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培优点 1 洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决能成
立或恒成立问题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛
必达法则．
法则1
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝0及lim g(x)＝0;
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g′(x)≠0;
(3)lim ＝k，
那么lim ＝lim ＝k.
法则2
若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g′(x)≠0;
(3)lim ＝k，
那么lim ＝lim ＝k.
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求最值问题．
考点一 利用洛必达法则求型最值
例1 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值
范围．
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规律方法 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，采用分类讨论、假设反证法．若采取参
数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义
点处，或趋于无穷，此时，利用洛必达法则即可求解．洛必达法则可连续多次使用，直到求
出极限为止．
跟踪演练1 已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
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考点二 利用洛必达法则求型最值
例2 已知函数f(x)＝ax－a－xln x．若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
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规律方法 对于不常见的类型0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞等，利用洛必达法则求极限，一般先
通过转换，化成，型求极限．
跟踪演练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.若x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围．
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