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为 ．
57．（2024·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992年至1995
年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在
戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事.影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激
励我们奋勇前行！该影片于2023年1月14日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇
带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院
要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有 种．
18 电路图模型
58．（2024·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）如图所示，在A， 间有四个焊接点1，2，3，
4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种.
59．（2024·高二课时练习）如图，在由开关组 与 组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有 种.
60．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方
法种数是 ．61．（2024·高二课时练习）如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个
电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有 种．
19 机器人跳动模型
62．（2024·北京大兴·高三统考期末）动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳
动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数
轴上可能位置的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
63．（2024·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）如图，由 个边长为1个单位的小
正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位
或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段 ，那么不同的走法共有 种．
20 波浪数模型
64．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮
不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（
）A． B． C． D．
65．（2024·安徽六安·高二六安一中校考）因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波
浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、
八个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．181 B．109 C．84 D．96
66．（2024·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一
排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递
减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．379 B．360 C．243 D．217
67．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递
增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增），则称其为“古典
数字”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有 个
