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专题 19 极值点偏移
一、核心先导
二、考点再现
考点1、极值点偏移基本定义
f (x) f(x)=f(2m−x) f (x)
众所周知，函数 满足定义域内任意自变量x都有 ，则函数 关于直线
x=m对称；可以理解为函数
f (x)
在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
f (x)
为单峰函数，则
x +x
1 2
x=m必为 f (x) 的极值点. 如二次函数 f (x) 的顶点就是极值点 x 0，若 f (x)=c 的两根的中点为 2
x +x
1 2 =x
，则刚好有 2 0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
() ∙ 5
4
3
2
1
2 2 4 6
1
2
3
f (x) f (x)
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 的极值点为m，且函数 满足定义域内
f (x)>f (2m−x) f (x) 1 2
①若 2 ，则称为极值点左偏；②若 2 ，则称为极值点右偏.
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
考点2、极值点偏移几种常考类型
f (x) x ,x x ≠x x +x >2x x f (x)
1. 若函数 存在两个零点 1 2且 1 2，求证： 1 2 0（ 0为函数 的极值点）；
f (x) x ,x x ≠x f (x )=f (x ) x +x >2x x f (x)
2. 若函数 中存在 1 2且 1 2满足 1 2 ，求证： 1 2 0（ 0为函数 的
极值点）；
x +x
3. 若函数 f (x) 存在两个零点 x 1 ,x 2且 x 1 ≠x 2，令 x 0 = 1 2 2 ，求证： f '(x 0 )>0 ；
x +x
4. 若函数 f (x) 中存在 x 1 ,x 2且 x 1 ≠x 2满足 f (x 1 )=f (x 2 ) ，令 x 0 = 1 2 2 ，求证： f '(x 0 )>0 .
考点3、极值点偏移的判定定理
y=f (x) (a,b) x f (x)=0
对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 0，方程 的解分别为
x ,x a)x
f(x )f(2x 0 −x 2 ) ，则
1
2
2 >(<)x
0 ，即函数 y=f (x) 在区间 (x 1 ,x 2 ) 上极（小）大值
x
点 0右（左）偏.
三、解法解密
运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、极值点偏移处理方法：
f (x) x
（1）求出函数 的极值点 0；
F(x)=f(x +x)−f(x −x)
（2）构造一元差函数 0 0 ；
F(x)
（3）确定函数 的单调性；
F(0)=0 F(x) f (x +x) f(x −x)
（4）结合 ，判断 的符号，从而确定 0 、 0 的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、答题模板
f (x) f (x )=f (x ) x f (x) x +x <2x
若已知函数 满足 1 2 ， 0为函数 的极值点，求证： 1 2 0.f (x) f (x) x
（1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 0；
f (x) (−∞,x ) (x ,+∞)
假设此处 在 0 上单调递减，在 0 上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]
F(x)=f(x +x)−f(x −x)
（2）构造 0 0 ；
F(x)=f(x)−f(2x −x)
注：此处根据题意需要还可以构造成 0 的形式.[来源:Zxxk.Com]
F'(x) F(x) F(x) f (x +x)
（3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 0 与
f(x −x)
0 的大小关系；
F(x) (0,+∞) F(x)>F(x )=f(x )−f(x )=0
假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 0 0 0 ，从而
x>x f (x +x)>f (x −x)
得到： 0时， 0 0 .
x x f (x +x)>f (x −x) x f [x −(x −x )]=f(2x −x ) x
