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2025-2026 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的。
1．（5分）在复平面内， 对应的点位于（ ）
2
A．第一象限 1B+ ． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设集合A＝{﹣3，1}，B＝{﹣3，a﹣1，a2﹣1}，若A B，则a的值不可能是（ ）
A．﹣2 B． C． ⊆ D．2
3．（5分）等差数列{an}的前−n项2和为Sn ，公差为d，2若S3 ＝S9 ，a6 ＝1，则d＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．（5分）已知命题p： x （0，+∞），x＞sinx；命题 ： ＞， ，则（ ）
0
A．p和q都是真命题∀ ∈ B．p和 ￢∃q 都0是0真命 0题=
C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
5．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当4≤x＜6时，f（x）＝log0.5 （x﹣3），则f（﹣
1）＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
1 1
−
6．（5分）将函数f（x）＝cos（2 2x+ ）（ ＞0）的图2象向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，
φ φ
若g（x）在区间 ， 上单调递增，则 的最小值为（ 3）
3
( ) φ
A． 4 B 4． C． D．
5 7 11 13
7．（5分6）已知 ， 是两个不相6 等的锐角，且满足sin6（ ﹣ ）+3cos（ ﹣ 6）＝3， ，则
1
sin sin 的值α为（β ） α β α β ( + )=− 3
α β
A． B． C． D．
1 7 17 2
8．（5分3）已知双曲线C： 15 1（a＞0，b＞0）30的左、右顶点分别是3 A1 ，A2 ，左、右焦点分别是F1 ，
2 2
2 − 2 =
F2.若C的渐近线方程为 y＝± x，焦距为4，动点P满足 5，则（ ）
→ →
3 1⋅ 2=
A． B．
→ → → →
1⋅ 2=9 | 1+ 2|= 8
C． D．
→ → → →
二、多3项≤选 择 题 1⋅： 本 2 题≤共9 3小题，每小题6分，共158≤分|。 在 1 每+小 题 2|给≤出7的四个选项中，有多项符合题目
第1页（共19页）要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，
乙试验区选择第二种养殖方法．收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产
量（单位：千克），其频率分布直方图如图所示．
记事件C＝“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中a＝0.35，b＝0.10
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
（多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过第一象限C
上一点P作l的垂线，垂足为Q，线段QF与C相交于点M．若|PF|＝2p，则（ ）
A．直线PF的斜率为 B．FQ为∠HFP的平分线
3
C．△MPF的面积为 D．H，M，P三点共线
3 2
（多选）11．（6分）设a2≥0，已知函数 ，x R，则（ ）
−
( )= 2 ∈
A．函数f（x）在（0，1）上无极值点 +1
B．函数f（x）在（2，+∞）上可能单调递增
C．当x＞0时，
1
( )≤ − +
D．当a＜x＜3时， 2 2 ＜
1
三、填空题：本题共3 小( 题−， 每)−小 题(1 5 ) 分2，共15分。
12．（5分）直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
13．（5分）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为 ，侧棱长为2，则球的表面
积为 ． 2
第2页（共19页）14．（5分）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为 ，乙每局获胜的概率为 ，且各局练习的
2 1
胜负相互独立．现进行n局练习，规定胜局多者获胜，记“n3 局练习甲获胜”的概率为 3 Pn ，则P7 ﹣P5
＝ ．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，直线AC⊥平面ABB1A1 ，E是棱BB1 上一点，AB＝AC ，
BB1 ＝3BE＝3，∠BAA1 ＝135°． = 2
（1）求证：CE⊥AA1 ；
（2）求直线CE与平面A1B1C1 所成角的正弦值．
16．（15分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S， ．
3 2 2 2
（1）求tanB的值； =
8
( + − )
（2）若△ABC为非直角三角形，且满足asin2C+ccosA＝b，c＝2，求a的值．
17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足2an+1 ＝3an+bn+4，2bn+1 ＝3bn+an ﹣4，a1 ＝1，b1 ＝2．
（1）证明：数列{an+bn}是等比数列，并求出{an+bn}的通项公式；
（2）将数列{an ﹣bn}，{an+bn}中的所有项从小到大排列组成新数列{cn}，记{cn}的前n项和为Sn ，求
S60 ．
18．（17分）已知椭圆 ： ＞＞ 的离心率为 ，且过点 ， ，F是Γ的右焦点，O为
2 2
1 3
坐标原点． 2+ 2 =1( 0) 2 (−1 2 )
（1）求Γ的方程；
（2）设P（﹣4，0），过点P的直线与Γ依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线AO，BF分别
与Γ交于另一点C，D．
（i）当C，D两点重合时，求直线AB的方程；
（ii）当C，D两点不重合时，直线CD与x轴交点为Q，求△ABQ面积的最大值．
19．（17分）已知a R，函数f（x）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2）．
（1）证明：曲线∈y＝f（x）关于直线x＝1对称；
（2）当 ＜＜ 时，求f（x）的最小值；
0 2 第3页（共19页）（3）当a＝ 时，若存在互不相等的三个大于1的实数x0 ，x1 ，x2 ，满足f（x1 ）＝f（x2 ），且f′（x0 ）
＝0，证明：π ＜．
1 2
+ 2
0 0
第4页（共19页）2025-2026 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B D C C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的。
1．（5分）在复平面内， 对应的点位于（ ）
2
A．第一象限 1B+ ． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：在复平面内，复数 1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
2 2(1− )
故选：D．
1+
=
(1+ )(1− )
=
2．（5分）设集合A＝{﹣3，1}，B＝{﹣3，a﹣1，a2﹣1}，若A B，则a的值不可能是（ ）
A．﹣2 B． C． ⊆ D．2
【分析】利用集合间的关系−以2及集合元素的互异性2求解．
【解答】解：当a﹣1＝1时，解得a＝2，此时B＝{﹣3，1，3}，符合题意；
当a2﹣1＝1时，解得a＝± ，
a 时，B＝{﹣3， 1，21}，符合题意；
a= 2 时，B＝{﹣3，2− 1，1}，符合题意；
综=上−可2得，a的值不可能−是2﹣−2．
故选：A．
3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，公差为d，若S3 ＝S9 ，a6 ＝1，则d＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
第5页（共19页）【分析】利用等差数列的性质求解．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn ，公差为d，S3 ＝S9 ，a6 ＝1，
∴ ，
3×2 9×8
3 1+ =9 1+
2 2
解得 1 d+＝5﹣ 2=．1
故选：B．
4．（5分）已知命题p： x （0，+∞），x＞sinx；命题 ： ＞， ，则（ ）
0
A．p和q都是真命题∀ ∈ B．p和 ￢∃q 都0是0真命 0题=
C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
【分析】结合三角函数线检验p的真假，结合指数与一次函数图象检验选项B，然后结合复合命题真假
即可求．
【解答】解：结合三角函数线可知，当正弦函数性质可知，当x （0， ]时，y＝sinx的图象恒在y＝x
下方，即sinx＜x， ∈
2
当x＞ 时．sinx≤1＜x，
故x＞s2inx恒成立，命题p： x （0，+∞），x＞sinx为真命题；
当x＞0时，y＝ex的图象恒在∀y∈＝x上方，
命题 ： ＞， 为假命题，
0
故￢ q为∃真 0命题0， ￢0p=为 假命题．
故选：B．
5．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当4≤x＜6时，f（x）＝log0.5 （x﹣3），则f（﹣
1）＝（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
1 1
【分析】根据题意，由函数−的2周期性和奇偶性可得 2f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣f（5），结合函数的解析式计
算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣f（5），
又由当4≤x＜6时，f（x）＝log0.5 （x﹣3），则f（5）＝log0.5 （5﹣3）＝﹣1，
则f（﹣1）＝﹣f（5）＝1．
故选：D．
第6页（共19页）6．（5分）将函数f（x）＝cos（2x+ ）（ ＞0）的图象向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，
φ φ
若g（x）在区间 ， 上单调递增，则 的最小值为（ 3）
3
( ) φ
A． 4 B 4． C． D．
5 7 11 13
【分析
6
】结合三角函数图象
6
平移变换求出g（x），然
6
后结合余弦函数单调
6
性即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝cos（2x+ ）的图象向左平移 个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x ）
2
的图象， φ 3 + + 3
当 ＜＜ 时， ＜ ＜ ，
3 7 2 13
+ 2 + + +
若4g（x）在4区间 6， 上单调递增，3 6
3
( )
4 4
则 ，k Z，
7
+ ≥ 2 −
6
∈
13
+ ≤2
解得6 ，k Z，
13
φ=2 − ∈
因为 ＞0，故 的6最小值为 ，经检验符合题意．
11
故选：φ C． φ
6
7．（5分）已知 ， 是两个不相等的锐角，且满足sin（ ﹣ ）+3cos（ ﹣ ）＝3， ，则
1
sin sin 的值α为（β ） α β α β ( + )=− 3
α β
A． B． C． D．
1 7 17 2
3 15 30 3
【分析】根据sin（ ﹣ ）+3cos（ ﹣ ）＝3，结合同角三角函数的平方关系求出 或
3
( − )=
5
α β α β
4
( − )=
，结合题意算出 不符合题意，从而可得co（s ﹣ ） ，结合 5
( − )=0 ( − )=0 4
α β = ( + )=
，( 运−用 两)=角1和与差的余弦公式 求 (出 − sin ) s = in 1的值，即可得到本题的答案． 5
1
− α β
【3解答】解：根据 ，
( − )+3 ( − )=3
2 2
( − )+ ( − )=1
解得 或 ，
3
( − )=
5 ( − )=0
4 ( − )=1
( − )=
结合 、 是两个不相5等的锐角，可知 不符合题意，
( − )=0
α β
所以sin（ ﹣ ） ，cos（ ﹣ ） ， ( − )=1
3 4
α β = α β =
5 5 第7页（共19页）由 ，解得sin sin ．
4
( − )= + =
5 17
α β=
1 30
故选 ： C( ．+ )= − =−
3
8．（5分）已知双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A1 ，A2 ，左、右焦点分别是F1 ，
2 2
2 − 2 =
F2.若C的渐近线方程为 y＝± x，焦距为4，动点P满足 5，则（ ）
→ →
3 1⋅ 2=
A． B．
→ → → →
1⋅ 2=9 | 1+ 2|= 8
C． D．
→ → → →
【分3析≤】 先 1 根⋅ 据 双 2≤曲9线定义和向量点积确定点P的5≤轨|迹 为 1 圆+， 再 2|结≤合7向量运算的几何意义与中点坐标
的范围，即可判断四个选项的正误．
【解答】解：由题得 ，2c＝4，c2＝a2+b2，
= 3
可得双曲线的方程为 ，F1 （﹣2，0），F2 （2，0），
2
2
− =1
设P（x，y），因为 3 ，所以（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）＝5，即x2+y2＝9，
→ →
点P的轨迹是以O 为 圆 1⋅心 ， 2 3=为5半径的圆，
，A选项错误；
→ → → →
2 1 2
1⋅ 2=| | − | 1 2| =8
4
| ，B选项错误；
→ → →
1+ 2|=2| |=6
设线段F1A2 的中点为Q，可得 ， ，
→
5 7
| |∈[ ]
2 ，2故 ， ，C选项错误；
→ → → → → → →
2 1 2 2 9
1⋅ 2=| | − | 1 2| =| | − 1⋅ 2∈[4 10]
4 4
， ，故D选项正确．
→ → →
|故 选 1 ：+D ． 2|= 2| |∈[5 7]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，
乙试验区选择第二种养殖方法．收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产
量（单位：千克），其频率分布直方图如图所示．
第8页（共19页）记事件C＝“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70，则（ ）
A．乙试验区产量频率分布直方图中a＝0.35，b＝0.10
B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
【分析】根据频率分布直方图的性质，众数的概念，平均数的概念，百分位数的概念，针对各个选项分
别求解即可．
【解答】解：因为乙试验区产量不低于19千克的频率为0.7＝a+0.2+0.15，
所以a＝0.35，所以0.05+b+0.15＝0.3，所以b＝0.10，所以A选项正确；
因为甲试验区产量的众数为17.5，乙试验区产量的众数为19.5，所以B选项错误；
由两频率分布直方图的分布可知：
甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，所以C选项正确；
因为甲试验区产量的85%分位数为19，
所以甲试验区产量的75%分位数小于19，
又乙试验区产量的前三组的频率之和为0.3，前4组的频率之和为0.65，
所以乙试验区产量的中位数大于19，所以D选项错误．
故选：AC．
（多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过第一象限C
上一点P作l的垂线，垂足为Q，线段QF与C相交于点M．若|PF|＝2p，则（ ）
A．直线PF的斜率为 B．FQ为∠HFP的平分线
3
C．△MPF的面积为 D．H，M，P三点共线
3 2
【分析】由抛物线的方程 及定义，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式逐一判断即可得解．
2
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为第一象限C上的点，
第9页（共19页）又|PF|＝2p， ， ，
( 0)
则 ，2
+ =2
2
则 ， p，
3
= = 3
即 ，2 ，
3
( 3 )
2
对于A，直线PF的斜率为 ，即A正确；
3
3 = 3
2−2
对于B，由题意可得 ， ，
(− 3 )
则 ， 2
3
= =− 3
则 −2−，2 ， ，
2
即∠ F Q 为 =∠3HFP ∠ 的 平 分=线3，即∠ B 正 确=；∠ = 3
对于C，直线FQ的方程为 ，
=− 3( − )
2
联立直线FQ与抛物线方程 ，
=− 3( − )
2
2
=2
消去y可得： ，
2
3( − ) =2
2
即 ，
2
2 3
3 −5 + =0
则 或 （4 舍），
3
= =
6 2
即 ， ，
3
( )
则△M 6 PF的3面积为 ，即C错误；
2
1 3 2 3
| || 3 − | =
2 3 3
对于D， ， ，
3
3 3 3 3
=3 = = =
即kHP ＝kHM ，
2+2 2 6+2 2
则H，M，P三点共线，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）设a≥0，已知函数 ，x R，则（ ）
−
( )= 2 ∈
A．函数f（x）在（0，1）上无极值点 +1
第10页（共19页）B．函数f（x）在（2，+∞）上可能单调递增
C．当x＞0时，
1
( )≤ − +
D．当a＜x＜3时， 2 2 ＜
1
【分析】对函数求导 ，( 通−过 )分−析 导(1数) 在2不同区间的符号，判断函数是否存在极值点，直接验证选项A、
B的正误；
构造并化简不等式，证明 对x＞0恒成立，验证选项C；
1
换元t＝x﹣a，结合选项C (的 )结≤论2进 行+放 −缩2推导，验证选项D．
【解答】解：已知a≥0，对函数 求导，得 ，
2
− − +2 +1
( )= 2 ′ ( )= 2 2
当x （0，1）时，f'（x）＞0，故f（x） 无+极1值点，A选项正确；( +1)
当x∈（2，+∞）时，存在x0 ＝2+2a，使得f'（x0 ）＜0，B选项错误；
当x ∈＞0时， ＜，C选项正确；
2
1 ( −1) ( +1)
( )− + − =− 2 0
当a＜x＜3时，令t＝2 x﹣a （20，3﹣a2）(， +1)
∈
由选项C，得 ，
1
( )≤ − +
于是f（t）﹣f（1） 2 2
1 1 1− 1 1
− ≤ − + − − = − −
2 2 2 2 2 2 2 2
，选项D正确．
2
(3− ) 1 −( −1)
≤故选：2ACD −．2 −
2
=
2
≤0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝ 2 ．
【分析】求出圆心（1，2）到直线y＝x+3的距离d，圆半径r，利用勾股定理能求出2|AB|．
【解答】解：直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，
圆心（1，2）到直线y＝x+3的距离为d ，
|1−2+3|
= = 2
圆半径r＝2， 1+1
∴|AB|＝2 2 2 ．
2 2
故答案为： 2 −． = 4−2= 2
13．（5分）一个正2四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为 ，侧棱长为2，则球的表面
2
积为 ．
16
3
第11页（共19页）【分析】首先设出球心的位置，利用勾股定理求出外接球的半径，再求表面积．
【解答】解：由题意，正四棱锥的顶点为P，底面中心为O′，PO′为正四棱锥的高，点O为外接球
球心，如图所示：
所以AB＝BC＝AD＝CD ，BO′＝1，PO′ ，
设外接球的半径为R，所=以O2B2＝OO′2+O′B2=， 3
即 ，解得R ，
2 2 2 3
=( 3− ) +1 =
所以球的表面积为4 R2 ． 3
16
π =
故答案为： ． 3
16
14．（5分）甲、3乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为 ，乙每局获胜的概率为 ，且各局练习的
2 1
胜负相互独立．现进行n局练习，规定胜局多者获胜，记“n3 局练习甲获胜”的概率为 3 Pn ，则P7 ﹣P5
＝ ．（用数字作答）
80
【分析21】87根据题意，设n局练习中，甲获胜的局数为X，则X～B（n， ），由此求出P7 和P5 ，计算可
2
得答案．
3
【解答】解：根据题意，设n局练习中，甲获胜的局数为X，则X～B（n， ），
2
当n＝7时，则P7 ＝P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）+P（X＝7）
3
（ ）4×（ ）3 （ ）5×（ ）2 （ ）6 （ ）7 ，
4 2 1 5 2 1 6 2 1 7 2 1808
=当 n 7 ＝× 5时 3 ，则P5 ＝ 3 P（+ X ＝ 7 3 ×）+3P（X＝43 ）+P +（ X 7 ＝× 5） 3 × 3 + 7× 3 = 2187
（ ）3×（ ）2 （ ）4 （ ）5 ，
3 2 1 4 2 1 5 2 192 64
= 5× + 5× × + 5× = =
3 3 3 3 3 243 81
第12页（共19页）故P7 ﹣P5 ．
1808 64 80
= − =
故答案为：2187． 81 2187
80
四、解答题：本
21
题
87
共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，直线AC⊥平面ABB1A1 ，E是棱BB1 上一点，AB＝AC ，
BB1 ＝3BE＝3，∠BAA1 ＝135°． = 2
（1）求证：CE⊥AA1 ；
（2）求直线CE与平面A1B1C1 所成角的正弦值．
【分析】（1）由题意先证AA1 ⊥平面ACE，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C1 的一个法向量，利用向量法求解即可．
【解答】解：.（1）证明：连结AE，由题意得∠ABE＝45°，结合 ，BE＝1，
= 2
可得 ，
2 2 2 2 2 2
即AE ＝ 1 =，于 是+ AB 2 ＝A − E 22 +B E ⋅2 ， ⋅ ∠ =( 2) +1 −2⋅ 2⋅1⋅ 2 =1
即∠AEB＝90°，AE⊥BB1 ，
因为AA1 ∥BB1 ，所以AE⊥AA1 ，
又因为AC⊥平面ABB1A1 ，AA1 平面ABB1A1 ，所以AC⊥AA1 ，
又AE∩AC＝A，所以AA1 ⊥平面⊂ACE，
因为CE 平面ACE，
所以AA1 ⊂⊥CE；
（2）以A为原点，AE，AA1 ，AC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
第13页（共19页），， ，E（1，0，0），A1 （0，3，0），B1 （1，2，0）， ，， ，
(0 0 2) 1(0 3 2)
，， ， ， ， ， ，， ，
→ → →
=(1 0 − 2) 1 1=(1 −1 0) 1 1=(0 0 2)
设平面A1B1C1 的一个法向量 ，， ，
→
=( )
则 ，即 ，
→ →
⋅ 1 1=0 − =0
→ →
⋅ 1 1=0 2 =0
令x＝1，则 ，， ，
→
记直线CE与 平=面(1 A1B 1 1C 0 1 )所成角为 ，
θ
则 ＜ ， ＞ ，
→ → → →
| ⋅ | 1 6
=| |= → → = =
6 6
| |⋅| |
因此直线CE与平面A1B1C1 所成角的正弦值为 ．
6
16．（15分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为6 a，b，c，记△ABC的面积为S， ．
3 2 2 2
（1）求tanB的值； =
8
( + − )
（2）若△ABC为非直角三角形，且满足asin2C+ccosA＝b，c＝2，求a的值．
【分析】（1）根据余弦定理即可求解；
（2）根据两角和差公式即可求解．
【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
3 2 2 2 1 3 2 2 2
= ( + − ) = ( + − )
即 ，8 2 8
2 2 2
3 ( + − )
= ⋅
2 2
由余弦定理得 ，于是 ；
3 3
（2）因为asin
2
2C + c c os=A＝ b ， 所以sin A si n2=C+2sinCcosA＝sinB，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
故sinAsin2C＝sinAcosC，因为sinA≠0，所以sin2C＝cosC，于是2sinCcosC＝cosC，即cosC＝0或 ，
1
=
因为△ABC不为直角三角形，故 ，即 或 ， 2
1 5
= =
2第14页（共6 19页6）因为 ＞ ，所以 ＜ ＜ ，故 ，
3 3
= =
又 2 ， 3 ，6 2 6
21 2 7
= =
故 7 7 ，
3 1 5 7
= ( + )= ( + )= + =
因此 ． 6 2 2 14
10 7
17．（15 分=） 已 知数=列 7{an}和{bn}满足2an+1 ＝3an+bn+4，2bn+1 ＝3bn+an ﹣4，a1 ＝1，b1 ＝2．
（1）证明：数列{an+bn}是等比数列，并求出{an+bn}的通项公式；
（2）将数列{an ﹣bn}，{an+bn}中的所有项从小到大排列组成新数列{cn}，记{cn}的前n项和为Sn ，求
S60 ．
【分析】（1）根据等比数列的定义及通项公式，即可证明与求解；
（2）根据题意易得an+bn ＝3×2n﹣1，an ﹣bn ＝4n﹣5，从而可得{cn}的前60项和为数列{an+bn}的前7
项和与数列{an ﹣bn}的前53项和的总和，进而可求解．
【解答】解：（1）证明：因为2an+1 ＝3an+bn+4，2bn+1 ＝3bn+an ﹣4，a1 ＝1，b1 ＝2，
所以2（an+1+bn+1 ）＝4（an+bn ），
所以an+1+bn+1 ＝2（an+bn ），又a1+b1 ＝3，
所以数列{an+bn}是以2为公比，首项为3的等比数列，
所以an+bn ＝3×2n﹣1；
（2）因为2an+1 ＝3an+bn+4，2bn+1 ＝3bn+an ﹣4，a1 ＝1，b1 ＝2，
所以2（an+1 ﹣bn+1 ）＝2（an ﹣bn ）+8，
所以（an+1 ﹣bn+1 ）﹣（an ﹣bn ）＝4，又a1 ﹣b1 ＝﹣1，
所以数列{an ﹣bn}是以4为公差，首项为﹣1的等差数列，
所以an ﹣bn ＝﹣1+（n﹣1）×4＝4n﹣5，又根据（1）可知an+bn ＝3×2n﹣1，
所以当n＝7，时an+bn ＝192，n＝8时，an+bn ＝384；
当n＝50时，an ﹣bn ＝195，当n＝53时，an ﹣bn ＝207，
所以{cn}的前60项和为数列{an+bn}的前7项和与数列{an ﹣bn}的前53项和的总和，
所以S60 5840．
7
3(1−2 ) (−1+207)×53
= + =
18．（17分）已1知−椭2 圆 ： 2 ＞＞ 的离心率为 ，且过点 ， ，F是Γ的右焦点，O为
2 2
1 3
坐标原点． 2+ 2 =1( 0) 2 (−1 2 )
（1）求Γ的方程；
第15页（共19页）（2）设P（﹣4，0），过点P的直线与Γ依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线AO，BF分别
与Γ交于另一点C，D．
（i）当C，D两点重合时，求直线AB的方程；
（ii）当C，D两点不重合时，直线CD与x轴交点为Q，求△ABQ面积的最大值．
【分析】（1）利用已知条件求出a、b即可得解；
（2）设直线AB的方程为y＝k（x+4），k＞0，A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），易知C（﹣x1 ，﹣y1 ），联立直
线AB与椭圆方程，由韦达定理得两根之和与两根之积，设BF的直线方程为y＝k1 （x﹣1），联立直线
BF和椭圆方程，可得 ，
8−5 2
=
（i）当C，D重合时，可得5﹣−22x
1
2x2+5（x1 ﹣x2 ）+8＝0，代入韦达定理，结合已知条件求出k即可得解；
（ii）由题可得CD的方程，令y＝0，可求得 ，从而可得△ABQ的面积，然后利用基本不等式即
5
可求解． = 2
【解答】解：（1）由题可得 1 ，解得 ，
=
2 2
1 3 2 =4
2+ 4 2 =1 =3
2 2 2
所以椭圆的方程为 1 ；= +
2 2
（2）由题，设直线
4
A+B的
3
方=程为y＝k（x+4），k＞0，A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），
联立 ，化简得（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，
= ( +4)
2 2
+ =1
则Δ＝ 4 144（ 3 1﹣4k2）＞0，即 ， ，
2 1
∈(0 )
4
所以
32
2 ，易知C（﹣x1 ，﹣y1 ），
1+ 2 =− 2
4 +3
2
64 −12
设BF 的1 直2线=方
4
程
2为 +3y＝k1 （x﹣1），其中k1 ，
2
=
2−1
联立 ，化简得（4 3）x2﹣8 x+4 12＝0，
= 1( −1)
2 2 2
2 2 1+ 1 1−
+ =1
4 3
则xD
2 2
4 1 2 −12 4( 2 −1) −12
= 2 = 2 2
(4 1+3) 2 (4( −1) +3) 2
2
，
2 2
4 2−12( 2−1) 8−5 2
= 2 2 =
（i (）4 当2+ C ( ，2− D 1重) )合 2时，5 x − 1 2 + x 2 D ＝0，即 0，
8−5 2
+ 1 =
5−2 第2 16页（共19页）即﹣2x1x2+5（x1 ﹣x2 ）+8＝0，代入得 8＝0，
2 2
−2(64 −12) 60 (1−4 )
2 ± 2 +
化简得64k4+36k2﹣9＝0，解得k2 或k42 +3（舍去），4 +3
3 3
= =−
16 4
因为k＞0，所以k ，
3
=
故直线AB的方程为y 4 （x+4）；
3
=
（ii）因为xD ，所4 以yD ，
8−5 2 2 3 2
= = ( −1)=−
5−2 2 2−1 5−2 2
则直线CD的方程为y
3 2
，令y＝0，
−5−2 2 + 1
= 8−5 ( 1+ )− 1
2
5−2 + 1
得x 2
−5 1 2+3 2 1+8 1 20 1−2 1 2−20 2+32
= =
−3 2+5 1−2 2 1 5 1−2 1 2+8−11 2
−2 1 2+20( 1+ 2)+32−40 2
=
−2 1 2+5( 1+ 2)+8−16 2
64 2−12 −32 2
−2× 4 2+3 +20× 4 2+3 +32−40 2
= 64 2−12 −32 2
−2× 4 2+3 +5× 4 2+3 +8−16 2
，
−640 2+120
4 2+3 −40 2 5
= −256 2+48 = 2
即直线 4 2 C + D 3 过 − 定 16 点 2 Q ， ，
5
( 0)
△ABQ的面积为S 2 | |
1 1 13
= ⋅| |⋅| 1− 2= × ×| 1− 2
2 2 2
2
13 12 1−4
= × 2
4 4 +3
4 2
39 3 ( 3 ) 1−4
= × 2
4 4 +3
4 2 2 2
( ) +( 1−4 )
39 3 3
≤ 2
4 ， 2(4 +3)
13 3
=
当 8 ，即k 时，
2
16 2 21
= 1 − 4 =
取得3△ABQ的面积的最大值14 ．
13 3
19．（17分）已知a R，函数f（x）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2）．
8
（1）证明：曲线∈y＝f（x）关于直线x＝1对称；
（2）当 ＜＜ 时，求f（x）的最小值；
（3）当0a＝ 时，2若存在互不相等的三个大于1的实数x0 ，x1 ，x2 ，满足f（x1 ）＝f（x2 ），且f′（x0 ）
π 第17页（共19页）＝0，证明： ＜．
1 2
+ 2
【分析】（1） 应0 用 对0称轴定义证明；
（2）求出导函数，再化简得出导函数为正，进而函数单调递增即可得出最小值；
（3）先求出导函数得出函数单调性，再构造函数构造F（x）＝f（2x0 ﹣x）﹣f（x），x （x0 ，2），应用
单调性即可证明不等式． ∈
【解答】解：（1）证明：函数f（x）的定义域为（0，2），
因为f（2﹣x）＝cos（a（2﹣x）﹣a）﹣ln（2（2﹣x）﹣（2﹣x）2）
＝cos（a﹣ax）﹣ln（2x﹣x2）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2），
所以f（2﹣x）＝f（x），即曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称；
（2）根据对称性，只需研究x [1，2）时，函数f（x）的性质，
∈
，f'（1）＝0，
2−2
′ ( )=− ( − )− 2
令 2 − ，
2−2
ℎ( )=− ( − )− 2
h'（x）（x）＝﹣a2cos（ax﹣2 a）− a2cos（ax﹣a） ．
2 2
2(2 − )+(2−2 )(2−2 ) 2 −4 +4
+ 2 2 =− + 2 2
令 ，t （1，+∞），则 (2 − ) ， ， (2 − )
2
1 2 −4 +4 2
当 =＜2 ＜− 2时，∈有a2cos（ax﹣a( ） 2 ≤ − a 22 ) ＜2 2 =，4 − 2 ∈ (2 + ∞)
故0h'（ x）＞2﹣a2+2＞0，h（x）在（1，2）上单调递增，于是h（x）＞h（1）＝0，
即f'（x）＞0恒成立，f（x）在（1，2）上单调递增，所以函数f（x）的最小值为f（1）＝1；
（3）证明：当a＝ 时， ，x（1，2）， ，
2
2−2 2 2 −4 +4
π ℎ( )=− ( − )− 2 ∈ ′ℎ( )=− ( − )+ 2 2
令 ，t （1，+∞），设 2 − ， (2 − )
2
1 2 −4 +4 2
= 2 ∈ ( )= 2 2 =4 −2
可知p2（ −x） 在（1，2）上单调递增， (2 − )
又﹣ 2cos（ x﹣ ）在（1，2）上单调递增，
所以π π π 在（1，2）上单调递增，
2
2 2 −4 +4
′ℎ( )=− ( − )+ 2 2
而h'（1）＝﹣ 2+2＜0， ＞(2 ，− 故) ， ，使得h（δ）＝0，
3 3
当x （1，δ）π时，h'（x ′）ℎ(＜20 )，当0 x （∃ b，∈ 2 (1）时2，) h'（x）＞0，
所以∈h（x）在（1，δ）上单调递减，∈h（x）在（δ，2）上单调递增，
因为h（1）＝0， ＜， ＞，
5
3 4 11 −3 60
ℎ( )=− + 0 ℎ( )=− + 11=− + 0
2 3 6 2 −36 2 11
第18页（共19页）所以 ，），使得h（x0 ）＝0，当x （1，x0 ）时，h（x）＜0，当x （x0 ，2）时，h（x）＞0，
3
所以∃ f（ 0 x ∈）(在2（1 2，x0 ）上单调递减，f（x）∈在（xo ，2）上单调递增， ∈
不妨令1＜x1 ＜x0 ＜x2 ＜2，要证 ＜，即证x1+x2 ＜2x0 ，
1 2
+ 2
构造F（x）＝f（2x0 ﹣x）﹣f（x ）0，x 0（x0 ，2），
F′（x）＝﹣f′（2x0 ﹣x）﹣f′（x）∈＝﹣h（2x0 ﹣x）﹣h（x），
令H（x）＝﹣h（2x0 ﹣x）﹣h（x），H'（x）＝h'（2x0 ﹣x）﹣h'（x），
因为x （x0 ，2），所以2x0 ﹣x （1，2），y＝2x0 ﹣x是关于x的减函数，
又因为∈h'（x）在（1，2）上单∈调递增，所以h'（2x0 ﹣x）在（1，2）上单调递减，
所以H'（x）在（x0 ，2）上单调递减，且H'（x）＜H'（x0 ）＝0，
所以H（x）在（x0 ，2）上单调递减，即F′（x）在（x0 ，2）上单调递减，所以F'（x）＜F'（x0 ）＝0，
所以F（x）在（x0 ，2）上单调递减，且F（x）＜F（x0 ）＝0，
所以f（2x0 ﹣x）＜f（x），而x2 （x0 ，2），即f（2x0 ﹣x2 ）＜f（x2 ）＝f（x1 ），
又2x0 ﹣x2 （1，x0 ），x1 （1，∈x0 ），f（x）在（1，x0 ）上单调递减，
所以2x0 ﹣∈ x2 ＞x1 ，即 ∈ ＜．
1 2
+ 2
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