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专题 19 极值点偏移
一、核心先导
二、考点再现
考点1、极值点偏移基本定义
f (x) f(x)=f(2m−x) f (x)
众所周知，函数 满足定义域内任意自变量x都有 ，则函数 关于直线
x=m对称；可以理解为函数
f (x)
在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
f (x)
为单峰函数，则
x +x
1 2
x=m必为 f (x) 的极值点. 如二次函数 f (x) 的顶点就是极值点 x 0，若 f (x)=c 的两根的中点为 2
x +x
1 2 =x
，则刚好有 2 0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
() ∙ 5
4
3
2
1
2 2 4 6
1
2
3
f (x) f (x)
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 的极值点为m，且函数 满足定义域内
f (x)>f (2m−x) f (x)<f (2m−x) f (x)
x=m左侧的任意自变量x都有 或 ，则函数 极值点m左右侧x +x
1 2
变化快慢不同. 故单峰函数 f (x) 定义域内任意不同的实数 x 1 ,x 2满足 f (x 1 )=f (x 2 ) ，则 2 与极值
点m必有确定的大小关系：
x +x x +x
m< 1 2 m> 1 2
①若 2 ，则称为极值点左偏；②若 2 ，则称为极值点右偏.
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
考点2、极值点偏移几种常考类型
f (x) x ,x x ≠x x +x >2x x f (x)
1. 若函数 存在两个零点 1 2且 1 2，求证： 1 2 0（ 0为函数 的极值点）；
f (x) x ,x x ≠x f (x )=f (x ) x +x >2x x f (x)
2. 若函数 中存在 1 2且 1 2满足 1 2 ，求证： 1 2 0（ 0为函数 的
极值点）；
x +x
3. 若函数 f (x) 存在两个零点 x 1 ,x 2且 x 1 ≠x 2，令 x 0 = 1 2 2 ，求证： f '(x 0 )>0 ；
x +x
4. 若函数 f (x) 中存在 x 1 ,x 2且 x 1 ≠x 2满足 f (x 1 )=f (x 2 ) ，令 x 0 = 1 2 2 ，求证： f '(x 0 )>0 .
考点3、极值点偏移的判定定理
y=f (x) (a,b) x f (x)=0
对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 0，方程 的解分别为
x ,x a<x <x <b
1 2，且 1 2 ，
x +x
1 2 <(>)x
f(x )<f(2x −x ) 2 0 y=f (x) (x ,x )
（1）若 1 0 2 ，则 ，即函数 在区间 1 2 上极（小）大值
x
点 0右（左）偏；
x +x
（2）若 f(x 1 )>f(2x 0 −x 2 ) ，则
1
2
2 >(<)x
0 ，即函数 y=f (x) 在区间 (x 1 ,x 2 ) 上极（小）大值
x
点 0右（左）偏.
三、解法解密
运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、极值点偏移处理方法：
f (x) x
（1）求出函数 的极值点 0；
F(x)=f(x +x)−f(x −x)
（2）构造一元差函数 0 0 ；
F(x)
（3）确定函数 的单调性；
F(0)=0 F(x) f (x +x) f(x −x)
（4）结合 ，判断 的符号，从而确定 0 、 0 的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、答题模板
f (x) f (x )=f (x ) x f (x) x +x <2x
若已知函数 满足 1 2 ， 0为函数 的极值点，求证： 1 2 0.f (x) f (x) x
（1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 0；
f (x) (−∞,x ) (x ,+∞)
假设此处 在 0 上单调递减，在 0 上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]
F(x)=f(x +x)−f(x −x)
（2）构造 0 0 ；
F(x)=f(x)−f(2x −x)
注：此处根据题意需要还可以构造成 0 的形式.[来源:Zxxk.Com]
F'(x) F(x) F(x) f (x +x)
（3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 0 与
f(x −x)
0 的大小关系；
F(x) (0,+∞) F(x)>F(x )=f(x )−f(x )=0
假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 0 0 0 ，从而
x>x f (x +x)>f (x −x)
得到： 0时， 0 0 .
x <x <x f (x) f (x )=f (x ) f (x +x) f(x −x)
（4）不妨设 1 0 2，通过 的单调性， 1 2 ， 0 与 0 的大小关系得出
结论；
x>x f (x +x)>f (x −x) x <x <x f (x )=f (x )
接 上 述 情 况 ， 由 于 0时 ， 0 0 且 1 0 2， 1 2 ， 故
f(x )=f(x )=f [x +(x −x )]>f [x −(x −x )]=f(2x −x ) x <x 2x −x <x
1 2 0 2 0 0 2 0 0 2 ，又因为 1 0， 0 2 0且
f (x) (−∞,x ) x <2x −x x +x <2x
在 0 上单调递减，从而得到 1 0 2，从而 1 2 0得证.
x +x x +x x +x
f '( 1 2 )<0 1 2
x
1 2
（5）若要证明 2 ，还需进一步讨论 2 与 0的大小，得出 2 所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
x +x
此处只需继续证明：因为 x 1 +x 2 <2x 0，故
1
2
2 <x
0 ，由于 f (x) 在 (−∞,x 0 ) 上单调递减，故
x +x
f '( 1 2 )<0
2 .
【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
f (x) f (x +x)
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求 的单调性、极值点，证明 0
f(x −x) f (x) f(2x −x) x +x <2x
与 0 （或 与 0 ）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 1 2 0或
x +x
f '( 1 2 )<0
2 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来
四、考点解密
例1．（2022·甘肃酒泉·敦煌中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，且 ，使得 ，求证： .例2．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，证明 ；
(2)若 存在极值点 ，且对任意满足 的 ，都有 ，求a的取值范围．例3．（2022·天津河东·统考二模）已知函数 （ 且 ）．
(1) ，求函数 在 处的切线方程．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： ．
例4．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数
(1)求证：当 时， ；
(2)当方程 有两个不等实数根 时，求证：例5．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有且仅有两个零点 ，且 .
例6．（2022·全国·校联考模拟预测）已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程 有2个不等的实根 ，证明： .五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
2．（2021·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .3．（2021·江苏南通·一模）已知函数 ， .
（1）求函数 的增区间；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，且 ，求证： .
4．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，求证： .5．（2021·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知定义在 上的函数
．
（1）若 为定义域上的增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 ， ， ， 为 的极小值，求证： ．
6．（2021·江西萍乡·统考二模）已知函数 ，函数 满足
．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有两个不同的零点 、 ，证明： ．7．（2021·吉林松原·校考三模）设函数 ．
（1）当 有极值时，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若在 定义域内存在两实数 满足 且 ，证明： ．B组 能力提升
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）设方程 的两个根分别为 ， ，求证： .
9．（2018·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数 ( 且 )．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 、 ( )，且 ，证明： ．10．（2020·四川宜宾·校考三模）已知函数 ．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．C组 真题实战练
11．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
