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专题 19 计数原理（理科专用）
1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不
站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种
排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插
入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同
学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，
故选：B
2．【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰
壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则
不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排
列，乘法原理求得.
【详解】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名
志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四
个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案，故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先
选后排思想求解.
3．【2020年新课标1卷理科】 的展开式中x3y3的系数为
（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与
展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系
数，问题得解.
【详解】
展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能
力，属于中档题.
4．【2020年新课标2卷文科】如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a .设
1 2 12
1≤i
