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专题 19 立体几何中的角度与截面问题
一、单选题
1．（2024届】四川省仁寿高三上学期模拟）如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）在四面体ABCD中，已知 为等边三角形，
为等腰直角三角形，斜边 ， ，则二面角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023届山西省百师联盟高三下学期联考）在棱长为2的正方体 中，E为CD 上的动
1
点，则AE与平面 所成角的正切值不可能为（ ）
A．1 B． C． D．4．（2024届湖南省衡阳市高三上学期阶段性测试）如图所示，圆锥底面半径为2， 为底面圆心， ，
为底面圆 上的点，且 ， ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023届河南省五市高三下学期第二次联考）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，
圆锥 是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最
小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个
铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的
连线垂直向上折叠形成，即面 ，面 ，面 都与面 垂直，如图②，则经过三个顶点A，
B，C的球的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024届广东省阳江市高三上学期调研）三棱锥 中，，则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023届陕西省西安市高三高考综合测试）在三棱锥 中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC
是等腰直角三角形， ， ，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E
三点的平面 截三棱锥 所得截面为 ，给出下列结论：
①截面 的形状为正方形；
②截面 的面积等于 ；
③异面直线PA与BC所成角的余弦值为 ；
④三棱锥 外接球的表面积等于 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
9．（2023届河南省TOP二十名校高三下学期3月调研）正方体 的棱长为 ， 为
中点， 为平面 内一动点，若平面 与平面 和平面 所成锐二面角相等，则点 到
的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023届四川省成都市玉林中学高三适应性考试）如图，圆台 的上、下底面圆半径分别为1、
2，高 ，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（ ）A．该圆台的体积为
B．直线SA与直线 所成角最大值为
C．该圆台有内切球，且半径为
D．直线 与平面 所成角正切值的最大值为
11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期调研）已知一个棱长为2的正方体，点 是其内切球上两点，
是其外接球上两点，连接 ，且线段 均不穿过内切球内部，当四面体 的体积取
得最大值时，异面直线 与 的夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
12．（2023届河北省承德市高三下学期4月高考模拟）如图，正六棱柱 的各棱长
均为1，下列选项错误的是（ ）
A．过A， ， 三点的平面 截该六棱柱的截面面积为
B．过A， ， 三点的平面 将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
二、多选题
13．（2023届广东省惠州市惠东县高三上学期第二次教学质量检测）已知正方体 的棱长
为2，E为 中点，F为 中点，下面说法正确的是（ ）
A．异面直线 与EF所成角的正切值为
B．三棱锥 的体积为
C．平面 截正方体 截得的多边形是菱形
D．点B到直线EF的距离为
14．（2023届河北省盐山中学高三三模）在棱长为6的正方体 中， ，
，则（ ）
A．平面 截正方体所得截面为梯形
B．四面体 的外接球的表面积为
C．从点 出发沿正方体的表面到达点 的最短路径长为
D．若直线 与平面 交于点 ，则
15．（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图，在多面体 中， 平面 ，四边形
是正方形，且 ， ， 分别是线段 的中点， 是线段 上的一
个动点（含端点 ），则下列说法正确的是（ ）A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为
C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角逐渐增大
16．（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）在直三棱柱 中， ，且
， 为线段 的中点， 为棱 上的动点，平面 过 三点，则下列命题正
确的是（ ）
A．三棱锥 的体积不变
B．平面 平面ABE
C．当 与 重合时， 截此三棱柱的外接球所得的截面面积为 ；
D．存在点 ，使得直线BC与平面 所成角的大小为 ．
17．（2024届江西省红色十校高三上学期9月联考）如图，在多面体 中，平面 平面
，侧面 是正方形， 平面 ，四边形 与四边形 是全等的直角梯形，
，则下列结论正确的是（ ）A． B．异面直线 与 所成角的正弦值是
C．直线 与平面 所成角的正弦值是 D．多面体 的体积为
三、填空题
18．（2024届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面
所成的角都相等，则平面 截此正方体所得截面面积的最大值为 .
19．（2023届海南省高三全真模拟）如图，四棱锥 内接于圆柱， 为 的中点， 和 为
圆柱的两条母线， ，四边形 为正方形，平面 与平面 的交线 平面 ，当
四棱锥 的体积最大时，异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
20．在正方体 中，点 是 上的动点， 是平面 内的一点，且满足 ，
则二面角 余弦值的取值范围是 ．
21．如图，在长方体 中， ， ， 为 的中点，过 的平面 分别
与棱 ， 交于点E，F，且 ，则截面四边形 的面积为 .22．（2023届河南省开封市天成学校高三模拟）在三棱锥P-ABC中，
，点M，N分别是PB，BC的中点，且 ，则平面AMN截
三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是 ．
