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专题21 双曲线
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·全国·高三）在平面直角坐标系 中，“ ”是“方程 表示的曲线是双曲线”的
（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）以双曲线 的一个焦点为圆心，以 为半径的圆，
截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究
圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴
截面为等边三角形，平面 ，平面 截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023·四川·校联考模拟预测）已知 是离心率为 的双曲线 的右支上一点，则 到直线
的距离与 到点 的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，以
为直径的圆与 在第二象限交于点 ，且双曲线 的一条渐近线垂直平分线段 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 是双曲线 上不同的三点，且 ，直线AC，BC的斜率分别为 ， （ ），若 的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2023·全国·模拟预测）已知 为双曲线 右支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为
，直线 交双曲线的一条渐近线于点 ，直线 的斜率分别为 ， ，若以 为直径的圆经过点 ，
且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，一条渐近线为l，
过点 且与l平行的直线交双曲线C于点M，若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．（2023·广东江门·统考一模）已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆
10．（2023·云南玉溪·统考一模）已知双曲线C过点 且渐近线方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．曲线 经过C的一个焦点
D．C的焦点到渐近线的距离为1
11．（2023·云南·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中，动点P与两个定点 和 连线的斜率
之积等于 ，记点P的轨迹为曲线E，则（ ）
A．E的方程为 B．E的离心率为
C．E的渐近线与圆 相切 D．过点 作曲线E的切线仅有2条
12．（2023·山东潍坊·统考一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光
线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已
知 分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点 作直线 交 轴于点
，交 轴于点 .则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．点 的坐标为
C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为4
三、填空题
13．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 的离
心率为 ，点 在 上，点 是双曲线 与圆 的一个交点，则 的面积 __________.14．（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别为 ， ，A为
双曲线 的右支上一点，点A关于原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，则双曲线 的离心
率为___________.
15．（2023·福建厦门·统考二模）不与x轴重合的直线l过点N（ ,0）（xN≠0），双曲线C： （a＞0，
b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为 ．若 ，则C的离心率为____________．
16．（2023·云南红河·统考一模）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，若E上存在
点P，满足 ，（O为坐标原点），且 的内切圆的半径等于a，则E的离心率为____________．
四、解答题
17．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在C上，
且 ．
(1)求C的标准方程；
(2)设点P关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为 的直线与C相交于M，N两点，直线PM与QN交于点
，求 的值．
18．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，斜率为
的直线l与双曲线C交于 两点，点 在双曲线C上，且 .
(1)求 的面积；
(2)若 （O为坐标原点），点 ，记直线 的斜率分别为 ，问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【提能力】
一、单选题
19．（2023·陕西咸阳·校考一模）双曲线 的两个焦点为 ，点 在双曲线 上，
且满足 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分为 ， ，左、右顶点分
别为 ， ，点M，N在y轴上，且满足 （O为坐标原点）．直线 ， 与C的左、右支分别交
于另外两点P，Q，若四边形 为矩形，且P，N， 三点共线，则C的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
21．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知点 是双曲线 的右
焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若 ，则双曲线C的方程为
（ ）
A． B． C． D．
22．（2023春·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为
，左顶点为 为坐标原点，以 为直径的圆与 的渐近线在第一象限交于点 .若 的
内切圆半径为 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
23．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是
数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 （ ，
）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知 为双曲线 左支上的一点，
双曲线的左、右顶点分别为 、 ，直线 交双曲线的一条渐近线于点 ，直线 、 的斜率为 、 ，若
以 为直径的圆经过点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·河南郑州·统考一模）设 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P
（0，2）．当 取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别为F，F，M，N
1 2
在C上，且 ， ，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
27．（2022·全国·高三）若曲线C的方程为 ，则（ ）
A．当 时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当 时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当 时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
28．（2023·全国·高三专题练习）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为 ，点D,G满足 ，
，且 点在直线AB上，若以BC所在直线为 轴，BC的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则
（ ）
A．当 时，点 的轨迹为圆
B．当 时，点 的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当 时，点 的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当 时， 面积的最大值为3
29．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过
作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于A，B两点，若 ，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．30．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ， 的左右焦点分别为 ， ，双曲线C上两点
A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为 ， ，若
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的面积为 D． 的面积为1
三、填空题
31．（2023·安徽合肥·统考一模）已知双曲线E： 的左右焦点分别为 ， ，A为其右顶点，
P为双曲线右支上一点，直线 与 轴交于Q点．若 ，则双曲线E的离心率的取值范围为______．
32．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为F，点O为坐标原点，点P是C的一
条渐近线上的点，若 ，且 ，则m的值为______．
33．（2023·云南玉溪·统考一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ， 是椭圆
与抛物线 的公共点， ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧， ，则椭圆 的离心率的
最大值为______．
34．（2023·广东茂名·统考一模）已知直线 与双曲线 交于A，B两点（A在B的
上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若 的内心到y轴的距离不小于 ，则双曲
线C的离心率取值范围是______.四、解答题
35．（2023秋·云南曲靖·高三校考期末）已知双曲线 的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、
右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于 两点，设直线 的斜率分别为 ，且 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)当点P在第一象限，且 时，求直线l的方程.
36．（2023·全国·模拟预测）已知 分别为双曲线 左、右焦点， 在双曲线上，
且 ．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为 （ 在 轴正半轴上），点 在双曲线上，且 ，
，试求直线 的方程．
37．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为
，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且法向量为 ，直线与轨迹 交于 、 两点．
①过 、 作 轴的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，试确定 的取值范围；
②在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，使 恒成立？如果存在，求出定点 ；如果
不存在，请说明理由．
38．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C： 上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 ，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过椭圆 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交
两渐近线于M，N两点，且 ，是否存在m，n使得椭圆的离心率为 ？若存在，求出椭圆的方
程，若不存在，说明理由.
