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专题 19 计数原理（理科专用）
1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不
站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种
排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插
入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同
学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，
故选：B
2．【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰
壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则
不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排
列，乘法原理求得.
【详解】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名
志愿者中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四
个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案，故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先
选后排思想求解.
3．【2020年新课标1卷理科】 的展开式中x3y3的系数为
（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与
展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系
数，问题得解.
【详解】
展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能
力，属于中档题.
4．【2020年新课标2卷文科】如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a .设
1 2 12
1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称
ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数
之和为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足
从 开始，利用列举法即可解出．
【详解】
根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；
．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；
．
故个数之和为10．故选：C．
【点睛】
本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
5．【2020年新高考1卷（山东卷）】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学
只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法
共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
6．【2020年新高考2卷（海南卷）】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能
选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】
第一步，将3名学生分成两个组，有 种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有 种安排方法
所以，不同的安排方法共有 种
故选：C
【点睛】
解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
7．【2019年新课标3卷理科】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】
由题意得x3的系数为 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
8．【2018年新课标3卷理科】 的展开式中 的系数为
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：写出 ，然后可得结果
详解：由题可得
令 ,则
所以
故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
9．【2022年新高考1卷】 ( 1− y) (x+ y) 8 的展开式中x2y6的系数为________________
x
（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】
【分析】
( 1− y) (x+ y) 8 可化为(x+ y) 8− y (x+ y) 8 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
x x
【详解】
因为 ( 1− y) (x+ y) 8=(x+ y) 8− y (x+ y) 8 ，
x x
所以 ( 1− y) (x+ y) 8 的展开式中含x2y6的项为C6x2y6− y C5x3y5=−28x2y6 ，
x 8 x 8
( 1− y) (x+ y) 8 的展开式中x2y6的系数为-28
x
故答案为：-28
10．【2020年新课标2卷理科】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只
去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法
计数原理得解.
【详解】
4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排
1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考
查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．【2020年新课标3卷理科】 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】
写出 二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握 的展开通项公式 ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
12．【2018年新课标1卷理科】从 位女生， 位男生中选 人参加科技比赛，且至少有
位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从 人中任选 人的选法种
数，之后应用减法运算，求得结果.
【详解】
根据题意，没有女生入选有 种选法，从 名学生中任意选 人有 种选法，
故至少有 位女生入选，则不同的选法共有 种，故答案是 .
【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一
般方法是得出选 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还
可以用直接法，分别求出有 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求
解.
