专题20立体几何解答题分类练（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学热点难点特色专题分题型强化训练（新高考专用）

专题 20 立体几何解答题分类练 一、长度、面积及体积的计算 1. （2023届安徽省安庆市高三第三次模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， 为 的中点，且 ．记 的中点为 ，若 在线段 上（异于 、 两点）． (1)若点 是 中点，证明： 面 ； (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长． 2.（2024届江苏省南通市如东高三上学期学情检测）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容， 对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价 值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm，高为 40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内. (1)求该圆柱的侧面积的最大值； (2)求该圆柱的体积的最大值. 3.（2024届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测）如图，在三棱锥 中， 平面 分别为棱 的中点.(1)证明： ； (2)若 ，二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的体积. 二、平行关系的证明 4. （2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图，在五面体 中，四边形 为正方形， 为正三角形， ， . (1)若平面 平面 ，证明： ； (2)求二面角 的余弦值. 5.（2024届山西省忻州市名校高三上学期开学联考）如图，在多面体ABCDE中， 平面BCD，平面 平面BCD，其中 是边长为2的正三角形， 是以 为直角的等腰三角形， . (1)证明： 平面BCD.(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值. 6.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与 均为直角梯形， 平面 ， ． (1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行； (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积． 三、垂直关系的证明 7.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 如图，在四棱台 中，底面 是菱形， ， ， 平面 . (1)证明：BD CC ； 1 (2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求线段 的长；若不存在， 请说明理由. 8.（2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是 边长为4的正方形， ，平面 平面ABCD，且 ， ，点G是EF的中点．(1)证明： 平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使 平面ABF？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 9.（2024届广东仲元中学高三上学期9月月考）如图，在以 为顶点的五面体中，面 为 正方形， ，且二面角 与二面角 都是 . (1)证明：平面 平面 ； (2)求二面角 的正弦值. 10.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）四边形 为菱形， 平面 ， ， ， ． (1)设 中点为 ，证明： 平面 ； (2)求平面 与平面 的夹角的大小． 四、线面角的计算 11. （2023届河南省部分名校高三仿真模拟）如图所示，正六棱柱 的底面边长为 1，高为 ， 为线段 上的动点.(1)求证： 平面 ； (2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围. 12．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 底面 是矩形， 分别是 的中点，平面 经过点 与棱 交于点 ． (1)试用所学知识确定 在棱 上的位置； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值． 13．（2024届湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD是正方形， ， ，E为BC的中点． (1)证明： ． (2)若二面角 的平面角为 ，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值． 五、二面角的计算 14. （2024届新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上学期开学考试）在长方体 中， ， ， 与 交于点 ，点 为 中点. (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 15．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形， 是棱 上的动点，且 ． (1)证明: 平面 ． (2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由． 16．（2024届江苏省南京市第九中学2高三上学期学情检测）如图，在四棱柱 中， ， ，平面 平面 ， .(1)求证： 平面 ； (2)若 为线段 的中点，直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的正弦值. 17．（2024届湖北省宜荆荆恩高三9月起点联考）如图，在三棱台 中， ， ， ， ，且 平面 .设P，Q，R分别为棱 ， ， 的中点. (1)证明：平面 平面 ； (2)求平面 与平面 所成的角的余弦值. 六、距离问题 18. （2023届海南省高三全真模拟）如图，在平面四边形 中， ， ，将 沿 向上折起，使得平面 与平面 所成的锐二面角的平 面角最大．(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值； (2)若 ，垂足为 ，点 是 上一点，证明：平面 平面 ． ABCDABCD AA  AD2 BD 19.（2023届陕西省宝鸡市高三下学期模考）如图，在长方体 1 1 1 1中， 1 ， 1和 BD E,F 1 交于点 为AB的中点. EF// ADDA (1)求证： 平面 1 1； π (2)已知BD与平面BCCB 所成角为 4 ，求 1 1 1 （ⅰ）平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值； （ⅱ）点A到平面CEF的距离. 七、立体几何探索性问题与开放问题 ABC- ABC CC  20. （2024届北京市清华大学附属中学高三上学期开学考试）如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 平 面 ABC,AC BC 2,CC 1 3 ，点 D ， E 分别在梭 AA 1和棱 CC 1上，且 AD1,CE2,M 为棱 A 1 B 1中点．CM // BDE 1 1 (1)求证： 平面 ； ADEB 1 (2)从下面两个选项中选择一个作为条作，求二面角 的余弦值． DEBC CM  2 ① ；② 1 ． 21.（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图①在平行四边形ABCD中，AEDC，AD4，AB3， ADE60，将VADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到图②所示几何体． M BD M ABCE V MABCE (1)若 为 的中点，求四棱锥 的体积 ； 2 3 (2)在线段 上，是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，如果存 DB M MAC ABCE 5 DM 在，求出 的值，如果不存在，说明理由． DB 22.（2024届北京市第一六六中学高三上学期阶段性诊断）如图，梯形ABCD，ABEF所在的平面互相垂直， π ， ， ， ，BADBAF  ，点 为棱 的中点． AB//CD AB//EF CDEF 1 ABADAF 2 2 M BE(1)求证：AF 平面ABCD； (2)求二面角CDFB的余弦值； (3)判断直线AM 与平面DCEF 是否相交，并说明理由，若相交，求出A点与交点之间的距离．