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专题 19 立体几何中的角度与截面问题
一、单选题
1．（2024届】四川省仁寿高三上学期模拟）如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 互相垂直，
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
可得 ， ，
所以 .所以直线 与直线 夹角的余弦值为 .故选C.
2．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）在四面体ABCD中，已知 为等边三角形，
为等腰直角三角形，斜边 ， ，则二面角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，取AB中点M，连接CM，DM
因为 为等边三角形， 为等腰直角三角形
所以 ，
故 即为二面角 的平面角.
因为 ，所以 ，
所以
所以 即二面角 的大小为 .故选D.
3．（2023届山西省百师联盟高三下学期联考）在棱长为2的正方体 中，E为CD 上的动
1点，则AE与平面 所成角的正切值不可能为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
在 上取点 ，使得 ，连接 ，
由 ， 可知四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ， ，而 ．
所以 ．显然 ，故D不可能．故选D
4．（2024届湖南省衡阳市高三上学期阶段性测试）如图所示，圆锥底面半径为2， 为底面圆心， ，
为底面圆 上的点，且 ， ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接 ，取 ， ， 的中点分别为 ， ， ，连接 ，
则 ， ， 平面 ，
所以 （或其补角）为直线 与 所成的角，
又 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
因为 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
则由余弦定理得： ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ，故选A.
5．（2023届河南省五市高三下学期第二次联考）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，
圆锥 是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最
小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正三棱柱内切球半径即为 内切圆半径 ，
由等面积法可知， ，所以 ，所以 ，
设 分别为 和 外接圆的圆心，则 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，解得 ，
所以，圆锥轴截面面积 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，即轴截面面积的最小值是 .故选C
6．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个
铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的
连线垂直向上折叠形成，即面 ，面 ，面 都与面 垂直，如图②，则经过三个顶点A，
B，C的球的截面圆的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设三点 在底面上的射影分别为 ，
因为面 ，面 ，面 都与面 垂直，
所以 是 三边中点，
所以 与 全等，且所在平面互相平行，
所以经过三个顶点 的球的截面圆与 的外接圆相同，
由题意 ， ，
所以 的外接圆的半径为 ，
则经过三个顶点 的球的截面圆的面积为 .故选B.
7．（2024届广东省阳江市高三上学期调研）三棱锥 中，
，则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
取 中点，连接 ，
，
≌ ， ， ，
， 是边长为 的正三角形，
，
面 ， 面 ，
作 于 ， 面 ，
面 ， 面 ，
在 中，由余弦定理得
， ，
， ， ，
，
，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，
即 ，解得 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .故选A.
8．（2023届陕西省西安市高三高考综合测试）在三棱锥 中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC
是等腰直角三角形， ， ，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E
三点的平面 截三棱锥 所得截面为 ，给出下列结论：
①截面 的形状为正方形；
②截面 的面积等于 ；
③异面直线PA与BC所成角的余弦值为 ；
④三棱锥 外接球的表面积等于 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】取 的中点为 ，连接 ，
因为点 分别是棱 的中点，所以 ， ，可得 ；
又 ， ，即 ；
所以 四点共面，且四边形 为平行四边形，
取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：
易知 ，又 是等腰直角三角形，且 ，所以 ，可得 ；
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
易知 平面 ，可得 ；
又 ， ，所以 ，且 ，所以四边形 为正方形，
即截面 的形状为正方形，所以①正确；
由正方形面积公式可知，四边形 的面积为 ，即②错误；
设 ，可得 ，
所以 ，
易知 ， ，
在 中， ，所以 ，可得
；
所以 ，
所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为 ，即③正确；
易知 ， ，所以可得 ；
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
所以可得外接球球心 在 上，设 ，半径为 ，
则 ，解得 ， ；
所以三棱锥 外接球的表面积等于 ，即④正确；
所有正确结论的序号是①③④.故选C
9．（2023届河南省TOP二十名校高三下学期3月调研）正方体 的棱长为 ， 为
中点， 为平面 内一动点，若平面 与平面 和平面 所成锐二面角相等，则点 到的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先证明一个结论：若平面 与平面 所成二面角为 ，且 平面 ，则
.
证明：作 ，垂足为 ，连 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，即 .
设平面 与平面 和平面 所成锐二面角为 ，取 的中点 ，作 ，垂足为 ，
则三角形 在平面 内的射影是三角形 ，在平面 内的射影是三角形 ，
根据以上结论得 ， ，
在 中，设 边上高为 ，
，所以 ， ，所以 点轨迹为与 平行且距离为 的两条直线，所以 点到 的最短距离为 .
故选C
10．（2023届四川省成都市玉林中学高三适应性考试）如图，圆台 的上、下底面圆半径分别为1、
2，高 ，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该圆台的体积为
B．直线SA与直线 所成角最大值为
C．该圆台有内切球，且半径为
D．直线 与平面 所成角正切值的最大值为
【答案】B
【解析】对于A选项， ，则A选项正确．对于B选项，如图（1），过 作 垂直于下底面于点 ，则 ，
所以直线 与直线 所成角即为直线 与直线 所成角，即 为所求，
而 ，由圆的性质得， ，
所以 ，
因为 ，则B选项错误．
对于C选，设上底面半径为 ，下底面半径为 ，若圆台存在内切球，
则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，
高为 ，易得等腰梯形的腰为 ，假设等腰梯形有内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为 ，所以圆台存在内切球，
且内切球的半径为 ，则C选项正确；
对于D选项，如图（3），平面 即平面 ，过点 做 交 于点 ，因为 垂直于下底面，而 含于下底面，
所以 ，又 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以直线 与平面 所成角即为 ，
且 ．设 ，则 ，
所以 ，其中 ，
所以 ，
当 时， ，当 时，
．根据复合函数的单调性，
可知函数 ，在 上单调递增，
所以当 时， 有最大值，最大值为 ，所以D选项正确．
故选B.
11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期调研）已知一个棱长为2的正方体，点 是其内切球上两点，
是其外接球上两点，连接 ，且线段 均不穿过内切球内部，当四面体 的体积取
得最大值时，异面直线 与 的夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径 ，
依题意知， 最长为 ， 最长为内切球的直径2，
由三角形面积公式 ，若 为定值时， 时面积最大，
画出图形如图所示，其中 分别是所在正方形的中心， 是内切球与外接球的球心，
由正方体性质知 ， ， ， ，
又 ，故此时四面体 的体积取得最大，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 异面直线 与 所成的角，
在 中， ，
由余弦定理得 ，故选D
12．（2023届河北省承德市高三下学期4月高考模拟）如图，正六棱柱 的各棱长
均为1，下列选项错误的是（ ）A．过A， ， 三点的平面 截该六棱柱的截面面积为
B．过A， ， 三点的平面 将该六棱柱分割成体积相等的两部分
C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
【答案】B
【详解】对于A：过点A作 // ，设 ，
连接 ，设 ，
则过A， ， 三点的平面 截该六棱柱的截面即为 ，
可得 ，
因为 ，且 // ，则 ，
可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
， 平面 ，可得 平面 ，
平面 ，则 ，由 // ，则 ，
连接 ，则 ，
故截面面积 ，故A正确；
对于B：连接CE，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
， ， 平面 ，可得 平面 ，
则四棱锥 的高为 ，则其体积 ，
四棱柱 的体积 ，
三棱柱 的体积 ，
故平面 下半部分的体积 ，
正六棱柱 的体积 ，
显然 ，故B错误；
对于C：因为球的半径为1，则球只与侧面 、侧面 和底面 相交，因为 ，在侧面 、侧面 的交线为 个圆，在底面 的
交线为 个圆，半径均为1，
故交线的长为 ，故C正确；
对于D：因为球的半径为2，显然球不与侧面 、侧面 相交，
由选项A可知： 平面 ，且 ，
则球与侧面 、侧面 分别交于点 、 ，
连接 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
， 平面 ，可得 平面 ，
且 ，则球与侧面 的交线为 个圆，且半径为1，
同理可得：球与侧面 的交线为 个圆，且半径为1，
又因为 平面 ，且 ，
则球与底面 的交线为 个圆，且半径为 ，
又因为 ，则球与底面 的交点为D，所以球面与该六棱柱的各面的交线总长为 ，故D正确；
故选B.
二、多选题
13．（2023届广东省惠州市惠东县高三上学期第二次教学质量检测）已知正方体 的棱长
为2，E为 中点，F为 中点，下面说法正确的是（ ）
A．异面直线 与EF所成角的正切值为
B．三棱锥 的体积为
C．平面 截正方体 截得的多边形是菱形
D．点B到直线EF的距离为
【答案】ACD
【解析】由题意，
在正方体 中，
棱长为2，E为 中点，F为 中点，
建立空间直角坐标系如下图所示，∴ ，
，
A项，
∴ ，
设 和 夹角为 ，
∵ ，
，
∴异面直线 与EF所成角的正切值为： ，
A正确；
B项，
由图及几何知识得，，
故B错误；
C项，
补全平面 截正方体 截得的多边形如下图所示，
由几何知识得，
在四边形 中，
，
所以四边形 是菱形，
故C正确；
D项，
连接 如下图所示，
设点B到直线EF的距离为 ， 和 夹角为 ，
由几何知识得，， ，
，
，
∴ ，
故D正确.故选ACD.
14．（2023届河北省盐山中学高三三模）在棱长为6的正方体 中， ，
，则（ ）
A．平面 截正方体所得截面为梯形
B．四面体 的外接球的表面积为
C．从点 出发沿正方体的表面到达点 的最短路径长为
D．若直线 与平面 交于点 ，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A，如图1所示，CE在底面内延长与DA的延长线相交，该点在截面内，连接该点与F
点，与 相交于H点，与 的延长线交于一点，该点在后侧面内，再次连接该点与C点交 于G点，
连接 ,则该截面形状为五边形，故A错误；
对于选项B，四面体 的外接球以 为直径，即 ，则表面积
，故B正确；
对于选项C，因该几何体为正方体，点 到点 的最短路径，考察的是侧面展开图的问题，可以右侧面与上底面展开，是两个正方形合一起，可以是下底面与左侧面展开，也是两个正方形合一起，只能是左侧面
与后侧面的展开图，为一个正方形和正方形里的一小部分小矩形，所以其路径最短如图2所示，
，故C正确；
对于选项D，结合选项A，记平面 与直线 ， 的交点分别为 ， ，如图3所示，则
，故D正确.
故选BCD.
15．（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图，在多面体 中， 平面 ，四边形
是正方形，且 ， ， 分别是线段 的中点， 是线段 上的一
个动点（含端点 ），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角逐渐增大
【答案】ACD
【解析】以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ， ，
；
对于A，假设存在点 ，使得 ，
则 ，又 ，
所以 ，解得： ，
即点 与 重合时， ，A正确；
对于B，假设存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为 ，
因为 ， ，
所以 ，方程无解；
所以不存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为 ，B错误；
对于C，连接 ；设 ，
因为 ，
所以当 ，即点 与点 重合时， 取得最大值 ；
又点 到平面 的距离 ，
所以 ，C正确；
对于D，由上分析知： ， ，
若 是面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，设直线 与平面 所成的角为 ， ，
所以 ，
当点 自 向 处运动时， 的值由 到 变大，此时 也逐渐增大，
因为 在 为增函数，所以 也逐渐增大，故D正确.故选ACD.
16．（2024届广东省南粤名校高三上学期9月联考）在直三棱柱 中， ，且
， 为线段 的中点， 为棱 上的动点，平面 过 三点，则下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积不变
B．平面 平面ABE
C．当 与 重合时， 截此三棱柱的外接球所得的截面面积为 ；
D．存在点 ，使得直线BC与平面 所成角的大小为 ．
【答案】ABC
【解析】A选项，由于 为棱 上的动点，故 为定值，
又 到平面 的距离为2，
故 为定值，A正确；
B选项，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
由于 ，
故平面 平面 ；
C选项，连接 相交于点 ，
直三棱柱 中， ，故此三棱柱的外接球即为以 为长宽高的长方体的外接
球，
则此点 即为外接球球心，其中 ，故 ，
外接球半径为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，
故 ，
故点 到平面 的距离为 ，则 截此三棱柱的外接球所得的截面圆的半径为 ，
故截面面积为 .
故当 与 重合时， 截此三棱柱的外接球所得的截面面积为 ，C正确；
D选项，设 ，由B选项可知，平面 的法向量为 ，
假设存在点 ，使得直线BC与平面 所成角的大小为 ，
则 ，
即 ，整理得， ，
由于 ，方程无解，
故直线BC与平面 所成角的大小不为 ，D错误.故选ABC
17．（2024届江西省红色十校高三上学期9月联考）如图，在多面体 中，平面 平面
，侧面 是正方形， 平面 ，四边形 与四边形 是全等的直角梯形，
，则下列结论正确的是（ ）A． B．异面直线 与 所成角的正弦值是
C．直线 与平面 所成角的正弦值是 D．多面体 的体积为
【答案】AD
【解析】对于A，由正方形 ，得 ，由 平面 ， 平面 ，
得 ，又 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，所以 ，A正确；
对于B，显然 ，则 即为异面直线 与 所成的角（或其补角），
过点 作 交 于点 ，连接 ，又 ，则四边形 为平行四边形，
则 ，有 ，又 ，于是 ，
显然 平面 ， 平面 ，则 ， ，
而 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
从而 ， ，所以 ，B错误；
对于C，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，而 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值不是 ，C错误；
对于D，由选项C知， ，在 中， ，
由余弦定理得 ，则 ，
则 的面积为 ，
又 ，直线 与平面 所成角的正弦值是 ，
因此点 到平面 的距离为 ，
所以多面体 的体积
，D正确.故选AD
三、填空题
18．（2024届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面
所成的角都相等，则平面 截此正方体所得截面面积的最大值为 .
【答案】
【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体 中，平面 与直线 ， ， 所成的角是相等的，
所以平面 与平面 平行，
由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边
长为 ，
所以其面积为 .
19．（2023届海南省高三全真模拟）如图，四棱锥 内接于圆柱， 为 的中点， 和 为
圆柱的两条母线， ，四边形 为正方形，平面 与平面 的交线 平面 ，当
四棱锥 的体积最大时，异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：设 ，因为 ，所以 ，
则 ，
，令 ，得 或 （舍去），
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，此时 ，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
20．在正方体 中，点 是 上的动点， 是平面 内的一点，且满足 ，
则二面角 余弦值的取值范围是 ．
【答案】【解析】连接 、 、 、 ，设 ，连接 、 ，如下图所示：
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，
因为四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 是平面 内的一点，且满足 ，所以，点 的轨迹为线段 ，
设正方体 的棱长为 ，则 ，
因为四边形 为正方形， ，则 为 的中点，且 ，
由勾股定理可得 ，则 ，
所以，二面角 的平面角为 ，
由图可知，当点 与点 重合时， 最大，
， ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
此时， ；
当 与点 重合时， 最小，
此时， ，
又因为函数 在 上单调递减，所以， ，因此，二面角 的余弦值的取值范围 .
21．如图，在长方体 中， ， ， 为 的中点，过 的平面 分别
与棱 ， 交于点E，F，且 ，则截面四边形 的面积为 .
【答案】
【解析】如图：
过点B作 的平行线分别与 ， 的延长线交于G，H，连接 ， ，
并分别与 ， 交于E，F，因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以平面 即为平面 ，因为 ， ，
所以 ，所以四边形 为菱形，且 ， ，
所以 .
22．（2023届河南省开封市天成学校高三模拟）在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且 ，则平面AMN截
三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是 ．
【答案】
【解析】因为 ，M是PB的中点，所以 ，
又 平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC 平面PBC，
所以 ，
又 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB，AB 平面PAB，
所以
在△ABC中， ，
所以 ，
在△PAC中， ，所以 ，所以 ，
取PC的中点O，又 PA，
所以 ，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，
因为 ，故外接球半径为 ，
设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，
故 ，即 ，得 ，
所以 ，
所以截面圆的面积为 ．
