文档内容
2025-2026学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的。
1．（5分）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设集合A＝{﹣3，1}，B＝{﹣3，a﹣1，a2﹣1}，若A B，则a的值不可能是（ ）
A．﹣2 B． C． ⊆ D．2
3．（5分）等差数列{a }的前n项和为S ，公差为d，若S ＝S ，a ＝1，则d＝（ ）
n n 3 9 6
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．（5分）已知命题p： x （0，+∞），x＞sinx；命题，则（ ）
A．p和q都是真命题∀ ∈ B．p和￢q都是真命题
C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
5．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当4≤x＜6时，f（x）＝log （x﹣3），则f
0.5
（﹣1）＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
6．（5分）将函数f（x）＝cos（2x+ ）（ ＞0）的图象向左平移个单位长度，得到函数 g（x）的图象，
若g（x）在区间上单调递增，则 φ的最小φ值为（ ）
A． B． φ C． D．
7．（5分）已知 ， 是两个不相等的锐角，且满足sin（ ﹣ ）+3cos（ ﹣ ）＝3，，则sin sin 的值
为（ ） α β α β α β α β
A． B． C． D．
8．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A ，A ，左、右焦点分别是F ，F .若C
1 2 1 2
的渐近线方程为y＝±x，焦距为4，动点P满足5，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，
乙试验区选择第二种养殖方法．收获时，从两个试验区各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的
产量（单位：千克），其频率分布直方图如图所示．
第1页（共16页）记事件C＝“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中a＝0.35，b＝0.10
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
（多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过第一象限C
上一点P作l的垂线，垂足为Q，线段QF与C相交于点M．若|PF|＝2p，则（ ）
A．直线PF的斜率为 B．FQ为∠HFP的平分线
C．△MPF的面积为 D．H，M，P三点共线
（多选）11．（6分）设a≥0，已知函数，x R，则（ ）
A．函数f（x）在（0，1）上无极值点 ∈
B．函数f（x）在（2，+∞）上可能单调递增
C．当x＞0时，
D．当a＜x＜3时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5 分）直线 y＝x+3 与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 相交于 A，B 两点，则|AB|＝
．
13．（5分）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面
积为 ．
14．（5分）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的
胜负相互独立．现进行n局练习，规定胜局多者获胜，记“n局练习甲获胜”的概率为P ，则P ﹣P
n 7 5
＝ ．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，直线AC⊥平面ABB A ，E是棱BB 上一点，AB＝AC，
1 1 1 1 1 1
BB ＝3BE＝3，∠BAA ＝135°．
1 1
第2页（共16页）（1）求证：CE⊥AA ；
1
（2）求直线CE与平面A B C 所成角的正弦值．
1 1 1
16．（15分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，．
（1）求tanB的值；
（2）若△ABC为非直角三角形，且满足asin2C+ccosA＝b，c＝2，求a的值．
17．（15分）已知数列{a }和{b }满足2a ＝3a +b +4，2b ＝3b +a ﹣4，a ＝1，b ＝2．
n n n+1 n n n+1 n n 1 1
（1）证明：数列{a +b }是等比数列，并求出{a +b }的通项公式；
n n n n
（2）将数列{a ﹣b }，{a +b }中的所有项从小到大排列组成新数列{c }，记{c }的前n项和为S ，求
n n n n n n n
S ．
60
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点，F是Γ的右焦点，O为坐标原点．
（1）求Γ的方程；
（2）设P（﹣4，0），过点P的直线与Γ依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线AO，BF分
别与Γ交于另一点C，D．
（i）当C，D两点重合时，求直线AB的方程；
（ii）当C，D两点不重合时，直线CD与x轴交点为Q，求△ABQ面积的最大值．
19．（17分）已知a R，函数f（x）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2）．
（1）证明：曲线∈y＝f（x）关于直线x＝1对称；
（2）当时，求f（x）的最小值；
（3）当a＝ 时，若存在互不相等的三个大于 1的实数x ，x ，x ，满足f（x ）＝f（x ），且f′
0 1 2 1 2
（x ）＝0，证π明：．
0
第3页（共16页）2025-2026学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B D C C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的。
1．（5分）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：在复平面内，复数1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
2．（5分）设集合A＝{﹣3，1}，B＝{﹣3，a﹣1，a2﹣1}，若A B，则a的值不可能是（ ）
A．﹣2 B． C． ⊆ D．2
【分析】利用集合间的关系以及集合元素的互异性求解．
【解答】解：当a﹣1＝1时，解得a＝2，此时B＝{﹣3，1，3}，符合题意；
当a2﹣1＝1时，解得a＝±，
a时，B＝{﹣3，1，1}，符合题意；
a时，B＝{﹣3，1，1}，符合题意；
综上可得，a的值不可能是﹣2．
故选：A．
3．（5分）等差数列{a }的前n项和为S ，公差为d，若S ＝S ，a ＝1，则d＝（ ）
n n 3 9 6
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】利用等差数列的性质求解．
【解答】解：等差数列{a }的前n项和为S ，公差为d，S ＝S ，a ＝1，
n n 3 9 6
∴，
第4页（共16页）解得d＝﹣2．
故选：B．
4．（5分）已知命题p： x （0，+∞），x＞sinx；命题，则（ ）
A．p和q都是真命题∀ ∈ B．p和￢q都是真命题
C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
【分析】结合三角函数线检验p的真假，结合指数与一次函数图象检验选项B，然后结合复合命题真
假即可求．
【解答】解：结合三角函数线可知，当正弦函数性质可知，当 x （0，]时，y＝sinx的图象恒在y＝x
下方，即sinx＜x， ∈
当x时．sinx≤1＜x，
故x＞sinx恒成立，命题p： x （0，+∞），x＞sinx为真命题；
当x＞0时，y＝ex的图象恒在∀y∈＝x上方，
命题为假命题，
故￢q为真命题，￢p为假命题．
故选：B．
5．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当4≤x＜6时，f（x）＝log （x﹣3），则f
0.5
（﹣1）＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
【分析】根据题意，由函数的周期性和奇偶性可得f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣f（5），结合函数的解析式
计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣f
（5），
又由当4≤x＜6时，f（x）＝log （x﹣3），则f（5）＝log （5﹣3）＝﹣1，
0.5 0.5
则f（﹣1）＝﹣f（5）＝1．
故选：D．
6．（5分）将函数f（x）＝cos（2x+ ）（ ＞0）的图象向左平移个单位长度，得到函数 g（x）的图象，
若g（x）在区间上单调递增，则 φ的最小φ值为（ ）
A． B． φ C． D．
【分析】结合三角函数图象平移变换求出g（x），然后结合余弦函数单调性即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝cos（2x+ ）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x）的
图象， φ
第5页（共16页）当时，，
若g（x）在区间上单调递增，
则，k Z，
解得 ∈，k Z，
因为φ＞0∈，故 的最小值为，经检验符合题意．
故选：φC． φ
7．（5分）已知 ， 是两个不相等的锐角，且满足sin（ ﹣ ）+3cos（ ﹣ ）＝3，，则sin sin 的值
为（ ） α β α β α β α β
A． B． C． D．
【分析】根据sin（ ﹣ ）+3cos（ ﹣ ）＝3，结合同角三角函数的平方关系求出或，结合题意算出不
符合题意，从而可得αcoβs（ ﹣ ），α结β合，运用两角和与差的余弦公式求出sin sin 的值，即可得到本
题的答案． α β α β
【解答】解：根据，
解得或，
结合 、 是两个不相等的锐角，可知不符合题意，
所以αsin（β ﹣ ），cos（ ﹣ ），
由，解得sαin βsin ． α β
故选：C． α β
8．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A ，A ，左、右焦点分别是F ，F .若C
1 2 1 2
的渐近线方程为y＝±x，焦距为4，动点P满足5，则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据双曲线定义和向量点积确定点P的轨迹为圆，再结合向量运算的几何意义与中点坐标
的范围，即可判断四个选项的正误．
【解答】解：由题得，2c＝4，c2＝a2+b2，
可得双曲线的方程为，F （﹣2，0），F （2，0），
1 2
设P（x，y），因为，所以（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）＝5，即x2+y2＝9，
点P的轨迹是以O为圆心，3为半径的圆，
，A选项错误；
|，B选项错误；
设线段F A 的中点为Q，可得，
1 2
第6页（共16页），故，C选项错误；
，故D选项正确．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，
乙试验区选择第二种养殖方法．收获时，从两个试验区各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的
产量（单位：千克），其频率分布直方图如图所示．
记事件C＝“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中a＝0.35，b＝0.10
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
【分析】根据频率分布直方图的性质，众数的概念，平均数的概念，百分位数的概念，针对各个选项
分别求解即可．
【解答】解：因为乙试验区产量不低于19千克的频率为0.7＝a+0.2+0.15，
所以a＝0.35，所以0.05+b+0.15＝0.3，所以b＝0.10，所以A选项正确；
因为甲试验区产量的众数为17.5，乙试验区产量的众数为19.5，所以B选项错误；
由两频率分布直方图的分布可知：
甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，所以C选项正确；
因为甲试验区产量的85%分位数为19，
所以甲试验区产量的75%分位数小于19，
又乙试验区产量的前三组的频率之和为0.3，前4组的频率之和为0.65，
所以乙试验区产量的中位数大于19，所以D选项错误．
故选：AC．
第7页（共16页）（多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过第一象限C
上一点P作l的垂线，垂足为Q，线段QF与C相交于点M．若|PF|＝2p，则（ ）
A．直线PF的斜率为 B．FQ为∠HFP的平分线
C．△MPF的面积为 D．H，M，P三点共线
【分析】由抛物线的方程及定义，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式逐一判断即可得
解．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为第一象限C上的点，
又|PF|＝2p，，
则，
则，p，
即，
对于A，直线PF的斜率为，即A正确；
对于B，由题意可得，
则，
则，，，
即FQ为∠HFP的平分线，即B正确；
对于C，直线FQ的方程为，
联立直线FQ与抛物线方程，
消去y可得：，
即，
则或（舍），
即，
则△MPF的面积为，即C错误；
对于D，，，
即k ＝k ，
HP HM
则H，M，P三点共线，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）设a≥0，已知函数，x R，则（ ）
A．函数f（x）在（0，1）上无极值点 ∈
B．函数f（x）在（2，+∞）上可能单调递增
C．当x＞0时，
D．当a＜x＜3时，
第8页（共16页）【分析】对函数求导，通过分析导数在不同区间的符号，判断函数是否存在极值点，直接验证选项
A、B的正误；
构造并化简不等式，证明对x＞0恒成立，验证选项C；
换元t＝x﹣a，结合选项C的结论进行放缩推导，验证选项D．
【解答】解：已知a≥0，对函数求导，得，
当x （0，1）时，f'（x）＞0，故f（x）无极值点，A选项正确；
当x∈（2，+∞）时，存在x
0
＝2+2a，使得f'（x
0
）＜0，B选项错误；
当x∈＞0时，，C选项正确；
当a＜x＜3时，令t＝x﹣a （0，3﹣a），
由选项C，得， ∈
于是f（t）﹣f（1）
，选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝ 2 ．
【分析】求出圆心（1，2）到直线y＝x+3的距离d，圆半径r，利用勾股定理能求出|AB|．
【解答】解：直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，
圆心（1，2）到直线y＝x+3的距离为d，
圆半径r＝2，
∴|AB|＝222．
故答案为：2．
13．（5分）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面
积为 ．
【分析】首先设出球心的位置，利用勾股定理求出外接球的半径，再求表面积．
【解答】解：由题意，正四棱锥的顶点为P，底面中心为O′，PO′为正四棱锥的高，点O为外接球
球心，如图所示：
第9页（共16页）所以AB＝BC＝AD＝CD，BO′＝1，PO′，
设外接球的半径为R，所以OB2＝OO′2+O′B2，
即，解得R，
所以球的表面积为4 R2．
故答案为：． π
14．（5分）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的
胜负相互独立．现进行n局练习，规定胜局多者获胜，记“n局练习甲获胜”的概率为P ，则P ﹣P
n 7 5
＝ ．（用数字作答）
【分析】根据题意，设n局练习中，甲获胜的局数为X，则X～B（n，），由此求出P 和P ，计算可
7 5
得答案．
【解答】解：根据题意，设n局练习中，甲获胜的局数为X，则X～B（n，），
当n＝7时，则P ＝P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）+P（X＝7）
7
（）4×（）3（）5×（）2（）6（）7，
当n＝5时，则P ＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）
5
（）3×（）2（）4（）5，
故P ﹣P ．
7 5
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，直线AC⊥平面ABB A ，E是棱BB 上一点，AB＝AC，
1 1 1 1 1 1
BB ＝3BE＝3，∠BAA ＝135°．
1 1
（1）求证：CE⊥AA ；
1
（2）求直线CE与平面A B C 所成角的正弦值．
1 1 1
第10页（共16页）【分析】（1）由题意先证AA ⊥平面ACE，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
1
（2）建立空间直角坐标系，求出平面A B C 的一个法向量，利用向量法求解即可．
1 1 1
【解答】解：.（1）证明：连结AE，由题意得∠ABE＝45°，结合，BE＝1，
可得，
即AE＝1，于是AB2＝AE2+BE2，
即∠AEB＝90°，AE⊥BB ，
1
因为AA ∥BB ，所以AE⊥AA ，
1 1 1
又因为AC⊥平面ABB A ，AA 平面ABB A ，所以AC⊥AA ，
1 1 1 1 1 1
又AE∩AC＝A，所以AA
1
⊥平面⊂ACE，
因为CE 平面ACE，
所以AA 1⊂⊥CE；
（2）以A为原点，AE，AA ，AC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
1
，E（1，0，0），A （0，3，0），B （1，2，0），，
1 1
，，，
设平面A B C 的一个法向量，
1 1 1
则，即，
令x＝1，则，
第11页（共16页）记直线CE与平面A B C 所成角为 ，
1 1 1
则， θ
因此直线CE与平面A B C 所成角的正弦值为．
1 1 1
16．（15分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，．
（1）求tanB的值；
（2）若△ABC为非直角三角形，且满足asin2C+ccosA＝b，c＝2，求a的值．
【分析】（1）根据余弦定理即可求解；
（2）根据两角和差公式即可求解．
【解答】解：（1）因为，所以，
即，
由余弦定理得，于是；
（2）因为asin2C+ccosA＝b，所以sinAsin2C+sinCcosA＝sinB，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
故sinAsin2C＝sinAcosC，因为sinA≠0，所以sin2C＝cosC，于是2sinCcosC＝cosC，即cosC＝0或，
因为△ABC不为直角三角形，故，即或，
因为，所以，故，
又，，
故，
因此．
17．（15分）已知数列{a }和{b }满足2a ＝3a +b +4，2b ＝3b +a ﹣4，a ＝1，b ＝2．
n n n+1 n n n+1 n n 1 1
（1）证明：数列{a +b }是等比数列，并求出{a +b }的通项公式；
n n n n
（2）将数列{a ﹣b }，{a +b }中的所有项从小到大排列组成新数列{c }，记{c }的前n项和为S ，求
n n n n n n n
S ．
60
【分析】（1）根据等比数列的定义及通项公式，即可证明与求解；
（2）根据题意易得a +b ＝3×2n﹣1，a ﹣b ＝4n﹣5，从而可得{c }的前60项和为数列{a +b }的前7项
n n n n n n n
和与数列{a ﹣b }的前53项和的总和，进而可求解．
n n
【解答】解：（1）证明：因为2a ＝3a +b +4，2b ＝3b +a ﹣4，a ＝1，b ＝2，
n+1 n n n+1 n n 1 1
所以2（a +b ）＝4（a +b ），
n+1 n+1 n n
所以a +b ＝2（a +b ），又a +b ＝3，
n+1 n+1 n n 1 1
所以数列{a +b }是以2为公比，首项为3的等比数列，
n n
所以a +b ＝3×2n﹣1；
n n
第12页（共16页）（2）因为2a ＝3a +b +4，2b ＝3b +a ﹣4，a ＝1，b ＝2，
n+1 n n n+1 n n 1 1
所以2（a ﹣b ）＝2（a ﹣b ）+8，
n+1 n+1 n n
所以（a ﹣b ）﹣（a ﹣b ）＝4，又a ﹣b ＝﹣1，
n+1 n+1 n n 1 1
所以数列{a ﹣b }是以4为公差，首项为﹣1的等差数列，
n n
所以a ﹣b ＝﹣1+（n﹣1）×4＝4n﹣5，又根据（1）可知a +b ＝3×2n﹣1，
n n n n
所以当n＝7，时a +b ＝192，n＝8时，a +b ＝384；
n n n n
当n＝50时，a ﹣b ＝195，当n＝53时，a ﹣b ＝207，
n n n n
所以{c }的前60项和为数列{a +b }的前7项和与数列{a ﹣b }的前53项和的总和，
n n n n n
所以S 5840．
60
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点，F是Γ的右焦点，O为坐标原点．
（1）求Γ的方程；
（2）设P（﹣4，0），过点P的直线与Γ依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线AO，BF分
别与Γ交于另一点C，D．
（i）当C，D两点重合时，求直线AB的方程；
（ii）当C，D两点不重合时，直线CD与x轴交点为Q，求△ABQ面积的最大值．
【分析】（1）利用已知条件求出a、b即可得解；
（2）设直线AB的方程为y＝k（x+4），k＞0，A（x ，y ），B（x ，y ），易知C（﹣x ，﹣y ），联
1 1 2 2 1 1
立直线AB与椭圆方程，由韦达定理得两根之和与两根之积，设BF的直线方程为y＝k （x﹣1），联立
1
直线BF和椭圆方程，可得，
（i）当C，D重合时，可得﹣2x x +5（x ﹣x ）+8＝0，代入韦达定理，结合已知条件求出k即可得解；
1 2 1 2
（ii）由题可得CD的方程，令y＝0，可求得，从而可得△ABQ的面积，然后利用基本不等式即可求
解．
【解答】解：（1）由题可得，解得，
所以椭圆的方程为1；
（2）由题，设直线AB的方程为y＝k（x+4），k＞0，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立，化简得（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，
则Δ＝144（1﹣4k2）＞0，即，
所以，易知C（﹣x ，﹣y ），
1 1
设BF的直线方程为y＝k （x﹣1），其中k ，
1 1
联立，化简得（43）x2﹣8x+412＝0，
则x
D
第13页（共16页），
（i）当C，D重合时，x +x ＝0，即0，
1 D
即﹣2x x +5（x ﹣x ）+8＝0，代入得8＝0，
1 2 1 2
化简得64k4+36k2﹣9＝0，解得k2或k2（舍去），
因为k＞0，所以k，
故直线AB的方程为y（x+4）；
（ii）因为x ，所以y ，
D D
则直线CD的方程为y，令y＝0，
得x
，
即直线CD过定点Q，
△ABQ的面积为S||
，
当，即k时，
取得△ABQ的面积的最大值．
19．（17分）已知a R，函数f（x）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2）．
（1）证明：曲线∈y＝f（x）关于直线x＝1对称；
（2）当时，求f（x）的最小值；
（3）当a＝ 时，若存在互不相等的三个大于 1的实数x ，x ，x ，满足f（x ）＝f（x ），且f′
0 1 2 1 2
（x ）＝0，证π明：．
0
【分析】（1）应用对称轴定义证明；
（2）求出导函数，再化简得出导函数为正，进而函数单调递增即可得出最小值；
（3）先求出导函数得出函数单调性，再构造函数构造F（x）＝f（2x ﹣x）﹣f（x），x （x ，2），
0 0
应用单调性即可证明不等式． ∈
【解答】解：（1）证明：函数f（x）的定义域为（0，2），
因为f（2﹣x）＝cos（a（2﹣x）﹣a）﹣ln（2（2﹣x）﹣（2﹣x）2）
第14页（共16页）＝cos（a﹣ax）﹣ln（2x﹣x2）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2），
所以f（2﹣x）＝f（x），即曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称；
（2）根据对称性，只需研究x [1，2）时，函数f（x）的性质，
，f'（1）＝0， ∈
，
h'（x）（x）＝﹣a2cos（ax﹣a）a2cos（ax﹣a）．
令，t （1，+∞），则，
当时，∈有a2cos（ax﹣a）≤a2＜2，
故h'（x）＞﹣a2+2＞0，h（x）在（1，2）上单调递增，于是h（x）＞h（1）＝0，
即f'（x）＞0恒成立，f（x）在（1，2）上单调递增，所以函数f（x）的最小值为f（1）＝1；
（3）证明：当a＝ 时，，x （1，2），，
令，t （1，+∞），π设， ∈
可知p∈（x）在（1，2）上单调递增，
又﹣ 2cos（ x﹣ ）在（1，2）上单调递增，
所以π在（1，π2）上π单调递增，
而h'（1）＝﹣ 2+2＜0，，故，使得h（δ）＝0，
当x （1，δ）时π，h'（x）＜0，当x （b，2）时，h'（x）＞0，
所以∈h（x）在（1，δ）上单调递减，∈h（x）在（δ，2）上单调递增，
因为h（1）＝0，，，
所以），使得h（x ）＝0，当x （1，x ）时，h（x）＜0，当x （x ，2）时，h（x）＞0，
0 0 0
所以f（x）在（1，x
0
）上单调递∈减，f（x）在（x
o
，2）上单调递∈增，
不妨令1＜x ＜x ＜x ＜2，要证，即证x +x ＜2x ，
1 0 2 1 2 0
构造F（x）＝f（2x ﹣x）﹣f（x），x （x ，2），
0 0
F′（x）＝﹣f′（2x
0
﹣x）﹣f′（x）∈＝﹣h（2x
0
﹣x）﹣h（x），
令H（x）＝﹣h（2x ﹣x）﹣h（x），H'（x）＝h'（2x ﹣x）﹣h'（x），
0 0
因为x （x ，2），所以2x ﹣x （1，2），y＝2x ﹣x是关于x的减函数，
0 0 0
又因为∈h'（x）在（1，2）上单调∈递增，所以h'（2x
0
﹣x）在（1，2）上单调递减，
所以H'（x）在（x ，2）上单调递减，且H'（x）＜H'（x ）＝0，
0 0
所以H（x）在（x ，2）上单调递减，即F′（x）在（x ，2）上单调递减，所以F'（x）＜F'（x ）＝
0 0 0
0，
所以F（x）在（x ，2）上单调递减，且F（x）＜F（x ）＝0，
0 0
第15页（共16页）所以f（2x ﹣x）＜f（x），而x （x ，2），即f（2x ﹣x ）＜f（x ）＝f（x ），
0 2 0 0 2 2 1
又2x
0
﹣x
2
（1，x
0
），x
1
（1，∈x
0
），f（x）在（1，x
0
）上单调递减，
所以2x 0 ﹣∈x 2 ＞x 1 ，即． ∈
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