25周洋鑫强化数二线代概统_考研_数学_05.周洋鑫_25周洋鑫《线代概率强化》做题本_数二

周洋鑫强化 · 目录 第一章 行列式 ........................................................................................................................................................ 2 专题1.行列式定义、性质与计算 .......................................................................................................... 2 第二章 矩阵 .......................................................................................................................................................... 11 专题2 矩阵的运算 ................................................................................................................................... 11 专题3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 ................................................................................................. 15 第三章 向量与方程组 ....................................................................................................................................... 22 专题4 线性相关性 ................................................................................................................................... 22 专题6.线性方程组 ................................................................................................................................... 26 专题7．矩阵方程 .................................................................................................................................... 32 专题8.线性方程组的同解与公共解 .................................................................................................. 35 第四章 特征值 ..................................................................................................................................................... 38 专题9 特征值与特征向量..................................................................................................................... 38 专题10 矩阵相似与相似对角化 ........................................................................................................ 40 第五章 二次型 ..................................................................................................................................................... 46 专题11 二次型 .......................................................................................................................................... 46 第 1 页，共50页周洋鑫强化 · 1.行列式 第一章 行列式 专题 1.行列式定义、性质与计算 题型1代数余子式相关考题 p6强化1已知四阶行列式 第 2 页，共50页 D 4 = 1 0 3 − 1 2 2 − 3 1 − 1 t 2 2 1 1 2 1 ,且 A ij 为元素 a ij 的代数余子式.若 A 3 1 − A 3 2 + 2 A 3 3 − A 3 4 = 0 ,则 t = _________. 【刻意练习】设已知四阶行列式 D 4 = 1 − − − 1 1 1 − 1 − − 1 1 1 − − 1 − 1 1 1 − − − 1 1 1 1 ,且 A ij 为元素 a ij 的代数余子式,则 4 i= 1 4 j= 1 A ij = ________.周洋鑫强化 · 1.行列式 1 2 3 4 5 2 2 2 1 1 【刻意练习】已知5阶行列式D = 3 1 2 4 5 =27,且A 为元素a 的代数余子式,则 5 ij ij 1 1 1 2 2 4 3 1 5 0 第 3 页，共50页 A 4 1 + A 4 2 + A 4 3 = _________, A 4 4 + A 4 5 = __________. p8强化2设 n 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 阶行列式为 A = 0 0 1 1 1 ,则 0 0 0 0 1 A 中所有元素的代数余子式之和 n i= 1 n j= 1 A ij = _________.周洋鑫强化 · 1.行列式 p8强化3设四阶行列式为 第 4 页，共50页 D 4 = 0 0 0 1 5 1 2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 4 0 ,则 D 4 中所有元素的代数余子式之和为_________. p9强化4(2021年)设 A = ( a ij ) 为3阶矩阵,A 为元素a 的代数余子式.若 ij ij A 的每行元素之和均为2,且 A = 3 ,则 A 1 1 + A 2 1 + A 3 1 = _________.周洋鑫强化 · 1.行列式 题型2数值型行列式的计算 p10强化5(基础题)计算 第 5 页，共50页 D n = x a a a a x a a a a x a a a a x a b 0 0 0 0 a b 0 0 p10强化6(基础题)计算D = =__________. a 0 0 0 a b b 0 0 0 a 0 a b 0 a 0 0 b p11强化7.(基础题)行列式 . 0 c d 0 c 0 0 d公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 1.行列式 p11强化8若 第 6 页，共50页 a i  0 , i = 1 , 2 , 3 , 4 ,行列式 1 + 1 1 1 a 1 1 + 1 1 1 a 2 1 + 1 1 1 a 3 1 + 1 1 1 a 4 = _________. p11强化9行列式 x 1 1 1 + 1 x − − − 1 1 − 1 1 x 1 + 1 1 1 x − − − − 1 1 1 1 = __________. p12强化10(基础题) n 阶行列式 2 − 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 − 1 2 2 2 2 = ________.周洋鑫强化 · 1.行列式 a+b ab 1 a+b ab p12强化11若ab,n阶行列式D = 1 a+b =________. n ab 1 a+b p13强化12设A= ( a ) ,其中 ij 66 第 7 页，共50页 a ij = m a x  i , j ,求行列式 A = _________. 题型3抽象型行列式的计算 p14强化13设A为3阶矩阵, A * 为A的伴随矩阵,若 A =  0 0 5 1 3 0 2 4 0  ,则行列式  1 3 A *  − 1 − ( 2 A − 1 ) * = __________.周洋鑫强化 · 1.行列式 p14强化14设矩阵 第 8 页，共50页 A =  2 1 0 1 2 0 0 0 1  ,矩阵 B 满足 A B A * = 2 B A * + E ,其中E为3阶单位矩阵,则 B = __________. p14强化15设A是一个 n 阶方阵,且行列式为 A = 1 , a 是一个 n 维列向量.若 A a T a 0  = ,则 A a T a  = __________. p15强化16已知A是3阶矩阵 1 , 2 , 3  是3维线性无关的列向量.若A =−, 1 1 2 A 2 2 3    = − , A = +,则行列式 A =________. 3 3 1周洋鑫强化 · 1.行列式 p15强化17设 第 9 页，共50页 1 , 2 , 3  是3维列向量,记矩阵A=(,,).且行列式为 A =1,若 1 2 3 B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3 , 1 3 2 9 3 )          = + + + + + + ,则 B = ___________. p15强化18(2010年)设 A , B 均为3阶矩阵,且行列式 A =3, B =2, A−1+B =2,则行列式 A + B − 1 = ________. p16强化19设 A , B 均为n阶正交矩阵,且 A =− B ,则行列式 A + B = ________.周洋鑫强化 · 1.行列式 p16强化20设A是n阶正交矩阵,且行列式 A 0,则行列式 A+E =________. p16强化21设 第 10 页，共50页 A = ( a ij ) 是3阶非零矩阵, A 为 A 的行列式, A ij 为 a ij 的代数余子式.若 a ij + A ij = 0 ( i , j = 1 , 2 , 3 ) ,则 A =________. 1 0 −1   p17强化22设矩阵A= 0 0 0 ,    2 0 −2  n 为正整数,a为常数,则行列式 a E − A n = _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 2.矩阵 第二章 矩阵 专题2 矩阵的运算 题型1方阵的 第 11 页，共50页 n 次幂问题 p23强化23已知 A =  1 2 3 2 4 6 − − − 1 2 3  ,则An =________.  1 0   p23强化24设矩阵A= 0  1 ,则    0 0   A n = ________. p24强化25设 A =  3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  ,则 A n = _________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p24强化26设矩阵 第 12 页，共50页 A =  1 0 1 0 2 0 1 0 1  ,而n2且为正整数,则 A n − 2 A n − 1 = _________. 题型2逆矩阵的运算及矩阵方程的求解 p26强化27设矩阵 A =  3 1 0 0 4 0 0 0 3  ,则 ( A − 2 E ) − 1 = _________. 1 0 0   p26强化28设矩阵A= 2 3 0 ,则    0 0 5  ( 2 A − 1 − E ) − 1 A * = ________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p27强化29已知矩阵 第 13 页，共50页 A =  1 1 0 0 2 3 0 0 0 0 0 − 1 0 0 2 0  ,且   1 2 A  *  − 1 B A − 1 = 2 A B + 1 2 E ,其中A*是 A 的伴随矩阵,则 矩阵B=_________. p27强化30设为 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则( ). A.E−T不可逆. B. E + α α T 不可逆. C.E+2T不可逆. D. E − 2 α α T 不可逆.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p28强化31设A为 第 14 页，共50页 n 阶非奇异矩阵,为 n 维列向量, b 为常数,记分块矩阵 P E T A * O A ,  Q A T b =  −    =   ,其中 A * 是矩阵 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. (1)计算并化简 P Q ; (2)证明:矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 α T A − 1 α  b . p28强化32设 A , B 为 n 阶可逆矩阵, E 为n阶单位矩阵, M * 为矩阵 M 的伴随矩阵,则  A O E B  * = ( ) .  A B* −B*A*  A B* −A*B* A. . B. .  0 B A*   O B A*      B A* −B*A* C. . D.  O A B*     B O A * − A A * B B * *  .周洋鑫强化 · 2.矩阵 专题3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 题型1涉及初等变换的考题 p32强化33 第 15 页，共50页 A 为3阶矩阵,将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ,再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵, 1 0 0 1 0 0     记P = 1 1 0 ,P = 0 0 1 ,则 1   2       0 0 1 0 1 0 A = ( ). A.PP B.P−1P C.PP D.PP−1 1 2 1 2 2 1 2 1 p32强化34设A为 n ( n  2 ) 阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵 B , A *、 B * 分别为 A 、 B 的伴 随矩阵,则( ). A.交换A*的第1列与第2列得 B * . B.交换 A − 1 的第1行与第2行得 B − 1 . C.交换A 的第1列与第2列得 − B * . D.交换A−1的第1行与第2行得 − B − 1 . 1 0 0 a+2c 0 c     p33强化35设A为三阶矩阵,P= 0 1 0 ,若PTAP2 = 0 b 0 ,则         1 0 1  2c 0 c A = ( ) c 0 0 b 0 0 a 0 0 c 0 0         A. 0 a 0 B. 0 c 0 C. 0 b 0 D. 0 b 0                 0 0 b 0 0 a 0 0 c 0 0 a周洋鑫强化 · 2.矩阵 p33强化6设 第 16 页，共50页 A 为3阶可逆矩阵,且 A =−2,若将A第1列的2倍加到第3列上,得到矩阵 B ,则 A + B = _________. p33强化37设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且 P − 1 A P =  1 0 0 0 1 0 0 0 2  ,若 P ( 1 , 2 , 3 ) , Q ( 1 2 , 2 , 3 )        = = + ,则 Q − 1 A Q = _______. 题型2求矩阵的秩 p34强化38设矩阵A 的秩 mn r ( A ) = m ,则下述结论正确的是( ). A.A的任意m个列向量必线性无关 B.A的任意一个m阶子式不等于零 C.若矩阵B满足BA=0,则B=0 D. A 通过初等行变换,必可以化为E 0的形式 m周洋鑫强化 · 2.矩阵 a b b b   b a b b   p35强化39设n阶矩阵A=b b a b,求r(A).      b b b a  p35强化40设 第 17 页，共50页 A =  a a a 1 2 n b b b 1 1 1 a a a 1 2 n b b b 2 2 2 a a a 1 2 n b b b n n n  ,其中 a i  0 , b i  0 ( i = 1 , 2 n ) .则矩阵A的秩 r ( A ) = ________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p36强化41设 第 18 页，共50页 , 是3维列向量,矩阵A=T +T,其中 T , T   分别是 , 的转置.证明: (1) r ( A )  2 ; (2)若 , 线性相关,则 r ( A )  2 . p36强化42设B是rr矩阵,C是rs矩阵,且 r ( C ) = r .证明: (1)若BC=O,则B=O; (2)若 B C = C ,则 B = E .周洋鑫强化 · 2.矩阵 p37【刻意练习】设 第 19 页，共50页 A , B 分别是32和23矩阵,且 A B =  − 8 2 2 2 5 4 − 2 4 5  . (1)求证: r ( A ) = r ( B ) = 2 ; (2)求证: B A =  9 0 0 9  . p37强化43设A是5阶矩阵,满足 A 2 − A = 2 E ,其中E是5阶单位矩阵,则秩r(A+E)+r(A−2E)= ________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p37强化44 第 20 页，共50页 A 为4阶矩阵,若 A ( A − A * ) = 0 ,且 A  A * ,则 r ( A ) 可能为( ). A.0或1 B.1或3 C.2或3 D.1或2 p38强化45(2018年)设 A , B 为 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩,(X Y)表示分块矩阵,则( ). A.r(A AB)=r(A). B. r ( A B A ) = r ( A ) . C.r(A B)=maxr(A),r(B). D. r ( A B ) = r ( A T B T ) . P38强化46(2021年)设 A , B 为 n 阶实矩阵.下列结论不成立的是( ). A. r  A O A O T A  = 2 r ( A ) . B. r  A 0 A A B T  = 2 r ( A ) . A BA  C.r =2r(A). D. O AAT  r  B A A O A T  = 2 r ( A ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 2.矩阵 P38强化47(2023年)已知 第 21 页，共50页 n 阶矩阵A,B,C满足 A B C = O , E 为 n 阶单位矩阵.记矩阵  O B C A E  ,  A O B C E  ,  A E B A O B  的秩分别为 r1 , r 2 , r3 ,则 ( ) . A.r r r . B. 1 2 3 r1  r3  r2 . C. r3  r1  r2 . D. r2  r1  r3 .周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 第三章 向量与方程组 专题4 线性相关性 题型1线性相关性的判定 p42强化48(基础题)设 第 22 页，共50页 1 ( 1 , 0 , 5 , 2 ) , 2 ( 3 , 2 , 3 , 4 ) , 3 ( 1 ,1 , t , 3 )    = = − − = − 线性相关,则 t 满足__________. p43强化49设向量组 1 , 2 , 3  线性无关,则以下向量组中线性相关的是( ). A.+, +, + B. 1 2 2 3 3 1 2 1 2 , 2 2 3 , 2 3       + + + , C.+2, +2, +2 D. 1 2 2 3 3 1 1 2 , 2 3 , 1 3       − − − p43强化50设 1 , 2 , 3  均为3维向量,则对任意常数 k , l ,向量组 1 k 3 , 2 l 3     + + 线性无关是向量组 1 , 2 , 3  线性无关的 ( ) . A.必要非充分条件. B.充分非必要条件. C.充分必要条件. D.既非充分也非必要条件.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p44强化51设,, ,均为n维列向量, 1 2 s 第 23 页，共50页 A 是mn矩阵,下列选项正确的是( ). A.若 1 , 2 , , s   线性相关,则 A 1 , A 2 , , A s   线性相关 B.若 1 , 2 , , s   线性相关,则 A 1 , A 2 , , A s   线性无关 C.若,, ,线性无关,则A,A, ,A线性相关 1 2 s 1 2 s D.若 1 , 2 , , s   线性无关,则 A 1 , A 2 , , A s   线性无关 p44强化52设A是 n  m 矩阵, B 是 m  n 矩阵,且 m  n .若AB=E,则必有( ). A.矩阵A与 B 的行向量组都线性无关. B.矩阵A与 B 的列向量组都线性无关. C.矩阵A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关. D.矩阵A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关. p45强化53下列向量组中,线性无关的是( ). A.(1,2,3,4)T ,(2,3,4,5)T ,(0,0,0,0)T B. ( 1 , 2 , − 1 ) T , ( 3 , 5 , 6 ) T , ( 0 , 7 , 9 ) T , (1 , 0 , 2 ) T C.(a,1,2,3)T ,(b,1,2,3)T ,(c,3,4,5)T ,(1,0,0,0)T D. ( a ,1 , b , 0 , 0 ) T , ( c , 0 , d , 6 , 0 ) T , ( a , 0 , c , 5 , 6 ) T周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p45强化54已知向量: =(1,1,1,1,1), =(1,−1,1,−1,1), =(1,1,1,−1,−1), =(−1,1,−1,1,−1), 1 2 3 4 第 24 页，共50页 5 ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) ,  = − − − − 6 ( 1 ,1 , 1 , 1 , 1 )  = − − − .若 1 , 2 , , k 1    − 线性无关, 1 , 2 , , k 1 , k    − 线性相关,则 k 的 最小值为_________. p46强化55设A是 n 阶矩阵,是 n 维列向量,若 A m 1 O , A m 0   −  = ,试证明向量组 , A , A 2 , , A m 1     − 线性无关. p46强化56设,, ,是 1 2 t A x = O 的基础解系,是非齐次线性方程组Ax=b,试证明向量组 1 , 2 , , t ,      + + + 线性无关.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p46强化57设A为3阶矩阵, 第 25 页，共50页 1 , 2  为 A 的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量 3  满足 A 3 2 3    = + .证明 a 1 , a 2 , a 3 线性无关; 题型2极大无关组的求解 p47强化58设向量组 α 1 = 1 , 0 ,1 , − 1  , α 2 = 1 , − 2 ,1 ,1  , α 3 =  0 , 2 , 0 , − 2  , α 4 =  0 , 2 ,1 , 3  , α 5 =  2 , − 6 , 0 , − 6  ,则下列不是该向量 组极大无关组的是( ). A. B. C. D. 1 2 4 1 2 3 2 3 4 1 2 5周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 专题5 为数一内容，故略. 专题 6.线性方程组 题型1齐次线性方程组 p51强化61(基础题)设有齐次线性方程组 第 26 页，共50页  ( 1 2 x 3 x 4 x + 1 1 1 a + + + )( 3 4 x 1 2 + x 2 x 2 + a + + x 2) x ( 3 4 x + 2 + 3 x + a + 3 2 )( + x 4 x + 3 x + 3 4 + a = 0 2 x 4 3 x 4 ) x 4 = = = 0 0 0 ,试问 a 取何值时,该方程组有 非零解,并求出其通解. p52强化62设3阶矩阵A的第一行是 ( a , b , c ) ,且 a , b , c 1 2 3   不全为零,矩阵B= 2 4 6 (    3 6 k  k 为常数),且 A B = O ,求线性方程组 A x = O 的通解.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p52强化63设n阶矩阵 第 27 页，共50页 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n − 1 ,则线性方程组 A x = O 的通解为 __________. p53强化64设A=(,,, )是4阶矩阵, 1 2 3 4 A * 为A的伴随矩阵.若 ( 1 , 0 ,1 , 0 ) T 是方程组 A x = O 的一个 基础解系,则 A * x = O 的基础解系( ). A. 1 , 3   B. 1 , 2  C. a 1 , a 2 , a 3 D. 2 , 3 , 4    p53强化65设4阶矩阵 A = ( a ij ) 不可逆, a 1 2 的代数余子式 A 1 2 0 , 1 , 2 , 3 , 4     为矩阵 A 的列向量组, A * 为 A 的伴随矩阵,则方程组 A * x = 0 的通解为( ). A. x k 1 1 k 2 2 k 3 3    = + + ,其中 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. B. x k 1 1 k 2 2 k 3 4    = + + ,其中 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. C. x k 1 1 k 2 3 k 3 4    = + + ,其中 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. D.x=k +k +k,其中k ,k ,k 为任意常数. 1 2 2 3 3 4 1 2 3周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 题型2非齐次线性方程组  1 1 1−a  0      p55强化66设矩阵A= 1 0 a ,β= 1 ,且方程组         a+1 1 a+1 2a−2 第 28 页，共50页 A x = β 无解. (1)求a的值; (2)求方程组 A T A x = A T β 的通解. p56强化67设 A =  1 1 a 0  , B =  0 1 1 b  .当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC−CA=B,并求所有矩阵C.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p56强化68设 第 29 页，共50页 1 , 2 , 3  是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量,且 A 的秩r(A)=3, 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T  = , 2 3 ( 0 ,1 , 2 , 3 ) T , c   + = 表示任意常数,则线性方程组 A x = b 的通解 x = ( ) . A.  1 2 3 4  + c  1 1 1 1  B.  1 2 3 4  + c  0 1 2 3  C.  1 2 3 4  + c  2 3 4 5  D.  1 2 3 4  + c  3 4 5 6  P57强化69设A为43矩阵, 1 , 2 , 3  是非齐次线性方程组 A x  = 的3个线性无关的解, k 1 , k 2 为任意常 数,则 A x  = 的通解为 ( ) .  +  − A. 2 3 +k ( −) B. 2 3 +k ( −) 2 1 2 1 2 1 2 1 C. 2 2 3 k 1 ( 2 1 ) k 2 ( 3 1 )       + + − + − D. 2 2 3 k 1 ( 2 1 ) k 2 ( 3 1 )       − + − + −周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 P57强化70已知4阶方阵A=(,,, ),,,, 均为4维列向量,其中 1 2 3 4 1 2 3 4 第 30 页，共50页 2 , 3 , 4   线性无关, 1 2 2 3 1 2 2 3      = − = − .如果 1 2 3 4      = + + + ,求非齐次线性方程组 A x  = 的通解. P58强化71设n阶方阵 A ( 1 , 2 , , n )    = 的前 n − 1 个列向量线性相关,后n−1个列向量线性无关, 1 2 n .     = + + + (1)证明:方程组 A x  = 必有无穷多解; (2)求方程组 A x  = 的通解.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 P58强化72设,,,,均为4维列向量,记矩阵A=(,,, ).已知线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 第 31 页，共50页 A x  = 的通 解为 x = k 1 ( 1 , 2 , 0 ,1 ) T + k 2 ( − 1 ,1 ,1 , 0 ) T + (1 , − 1 , 2 ,1 ) T , (1)求向量组 1 , 2 , 3 , 4    的一个极大无关组,并把 β 用此极大无关组线性表示; (2)令矩阵B=(α ,α ,α ),证明:方程组 1 2 3 B x = β 有无穷多解,并求通解. 题型3非齐次线性方程组与线性表出 P59强化73已知向量 1 1 0 2 3 , 2 1 1 3 5 , 3 a 1 1 1 2 , 4 a 1 2 4 8 , b 1 1 5 3 .      =   =   =  − +  =  +  =  +  (1) a , b 为何值时,不能表示成 1 , 2 , 3 , 4    的线性组合? (2) a , b 为何值时,可由向量组,,,线性表示?并写出线性表示式, 1 2 3 4周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 专题 7．矩阵方程 题型1矩阵方程 p61强化74已知a是常数.且矩阵 第 32 页，共50页 A =  1 1 2 2 3 7 a 0 − a   1 a 2   可经初等列变换化为矩阵B= 0 1 1 .     −1 1 1 (1)求a; (2)求满足AP=B的可逆矩阵P. 题型2矩阵方程与向量组的表出 p63强化75证明:若向量组a ,a , ,a 能由向量组 1 2 m b 1 , b 2 , , b n 线性表出,则向量组的秩有 r ( a 1 , a 2 , , a m )  r ( b 1 , b 2 , , b n ) .周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p63强化76确定常数a,使向量组 =(1,1,a)T , =(1,a,1)T , =(a,1,1)T可由向量组β =(1,1,a)T, 1 2 3 1 第 33 页，共50页 β 2 = ( − 2 , a , 4 ) T , β 3 = ( − 2 , a , a ) T 线性表示,但向量组 β 1 , β 2 , β 3 不能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. 题型3矩阵等价与向量组等价 p65强化77设A、B、C均为 n 阶矩阵.若 A B = C ,且B可逆,则( ) A.矩阵C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C.矩阵C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D.矩阵C的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p65强化78设A =(,, , ),B =(,, , ),其中 nm 1 2 m nm 1 2 m 第 34 页，共50页 1 , 2 , , m   线性无关,则 1 , 2 , , m    线性无关的充分必要条件是( ). A.向量组 1 , 2 , , m   可由向量组 β 1 , β 2 , , β m 线性表示 B.向量组 β 1 , β 2 , , β m 可由向量组 α 1 , α 2 , , α m 线性表示 C.向量组,, , 与向量组β ,β , ,β 等价 1 2 m 1 2 m D.矩阵A与矩阵 B 等价 p66强化79已知向量组l: =(1,1,4)T , =(1,0,4)T , = ( 1,2,a2 +3 )T 1 2 3 β 2 = ( 0 , 2 ,1 − a ) T , β 3 = ( 1 , 3 , a 2 + 3 ) T I I :β 1 = ( 1 ,1 , a + 3 ) T , 若向量组 I 与 II 等价、求 a 的取值,并将 β 3 用 1 , 2 , 3  线性表示.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 专题 8.线性方程组的同解与公共解 题型1线性方程组的同解问题 p67强化80设齐次线性方程组 第 35 页，共50页 A x = O 和 B x = O ,其中 A , B 均为 m  n 矩阵,有4个命题 (1)若Ax=O的解均是Bx=O的解,则秩r(A)r(B) (2)若秩 r ( A )  r ( B ) ,则 A x = O 的解均是 B x = O 的解 (3)若 A x = O 与 B x = O 同解,则秩 r ( A ) = r ( B ) (4)若r(A)=r(B),则 A x = O 与 B x = O 同解 以上命题中正确的个数为__________. p68强化81设A为n阶实矩阵,AT 为 A 转置,则对于线性方程组( I ) A x = O 和( ( I I ) A T A x = O ,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解. B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解. C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(I)的解. D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p68强化82设 A是 第 36 页，共50页 s  n 实矩阵.证明: (1)r ( ATA ) =r(A). (2)对任意 s 维列向量b,线性方程组ATAx=ATb总有解. p69强化83已知线性方程组(I):  x 2 x 1 x 1 + 1 + 2 + x x 3 2 2 x + + 3 + 2 a x x 5 3 3 x = = = 3 0 0 0 与(II):  x 2 1 x + 1 b + x b 2 2 + x 2 c x + 3 ( = c 0 + 1 ) x 3 = 0 同解.求 a , b , c 的 值.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 题型2线性方程组的公共解问题 x +x +x =0 1 2 3  p70强化84设线性方程组(I): x +2x +ax =0 与方程(II): 1 2 3  x 1 +4x 2 +a2x 3 =0 第 37 页，共50页 x 1 + 2 x 2 + x 3 = a − 1 有公共解,求 的值及 a 所有公共解. p70强化85已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 1 ( 1 , 2 ,1 , 0 ) T , 2 ( 4 , 2 , 0 ,1 ) T   = − = ,方程(II)为  3 2 x x x 1 1 2 − + − x a 5 2 x 2 x 3 + + + 2 x x ( 3 3 a = − − 0 2 1 x ) 4 x = 4 = 0 0 . 当a取何值时，方程(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，并求出所有的非零公共解.周洋鑫强化 · 4.特征值 第四章 特征值 专题9 特征值与特征向量 题型1特征值与特征向量的求解 p73强化86已知向量 第 38 页，共50页 a = (1 , k ,1 ) T 是矩阵 A =  2 1 1 1 2 1 1 1 2  的逆矩阵 A − 1 的特征向量,试求常数 k 的值. p74强化87已知4阶矩阵 A 满足 A 3 = A (1)证明 A 的特征值不能是 0 ,1 , − 1 之外的数; (2)如果还有 A + 2 E = 8 ,求 A 2 + E .周洋鑫强化 · 4.特征值 p74强化88设3阶矩阵A的特征值为 第 39 页，共50页 1 1 , 2 2 , 3 3    = = = ,对应的特征向量依次为 ξ 1 =  1 1 1  , ξ 2 =  1 2 4  , ξ 3 =  1 3 9  1   ,又向量β= 2 .   3   (1)将用 1 , 2 , 3  线性表示; (2)求Anβ( n 为自然数). p75强化89设3阶矩阵 A与B相似,且 3 E + 2 A = 0 , 3 E + B = E − 2 B = 0 ,则行列式 A的代数余子式 A 1 1 + A 2 2 + A 3 3 = ________.周洋鑫强化 · 4.特征值 专题 10 矩阵相似与相似对角化 题型1矩阵相似 周老师在这里好像没有放题，特意确认了一下.(至少在讲义上没有) 题型2相似对角化 p77强化90设 A为3阶矩阵,, 为 A的属于特征值1的线性无关的特征向量, 为 A的属于特征 1 2 3 1 0 0   值-1的特征向量,则满足P−1AP= 0 −1 0 的可逆矩阵     0 0 1   第 40 页，共50页 P 可为( ) A.( +,,−). B. 1 3 2 3 ( 1 2 , 2 , 3 )     + − . C.( +,−, ). D. 1 3 3 2 ( 1 2 , 3 , 2 )     + − . p78强化91已知矩阵 A =  0 2 0 − − 0 1 3 1 0 0  . (1)求 A99; (2)设3阶矩阵 B ( 1 , 2 , 3 )    = 满足 B 1 = B A .记 B 1 0 0 ( 1 , 2 , 3 )    = .将 1 , 2 , 3   分别表示为 1 , 2 , 3   的 线性组合.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 4.特征值 p79强化92已知矩阵 第 41 页，共50页 A =  − 2 2 0 − 2 x 0 1 − 2 − 2  与 B =  2 0 0 1 − 0 1 0 0 y  相似. (1)求 x , y ; (2)求可逆矩阵 P 使得 P − 1 A P = B . p80强化93设数列x ,y 满足 n n  x y n n = = 3 5 x x n n − 1 − 1 + + 4 2 y y n n − 1 − 1 , , x 0 = 7 , y 0 = − 2 ,求通项x ,y . n n周洋鑫强化 · 4.特征值 p80【自我练习】设 第 42 页，共50页 x 1 = x 2 = 1 ,且 x n = x n − 1 + x n − 2 , n = 3 , 4 , ,试用矩阵方法给出数列x 的通项. n p81强化94下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( ) A.  1 0 0 1 2 0 a 2 3  . B.  1 1 a 1 2 0 a 0 3  . C.  1 0 0 1 2 0 a 0 2  . D.  1 0 0 1 2 0 a 2 2  .周洋鑫强化 · 4.特征值 p81强化95已知三阶不可逆矩阵 第 43 页，共50页 A 有特征值1和2,矩阵 B = A 2 − 2 A + 3 E ,求 B 的特征值, B 及秩 ( 3 E − B ) ,并问 B 能否相似对角化? p82【自我练习】设 A =  − 3 k 4 2 − 2 1 − k − 2 3  .问 k 为何值时, A 可相似对角化?并在此时求出相似变换矩阵 P ,使得 P − 1 A P 为对角矩阵.周洋鑫强化 · 4.特征值 p83强化96判断 第 44 页，共50页 A =  1 2 2 2 1 2 2 2 1  , B =  5 0 0 0 − 1 1 0 0 − 1  是否相似. 题型3实对称矩阵的相似对角化 a 2 −2   p84强化97设A= 2 5 b ,=1是   −2 b c    A 的二重特征值. (1)求a,b,c的值; (2)求正交矩阵 Q ,使 Q T A Q 为对角矩阵.周洋鑫强化 · 4.特征值 p85强化98设 A为3阶实对称矩阵, 第 45 页，共50页 A 的秩为2,且 A  1 0 − 1 1 0 1  =  − 0 1 1 1 0 1  . (1)求 A的所有特征值与特征向量; (2)求矩阵 A . p86强化99设3阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1 , 2 2 , 3 2 , 1 (1 , 1 ,1 ) T     = = = − = − 是 A 的属于 1 的一个特 征向量.记 B = A 5 − 4 A 3 + E .求正交矩阵 Q ,使得 Q T ( B * + B 2 + E ) Q = A .周洋鑫强化 · 5.二次型 第五章 二次型 专题 11 二次型 题型1正交变换法化二次型为标准型 p90强化100已知二次型 f (x,x ,x )=5x2+5x2+cx2−2xx +6xx −6x x 的秩为2,求参数 及此二 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 c 次型经正交变换后所得的标准形,并指出 f (x ,x ,x )=1 表示何种曲面. 1 2 3 p91强化101已知二次型 f(x,x ,x )=3x2 +4x 2 +3x 2 +2xx 1 2 3 1 2 3 1 3 (1)求正交变换 第 46 页，共50页 x = Q y 将 f(x,x ,x )化为标准形. 1 2 3 f(x) (2)证明min =2. x0 xTx周洋鑫强化 · 5.二次型 p92强化102设二次型 第 47 页，共50页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) 2 + ( b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 ) 2 a  b  1 1     ,记α= a ,β= b .  2  2     a b  3  3 (1)证明二次型 f 对应的矩阵为 2 α α T + β β T ; (2)若α,β正交且均为单位向量,证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y 21 + y 22 . 题型2配方法法化二次型为标准型 p93强化103用配方法将二次型 f (x ,x ,x )=x x +x x −3x x 化为标准形,并写出所用的坐标变换. 1 2 3 1 2 1 3 2 3周洋鑫强化 · 5.二次型 题型3正交变换法的本质 p94强化104设二次型 第 48 页，共50页 f ( x 1 , x 2 ) = x 21 − 4 x 1 x 2 + 4 x 22 x  y  经正交变换 1 =Q 1 化为二次型 x y     2 2 g ( y 1 , y 2 ) = a y 21 + 4 y 1 y 2 + b y 22 ,其中 a  b . (1)求a,b的值; (2)求正交矩阵Q. 题型4可逆线性变换法的本质 p95强化105已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 x 23 + 2 x 23 + 2 x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 , g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = y 21 + y 22 + y 23 + 2 y 2 y 3 . 求可逆变换 x = P y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化成 g ( y 1 , y 2 , y 1 ) .周洋鑫强化 · 5.二次型 题型5正负惯性指数的求解 p96强化106二次型 f (xx ,x )=x2+3x2+x2+2xx +2xx +2x x ,则 f 的正惯性指数为 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 __________. p96强化107二次型 第 49 页，共50页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 2 + x 3 ) 2 − ( x 3 − x 1 ) 2 的正惯性指数与负惯性指数依次为 ( ) A. 2 , 0 . B. 1 ,1 . C. 2 ,1 . D. 1 , 2 . 题型6等价、相似、合同的判定  2 −1 −1 1 0 0     p97强化108设矩阵A= −1 2 −1 ,B= 0 1 0 ,则A与         −1 −1 2 0 0 0     B ( ). A.合同,且相似 B.合同,但不相似 C.不合同,但相似 D.既不合同,又不相似周洋鑫强化 · 5.二次型 题型7正定二次型与正定矩阵 p98强化109若二次型 第 50 页，共50页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 21 + x 22 + x 23 + 2 x 1 x 2 + tx 2 x 3 是正定的,则 t 的取值范围是 _________. p99强化110设A为 m 阶实对称矩阵且正定, B 为 m  n 实矩阵, B T 为 B 的转置矩阵,试证: B T A B 为 正定矩阵的充分必要条件是 r ( B ) = n .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取