文档内容
高数强化18讲 · 目录
目录
第一讲函数极限与连续 ........................................................................................................................... 2
第二讲数列极限 ....................................................................................................................................... 29
第三讲一元函数微分学的概念 ........................................................................................................... 45
第四讲一元函数微分学的计算 ........................................................................................................... 51
第五讲一元函数微分学的应用(一)——几何应用 ......................................................................... 56
第六讲一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分不等式 ...................... 64
第七讲一元函数微分学的应用（三）——物理应用与经济应用 ........................................... 88
第八讲一元函数积分学的概念与性质 .............................................................................................. 90
第九讲一元函数积分学的计算 ........................................................................................................... 99
第十讲一元函数积分学的应用(一)——几何应用 ....................................................................... 110
第十一讲一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式 ....................................... 129
第十二讲一元函数积分学的应用(三)——物理应用于经济应用 ........................................... 143
第十三讲 多元函数微分学 ................................................................................................................ 147
第十四讲二重积分 ................................................................................................................................ 176
第十五讲微分方程 ................................................................................................................................ 186
第十六讲无穷级数(仅数学一、数学三) ......................................................................................... 200
第十七讲多元函数积分学的预备知识(仅数学一) ....................................................................... 235
第十八讲多元函数积分学(仅数学一) .............................................................................................. 241
第 1 页，共266页高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
第一讲函数极限与连续
1 1+x
P5例1.1当x→0时, f (x)= ln −arctanx与
2 1−x
第 2 页，共266页
g ( x ) = a x b 是等价无穷小,则ab=
__________.
P6例1.2当 x → 0 时,函数 f ( x ) = a x + b x 2 + l n ( 1 + x ) 与 g ( x ) = e x 2 − c o s x 是等价无穷
小,则 a b = _________.
(n−1)x
P6例1.3已知 f (x)= lim ,则 f (x)=__________.
n→ nx2 +1高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P6例1.4已知
第 3 页，共266页
f ( x ) = l i
t →
m
0
1 + s i n
x
t
2 x
t ,则 f ( x ) = __________.
P6例1.5已知 f ( x ) = l i
t →
m
x
s
s
i n
i n
t
x
s in t
x
− s in x ,则 f ( x ) = __________.
P7例1.6已知 f ( x )
t
l i m
x (
1
1
e
e
x
x
t
t )
=
→ + +
−
,则 f ( x ) = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P7例1.7已知
第 4 页，共266页
f ( x )
t
l i m
t
t
2
x
x
t
=
→ +
+
+
,则 f (x)=__________.
P7例1.8已知 f ( x )
t
l i m
x
x
t
t
1
2
x 3t
=
→ +
+
+
,则 f ( x ) = __________.
P7例1.9已知 f ( x ) ln i m
1
1
n
x
x
2 n
=
→ +
+
,则 f ( x ) = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P8例1.10(仅数学一、数学二)已知
第 5 页，共266页
f ( x ) =
x
− 3
3 − t 2 d t ,求曲线 y = f ( x ) 在
− 3 , 3 上的弧长.
P8例1.11(仅数学一、数学二)已知 f ( x ) =
1
9
3
0
x 9 − x 2 t 2 d t , x 0 ,求曲线 y = f ( x ) 的
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P8例1.12已知
第 6 页，共266页
f ( x ) =
1
0
l n x 2 + t 2 d t ,求 f '+ ( 0 ) .
P9例1.13设 f ( x ) =
x
− 1
s i n
t
t
d t ,则 f ( 0 ) ().
(A)不存在且为 (B)存在且不为零
(C)存在且为零 (D)不存在且 f '+ ( 0 ) f '− ( 0 )
P9例1.14已知 f ( x ) =
s
0
in x
s i n t 2 d t ,判断 f (x)的奇偶性.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P9例1.15已知
第 7 页，共266页
f ( x ) =
1
0
t 2 − t x d t ( 0 x 1 ) ,求 f (x)的一般表达式.
P9例1.16已知 f ( a )
a
a
2
l n ( 2 c o s x ) c o s x d x
=
+
+ ,则 f ( a ) 的值().
(A)与a无关,且大于0 (B)与 a 无关,且小于0
(C)与a有关,且不小于0 (D)与 a 有关,且不大于0
P10例1.17证明:当 x 0 时, f (x)= x( t−t 2) sin 2n t dt 1 (
0 4n 2
n 为正整数).高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P10例1.18已知
第 8 页，共266页
F ( x ) 20 s i n x s i n t d t ( x 0 )
= − 在 x → 0 + 处的二次泰勒多项式为
a+bx+cx2,则abc=__________.
P11例1.19已知 f ( x ) 20 x t s i n t d t
= − ,求 f ( x ) 的一般表达式.
P11例1.20设 f
x +
1
x
=
x
1
+
+
x
x
3
4
,则当 x 2 时, f (x)=__________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P12例1.21求区间
第 9 页，共266页
( 0 , ) + 上的正值可导函数 f (x),使其满足对任给的x0都有
1 x
f = ,且 f (1)=2.
x f (x)
P13例1.22若 f ( x ) , g ( x ) 满足下列条件: f ( x ) = g ( x ) ,且 g ( x ) = f ( x ) ,又 f (0)=0,
g ( x ) 0 .求曲线 y =
f
g
(( x
x
))
与 y = 1 , x = 0 , x = 1 所围平面图形的面积.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P14例1.23设函数
第 10 页，共266页
f ( x ) 在 0, 上单调、可导,且满足
4
f
0
( x )
f − 1 ( t ) d t =
x
0
t
c
s
o
i n
s t
t
−
+
s
c
i
o
n
s
t
t
d t ,其中 f − 1 ( x ) 是 f ( x ) 的反函数,求 f ( x ) 的表达式.
P14例1.24设 f ( x ) 为连续函数,且满足 f ( x ) − a f ( a x ) = x 2 , 0 a 1 ,求 f ( x ) 的表达
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P15例1.25设可导函数
第 11 页，共266页
f ( x )
a+b
满足 f (a)= f (b)+ f (a−b),ab,且
2
f ( 0 ) = 1 , f ( x ) 在 x = 1 处取得极值0,求 f (x)的表达式.
P16例1.26设 f ( x ) =
2 x
l
2
n
−
x
l n x
,则 f(−1)=__________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P16例1.27设函数
第 12 页，共266页
f ( x ) = x − x ,其中 x 表示不超过x的最大整数,求
x
l i m
1
x
x
0
f ( t ) d t
→ +
.
1+x
P16例1.28设函数 f (x)= 在x=0处的2次泰勒多项式为a+bx+cx2,则().
1−x
(A)a=1,b=1,c=1 (B) a = 1 , b = 1 , c =
1
2
1
(C)a=0,b=−1,c= (D)
2
a = 0 , b = − 1 , c = 1高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P17例1.29若
第 13 页，共266页
f ( x ) = 1 + x 2 + x 3 + o ( x 3 ) ( x → 0 ) , g ( x ) =
a
f
,
( x )
x
− f ( 0 )
, x
其
中
0 ,
x = 0 ,
且 g ( x ) 连续.
(1)求a的值;
(2)当x→0时,计算 g ( x ) 到三阶的带佩亚诺余项的泰勒公式.
P18例1.30已知函数 f ( x ) =
x
0 ,
a
s i n
b
x , x
x
=
0
0
,
,
且 a 1 , b 0 ,求 f(x).高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P18例1.31设
第 14 页，共266页
g ( x ) 连续可导, F ( x ) = f g ( x ) , f ( x ) = x .
(1)当g(x)0时,求F(x);
(2)当 g ( x ) 0 时,求 f g ( x ) ;
(3)当 g ( x ) = c o s x 时,讨论 f g ( x ) 在 ( 0 , ) 上是否连续,并说明理由.
P19例1.32设 f ( x ) = e
−
x
2 s i n x ,求曲线y = f (x)在0,+)上绕x轴旋转一周所得旋转
体的体积.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P19例1.33设函数
第 15 页，共266页
y = y ( x ) 由
x
y
=
=
2
t
t +
s i n
t
t
确定,则
d
d
y
x
t = 0
= ________.
P20例1.34设函数 f ( x ) =
1
x
+ x
, x 0 , 1 ,定义函数列:
f
2
( x ) = f f1 ( x ) , , f
n
( x ) = f f
n − 1
( x ) , .
f1 ( x ) = f ( x ) ,
记 S
n
是由曲线 y = f
n
( x ) ,直线 x = 1 及
x 轴所围平面图形的面积,求极限 ln i m n S
n
→
.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P20例1.35(仅数学一、数学二)设非负函数
第 16 页，共266页
y ( x ) 是微分方程2yy=cosx满足条件
y ( 0 ) = 0 的解,求曲线 f
n
( x ) n
x
n0 y ( t ) d t ( 0 x n ) = 的弧长.
P21例1.36证明: x l n
1
1
+
−
x
x
+ c o s x 1 +
x
2
2
( − 1 x 1 ) ,高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P22例1.37已知
第 17 页，共266页
f ( x ) 是定义在 ( , ) − + 上任意阶可导的奇函数,
g ( x ) = l n f ( x ) + 1 + f 2 ( x ) ,则 g (1 0 ) ( 0 ) = _________.
P22例1.38已知 f ( x ) 是 ( , ) − + 上任意阶可导的奇函数, g ( x ) = f
1 −
1 +
2
a − x
,则
g ( 6 ) ( 0 ) = _________.
P22例1.39设 f ( x ) 在 a , b 上单调递增,证明
b
a
x f ( x ) d x
a +
2
b
b
a
f ( x ) d x .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P34例1.40设数列
第 18 页，共266页
a
n
n+2 满足a =2a +2 ,a =2,求a 的表达式.
n+1 n 1 n
P34例1.41已知 S
n
为数列 a
n
的前n项和,且满足 a
n + 1
= S
n
S
n + 1
, a
1
= − 1 ,求 S
n
的表达
式.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P35例1.42已知数列
第 19 页，共266页
a
n
满足 a a = a a +2a (n2),且a =a =1,求
n n−2 n−1 n−2 n−1 0 1
a (n2)的表达式.
n
P35例1.43已知数列 a
n
1
满足a = (na +a )(n1),a =1,a =0,求
n+1 n n−1 0 1
n+1
a −a (n1).
n n−1高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P35例1.44已知数列
第 20 页，共266页
a
n
满足 a
n + 1
=
a
a
n
n+
2
,且 a
1
= 1 ,求 a
n
的表达式.
P37例1.45计算 ln i m s i n
1
n 2
s i n
n
2
2
s i n
n
n
2 →
+ + +
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P39例1.46已知
第 21 页，共266页
f ( x ) = c o s a x c o s b x ,则 f ( n ) ( x ) = _________.
t
P52例1.47求 f (x)=
t l → im x
x
t−
−
1
1
x−t
, x1, 的函数表达式,并判断
0, x=1
f ( x ) 在 x = 1 处的
连续性.
P54例1.48当 x → 0 时, c o s
e
2 x
2 − 1
− 1 c x k ,则 c k = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P54例1.49当
第 22 页，共266页
x → 0 + 时, e
(
s in 3 x
3)
− 1 c x k ,则ck =_________.
P56例1.50讨论当 x → + 时, x + 1 + x − 1 − 2 x 关于
1
x
的阶数.
P57例1.51当 x → 0 时, ( x ) , ( x ) 是非零无穷小量,给出以下四个命题:
①若 ( x ) ( x ) ,则 2 ( x ) 2 ( x ) ;
②若 2 ( x ) 2 ( x ) ,则 ( x ) ( x ) ;
③若 ( x ) ( x ) ,则 ( x ) ( x ) o ( ( x ) ) − = ;
④若 ( x ) ( x ) o ( ( x ) ) − = ,则 ( x ) ( x ) .
所有真命题的序号是().
(A)①③ (B)①④ (C)①③④ (4)②③④高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P58例1.52设
第 23 页，共266页
f ( x ) = 2 − x x − x + o ( x − 1 ) , x → 1 ,且 f ( 1 ) = a ,则a=__________.
10
x
P59例1.53若极限 lim 存在,求的取值范围与此极限的值.
x→+ 1
x −x 1−
x
P59例1.54求极限 I ln i m n 2 ( n a n 1 a ) ( a 0 a 1 )
=
→
− + 且 .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P60例1.55求极限
第 24 页，共266页
x
l i m x 2 3
1
x 3 x
1
1
→ +
− +
.
P60例1.56求极限 lx i m x l n e
x
1
1
x
→
+
−
−
.
P61例1.57求极限
x
l i m l n ( 1 e x ) x
→ +
+ − .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P61例1.58求极限
第 25 页，共266页
x
l i m
( 1 x
x
)
3
2
x
→ +
+
−
.
P61例1.59求极限
x
l i m ( x 1 ) e 2
a rc ta n x
e x
→ +
−
+
−
.
P61例1.60求极限
x
l i m
( 1
x
1
x
x
) x
x
e → +
+
+
−
.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P62例1.61指出函数
第 26 页，共266页
f ( x ) =
x
1
+ l n
s
( 1
i n x
+ x )
的间断点并讨论其类别,其中[]为取整函数.
P63例1.62设函数 f ( x ) 在 x
0
附近有定义, l i
x →
m
x
0
f ( x ) 存在,证明 0 , 0 ,当
0 x
1
x
0
− ,0 x −x 时,有
2 0
f ( x
1
) f ( x
2
) − .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P63例1.63设 f (x)具有一阶连续导数,且 lim x− f (x) =0, f (1)1,证明:
x→+
(1)存在1,使得− f () 1− f (1);
(2)存在
第 27 页，共266页
1 ,使得 f ( ) 1 .
P63例1.64设 f ( x ) 单调减少,
x
l i m f ( x ) 0
→ +
= ,证明 f ( x ) 0 .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P64例1.65设x0,记x到2k的最小距离为
第 28 页，共266页
f ( x ) , k = 0 , 1 , 2 , .
(1)证明 f (x)以2为周期,并写出其在0,2上的表达式;
(2)求
x
l i m
x
0
f (
x
t ) d t
→ +
.
P65例1.66已知函数 f ( x ) 的定义域是0,+),且满足 f ( 0 ) = 1 ,
1
f(x)= ,
f
2(x)+x 2
求证:
x
l i m f ( x )
→ +
存在,且
x
l i m f ( x ) 1
2
→ +
+ .高数强化18讲 · 2.数列极限
第二讲数列极限
1
P69例2.1“对任意给定的kN ,总存在正整数N ,当n N时,恒有 x −a ”是
+ n k
2
数列x 收敛于a的().
n
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
P69例2.2“存在正整数
第 29 页，共266页
N ,当 n N 时,恒有 x n − a
1
n
”是数列 x n 收敛于 a 的()
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
P70例2.3设 lim a =a,且
n
n→
a 0 ,则当n充分大时,有().
(A) a
n
a
2
a
(B) a
n
2
1
(C)a a− (D)
n
n
a
n
a +
1
n高数强化18讲 · 2.数列极限
P71例2.4若
第 30 页，共266页
x
1
= 1 , x
n + 1
= 4 + 3 x
n
, n = 1 , 2 , ,证明数列 x
n
收敛,并求 lim x .
n
n→
P71例2.5若 x
1
=
1
3
, x
n + 1
=
1
3
+
1
3
x 2n , n = 1 , 2 , ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n
→
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 2.数列极限
P71例2.6若
第 31 页，共266页
x
n + 1
=
a
a
+
+
a x
n
x
n
( n = 1 , 2 , ) ,且 a 1 , x
1
= b 0 ,证明数列x 收敛,并求
n
ln i m x
n
→
.
P72例2.7若 x
n + 1
=
x
n
+
3
2
( n = 1 , 2 , ) , x
1
= 0 ,证明数列 x
n
收敛,并求 lim x .
n
n→高数强化18讲 · 2.数列极限
P72例2.8若
第 32 页，共266页
x
n 1
2
1
2
c o s x
n
( n 1 , 2 , ) , x
1
+
= + = = ,证明数列x 收敛,并求 lim x .
n n
n→
P73例2.9已知 x
1
=
1
2
, 2 x
n + 1
+ x 2n = 1 ( n = 1 , 2 , ) ,求 ln i m x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P73例2.10若
第 33 页，共266页
0 x
n
1 , x
n + 1
= 1 − 1 − x
n
( n = 1 , 2 , ) ,求:
(1) ln i m x
n
→
;
x
(2) lim n+1 .
n→ x
n
P73例2.11设 x
1
a 0 , x
n + 1
= x 2n − 2 a x
n
+ 2 a 2 ( n = 1 , 2 , ) ,求 lim x .
n
n→高数强化18讲 · 2.数列极限
P74例2.12(1)(仅数学一、数学三)设
第 34 页，共266页
x
n + 1
= x
n
( x
n
+ a
n
) ( n = 1 , 2 , ) , x
1
= 1 ,且正项级
数
n 1
a
n
=
收敛,证明数列 x
n
收敛;
(2)设 x
n + 1
=
2 ( x
x
n
2n
− 1 )
( n = 1 , 2 , ) , x
1
1 ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n →
;
(3)设 x
1
0 , x
n + 1
=
2 x
3
3n
x
+
2n
1
( n = 1 , 2 , ) ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P74例2.13设
第 35 页，共266页
x
n + 1
= x
n
( 2 − x
n
) ( n = 1 , 2 , ) , 0 x
1
2 ,证明数列 x
n
的极限存在,并
求此极限.
P75例2.14(1)证明对任意正整数 n ,都有
n
1
+ 1
l n
1 +
1
n
1
n
成立;
(2)设 a
n
= 1 +
1
2
+ +
1
n
− l n n ( n = 1 , 2 , ) ,证明数列 a
n
收敛.高数强化18讲 · 2.数列极限
P76例2.15设
第 36 页，共266页
f
0
( x ) 是 0 , ) + 上连续的严格单调增加函数,函数 f1 ( x ) =
x
0
f
0
(
x
t ) d t
.
(1)补充定义 f1 ( x ) 在 x = 0 处的值,使得补充定义后的函数(仍记为 f (x))在0,+)上连
1
续:
(2)在(1)的条件下,证明: f1 ( x ) f
0
( x ) ( x 0 ) ,且 f1 ( x ) 也是 0 , ) + 上连续的严格单调
增加函数.
(3)令 f
n
( x ) =
x
0
f
n − 1
x
( t ) d t
, n = 1 , 2 , 3 , ,证明:对任意的 x 0 , ln i m f
n
( x )
→
极限存在.高数强化18讲 · 2.数列极限
P77例2.16若
第 37 页，共266页
x
n + 1
+
4
x
n
4 , x
n
0 , n = 1 , 2 , ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n
→
.
P77例2.17若 ( 1 − x
n + 1
) x
n
1
4
( n = 1 , 2 , ) , 0 x
n
1 ,证明数列 x
n
收敛,并求 lim x .
n
n→高数强化18讲 · 2.数列极限
P78例2.18设函数
第 38 页，共266页
f ( x ) 连续,对任意的 a
1
, a
n + 1
= f ( a
n
) , n = 1 , 2 , .关于下列两个结论:
①若 f ( x ) 严格单调增加且有上界,则
x
l i m f ( x )
→ +
存在, ln i m a
n
→
也存在;
②若 f ( x ) 严格单调减少且有下界,则
x
l i m f ( x )
→ +
不一定存在, ln i m a
n
→
一定存在.
正确的选项是( ).
(A)仅①正确 (B)仅②正确
(C)①②都正确 (D)①②都错误
P79例2.19已知
(
2 + 2
) n
= a
n
+ 2 b
n
, a
n
, b
n
为整数,n=1,2, ,求 ln i m
a
b
n
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P79例2.20设数列
第 39 页，共266页
x
n
, y
n
满足 x
n + 1
= s i n x
n
, y
n + 1
= y 2n , n = 1 , 2 , , x
1
= y
1
=
1
2
,当
n → 时,证明 y
n
是比 x
n
高阶的无穷小量.
P80例2.21设数列 a
n
, b
n
满足
a
0
1
2
, a
n 1
a 2n , n 0 , 1 , 2 , ; b
n
t a n b
n 1
, b
n
4
, 0 , n 0 , 1 , 2 , .
=
+
= = =
+
−
= 计算 ln i m
a
b
n
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P80例2.22设
第 40 页，共266页
x
1
= a , y
1
= b , b a 0
x + y 2x y
.若x = n n ,y = n n ,证明
n+1 n+1
2 x + y
n n
x
n
, y
n
收敛于同一值.
P81例2.23(仅数学一、数学三)已知a =b +ln(1+a ),a 0, lim a =0,且
n n n n n
n→
n 1
a 2n
=
收
敛.
(1)求 ln i m
b
a
n2n
→
;
(2)证明
n
b
1
n
=
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P81例2.24(仅数学一、数学三)已知
第 41 页，共266页
e a n = a n + e a n + b n , a n 0 ,且
n 1
a n
=
收敛.
(1)证明
n
b
1
n
=
收敛;
(2)求 ln i m
b
a
n
n
→
.
P82例2.25(仅数学一、数学三)已知 e a n = a n + e b n , a n 0 ,且
n 1
a n
=
收敛.
(1)证明
n 1
b
a
n
n
=
收敛;
(2)求 ln i m
b
a
n2n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P82例2.26设正项数列
第 42 页，共266页
a
n
收敛于0,a 0.若a =cosb −cosa ,
n n n n
a n 0, ,b n 0, ,且
2 2
( 1 − b n ) n = c o s b n
lncosb
n ,则 lim b n =_________. n
n→
P83例2.27(1)证明曲线y=nsinx与直线 x + y = 1 在 x ( 0 , 1 ) 内有唯一交点 x
n
;
(2)证明(1)中的 x
n
收敛,并求 lim x ;
n
n→
(3)计算 ln i m x
lnn n s in x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P84例2.28设
第 43 页，共266页
u = g ( x ) =
x
0
,
,
x
x
是
是
有
无
理
理
数
数
,
,
y = f ( u ) =
1
0
,
,
u
u
=
0
0
,
,
则 lx i m→
0
f g ( x )
_________.
P84例2.29关于实数数列 a
n
,给出以下4个命题:
①若 ln i m a
n
A
→
= ,则 ln i m s i n a
n
s i n A
→
= ;
②若 ln i m s i n a
n
s i n A
→
= ,则 ln i m a
n
A
→
= ;
③若 ln i m a
n
A
→
= ,则 ln i m e
a
n e
A
→
= ;
④若 ln i m e
a
n e
A
→
= ,则 ln i m a
n
A
→
= .
其中真命题的个数为 ( ) .
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 2.数列极限
P85例2.30已知数列
第 44 页，共266页
a
n
( a
n
0 ) .若 a
n
发散,则 ( ) .
(A)
a
n
+
1
a
n
发散 (B)
a
n
−
1
a
n
发散
1 1
(C) ea n + 发散 (D) ea n − 发散
ea
n
ea
n 高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
第三讲一元函数微分学的概念
P87例3.1证明:函数
第 45 页，共266页
f ( x ) 可微的充分必要条件是 f (x)可导,且df (x)= f(x)dx.
P88例3.2设函数 f ( x ) 在点 x
0
处可导, l ( x ) 为曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f (x )) 处的切
0 0
线.
(1)写出 l ( x ) 的方程;
(2)对于经过切点 ( x
0
, f ( x
0
) ) 但不是l(x)的其他任何直线L(x)=ax+b,证明:存在
0 ,使得当 0 x x
0
− 时,有 f ( x ) − l ( x ) f ( x ) − L ( x ) .高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P89例3.3设 f (x),g(x)满足
第 46 页，共266页
f ( x ) g ( x ) ,且g(0)= g(0)=0,则 f (x)在x=0处
( ).
(A)不一定连续(B)连续但不一定可导
(C)可导且导数可能非零(D)可导且导数为零
P89例3.4设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有定义,且 f(x )=c,x (a,b),又数列
0 0
x
n
, y
n
满足 a x
n
x
0
y
n
b , ln i m x
n
x
0
, ln i m y
n
x
0
.
→
=
→
= 计算
ln i m
f ( y
n
y
)
n
f
x
n
( x
n
)
→
−
−
.高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P90例3.5设函数
第 47 页，共266页
f ( x ) 在区间 ( − 1 , 1 ) 内有定义,且在点x=0处连续,则下列命题中
①当 lx i m→
0
f
3
( x
x
)
= 0 时, f ( x ) 在点 x = 0 处可导;
②当 lx i m→
0
f (
x
x
2
)
= 0 时, f ( x ) 在点 x = 0 处可导;
③当 f ( x ) 在点 x = 0 处可导时, lx i m→
0
f
3
( x
x
)
= 0 ;
④当 f ( x ) 在点 x = 0 处可导时, lx i m→
0
f (
x
x
2
)
= 0 .
真命题的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
P93例3.6设函数 f (x)处处可导, f (0)=−1, f(0)=1,令 g ( x ) = f ( x − 1 ) ,则 ( )
(A)g(x)在 x = 0 处必可导 (B) g ( x ) 在 x = 0 处必不可导
(C)g(x)在 x = 1 处必可导 (D)g(x)在 x = 1 处必不可导高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P97例3.7设
第 48 页，共266页
f ( x ) = x
2
3 s i n x ,求 f ( x ) .
P97例3.8设函数 f ( x ) 处处可导, f ( 0 ) = − 1 , f ( 0 ) = 1 ,令 g ( x ) = f ( x − 1 ) ,则g(1)=
_________.高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P98例3.9设
第 49 页，共266页
f ( x )
x
0 ,
s i n x , x
x
0
0
,
,
=
其中,是常数,且 0 .
(1)在什么情况下, f ( x ) 不是连续函数?
(2)在什么情况下, f ( x ) 连续但不可微?
(3)在什么情况下, f (x)可微,但 f(x)在−1,1上无界?
(4)在什么情况下, f ( x ) 可微,且 f ( x ) 在 − 1 , 1 上有界,但 f ( x ) 不连续?
(5)在什么情况下, f ( x ) 连续?
P99例3.10定义在−1,1上的偶函数 f (x)满足 f ( x ) =
1
n 2
,
( n
1
+ 1 ) 2
x
1
n 2
,其中
n N + ,则( ).
(A)无论 f ( 0 ) 如何取值, f ( x ) 在 x = 0 处都不连续
(B)存在 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导
(C)存在唯一的 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在 x = 0 处可导
(D)存在多个不同的 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在 x = 0 处可导高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P99例3.11已知函数
第 50 页，共266页
y = y ( x )
x=2t+ t ,
dy
满足 则 =( ).
y =5t2 +3t t , dx t=0
(A)0 (B)2 (C)-15 (D)不存在公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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第四讲一元函数微分学的计算
P103例4.1设函数
第 51 页，共266页
f ( x )
1
可导且满足x 2 f(x)= f 2(x), f (1)= ,则
3
f ( n ) ( 0 ) = ( ).
(A)
(−1)n
n! (B)
(−1)n−1
n!
(C) ( − 2 ) n n ! (D) ( − 2 ) n − 1 n !
P104例4.2(1)设 y =
x ( 1
1
− x )
,求
d
d
n
x
y
n
;
(2)设 z =
x (
y
1
2
− x )
nz
,求 .
xn高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
P104例4.3设
第 52 页，共266页
f ( x ) = ( x + 1 ) n e − x 2 ,则 f ( n ) ( − 1 ) = _________
P105例4.4设 y = x 2 s i n x ,求 y ( n ) .
P105例4.5设 f (x)= ( x 3 −1 )n ,则 f (n) (1)=_________高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
P105例4.6已知
第 53 页，共266页
f ( x ) = s i n 6 x + c o s 6 x ,则 f ( 6 ) ( x ) = __________.
P106例4.7设 y =
1 +
x
x
2
,求 y ( n ) 满足的递推关系及 y ( 2 n + 1 ) ( 0 ) .
P106例4.8设 f ( x ) = a r c t a n 1
1
+
−
x
x
,则 f (1 1 ) ( 0 ) = _________.高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
P107例4.9设函数
第 54 页，共266页
y = f ( x ) 由
x
y
=
=
2
t
t +
t a n
t
t
,
所确定,则在
2
,
2
− 内( )
(A) f (x)连续, f ( 0 ) 不存在
(B) f(0)存在, f ( x ) 在x=0处不连续
(C) f(x)连续, f(0)不存在
(D) f(0)存在, f ( x ) 在 x = 0 处不连续
P108例4.10设 f ( x ) = 3 x 3 + x 2 x ,则使 f ( n ) ( 0 ) 存在的最高阶数n为 ( ) .
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
P108例4.11已知函数 f (x)=
sin(sinx)
,则 f
(10)
(2)=__________.
2+cos(sinx)高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
P109例4.12设函数 y = y(x)由方程x3+ y3+xy =3确定,则
第 55 页，共266页
y ( x ) e x
x = 1
= ( ) .
7
(A)− e (B)
2
−
1
2
e (C)
1
2
e (D)
7
2
e
P110例4.13设函数 y = y ( x ) 由参数方程
x
y
=
=
e
6
t
(
+
t
t
−
+
1
1
)
,
e t + t 2
确定,则 ( ) .
dy d2y
(A) =0, 0 (B)
dx dx2
x=2 x=2
d
d
y
x
x = 2
= 0 ,
d
d
2
x
y
2
x = 2
0
dy d2y
(C) 0, 0 (D)
dx dx2
x=2 x=2
d
d
y
x
x = 2
0 ,
d
d
2
x
y
2
x = 2
0
P111例4.14已知函数 f ( x ) = e x + 2 x + 1 ,设g(y)与 f (x)互为反函数,则g(2)=( ).
1
(A) (B)-3 (C)
3
−
1
2 7
2
e
(D)−
( 2 )3
e +2高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
第五讲一元函数微分学的应用(一)——几何应用
P115例5.1曲线
第 56 页，共266页
x
y
=
=
t
1
0
2
−
l
te
n
−
(
u
2
2
−
d
t
u
2
,
)
在点(0,0)处的切线方程为_________.
P115例5.2已知曲线
(
2 − x n 2
)
y = 1 在点(1,1)处的切线与x轴的交点为
( x n , 0 ) , n = 2 , 3 ,
n2
,则 lim (x n ) 2 =__________ .
n→
P116例5.3设 f (x)有连续的一阶导数,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 0 ) = 1
xf (u)
.求极限lim ,其中
x→0uf (x)
u 是曲线y = f (x)在点 ( x , f ( x ) ) 处的切线在 x 轴上的截距.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P117例5.4设函数
第 57 页，共266页
f ( x ) = ( x 2 + a ) e x ,若 f ( x ) 没有极值点,但曲线y = f (x)有拐点,则a
的取值范围是( ).
(A)0,1) (B) 1 , ) + (C) 1 , 2 ) (D) 2 , ) +
P118例5.5(仅数学一、数学二)已知曲线 y = f ( x ) 在点 ( 0 , 1 ) 处的曲率圆方程为
( x − 1 ) 2 + y 2 = 2 ,且当 x → 0 时,二阶可导函数 f ( x ) 与 a + b x + c x 2 的差为 o ( x 2 ) ,则
( )
(A) a = 0 , b = 1 , c =
3
2
(B) a = 1 , b = 0 , c = 1
(C)a=1,b=1,c=−1 (D)a=1,b=0,c=−1高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P118例5.6证明:若函数
第 58 页，共266页
f ( x ) 在 a , b 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则 f ( x ) 在 a , b 上严格单
调递增的充分必要条件是 f(x)0且 f(x)在a,b的任意子区间上不恒为零.
P119例5.7设 f ( x ) = a c o s x + b s i n x
在x=− 处取得极小值,并且
3
2
2
f ( x )
2
d x 2
−
= .求常数 a , b 的值.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P119例5.8已知函数 y = y(x)由方程x3+ y3−3x+3y−2=0确定,求y(x)的极值.
P120例5.9设函数
第 59 页，共266页
f ( x ) 在 x = x
0
处有二阶导数,则( ).
(A)当 f ( x ) 在 x
0
的某邻域内单调增加时, f ( x
0
) 0
(B)当 f ( x
0
) 0 时, f ( x ) 在x 的某邻域内单调增加
0
(C)当曲线 f (x)在 x
0
的某邻域内是凹的时, f ( x
0
) 0
(D)当 f ( x
0
) 0 时,曲线 f (x)在x 的某邻域内是凹的
0高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P121例5.10设
第 60 页，共266页
y = k ( x 2 − 3 ) 2 ( k 0 ) 在拐点处的法线经过原点,则 k 的取值范围为 ( ) .
1 1
(A)−1, (B)− ,1
4 2 4 2
(C)−1,1 (D)
−
4
1
2
,
4
1
2
P121例5.11已知 f ( x ) 在 0 , 1
f (x)
上单调增加, f (0)= f(0)=0,证明:函数g(x)=
ex
在 0 , 1 上单调增加.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P121例5.12设 f (x)在0,+)上连续可微,且 f (0)=1, f(x) f (x).证明:
f (x)e x(x0).
P122例5.13曲线
第 61 页，共266页
y = x l n ( e +
x
1
− 1
) 的斜渐近线方程为( )
1
Ay= x+e By = x+ C
e
y = x
1
Dy = x−
e
3
(1+x)2
P122例5.14曲线 y = 的斜渐近线方程为__________.
x高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P122例5.15求曲线
第 62 页，共266页
y =
(1
1
x
+
+
x
x
)
x
( x 0 ) 的斜渐近线方程.
P123例5.16设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内连续,且满足 x
0
f ( t − x ) d t = e − x − x
4
2 − 1 ,则曲
线 y = f ( x ) 有斜渐近线_________.
P123例5.17函数 y = x 2 x 在区间 ( 0 ,1 上的最小值为_________.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P123例5.18设
第 63 页，共266页
f ( x ) 在区间 0 , 4 上连续,曲线 y = f ( x ) 与直线x=0,x=4,y=0围成
如图所示的三个区域,其面积分别为 S
1
= 3 , S
2
= 4 , S
3
= 2 ,且 f (0)=1,则 f (x)在0,4
上的最大值与最小值分别为( ).
(A)2,−3 (B) 4 , − 3
(C) 2 , − 2 (D)4,-2
例5.19设 f ( x )
x
x
2 s i n t d t
=
+
.
(1)证明 f ( x ) 是以为周期的周期函数;
(2)求 f ( x ) 的值域.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
第六讲一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分
不等式
P136例6.1已知函数
第 64 页，共266页
f ( x ) 在a,b上具有二阶导数, f ( a ) = f ( b ) = 0 ,证明:
(1)存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) f ( ) 0 + = ;
(2)当 f ( a ) f ( b ) 0 时,存在 , ( a , b ) ,使得
f()=0, f()+2f()+ f ()=0.
P138例6.2已知函数 f ( x ) 和g(x)在 a , b 上连续,在 ( a , b ) 内可导,且g(x)0,证明:
存在 ( a , b )
f ()− f (a) f()
,使得 = .
g(b)−g() g()高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P139例6.3设
第 65 页，共266页
f ( x ) 在 0 , 1 上连续,在 ( 0 , 1 ) 内可导,且满足
( k 1 )
f ( 1 ) = k
1
k0 x e 1 − x f ( x ) d x
,证明至少存在一点 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) ( 1 1 ) f ( ) = − − .
P139例6.4设 f ( x ) 在 0 , 1 上连续,在 ( 0 , 1 ) 内可导,且 f ( 1 ) = 0 ,证明存在 ( 0 , 1 ) ,使得
(+1) f ()+f()=0.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P140例6.5设正值函数
第 66 页，共266页
f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续,证明存在 ( a , b ) ,使得
f
g
(( ))
ab
f
g
(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
=
P140例6.6证明:若 f ( x ) 连续且满足 20 f ( x ) c o s x d x 0
= ,则存在0,
,使得
2
f ( ) 0 = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P140例6.7设函数
第 67 页，共266页
f ( x ) 在 0 , 上连续,且
0
f ( x ) d x 0 ,
0
f ( x ) c o s x d x 0
= = .证明:在
(0,)内至少存在两个不同的点
1
,
2
,使得 f ()= f ( )=0.
1 2
P141例6.8设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 上具有一阶导数, lx i m
f (
x
x )
→
= + .证明:对任意 a ,
存在 ( , ) − + ,使 f ( ) a = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P141例6.9设函数
第 68 页，共266页
f ( x ) 在 0 , 1 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 ,且 f (x)在(0,1)内取得最大值
2,在(0,1)内取得最小值,证明:
(1)存在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 2 ;
(2)存在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 4 − .
P142例6.10设函数 f ( x ) 在 a , b 上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且
f (a)= f (b)=0, f(a) f(b)0,证明:
(1)存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) 0 = ;
(2)存在 ( a , b ) ,使得 f()= f();
(3)存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) f ( ) = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P143例6.11设函数
第 69 页，共266页
f ( x ) 二阶可导,若 f()0,证明存在a,b满足ab,使得
f ( b )
b
f
a
( a )
f ( ) .
−
−
=
P143例6.12(1)设 f ( x ) 在 a , b 上可导,若 f '+ ( a ) f '− ( b ) ,证明:对于任意的介于 f '+ ( a )
与 f '− ( b ) 之间的,存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) = ;
(2)若 f ( x ) 在(−,+)上具有二阶导数,证明:对任意的acb,都存在(a,b),使
得
( a
f
b
() a
( a
)
c ) ( b
f
a
() b
( b
)
c ) ( c
f
a
() c
(
)
c b )
1
2
f ( ) .
− −
+
− −
+
− −
= 高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P144例6.13设函数
第 70 页，共266页
f ( x ) 在 0 , 1 上可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,且 f ( x ) x ,证明:存在
(0,1).使 f()1.
P145例6.14已知函数 f ( x ) 在 x
0
, x
0
) + 上连续,在(x ,x +)内可导,0,证明:若
0 0
l i
x →
m
x +0
f ( x ) = A ,则 f '+ ( x
0
) = A .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P146例6.15设函数
第 71 页，共266页
f ( x ) 在 ( , ) − + 上连续,且 f ( x ) =
x
0
f ( t ) d t .证明: f (x)=0.
P146例6.16设函数 f ( x ) 在区间a,b上满足:对任意 x , y a , b ,有
f ( x ) f ( y ) M x y , − − 其中 M 0 , 1 是常数.证明: f ( x ) 在 a , b 上恒为常数.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P146例6.17设函数
第 72 页，共266页
f ( x ) 在 0 , ) + 上连续.对任意的a0,求证:
(1)
a
0
x
0
f ( t ) d t
d x =
a
0
f ( x ) ( a − x ) d x ;
a x 1 a 2
(2) f (x) f (y)dy dx = f (x)dx .
0 0 2 0
P147例6.18(1)若函数 f ( x ) 在 ( a , ) + 上可导,且
x
l i m f ( x ) A
→ +
= ,求极限
x
l i m
f (
x
x )
→ +
;
(2)若函数 f ( x ) 在 ( a , ) + 上可导,且
x
l i m f ( x )
→ +
= + ,证明
x
l i m f ( x )
→ +
= + .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P147例6.19已知函数 f (x)在(−,0)上可导,且 lim f(x)= A0,证明
x→−
第 73 页，共266页
x
l i m f ( x )
→ −
= − .
P148例6.20已知函数 f ( x ) 在 0 , 1 上连续,在(0,1)内可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 ,证明:存
在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 2 M ,其中 M = m0
ax x
1
f ( x ) .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P148例6.21已知
第 74 页，共266页
x
0
f ( t ) d t x f ( x ) , x 0 , f ( x ) e x = = ,则 lim=_________.
x→0+
P149例6.22设 f ( x ) 在 a , b 上连续,且 f (x)0,a0,证明存在(a,b),使得
b
b
a
2
f ( x
a
)
2
d x f
2
( )
−
=高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P149例6.23设函数
第 75 页，共266页
f ( x ) = x
1
e t 2 d t .证明:
(1)存在 ( 1 , 2 ) ,使得 f ( ) ( 2 ) e 2 = − ;
(2)存在 ( 1 , 2 ) ,使得 f ( 2 ) l n 2 e 2 = .
P151例6.24求极限 lx i m→
0
( 1 + x )
3
2
t a
−
n
( 1
x
−
2
x )
−
3
2
1
−
(1+x) 3 −(ax+b)
P151例6.25已知lim =c0，则(a,b,c)=_________.
2
x→0 sin x高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P152例6.26已知
第 76 页，共266页
lx i m→
0
e
a rc ta n x
x
−
2 l
(
n
a
(
x
1
2
+
+
x
b
)
x + c
)
= d 0 ,则 ( a , b , c , d ) = ________.
P154例6.27设函数 f ( x ) 在 0 , 1 上二阶可导, f (0)= f (1),且 f ( x ) 2 ,证明:
f ( x ) 1 , x 0 , 1 .
P155例6.28设函数 f (x)在 a , b 上有二阶导数,且 f ' (a)= f ' (b)=0.
+ −高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P155例6.29设函数
第 77 页，共266页
f ( x ) 在 a , b 上连续,在(a,b)内二阶可导,且
f(x) 1, f (a)= f (b)=0.证明: ma
ax x
b
f ( x )
1
8
( b − a ) 2 .
P156例6.30设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内具有二阶导数,若对任意的xR,都有
f ( x ) 1 , f ( x ) 1 ,证明: f ( x ) 2 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P156例6.31设函数 f (x)在0,1上存在二阶导数,且对于任意x0,1, f(x) 1.若
第 78 页，共266页
f ( x ) 在区间 ( 0 , 1 ) 内取到最大值.证明: f ( 0 ) + f ( 1 ) 1 .
P157例6.32设函数 f ( x ) 在 0 , ) + 内具有三阶导数.若 lim f (x)存在,
x→+
x
l i m f ''' ( x ) 0
→ +
= ,证明:
x
l i m f ( x ) 0 ,
x
l i m f ( x ) 0 .
→ +
=
→ +
=高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P157例6.33设函数
第 79 页，共266页
f ( x ) 具有二阶连续导数, f ()=0, f()0.若x 以为极限,以
n
x
0
为首项且满足 x
n
= x
n − 1
−
f
f
((
x
x
n
n
− 1
− 1
))
, n = 1 , 2 , 3 , , 证明:
( x
x
n −
n
1
−
−
x
x
n
n
−
−
1
2
) 2
收敛于
2
f
f
(( ))
−
.
P158例6.34设函数 f ( x ) 在闭区间 1 , 3 上具有三阶导数,且
2
1
f ( x ) d x =
2
1
f ( x + 1 ) d x , f ( 2 ) = 0 .证明:存在 ( 1 , 3 ) ,使得 f ( ) 0 = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P160例6.35设函数
第 80 页，共266页
f ( x ) 在区间 0 , 1
1
上连续,且a= f (x)dx0.证明:在区间
0
( 0 , 1 ) 内
至少存在不同的两点, ,使得
1 2 f
1(
1
) f
1(
2
)
2
a
.
+ =
P160例6.36设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续,对任意的xa,b,总存在ya,b,使得
f ( y )
1
2
f ( x ) 证明:至少存在一点 a , b ,使得 f ( ) 0 = .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P161例6.37设
第 81 页，共266页
f ( x ) 在 a , b 上可导,且 f (a) f (b)0,又当 x ( a , b ) 时,有
f(x)−f (x),则 f (x)在a,b上的零点个数为_______.
P161例6.38设 f ( x ) =
1 −
a
x
x
,其中 x a 0 .
(1)求 f ( x ) 的水平渐近线;
(2)证明e a f (x)1.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P164例6.39证明:
第 82 页，共266页
l n x −
2 (
x
x
+
−
1
1 )
( x −
4
1 ) 3
( x 1 ) .
P165例6.40已知函数 f ( x ) 在区间 a , ) + 上具有二阶导数,
f ( a ) = 0 , f ( x ) 0 , f ( x ) 0 .设 b a ,曲线 y = f ( x ) 在点 ( b , f ( b ) ) 处的切线与 x 轴
的交点是 ( x
0
, 0 ) .证明: a x
0
b .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P165例6.41设
第 83 页，共266页
x ( 0 , 1 ) ,证明下面不等式:
(1)(1+x)ln 2(1+x) x 2 ;
1 1 1 1
(2) −1 − .
ln2 ln(1+x) x 2
P168例6.42若方程 x x ( 1 − x ) 1 − x = k 在区间(0,1)内有且仅有两个不同的实根,求 k 的取值
范围.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P168例6.43求方程
第 84 页，共266页
( x + 2 ) e
1
x − k = 0 不同实根的个数,其中 k 为参数.
P169例6.44已知常数 k l n 2 − 1 .证明: ( x − 1 ) ( x − l n 2 x + 2 k l n x − 1 ) 0 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P170例6.45设函数
第 85 页，共266页
y = y ( x )
1 1
3
x= t +t+ ,
3 3
由参数方程 确定.
1 1
3
y= t −t+
3 3
(1)求 y ( x ) 的极值;
u = x,
(2)若 且v=v(u)恰有一个零点,求常数k的取值范围.
v= y+k,
P172例6.46设函数 f ( x ) 在 0 , 1 上二阶可导, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , mx
i0 n,1
f ( x ) = − 1 ,证
明:存在 ( 0 , 1 使 f ( ) 8 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P173例6.47设函数
第 86 页，共266页
f ( x ) 在区间 − 1 , 1 上具有三阶连续导数,且
f (−1)=0, f (1)=1, f(0)=0.证明:在区间(−1,1)内至少存在一点,使 f()=3.
P174例6.48设函数 f ( x ) 在区间 0 , 1 上具有二阶连续导数,且 f (0)=0, f (1)=1,
1
0
f ( x ) d x =
2
3
,证明:存在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 2 = − .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P177例6.49设函数
第 87 页，共266页
f ( x ) 1 b a+b 可导,则任给ab,均有 f (x)dx= f 是
b−a a 2
f ( x )
为直线的( ).
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
P178例6.50设 f ( x ) 在 − a , a 上具有三阶连续导数,证明:存在 ( a , a ) − ,使
f (
3
) f ( a )
a 3
f ( a ) 2 f
a
(2 0 )
.
=
− −
−
高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的物理应用
第七讲一元函数微分学的应用（三）——物理应用与经济应用
P181例7.1如图所示,长度为
第 88 页，共266页
a m 的绳子通过一个定滑轮 P 将 A , B 两辆小车连接在一起.滑
轮到地面的垂足是 Q , P Q = 1 2 m .在某个时刻 t0 ,小车 A 在距离 Q 点 5 m 处以 2 m / s 的速度远
离 Q 点,若此时小车 B 的速度为 2 m / s ,求 a 的值.
P182例7.2个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数 K 0 .
假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的3小时内,融
7
化了其体积的 ,问雪堆全部融化需要多少小时?
8高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的物理应用
P182例7.3已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻
物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为
第 89 页，共266页
1 2 0 C 的物体在 2 0 C 恒温介质中冷却, 3 0 m in
后该物体温度降至 3 0 C ,若要将该物体的温度继续降至 2 1 C ,还需冷却多长时间?高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
第八讲一元函数积分学的概念与性质
P191例8.1求极限
第 90 页，共266页
n
lim
1
n
n n ( n 1 ) ( n 2 ) n ( n 1 )
→
+ + + − .
P192例8.2设 f ( x ) x 2 , f ( x ) x 2 2 x 3 = = − + + 且 ( x ) 0 ,则
n
lim
1
3 n
i
n
1
i 2 ( n i )
n
1
( x ) →
=
−
+
= ( )
1
(A) (B)
12
1
6
1
(C) (D)
3
2
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P193例8.3
第 91 页，共266页
n
lim
n 2
n
1 n 2
n
1 1 n 2
n
1 2 2 n 2 1
n
( n 1 ) 2 →
+
+
+ +
+
+ +
+ +
+ + −
= ________.
P193例8.4设 a ( 0 ,1 ) ,则
n
lim
i
n
1
n i
i
a
s in
i
n →
=
+
= ( ).
(A) a − c o s a (B) a − s in a (C) 1 − c o s 1 (D)1−sin1
P194例8.5设 f ( x )
lim
n
a ,
( f x
1
n
) ,
1 c o s
x
n
c o s
2
n
x
c o s
n
n
1
x , x
x
x
0
0
0
,
,
=
→
−
+ + + +
−
=
连续,则 a =
_______.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
n
k
P194例8.6求极限 lim cos 2 .
n→ 4n 4n
k=1
P195例8.7设函数
第 92 页，共266页
f ( x ) 在区间 0 ,1
1
上连续,则 f (x)dx=( ).
0
n n
2k−11 2k−1 1
(A) lim f (B) lim f
n→ 2n n n→ 2n 2n
k=1 k=1
(C)
n
lim
2
k
n
1
f
k
2 n
1 1
n →
=
−
2n
k 2
(D) lim f
n→ 2nn
k=1
P195例8.8求极限
n
lim
1 2 3 2
n
3
( 2 n 1 ) 2
→
+ + + −
.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P200例8.9设常数
第 93 页，共266页
p 0 , q 0 ,若
1
0 x p (
ln
1
x
− x ) q
d x 收敛,则( ).
(A) 0 p 1 ,1 q 2 (B) p 1 ,1 q 2
(C) 0 p 1 , 0 q 1 (D) p 1 , 0 q 1
P201例8.10设 p 为常数,若 1
0
x p ( 1 − x ) p − 1 ln x d x 收敛,则( ).
(A) p − 1 (B) − 1 p 0 (C) 0 p 1 (D) p 1
P201例8.11判断下列反常积分的敛散性.
+ln(1+x) + x−1 p
(1) dx(p0); (2) ln dx(p0);
0 x p 1 1+x高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
p
+x arctanx
(3) dx; (4)
0 2+x q
第 94 页，共266页
20 ln s in x
ln
1
s in x
d x
+
;
+ 1
(5) dx.
0 3x(x−2)2(x−4)
P203例8.12(1)证明
1
c o
x
s
2
x
d x
+
绝对收敛;
(2)证明
1
s i n
x
x
d x
+
收敛.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
+
P205例8.13设 f (x)dx收敛,且 lim f (x)=b存在,证明b=0.
a x→+
P205例8.14设
第 95 页，共266页
a
f ( x ) d x
+
收敛,且 f ( x ) 在a,+)上单调增加,证明:
(1) f (x)有上界;
(2) lim f (x)=0.
x→+高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P205例8.15设
第 96 页，共266页
a
f ( x ) d x
+
收敛,且 f (x)在a,+)上单调减少.证明:
(1)对任意 0 ,存在 X a ,当 x 2 X 时,
xx
2
f ( t ) d t 2 ;
(2) lim xf (x)=0
x→+
P206例8.16设 f ( x ) 在 a , ) +
+ +
上可导,且 f (x)dx, f(x)dx均收敛,证明
a a
x
lim f ( x ) 0
→ +
= .高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P206例8.17设
第 97 页，共266页
a
f ( x ) d x
+ +
收敛, f (x)在a,+)上可导且单调减少,证明 xf(x)dx收
a
敛.
P206例8.18设函数 f ( x ) 在 1 , ) + 上二阶可导,且 f (x)0, lim f(x)=+,证明
x→+
1 f
1(
x )
d x
+
收敛.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P207例8.19设函数
第 98 页，共266页
f ( x ) 在 0 , ) + 上可导,且 f(x)0, f (0)=1,则
0 f ( x )
1
f ( x )
d x
+
+
收
敛是
0 f
1(
x )
d x
+
收敛的( ).
(A)充要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
第九讲一元函数积分学的计算
P212例9.1求下列不定积分.
(1)
第 99 页，共266页
x 2 +
x
2 x + 2
d x ; (2)
x 2 +
x
2 x − 3
d x .
P213例9.2求下列不定积分.
(1) a 2 − x 2 d x ( a 0 ) ; (2) a 2 + x 2 d x ( a 0 ) ;
(3) x 2 − a 2 d x ( a 0 )
P213例9.3求下列不定积分.
(1)
x 2
1
1 + x 2
d x ; (2)
( 1 +
1
x 2 ) 2
d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P214例9.4求下列不定积分.
1 dx
(1) dx; (2) .
ex +1 ex +1
P214例9.5求下列不定积分.
(1)x x2 +2x+2dx; (2)
第 100 页，共266页
x x 2 + 2 x − 3 d x .
P215例9.6(1)设 f (x)连续,证明
0
f ( x ) d x
0
f 1
x
1
x 2
d x + = + ;
(2)计算 + 1 dx和 + 1 dx.
0 1+x4 0 1+x3公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P215例9.7求
第 101 页，共266页
2 x
x
+
+
1
1
d x .
P216例9.8设 a
n
n
0
x s in x d x , n 1 , 2 ,
= = ,求a 的表达式.
n
P216例9.9求下列不定积分.
(1)
( 1
x
+
e x
x ) 2
d x ; (2)
( 2
x 2
+
e x
x ) 2
d x ;
xex
(3) dx.
ex +1高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P217例9.10求下列不定积分.
(1)exsinxdx; (2)
第 102 页，共266页
s e c 3 x d x ;
(3)sin(lnx)dx (4) 1+x2dx;
(5) s in 2 x d x ;
P218例9.11 e x
1
1
−
+
x2
x
2
d x = _________.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P218例9.12求下列不定积分.
(1)
第 103 页，共266页
I
5
= s in 5 x d x
dx
; (2)I = .
3 ( a2 +x2)3
P219例9.13设 n 为非负整数,则
1
0
x 2 ln n x d x = _______.
+
P219例9.14设a = xne−x dx,n=1,2, ,求a 的表达式.
n 0 n高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P220例9.15求不定积分
第 104 页，共266页
x 3 −
3 x
5
+
2 x
1
+ 6 x
d x .
P221例9.16求下列不定积分.
(1)
( x
x
+
2
1 ) 5
d x ; (2)
x ( 1
1
+ x 5 )
d x ;
1
(3) dx.
x2( 1+x2)2
P221例9.17求下列不定积分.
(1)
s
c
i
o
n
s
5
4
x
x
d x ; (2)
s in x
1
+ s in 3 x
d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P222例9.18求不定积分
第 105 页，共266页
s in 2 x c o s 3 x d x .
P222例9.19求不定积分
2
s
s in
in x
x
+
+
2
c
c
o
o
s
s
x
x
d x .
P223例9.20求不定积分
1 +
1
2 c o s x
d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P223例9.21已知x3 =(x+y)y3,求
第 106 页，共266页
d
y
x
3
.
P223例9.22已知x= y(x−y)2,求
x
1
− 3 y
d x .
P224例9.23设 y = y ( x ) 由方程 y 3 + x y − 1 = 0 所确定,求y2dx.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P225例9.24设函数
第 107 页，共266页
f ( x ) 在 0 , ) + 内可导, f (0)=0,其反函数为g(x).若
x+f(x)
g(t−x)dt=x2ln(1+x),求 f (x).
x
P225例9.25设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内非负连续,且 xtf
0
( x 2 ) f ( x 2 − t 2 ) d t = s in 2 ( x 2 ) ,
求 f ( x ) 在 0 , 上的平均值.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P226例9.26设
第 108 页，共266页
x 1 ,求积分 I ( x ) = 1
− 1
t − x e 2 t d t 的最大值.
P227例9.27设函数 f ( x ) = 1
0
t 2 − x 2 d t ( x 0 ) ,求 f(x),并求 f ( x ) 的最小值.
P227例9.28极限 lim
t→ 0 +
1
5 t
t
0
d y
t
y
s in ( x
x
y ) 2
d x = _________.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P228例9.29函数
第 109 页，共266页
f ( x ) =
(
1
x
1
+
+ 1
x) 2
c
,
o s x ,
x
x
0
0
,
的一个原函数为( ).
ln ( 1+x2 −x ) , x0,
(A)F(x)= (B)
(x+1)cosx−sinx, x0
F ( x ) =
ln
( x
(
+
1
1
+
) c
x
o
2
s x
−
−
x
s
) +
in x
1
,
, x
x
0
0
,
ln ( 1+x2 +x ) , x0, ln ( 1+x2 +x ) +1, x0,
(C)F(x)= (D)F(x)=
(x+1)sinx+cosx, x0 (x+1)sinx+cosx, x0
P229例9.30设 f ( x ) =
e
1
−
+
x ,
x 2 ,
x
x
0
0
,
,
则 2 f (x−1)dx=__________.
−2
P229例9.31设 f ( x ) =
2
(
x
e
+
x
x
e
+
3
2x
1
2 x
2 )
, −
, 0
1
x
x
1
0
,
,
求函数 F ( x ) = x
− 1
f ( t ) d t 的表达式.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
第十讲一元函数积分学的应用(一)——几何应用
P238例10.1求心形线
第 110 页，共266页
r a ( 1 c o s ) ( a 0 , 0 2 ) = − [见图]的弧长(仅数学一、数学二)
所围图形的面积以及绕Ox轴旋转得到的旋转体的体积.
P240例10.2求伯努利双纽线 r 2 a 2 c o s 2 ( a 0 ) = [见图]所围图形的面积以及绕Ox轴、Oy
轴分别旋转得到的旋转体的体积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P241例10.3求阿基米德螺线
第 111 页，共266页
r a ( a 0 , 0 2 ) = 的弧长(仅数学一、数学二)、与 O x
轴所围图形的面积.
P242例10.4求对数螺线 r e a ( a 0 , 0 2 ) = 的弧长(仅数学一、数学二)、与极轴所围
图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P242例10.5求双曲螺线
第 112 页，共266页
r a
(
a 0 ,1 3
)
= 的弧长(仅数学一、数学二)及与
=1,= 3所围图形的面积.
P243例10.6求三叶玫瑰线 r a s in 3 ( a 0 ) = [见图(a)]所围图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P243例10.7求四叶玫瑰线
第 113 页，共266页
r a s in 2 ( a 0 ) = [见图(a)]所围图形的面积.
P244例10.8求摆线
x
y
=
=
a
a
(( t
1
−
−
s
c
in
o
) t ,
) s t
( a 0 ) (平摆线)一拱的弧长(仅数学一、数学二)、与 x
轴所围图形的面积及绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P245例10.9求星形线
第 114 页，共266页
x
23
+ y
23
= a
23
( a 0 ) (参数方程
x
y
=
=
a
a
c
s
o s
in
3 t
3 t
,
( a 0 ) )(内摆线的一种)的
弧长(仅数学一、数学二)、所围图形的面积及绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.
P245例10.10求笛卡儿叶形线 x 3 + y 3 − 3 a x y = 0 ( a 0 ) (参数方程为
x
y
=
=
3 a
1 +
3 a
1 +
t
3 t
2 t
3 t
,
( a 0 ) )所围
图形的面积及渐近线.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P246例10.11(仅数学一、数学二)若
第 115 页，共266页
y = k x ( 0 x 1 ) ( k 0 ) 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转
体的侧面积为 6 ,则 k = _________.
P247例10.12(仅数学一、数学二)抛物面 z = x 2 + y 2 ( 0 z 1 ) 的面积为________.
P247例10.13求曲线 y = x ( 1 − x ) 9 在0,1上与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体
的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
1
P247例10.14设D是由曲线y= x3,直线
第 116 页，共266页
x = a ( a 0 ) 及 x 轴所围成的平面图形,V ,V 分别
x y
是D绕 x 轴,y轴旋转一周所得的旋转体的体积.若V =10V ,求
y x
a 的值.
P247例10.15设 f
n
( x ) =
( n x )
n
2 + 1
, n = 1 , 2 , ,记 S
n
为 f
n
( x ) 与 f
n +1
( x ) 所围图形面积,证明
S
n
4
3
1
n 3
.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P248例10.16设
第 117 页，共266页
y lim
n 1
1
n
x
x 2 n
=
→ +
+
,则曲线y= y(x)与x轴及x=1所围图形面积为
__________.
P248例10.17(仅数学一、数学二)设曲线 y = a x ( a 0 ) 与 y = x − 1 在第一象限交于一点
( x
0
, a x
0
) ,其中 y = x − 1 ( 1 x x
0
) 在第一象限绕 x 轴旋转所得的旋转体表面积为
6
( 5 5 1 ) − ,则 a = __________.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P248例10.18(仅数学一、数学二)求曲线
第 118 页，共266页
( x − 2 ) 2 + y 2 = 1 绕y轴旋转一周所得旋转体表面
积.
P248例10.19已知 y = x a
−
x2
a ( a 1 , 0 x + ) 与x轴中间部分区域绕x轴旋转一周生成的
旋转体的体积为 e 2 ,则 a = __________.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P249例10.20求
第 119 页，共266页
y = 3 x 2 + 2 x ( x 0 ) 与x=1,y=0围成的平面图形绕y轴旋转一周所生成的
旋转体的体积.
P249例10.21求曲线 x 2 + y 2 = 2 y
y
1
2
1
与x2 + y2 =1y 所围成的平面图形绕
2
y 轴旋转
一周所生成的旋转体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P249例10.22求曲线
第 120 页，共266页
y = 3 − x 2 − 1 与x轴所围成的图形绕直线y=3旋转一周所生成的旋转
体的体积.
P250例10.23(仅数学一、数学二)曲面 z = 1 3 − x 2 − y 2 将球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 5 分成三部分,
则三部分面积之比为___________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P250例10.24设
第 121 页，共266页
P ( x , y ) 为曲线 L :
x
y
c
2
o
s
s t
in
,
2 t
0 t
2
=
=
上一点,作过原点 O ( 0 , 0 ) 和点 P 的
直线 O P ,将曲线 L 、直线 O P 以及 x 轴所围成的平面图形记为 A .
(1)求平面图形 A 的面积S(x)的表达式;
(2)将平面图形A的面积 S ( x ) 表示为t的函数 S = S
1
( t ) ,并求
d S
d t
1 取得最大值时点P的坐
标.
P251例10.25求曲线 y 2 = ( 1 − x 2 ) 3 所围图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P251例10.26求曲线y=x 4x−x2 在区间0,4上与x轴所围图形绕y轴旋转一周所得的旋
转体的体积.
P252例10.27已知函数
第 122 页，共266页
f ( x ) 在 0 ,
3
2
上连续,在 0 ,
3
2
cosx
内是函数 的一个原函数,
2x−3
且 f ( 0 ) = 0 .
(1)求 f ( x ) 在区间 0 ,
3
2
上的平均值;
(2)证明 f ( x ) 在区间 0 ,
3
2
内存在唯一零点.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P253例10.28(仅数学一、数学二)求曲线
第 123 页，共266页
y =
x
0
c o s t d t 的全长.
P253例10.29求下列曲线围成的区域绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
1
− x (1)y=e 2 sinx 在 0 , 2 部分与 x 轴围成的平面区域;
(2) y = e − x
n
s in
( n
x
+ 1 )
( x 0 , n = 1 , 2 , ) 与 x 轴中间部分区域;
(3) y = 1 − x 2 ( 0 x 1 ) 与 x
y
c
s
o s
in
3 t
3 t
, 0 t
2
=
=
围成的平面区域.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
x=2cos3t,
P254例10.30设星形线的方程为 则它绕
y=2sin3t,
第 124 页，共266页
x 轴旋转一周而成的旋转体的表面积为
_________.
P254例10.31双纽线 r 2 a 2 c o s 2 ( a 0 ) = 绕极轴旋转一周所围成的旋转曲面面积S =
___________.
P255例10.32求曲线段 y = ln x ( 2 x 6 ) 的一条切线,使该切线与直线 x = 2 , x = 6 及此曲线
段所围平面图形的面积最小.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P255例10.33(仅数学一、数学二)计算下列曲线的弧长.
1
(1)y=ln ( 1−x2) ,0x ;
2
1 1
(2)y= x2 − lnx(1xe);
4 2
(3)
第 125 页，共266页
y ln c o s x 0 x
6
=
;
(4) ln y + 2 x −
1
2
y 2 = 0 ( 1 y e ) .
P256例10.34求曲线 ( y + 1 ) 2 = ( 2 − x ) ln x 在区间 [1 , 2 ] 上所围成的平面图形绕直线y=-1旋转
一周所生成的旋转体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P256例10.35求曲线
第 126 页，共266页
y =
x
e
, y = ln x 与x轴围成图形绕直线x=e旋转一周所生成的旋转体的
体积
P256例10.36设函数 y = f ( x )
e−xcosx
满足微分方程y+ y= ,且
2 sinx
f ( ) 0 = ,则曲线
y = f ( x ) ( x 0 ) 绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积是( ).
(A)
5 ( 1 e 2 )
+ −
(B)
5 ( 1 e 2 )
− −
(C) (D)
5 ( 1+e−) 5 ( 1 e )
− −高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P257例10.37求下列曲线与
第 127 页，共266页
x 轴所围区域的面积.
(1)y=(x+1)( enx −1 )(n1);(2) y
x
2
2
e 2 x , x 0 , ) = − + ;
(3) y e x s in x , x 0 , ) = − + ;(4) y =
x
e
, y = ln x .
P258例10.38求下列区域绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
(1) y = e − x , x 轴, y 轴, x ( 0 ) = 所围成的曲边梯形;
(2) y =
e x +
2
e − x
, x = 0 , x = t ( t 0 ) , y = 0 所围成曲边梯形;
3
(3)y= xe − 2 x(x0)下方及 x 轴上方的无界区域.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P258例10.39(仅数学一、数学二)求曲线
第 128 页，共266页
y =
e x +
2
e − x
, x = 0 , x = t ( t 0 ) , y = 0 所围成的曲边
梯形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的表面积.
P259例10.40(仅数学一、数学二)设 D 是由曲线 y = 1 − x 2 ( 0 x 1 ) 与
x
y
c
s
o s
in
3 t
3 t
,
0 t
2
=
=
围成的平面区域,求 D 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的表面积.高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
第十一讲一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式
P264例11.1已知函数
第 129 页，共266页
f ( x ) = e sin x + e − sinx ,则 f(2)=__________.
P264例11.2已知函数 f ( x ) = xe0 c o st d t , g ( x ) = sin
0
xe 2t d t ,则（ ）
(A)𝑓(𝑥)是奇函数,𝑔(𝑥)是偶函数
(B)𝑓(𝑥)是偶函数,𝑔(𝑥)是奇函数
(C)𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)均是奇函数
(D)𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)均是周期函数
1 dx
P265例11.3I = =__________.
−1 1
1+ex高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P265例11.4
第 130 页，共266页
I 2
2
1
s in 4
e
x
x
d x
=
− + −
= __________.
P265例11.5(1)设 I
a
a
s in n x d x , n 1 , 2 , , a
=
+
= 为任意常数,则( ).
(A) I 只与 a 有关 (B) I 只与 n 有关
(C) I 与 a , n 均有关 (D) I 与 a , n 均无关
k
a+
(2)设I = 2 1−sin2x dx,k为正整数,
a
a 为任意实数,则( ).
(A) I 只与 a 有关 (B) I 只与 k 有关
(C)I 与 a , k 均有关 (D)I 与 a , k 均无关公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P266例11.6设一阶齐次线性微分方程y+ p(x)y=0的系数
第 131 页，共266页
p ( x ) 是以T为周期的连续函
数,则“该方程的非零解以 T 为周期”是“ T
0
p ( x ) d x = 0 ”的( ).
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
P267例11.7设可导函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) , f ( 0 ) = 1 ,又 f
0
(x )g ( t ) d t = x
0 s
t
in
2
t
s in
+
3 t
c o s t
d t ,则
f ( ) = __________.
ln(1+x)
1
P268例11.8I = dx=_________.
0 1+x2高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P268例11.9 x cos2x−cos4x dx=_________.
0
P269例11.10设
第 132 页，共266页
f ( x )
为连续函数,4f (2x)dx− f (x)=cos4x,则2f (x)dx=________.
0 0
P269例11.11设数列 a
n
的通项 a
n 0 ( 1
d x
x 2 ) n
, n 2 , 3 , = +
+
=
ln(1+e2n)
a ,计算lim n+1
n→ a n高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P270例11.12已知函数
第 133 页，共266页
f ( x ) 在 0 ,
2
上可导,且 20 f ( x ) c o s x d x 0
=
,证明存在0, ,使
2
得 f ( ) f ( ) ta n = .
P273例11.13计算下列积分.
(1) 2
0
( x − 1 ) d x ;
(2) 2
0
x ( x − 1 ) ( x − 2 ) d x ;
(3) 2n x(x−1)(x−2) (x−n) x−(2n−1)(x−2n)dx.
0高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P274例11.14计算下列积分.
4
(1) x 4x−x2 dx;
0
(2)
第 134 页，共266页
2
0
( 2 x + 1 ) 2 x − x 2 d x .
P275例11.15设函数 F ( x ) x
x
2 f ( t ) d t = + ,其中 f (t)=esin2t( 1+sin2t ) cos2t,则 F ( x ) ( ).
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不是常数高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P275例11.16已知
第 135 页，共266页
f ( x ) 2
0
s in
x
x d x = ,则 f (x)( ).
(A)大于零 (B)小于零 (C)恒为零 (D)非常数
3
P276例11.17设𝐼 =∫2 𝜋 cos𝑥 d𝑥,则𝐼( ).
0 2𝑥−3𝜋
(A)恒正 (B)恒负 (C)存在零点 (D)发散
P276例11.18证明:𝐹(𝑥)=∫ 𝑥+2𝜋 esin𝑡sin𝑡 d𝑡 >0.
𝑥高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P277例11.19证明:
第 136 页，共266页
0
2
s in x 2 d x 0
.
P277例11.20设函数 f ( x ) 具有二阶导数, f ( x ) 0 , f ( x ) 0 ,记 I
1
f ( x ) s in x d x ,
=
−
I = f (x)cosxdx,则( ).
2
−
(A)I 0,I 0 (B)
1 2
I
1
0 , I
2
0
(C)I 0,I 0 (D)I 0,I 0
1 2 1 2高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P278例11.21设
第 137 页，共266页
f ( x ) lim
t
t 2 s in
x
t
g 2 x
1
t
g ( 2 x )
=
→
+
−
,且 g ( x ) 的一个原函数为 ln ( x + 1 ) ,
求 1
0
f ( x ) d x
P278例11.22已知 f ()=1,且
0
f ( x ) f ( x ) s in x d x 3 + = ,求 f (0).高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P279例11.23设
第 138 页，共266页
f ( x ) = xe0 − 2t + 2 t d t ,求 1
0
( x − 1 ) 2 f ( x ) d x .
P279例11.24设函数 f ( x ) 在区间 0 ,1 上具有连续导数,且 1
0
x 2 f ( x ) d x = 1 .证明:
(1)存在 0 ,1 ,使得 f ( ) 3 = ;
(2)若 f ( 1 ) = 1
0
f ( x ) d x = 0 ,则存在 0 ,1 ,使得 f ( ) 6
7
= − .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P280例11.25已知
第 139 页，共266页
f ( ln x )
1 ,
x ,
x
x
(( 0
1
,1
,
) ,
) ,
f ( 0 ) 0
=
+
= ,则 f ( 1 ) = _________.
P281例11.26 lim
n
1
0
( n 1 ) x n ln ( 1 x ) d x
→
+ + = ( ).
(A) ln 2 (B)1 (C) e 2 (D) +
例11.27设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内具有二阶连续导数.证明: f ( x ) 0 的充分必要条件是
对不同的实数 a , b , f a +
2
b
b
1
− a
b
a
f ( x ) d x .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P282例11.28设函数
第 140 页，共266页
f ( x ) 在 a , b 上连续且严格单调递增,且 f ( x ) 0 .求证:
( b − a ) f ( a ) b
a
f ( x ) d x ( b − a )
f ( a ) +
2
f ( b )
.
P283例11.29设函数 f ( x ) 在 a , b
a+b
上具有二阶连续导数,且 f =0.证明:存在
2
a , b ,使得 f()= 24 b f (x)dx.
(b−a)3 a公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P284例11.30证明
第 141 页，共266页
lim
n
40 s in ( n x ) s in n x d x 0
→
= .
P286例11.31设 f ( x ) 可积,且 lim
x
f ( x ) a
→ +
= ,证明 lim
x
1
x
x
0
f ( t ) d t a
→ +
= .
P287例11.32设 f ( x ) 在 0 ,1 上具有二阶连续导数, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , f ( x ) 0 ,证明:对于任
意 x ( 0 ,1 ) , 1
0
f
f
( x
( x
))
d x 4 .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P288例11.33设 f (x)在a,b上单调递增且连续,证明
第 142 页，共266页
b
a
x f ( x ) d x a +
2
b b
a
f ( x ) d x .
P288例11.34求极限 lim
n
1
x0 2 s in 2 n x d x
→
.
P289例11.35求极限lim 1 h f (x)dx,其中函数
h→0+ −1h2 +x2
f ( x ) 在−1,1上连续.高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用
第十二讲一元函数积分学的应用(三)——物理应用于经济应用
P291例12.1如图所示,井深a米,每米绳子的重量是
第 143 页，共266页
5 N ,挂斗重400N,污泥重 1 5 0 0 N ,
将挂斗从井底提到井口所做的功为 5 9 2 5 0 J ,则 a = _________.
P291例12.2半径为 a 的半球形水池蓄满了水,水的比重为1,现将水抽干,至少做功
2
,则
a=_________.高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用
P292例12.3如图所示,一闸门的上部是一个宽为2米、高为
第 144 页，共266页
H 米的矩形,下部由y= x2与
y=1围成.当闸门上边缘与水面在一个平面时,其上部所受水压力与下部所受水压力之比为
5
,求上部的高度
4
H .
P293例12.4设沿 y 轴上的区间0,1放置一长度为1且线密度为的均匀细杆,在 x 轴上
x = 1 处有一单位质点,则该细杆对此质点的引力( G 为引力常量)沿x轴正向的分力为
_________.高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用
P293例12.5将地面上质量为m的物体竖直举高H 米,求克服重力所做的功
第 145 页，共266页
W ( H ) .
P294例12.6水从一根底面半径为 1 c m 的圆柱形管道中流出.因为水有黏性,在流动过程中
受到管道壁的阻滞,所以流动的速度是随着到管道中心的距离而变化的.距管道中心越远,水
流速度越小,在距离管道中心 r c m 处的水的流动速度为 1 0 ( 1 − r 2 ) c m / s .问水是以多大流
量(以 c m 3 / s 为单位)流过管道的?高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用
P294例12.7(1)宽度为6m的金属板，三分之一作为侧边,做成排水沟[见图(a)]，问折起角
度多大时，排水沟的截面积S最大;
(2)设一抛物线过(1)中所求得截面的
第 146 页，共266页
A , D 及 B C 中点,记该抛物线与直线段 A D 所围成封
闭平面的面积为 S ,求
S
S
;
(3)若排水沟长为 1 m ,其横截面原为(1)中等腰梯形的形状,因淤泥沉积形成了(2)中抛物线
的形状,现清楚淤泥,恢复(1)中的形状,将淤泥搬运出排水沟,至少作多少功?(设单位体积的
淤泥重为 N )高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
第十三讲 多元函数微分学
x2 − y2
P300例13.1求 lim .
(x,y)→(0,0) x2 + y2
P300例13.2求
第 147 页，共266页
( x
l i m
) ,y → (0 ,0 )
x
x
3
2
+
+
y
y
3
.
P300例13.3求lim ( x2 + y2)
( x2+y2)
.
x→0
y→0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P300例13.4求
第 148 页，共266页
l ix
y
m
x 2
x
x y
y
y 2
→
→
−
+
+
.
P300例13.5求 l i
x
y
m
1
( x 2 y 2 ) e ( x y )
→
→
+
+ − + .
P301例13.6求 l ix
y
m
a
1
1
x
xx 2
y
→
→
+
+
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P301例13.7设
第 149 页，共266页
f ( x , y ) = x s i n
1
y
+ y s i n
1
x
, I
1
= l i m
x →
y →
0
0
f ( x , y ) , I
2
= l i m
y → 0
l i m
x → 0
f ( x , y ) ,则
( ).
(A)I ,I 均存在 (B)I 存在,I 不存在
1 2 1 2
(C)I 不存在,
1
I
2
存在 (D) I
1
, I
2
均不存在
P301例13.8设 f ( x , y ) =
x 2
x
+
y
y 2
, I
1
= l i m
x →
y →
0
0
f ( x , y ) , I
2
= l i m
y → 0
l i m
x → 0
f ( x , y ) ,则( )
(A)I ,I 均存在 (B)
1 2
I
1
存在,I 不存在
2
(C)I 不存在,
1
I
2
存在 (D) I
1
, I
2
均不存在高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P302例13.9设
第 150 页，共266页
f ( x , y ) =
x
x
2
2
−
+
y
y
2
2
, I
1
= l i m
x → 0
l i m
y → 0
f ( x , y ) , I
2
= l i m
y → 0
l i m
x → 0
f ( x , y ) , I
3
= l i m
x →
y →
0
0
f ( x , y ) ,则
( ).
(A)I ,I 存在,
1 2
I
3
不存在 (B) I
1
, I
2
, I
3
均不存在
(C)I ,I ,I 均存在 (D)
1 2 3
I
1
, I
2
不存在, I
3
存在
P306例13.10设 f ( x , y ) 在区域 D 上二阶偏导数连续,则下列命题:
f (x,y)
①若 0,(x,y)D,则
y
f ( x , y ) ( x ) = ;
f (x,y) f (x,y)
②若 = 0,(x,y)D,则 f (x,y)为常数;
x y
③若
f (
x
x
, y )
0 , ( x , y ) D ,则对任意 p
0
( x
0
, y
0
) D ,存在 0 ,使得在 U ( p
0
, ) 内
有 f ( x , y ) ( y ) =
所有真命题的序号为( ).
(A)①② (B)③ (C)②③ (D)①②③公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P306例13.11函数
第 151 页，共266页
f ( x , y ) =
1
0
,
,
x y
其 ?
=
他
0 ,
在点 ( 0 , 0 ) 处( ).
(A)关于两个变量都连续,其在原点连续
(B)关于两个变量都连续,其在原点不连续
(C)关于两个变量都不连续,其在原点连续
(D)关于两个变量都不连续,其在原点不连续
P307例13.12已知函数 f ( x , y ) =
x
0
2
( ,
x y
+
x ,
y
y
2
)
( ,
=
x
(
,
0
y
,
)
0
) ,
( 0 , 0 ) ,
则 f (x,y)在点(0,0)处( )
(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在
(C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P307例13.13函数
第 152 页，共266页
g ( x , y ) = x 2 + y 2 在点 ( 0 , 0 ) 处( ).
(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在
(C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在
P307例13.14函数 f ( x , y ) =
x
0
x
2
,
2
+
y
y 2
, (
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
,
在点 ( 0 , 0 ) 处( )
(A)连续,可微 (B)连续,不可微 (C)不连续,可微 (D)不连续,不可微高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P308例13.15
第 153 页，共266页
f ( x , y ) =
2 x ,
2 y ,
其 1 , ?
y
x
=
=
他
0
0
,
, 在点 ( 0 , 0 ) 处( ).
(A)两个偏导数均连续,且函数可微
(B)两个偏导数均连续,且函数不可微
(C)两个偏导数均不连续,且函数可微
(D)两个偏导数均不连续,且函数不可微
P30813.16函数 f ( x , y ) =
(
0
x
,
2 + y 2 ) s i n
x 2
1
+ y 2
, (
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
,
在(0,0)处( ).
(A)可微,偏导数连续 (B)可微,但偏导数不连续
(C)不可微,偏导数连续 (D)不可微,且偏导数不连续高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P309例13.17函数
第 154 页，共266页
f ( x , y ) =
x
0
y
,
s i n
1
y
, y
y
=
0
0
,
在(0,0)处( ).
(A)可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 连续 (B)可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 不连续
(C)不可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 连续 (D)不可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 不连续
P309例13.18设函数 f ( x , y ) =
x
0
y
,
x
x
2
2
−
+
y
y
2
2
, x
x
2
2
+
+
y
y
2
2
=
0
0
,
,
则( )
(A) f ''
x y
( 0 , 0 ) = 1 , f ''y
x
( 0 , 0 ) = 1 (B) f ''
x y
( 0 , 0 ) = 1 , f ''y
x
( 0 , 0 ) = − 1
(C) f'' (0,0)=−1, f'' (0,0)=1 (D) f'' (0,0)=−1, f'' (0,0)=−1
xy yx xy yx高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P310例13.19已知函数
第 155 页，共266页
f ( x , y ) 在点(0,0)处连续,且极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
(2 x
+
, y
y
)2
存在,证明:
f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.
P310例13.20设函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处具有连续偏导数,且 f 'x ( 0 , 0 ) = 1 , f 'y ( 0 , 0 ) = 2 ,
求 l i m
h → 0
f ( h , h ) −
h
f ( 0 , 0 )
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P311例13.21设
第 156 页，共266页
( x + a
(
y
x
)
+
d x
y
+
2 )
y d y
是某个二元函数的全微分,求 a 的值.
P311例13.22设函数 z = f ( x , y )
z 1
满足 =siny+ ,且
x 1−xy
z ( 1 , y ) = s i n y ,求 f (x,y)高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P312例13.23已知函数
第 157 页，共266页
f ( x , y ) 的偏导数在点(x ,y )的某邻域内存在且有界,证明:
0 0
f (x,y)在点(x ,y )处连续.
0 0
P312例13.24设函数 f ( x , y ) 在 R 2 上连续,且
x 2
l i m2
y
f ( x , y )
+ → +
= + ,证明:要么
x 2
l i m2
y
f ( x , y )
+ → +
= + ,要么
x 2
l i m2
y
f ( x , y )
+ → +
= − .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P313例13.27如果函数
第 158 页，共266页
f ( x , y ) 在点(0,0)处连续,那么下列命题正确的是( ).
f (x,y)
(A)若极限lim 存在,则 f (x,y)在点(0,0)处可微
x→0 x + y
y→0
(B)若极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
(2 x
+
, y
y
)2
存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微
(C)若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
( x
+
, y
y
)
存在
(D)若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
(2 x
+
, y
y
)2
存在
P314例13.28设 F ( x , y ) 在点 ( x
0
, y
0
) 的某邻域内有二阶连续偏导数,且
F ( x
0
, y
0
) = 0 , F x ( x
0
, y
0
) = 0 , F y ( x
0
, y
0
) 0 , F ''x
x
( x
0
, y
0
) 0 .则由方程 F ( x , y ) = 0 确定
的隐函数 y = y ( x ) 在点 x = x
0
处( )
(A)取得极小值(B)取得极大值
(C)不取得极值(D)不能确定是否取得极值高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P314例13.29二元函数
第 159 页，共266页
f ( x , y ) 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ).
(A)
( x
l i m
) ,y → (0 ,0 )
f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) = 0
f (x,0)− f (0,0) f (0,y)− f (0,0)
(B)lim =0,且lim =0
x→0 x y→0 y
f (x,y)− f (0,0)
(C) lim =0
(x,y)→(0,0) x2 + y2
(D)limf'(x,0)− f'(0,0)=0,且limf'(0,y)− f'(0,0)=0
x x y y
x→0 y→0
P316例13.30设函数 f ( x , y ) = x
0
ye x 2t d t ,则
2
x
f
y
(1 ,1 )
= _________.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P316例13.31设函数
第 160 页，共266页
f ( x ) 在 1 , ) + 上连续, f ( 1 ) = 1 ,且满足
x
1
y f ( t ) d t = x y
1
f ( t ) d t + y x
1
f ( t ) d t ( x 1 , y 1 ) .
求:(1) f ( x ) 的表达式;
(2)由方程Fxex+y, f (xy) = x2 + y2确定的隐函数
y = y ( x ) 的导数
d
d
y
x
,其中 F ( u , v ) 是
可微的二元函数.
P317例13.32设函数 F ( a , b ) = a
a
b
b −1
( a − b x ) f ( x ) d x , f ( x ) 可导,记
I = F'' (1,1),I = F'' (1,−1),则( ).
1 ab 2 ba
(A)I I (B)I I (C)I =I (D)I I 0
1 2 1 2 1 2 1 2高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P318例13.33已知二元函数
第 161 页，共266页
z = f ( x , y ) 可微,两个偏增量
z = ( 2+3x2y2) x+3xy2(x)2 + y2(x)3 , z=2x3yy+x3(y)2 ,且 f (0,0)=1,
x y
求 f ( x , y ) .
P322例33.34设 f ( x ) = sin x e
c o sx
2t + x t d t ,求 f(0).
P322例13.35设 z = z ( x , y ) 是由方程
x
z
= l n
z
y
确定的二元隐函数,求全微分dz.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P323例13.36设函数
第 162 页，共266页
z = z ( x , y ) 由方程ez +xyz+x+cosx=2确定,求dz .
(0,1)
P323例13.37已知函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, f (1,1)=2是 f (u,v)的极值,
z = f [ x + y , f ( x , y ) ] ,求
x
2
z
y
(1 ,1 )
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P323例13.38设
第 163 页，共266页
y = y ( x ) , z = z ( x ) 是由方程 z = x f ( x + y ) 和 F ( x , y , z ) = 0 所确定的函
数,其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,且 F 'y + x f F 'z 0 ,求
d
d
z
x
.
P324例13.39设函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数连续,在点 ( 1 , 0 ) 的某邻域内有
f ( x , y ) = 1 − x − 2 y + o ( x − 1 ) 2 + y 2 成立.记 z ( x , y ) = f ( e y , x + y ) ,则
d z ( x , y )
(0 ,0 )
= __________.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P325例13.40设
第 164 页，共266页
z ( x , y ) =
x 2 +
x y
y 2
, x y 0
z z
,则x + y =__________.
x y
P326例13.41请判断以下函数分别是几次齐次函数.
f
1
= x + y , f
2
= x 2 + x y + y 2 , f
3
= A x 2 + 2 B x y + C y 2 , f
4
=
x 2 +
x y
y 2
, f
5
=
1
x y
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P327例13.42设
第 165 页，共266页
f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,证明 f ( x , y ) 为k次齐次函数的充要条件是
f f
满足:x + y =kf (x,y).
x y
P327例13.43设在上半平面D={(x,y)∣y 0}内,函数 f (x,y)具有连续偏导数,且对任
意的 t 0 , 都有 f ( t x , t y ) = t − 2 f ( x , y ) .证明: y f ( x , y ) d x − x f ( x , y ) d y = 0 是全微分方程.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P329例13.44已知可微函数
第 166 页，共266页
f ( u , v )
f (u,v) f (u,v)
满足 + =ecosv(1−usinv)+u,且
u v
f ( u , 0 ) =
1
2
( u + e ) 2 .记 g ( x , y ) = f ( x , x − y ) .
(1)计算
g (
x
x
, y )
;
(2)求 f ( x , y ) 的表达式.
P330例13.45设 z = z ( x , y ) 有二阶连续偏导数,用变换u= x−2y,v= x+ay可把方程
6
2
x
z
2
+
x
2
z
y
-
2
y
z
2
= 0
2z
简化为 =0,求常数
uv
a .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P331例13.46设函数
第 167 页，共266页
u = f
(
l n x 2 + y 2
)
有二阶连续偏导数,且满足
1
2u 2u 3 f (xt)dt
+ = ( x2 + y2) 2,若极限lim 0 =−1,求函数
x2 y2 x→0 x
f ( x ) 的表达式.
P332例13.47设 f ( x , y ) 是一阶偏导数连续的正值函数,满足 f 'x ( x , y ) + f ( x , y ) = 0 ,若
f 'y ( 0 , y ) = t a n y , f ( 0 , 0 ) = 1 ,求 f ( x , y ) .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P336例13.48设
第 168 页，共266页
f ( x , y ) = x y ,则点 ( 0 , 0 ) ( )
(A)是驻点,也是极值点 (B)是驻点,不是极值点
(C)不是驻点,是极值点 (D)不是驻点,也不是极值点
P336例13.49求函数 f ( x , y ) = x 2 − 3 x 2 y + y 3 的驻点,并判断是否是极值点.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P336例13.50求函数
第 169 页，共266页
f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 x y 的极值和极值点.
P337例13.51设 f ( x , y ) = ( y − x 2 ) ( y − 2 x 2 ) , k 为任意常数,则( ).
(A) f (x,kx)在 x = 0 处取极小值,点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极小值点
(B) f (x,kx)在 x = 0 处取极小值,点 ( 0 , 0 ) 不是 f ( x , y ) 的极小值点
(C) f (x,kx)在 x = 0 处不取极小值,点(0,0)是 f (x,y)的极小值点
(D) f (x,kx)在 x = 0 处不取极小值,点(0,0)不是 f (x,y)的极小值点高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P338例13.52求
第 170 页，共266页
f ( x , y ) = ( 1 + e y ) c o s x − y e y 的极值点和极值.
P338例13.53设 a 0 , b 0 ,函数 f ( x , y ) = 2 l n x +
( x − a
2
2 )
x 2
+ b y 2
在x0时的极小值
为2,且 f ''y
y
( − 1 , 0 ) = 1 .
(1)求 a , b 的值;
(2)求 f ( x , y ) 在 x 0 时的极值.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P339例13.54设
第 171 页，共266页
u ( x , y ) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且
x
2 u
y
0 ,
2
x
u
2
2
y
u
2
= 0 ,则 u ( x , y ) 的( ).
(A)最大值点和最小值点必定都在 D 的内部
(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上
(C)最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上
(D)最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上
P339例13.55设函数 f ( x , y ) 在平面区域D内连续,则以下四个命题:
①函数 f (x,y)在其偏导数不存在的点也可能取到极值;
②若函数 f ( x , y ) 在 D 内存在唯一驻点,则 f ( x , y ) 在 D 内至多有1个极值点;
③若函数 f ( x , y ) 在 D 内有2个极值点,则其中之一必为极大值点,另一个必是极小值点;
④在驻点 ( x
0
, y
0
) 处,若 f ''
x x
( x
0
, y
0
) f ''y
y
( x
0
, y
0
) − f ''
x y
( x
0
, y
0
) 2 0 ,则 ( x
0
, y
0
) 不是极值
点.
正确命题的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P340例13.56设DR2是有界闭区域,函数 f (x,y)在D上连续,在D内可微,且满足方
程 f'(x,y)+ f'(x,y)=kf (x,y)(k 0).若在
x y
第 172 页，共266页
D 的边界上 f (x,y)=0,证明 f (x,y)在
D上恒为零.
P340例13.57设函数 f (x,y)在 D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 1 上连续,在D内具有二阶连续偏
导数,且在 D 的内部满足
2 f
(
x
x
2
, y )
+
2 f
(
y
x
2
, y )
= f ( x , y ) . 若在 D 的边界上
f ( x , y ) 0 ,证明: f ( x , y ) 0 , ( x , y ) D .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P340例13.58设
第 173 页，共266页
f ( x ) 为二阶可导函数,且x=0是 f ( x ) 的驻点,则二元函数
z = f (x) f (y)在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是( ).
(A) f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 (B) f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0
(C) f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 (D) f ( 0 ) = 0 , f ( 0 ) 0
P342例13.59设 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 均为可微函数,且 g 'y ( x , y ) 0 .已知 ( x
0
, y
0
) 是
f ( x , y ) 在约束条件 g ( x , y ) = 0 下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
(A)若 f 'x ( x
0
, y
0
) = 0 ,则 f 'y ( x
0
, y
0
) = 0 (B)若 f 'x ( x
0
, y
0
) = 0 ,则 f 'y ( x
0
, y
0
) 0
(C)若 f '(x ,y )0,则 f '(x ,y )=0(D)若 f '(x ,y )0,则 f '(x ,y )0
x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P342例13.60已知
第 174 页，共266页
( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 内切于 x
a
2
2
+ y
b
2
2
= 1 ( a 0 , b 0 ) ,求 a , b 的值使后者面
积 S 最小.
P343例13.61求 u = x 2 + y 2 在约束条件 5 x 2 + 4 x y + 2 y 2 = 1 下的最大值与最小值.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P344例13.62已知函数
第 175 页，共266页
f ( x , y ) = 3 ( x 2 + y 2 ) − x 3 .
(1)求函数 f (x,y)的极值;
(2)求 f ( x , y ) 在有界闭区域 D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 1 6 上的最大值和最小值.高数强化18讲 · 14.二重积分
第十四讲二重积分
n n i
P350例14.1lim =________.
n→ (n+i)( n2 + j2)
i=1 j=1
P362例14.2
第 176 页，共266页
60 d y 6y
c o s
x
x
d x
= _________.
P362例14.3求
2
0
d y
2
y 1
y
+ x 3
d x .高数强化18讲 · 14.二重积分
P362例14.4求函数
第 177 页，共266页
f ( x ) = xs
1
i n t 2 d t 在区间0,1的平均值.
P363例14.5求 1 dy 1
ex2
−ey2
dx.
0 y x
高数强化18讲 · 14.二重积分
P363例14.6设函数
第 178 页，共266页
f ( x , y ) 连续,则以下等式不成立的是( ).
(A)
1
0
d x
x
−
2
x
f ( x , y ) d y =
1
0
d y
1
y
f ( x , y ) d x +
0
− 1
d y
1
− y
f ( x , y ) d x
1 2x−x2 2 2−x 1 2−y
(B) dx f (x,y)dy+ dx f (x,y)dy = dy f (x,y)dx
0 0 1 0 0 1− 1−y2
1 1
(C)3 d f (rcos,rsin)r dr = r dr3f (rcos,rsin)d
0 0 0 0
r
(D)2 d 2cos f (rcos,rsin)r dr = 2 r dr arccos 2 f (rcos,rsin)d
r
− 0 0 −arccos
2 2
P365例14.7已知 f ( x ) 具有三阶连续的导数,且
f ( 2 ) = −
1
2
f ( 0 ) = f ( 0 ) = f ( 0 ) = − 1 ,
,计算累次积分 I = 2
0
d x x
0
( 2 − x ) ( 2 − y ) f ( y ) d y .高数强化18讲 · 14.二重积分
P365例14.8确定积分区域
第 179 页，共266页
D
y2
,使得二重积分I = 1−x2 − dxdy达到最大值.
2
D
P366例14.9设函数 f ( x ) 连续,且 1 f ( x ) 2 , x 0 , 1 ,证明: D
f
f
(( x
y
))
d x d y
9
8
,其中
D = ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y 1 .高数强化18讲 · 14.二重积分
P366例14.10已知函数
第 180 页，共266页
f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,且关于变量x和y的周期均为1,记
I =
1
− 1
d x
1
− 1
f ( x , y )
2 f
(
x
x
2
, y )
+
2 f
(
y
x
2
, y )
d y .
(1)证明 I = − D
f (
x
x
, y ) 2
+
f (
x
y
, y ) 2
d x d y ,其中
D = ( x , y )∣ − 1 x 1 , − 1 y 1 ;
(2)若 I 0 ,证明 f ( x , y ) 是常函数.
P370例14.11设 D ( r , ) r 1 , r 2 c o s , s i n 0 = ∣ ,计算
D
2 x 1
2
d − 高数强化18讲 · 14.二重积分
P370例14.12设
第 181 页，共266页
J
i
= D i 3 x − y d x d y ( i = 1 , 2 , 3 ) ,其中
D
2
= ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y x , D
3
= ( x , y )∣ 0 x
D
1
1
=
, x
2
( x
, y
y
)∣
0
1
,
x 1 , 0 y 1 ,
则( )
(A)J J J (B)
1 2 3
J
3
J
1
J
2
(C) J
2
J
3
J
1
(D) J
2
J
1
J
3
P371例14.13设 D 是介于圆周 x 2 + y 2 = 4 与圆周(x+1)2 + y2 =1之间的部分,计算二重
积分 I = _________ .高数强化18讲 · 14.二重积分
P372例14.14已知
第 182 页，共266页
f ( t )
D ( )t x 2 y 2 2t
( e x 2 y 2 k y 2 ) d =
：
+
+ − 在t(0,+)内是单调增加函数,
k 为常数,求 k 的取值范围.
P373例14.15设 D = ( x , y ) x + y 2 , f ( x , y ) =
x 2 ,
x 2
1
+ y 2
, 1
x
+
x
y
+
1
y
,
2 ,
计算二
重积分 D f ( x , y ) d x d y高数强化18讲 · 14.二重积分
P374例14.16设
第 183 页，共266页
D ( r , ) 0
4
, 0 r s e c
=
,则
D
1 ( x y ) 2 d − − =
_________.
P375例14.17设平面有界区域 D 位于第一象限,由曲线 x 2 + y 2 − x y = 1 , x 2 + y 2 − x y = 2
与直线 y = 3 x , y = 0 围成,计算 D
3 x 2
1
+ y 2
d x d y .高数强化18讲 · 14.二重积分
P376例14.18设函数
第 184 页，共266页
f ( x , y ) 具有连续偏导数,记 D ( x , y ) 2 x 2 y 2 1
= ∣ + .当
x 2 + y 2 = 1 时, f (x,y)=0, f (0,0)=a.记g(r,)= f (rcos,rsin).
g(r,)
(1)计算r ;
r
(2)计算 l i m
0
D
x
f ( x
x
, y
x
)
2
y
y 2
f ( x
y
, y )
d x d y
→ +
+
+
.
P378例14.19如图所示,平面区域 D 由直线x+ y=1,x+ y=2,y= x和y=2x围成,计算
二重积分 D ( x + y ) d x d y .高数强化18讲 · 14.二重积分
P378例14.20设D= (x,y)∣(x−1)2 +(y−1)2 2,y x ,计算二重积分
第 185 页，共266页
D ( x − y ) d x d y .
P379例14.21设 a 0 , b 0 , ( a )
0
x a 1 e x d x = + − − ,则 1
0
x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x = _________.高数强化18讲 · 15.微分方程
第十五讲微分方程
P385例15.1微分方程
第 186 页，共266页
x + y y = y − x y 的通解为__________.
P385例15.2微分方程
d
d
y
x
=
2
2
x
x
−
+
5
4
y
y
+
−
3
6
满足y(0)=2的特解为__________.
P386例15.3设 f ( x ) 在 0 , ) + 上连续且有水平渐近线 y=b0,则( ).
b
(A)当a0时,y+ay= f (x)的任意解都满足 lim y(x)=
x→+ a
(B)当 a 0 时, y + a y = f ( x )
a
的任意解都满足 lim y(x)=
x→+ b
(C)当a0时,y+ay= f (x)的任意解都满足 lx i m y ( x )
b
a → +
=
(D)当 a 0 时, y + a y = f ( x )
a
的任意解都满足 lim y(x)=
x→+ b高数强化18讲 · 15.微分方程
P387例15.4(仅数学一、数学二)设函数
第 187 页，共266页
y ( x ) 是微分方程2xy−4y=2lnx−1满足条件
y ( 1 ) =
1
4
的解,求曲线 y = y ( x ) ( 1 x e ) 的弧长.
P388例15.5已知微分方程y+ y = f (x),其中 f (x)是R上的连续函数.
(1)若 f ( x ) = x ,求方程的通解;
(2)若 f ( x ) 是周期为 T 的函数,证明:方程存在唯一的以T为周期的解.高数强化18讲 · 15.微分方程
P389例15.6求解定解问题
第 188 页，共266页
y
y
y
+
( 0
( 0
2
))
x
=
=
( y
1 ,
0 .
) 2 = 0 ,
P390例15.7求解定解问题
y
y
y
+
( 0
( 0
2
)
)
x
=
=
( y
1 ,
−
1
2
) 2
.
= 0 ,
P390例15.8求解微分方程 y 2 y − y = 0 .高数强化18讲 · 15.微分方程
P391例15.9求解微分方程
第 189 页，共266页
x y y + x ( y ) 2 − y y = 0 .
P391例15.10微分方程 y − y = s i n x 在(−,+)上有界的解为__________.
P392例15.11设 y = y(x)为可导函数,且满足y(0)=2及
d
d
y
x
+ y ( x ) =
x
0
2 y ( t ) d t + e x ,
则 y ( x ) = __________.高数强化18讲 · 15.微分方程
P393例15.12欧拉方程x2y+xy−4y=0满足条件
第 190 页，共266页
y ( 1 ) = 1 , y ( 1 ) = 2 的解为y =
_________.
P393例15.13以 y
1
= t e t , y
2
= s i n 2 t 为两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程为( ).
(A)y (4) −2y+5y−8y+4y=0 (B)y (4) −2y+5y+8y+4y=0
(C)y (4) +2y+5y−8y+4y=0 (D)y (4) −2y−5y−8y+4y=0
P394例15.14求曲线 ( y − C
2
) 2 = 4 C
1
x 满足的微分方程.高数强化18讲 · 15.微分方程
P394例15.15已知
第 191 页，共266页
y ( x ) = u ( x ) x + v ( x ) e x 是 ( x − 1 ) y − x y + y = ( x − 1 ) 2 的解,求该微分
方程的通解.
P395例15.16求微分方程 y + t a n y =
c o
x
s y
的通解.高数强化18讲 · 15.微分方程
P395例15.17求下列各微分方程的通解.
(1)
第 192 页，共266页
y + x y = y ( l n x + l n y ) ;
(2)y+1=e−ysinx.
P396例15.18求微分方程 x y = y ( l n y − l n x ) 的通解.高数强化18讲 · 15.微分方程
P396例15.19用变量代换
第 193 页，共266页
x c o s t ( 0 t ) = 化简微分方程
( 1−x2)
y−xy+ y =0并求其满足y =1,y =2的特解.
x=0 x=0
P397例15.20以 u =
y
x
变换方程x2y+ ( x2 −2x ) y+ ( 2−x−2x2) y =10x3,并求其通解.高数强化18讲 · 15.微分方程
P400例15.21设
第 194 页，共266页
f ( x ) 在 ( 1 , ) − + 上具有连续的一阶导数,且满足 f ( 0 ) = 1 及
f ( x ) + f ( x ) −
x
1
+ 1
x
0
f ( t ) d t = 0 . 求 f ( x ) ,并证明:当 x 0 时,有 e − x f ( x ) 1 .
P401例15.22已知 f ( x y ) = y f ( x ) + x f ( y ) 对任意正实数 x , y 均成立,且 f ( 1 ) = e ,求
f ( x y ) 的极小值.高数强化18讲 · 15.微分方程
P403例15.23(仅数学一、数学二)求一条凹曲线
第 195 页，共266页
y = y ( x ) ( x 1 ) 的表达式,已知其上任一
点处的曲率 k
2 y 2
1
c o s
= ,其中为该曲线在相应点处的切线的倾角, c o s 0 .并设曲线
在点(3,2)处的切线的倾角为45 .高数强化18讲 · 15.微分方程
P404例15.24(仅数学一、数学二)设
第 196 页，共266页
y = f ( x ) 是区间 0 , ) + 上具有连续导数的单调增加
函数,且 f (0)=1.对任意的t0,+),直线 x = 0 , x = t ,曲线 f (x)以及 x 轴所围成的
曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,
求函数 y = f ( x ) 的表达式.高数强化18讲 · 15.微分方程
P405例15.26(仅数学一、数学二)现有容量为
第 197 页，共266页
1 0 0 0 0 m 3 的污水处理池,开始时池中全部是
清水,现有含污染物的质量浓度为
1
3
k g / m 3 的污水流经该处理池,流速为50m3 /min,已
知该处理池每分钟处理 2 % 的污染物,求:
(1)任意时刻 t ,池中污染物总质量 y ( t ) 的表达式;
(2)经过多长时间,从池中流出的污染物的质量浓度为
1
3 0
k g / m 3 .高数强化18讲 · 15.微分方程
P406例15.27在xOy平面上,设
第 198 页，共266页
P Q = 1 ,初始时刻P在原点,Q在 ( 1 , 0 ) 点,若P点沿着y
轴的正方向移动,且Q点的运动方向始终指向P点,求Q点的运动轨迹.高数强化18讲 · 15.微分方程
P407例15.28(仅数学一、数学二)设位于坐标原点的甲追踪位于x轴上点
第 199 页，共266页
A ( 1 , 0 ) 处的乙,
甲始终对准乙.已知乙以匀速v 沿平行于
0
y 轴正向的方向前进,甲的速度是kv ,k 0,设甲
0
追踪乙的曲线方程是 y = y ( x ) .
(1)证明 y = y ( x ) 满足方程 k ( 1 − x ) y = 1 + ( y ) 2 ,且 y ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = 0 ;
(2)k为何值时,甲可追上乙,并求出甲追上乙时的坐标.高数强化18讲 · 16.无穷级数
第十六讲无穷级数(仅数学一、数学三)
1 n
P414例16.1判别级数 1− 的敛散性.
n
n=2
P414例16.2判别级数
第 200 页，共266页
n 2
2
2
n
n
l n
1
2 n
1
=
−
+
的敛散性.
P414例16.3判别级数
n 1
e
3
n
n
1
=
−
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P414例16.4判别级数
第 201 页，共266页
n 2
l n
1
n
=
的敛散性.
P415例16.5判别级数
n 1
l n ( e
1
n n )
=
+
的敛散性.
P415例16.6判别级数
n 2
l n
1(
n ! )
=
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
1
P415例16.7判别级数sin 的敛散性.
n
n=1
P415例16.8判别级数
第 202 页，共266页
n 1
l n 1
1
n 2
=
+
的敛散性.
P415例16.9判别级数
n 1
1 c o s
a
n
=
−
(a为非零常数)的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P415例16.10设常数
第 203 页，共266页
a 0 ,判别级数
n 1
a
1
ln n
=
的敛散性.
P415例16.11判别级数
n 4
( l n
1
n ) ln n
=
的敛散性.
P416例16.12判别级数
n 1
n
1
n 2
12
n 1
=
+
−
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P416例16.13判别级数
第 204 页，共266页
n 1
n a 1
1
n
( a 0 )
=
− +
的敛散性.
P416例16.14判别级数
n 1
n
1
2
l n 1
1
n
1
=
+
+
−
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P417例16.15设
第 205 页，共266页
x
n
( n = 1 , 2 , ) 是方程tanx= x的正根,且从小到大排列.
(1)求lim(x −n);
n
n→
1
(2)证明 收敛.
x2
n=1 n
P417例16.16设 a
n
( x ) 满足
a 'n ( x ) −
( 1 + x )
n
l n ( 1 + x )
a
n
( x ) + l n n ( 1 + x ) = 0 , x 0 , n = 1 , 2 , , a
n
( 1 ) = 0 .
(1)求 a
n
( x ) 的表达式;
(2)判别
n 1
1
a0
n
( x ) d x
=
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P418例16.17设
第 206 页，共266页
f ( x )
f(x)
在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且lim =0,判别级数
x→0 x
n
= 1
f (
1
n
) 的敛散性.
P419例16.18判别级数
n 1
(
2 c
3
o
n
s n
) n
=
+
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P419例16.19已知函数
第 207 页，共266页
f ( x ) 二阶可导,且 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 , lx i m f ( x ) a
→ +
= ,证明级数
n 1
f ( n )
=
收敛.
P420例16.20设 p
( )p
n+1− n
为常数,判别级数 的敛散性.
n
n=1高数强化18讲 · 16.无穷级数
P420例16.21设
第 208 页，共266页
p
1 1
为常数,判别级数 − 的敛散性.
np (n+1)p
n=1
P420例16.22设 a 为正数,若级数
n 1
a n
n
n
n
!
=
收敛,而
n 2
n 2
n a
n 2
=
+ − −
发散,则( ).
1
(A)0a (B)
2
1
2
a e (C) a e (D)
a = e高数强化18讲 · 16.无穷级数
P421例16.23设函数
第 209 页，共266页
f ( x ) 是区间 ( , ) − + 上的可导函数, f ( x ) k f ( x ) ,其中
0 k 1 .任取实数 a
0
,定义 a
n
= l n f ( a
n − 1
) , n = 1 , 2 , ,证明:
n 1
( a
n
a
n 1
)
=
−
−
绝对收敛.
P421例16.24设数列 a
n
收敛,且 ln i m a
n
a ( a 0 )
→
= ,判别级数
n 1
( 1
1
a
n
) n
=
+
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P422例16.25设正项级数
第 210 页，共266页
n 1
a
n
=
满足 ln i m n 2 a
n
1
2 →
= ,判别级数
n 1
a
n
=
的敛散性.
P422例16.26.设两个数列 a
n
, b
n
,若 ln i m n 2 ( a
n
b
n
) k , k
→
− = 为正常数,则
n 1
( a
n
b
n
)
=
−
( )
(A)收敛
(B)发散
(C)当 k 1 时,发散;当 0 k 1 时,收敛
(D)当 k 1 时,收敛;当 0 k 1 时,发散高数强化18讲 · 16.无穷级数
P423例16.27判别级数
第 211 页，共266页
n 2
1n
0 1
x
x
d x
=
−
的敛散性.
P423例16.28设 a
n
为正项数列,且
n 1
a
n
=
发散,则以下级数:
n 1
1
a
na
n
; ?
n 1
1
a
na
n
; ?
n 1
1
a
na
2n
; ?
n 1
1
a
n
n2
a
n
.
①
=
+
②
=
−
③
=
+
④
=
+
一定收敛的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 16.无穷级数
P424例16.29判别级数
第 212 页，共266页
n 1 n
1
1
1n
=
+
的敛散性.
P424例16.30判别级数
n 2 n
1
1
1
ln n
=
+
的敛散性.
P425例16.31设 a
n
为正项数列,且
a
n
a
+
n
1 +
1
n
1 .则以下4个命题:
①
n 1
a
n
=
收敛;②
n 1
a
n
=
发散;③lima =0;④
n
n→
ln i m a 2n
→
= + .
正确命题的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 16.无穷级数
P425例16.32设
第 213 页，共266页
a
n
为正项数列,单调递增且有上界,判别级数
n 1
a
n 1
a
a
n
n 1
=
+
−
+
的敛
散性.
P426例16.33设正项数列 a
n
满足 a
n + 1
=
1
2
a
n
+
1
a
n
,又 a
1
= 2
a
,判别级数 n −1
a
n=1 n+1
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P426例16.34已知正项数列
第 214 页，共266页
a
n
ln
( 1+en)
满足lim =1.
n→ a
n
1 1
+
a a
(1)计算lim n n+1 ; (2)判别级数
1 n→
n
n 1
( 1 ) n 1
1
a
n
a
1
n 1
=
− −
+
+
的敛散性.
P427例16.35设数列 x
n
满足 s i n 2 x
n
s i n x
n 1
2 s i n x
n 1
1 , x
0 6
+
+
+
= = ,证明:
(1)级数(sinx −sinx )收敛;
n+1 n
n=0
(2)limsinx 存在,且其极限值
n
n→
c 是方程 x 3 + 2 x − 1 = 0 的唯一正根.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P428例16.36设
第 215 页，共266页
a
1
= 1 , a
n + 1
= a r c t a n a
n
( n = 1 , 2 , ) ,判定下列级数的敛散性:
(1)
n 1
( 1 ) n a
n
=
− ;
(2)
n 1
a r c t a n ( a
n
a
n 1
)
=
−
+
.
P428例16.37若
n 1
n a
n
=
绝对收敛,
n 1
b
n
n
=
条件收敛,判别级数a b 的敛散性.
n n
n=1高数强化18讲 · 16.无穷级数
P429例16.38考
第 216 页，共266页
a
n
b
n
,且
n 1
a
n
,
n 1
b
n
=
=
均收敛,则
n 1
a
n
=
绝对收敛是b 绝对收敛的( ).
n
n=1
(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)既不充分也不必要条件
P429例16.39设数列 a
n
, b
n
满足eb n =ea n −a (n=1,2,3, ),证明:
n
(1)若 a
n
0 ,则 b
n
0 ;
b
(2)若a 0,a 收敛,则 n 收敛.
n n a
n=1 n=1 n高数强化18讲 · 16.无穷级数
P430例16.40设数列
第 217 页，共266页
a
n
, b
n
,当 a
n
0 , b
n
0 且
a
n
a
+
n
1
b
n
b
+
n
1
时,b 收敛,证明
n
n=1 n 1
a
n
=
收敛.
P430例16.41设
n 1
a
n
=
为收敛的正项级数,常数 p
1
2
,判别级数
n 1
n
a
np
=
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P430例16.42设
第 218 页，共266页
n 1
a 2n
=
a
收敛,判别级数(−1)n n 的敛散性.
n
n=1
P431例16.43设常数0,正项级数a 收敛,判别级数
n
n=1 n 1
( 1 ) n 1
n
a
2
2 n 1
=
− −
+
− 的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P431例16.44设
第 219 页，共266页
a
n
是正项数列,记 S
n
= k
n
= 1
a
k
,证明
n 2
a
S
n2n
=
收敛.
P431例16.45设常数 p 0
(−1)n
,判别级数ln1+ 的敛散性.
np
n=2 高数强化18讲 · 16.无穷级数
P432例16.46判别级数
第 220 页，共266页
n 1
( 1 ) n t a n
3 n
=
− 的敛散性.
P432例16.47判别级数
n 1
( 1 )
n
n 1
l n
n
n
1
=
− − +
的敛散性.
P433例16.48判别级数
n 2 n
( 1
(
) n
1 ) n
=
−
+ −
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P433例16.49设常数
第 221 页，共266页
p 0
(−1)n
,判别级数 的敛散性.
p
n=2
n+(−1)n
P433例16.50若
n 1
a
n
=
条件收敛,且 ln i m
a
n
a
n
1 a
→
+ = ,则a=_________.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P434例16.51若级数
第 222 页，共266页
n 1
( 1 ) n 1 a
n
( a
n
0 )
=
− − 满足:①数列 a
n
单调递减,即a a ;②
n+1 n
ln i m a
n
0
→
= 证明:
n 1
( 1 ) n 1 a
n
=
− − 收敛,且 a
1
a
2
n 1
( 1 ) n 1 a
n
a
1
−
=
− − .
P434例16.52判别下列级数的敛散性:
(1)
n 2
( 1 ) n
l n
n
n
=
−
( )
;(2)sin n2 +1 ;(3)
n=1 n 2 n
( 1
(
) n
1 ) n
=
−
+ −
.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P435例16.53判别级数
第 223 页，共266页
n 1
( 2 ) 1
n
n
2
n
n
2 n
=
− −
+
的敛散性.
P435例16.54判别级数
n 1
( 1 ) n 1
n
n
1
1 1
1
0 n
=
− −
−
+
的敛散性.
P436例16.55若级数
n 1
a
n
=
收敛,证明级数
n 1
a
n
=
收敛.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P436例16.56设
第 224 页，共266页
a +n =
1
2
( a
n
+ a
n
) 0 , a −n =
1
2
( a
n
− a
n
) 0 .
(1)证明:
n 1
a
n
=
绝对收敛
n 1
a
n
=
+ 与
n 1
a
n
=
− 均收敛;
(2)若
n 1
a
n
=
条件收敛,证明:
n 1
a
n
,
n 1
a
n
=
+ = +
=
− = − .高数强化18讲 · 16.无穷级数
P437例16.57若级数
第 225 页，共266页
n 2
( 1 ) n
n p
1
l n 2 n
=
− 条件收敛,则 p 的取值范围为_________.
P443例16.58设
n 1
a
n
( x 1 ) n
=
+ 在点 x = 1 处条件收敛,则幂级数
n 1
n a
n
( x 1 ) n
=
− 在点 x = 2 处
( )
(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性不确定
P443例16.59设 u
n
( x ) = e − n x +
n
x(
n
n +
+
1
1 )
( n = 1 , 2 , ) ,求级数
n 1
u
n
( x )
=
的收敛域及和函数.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P444例16.60已知幂级数
第 226 页，共266页
n 1
a
2 n
x 2 n
=
的收敛域为−1,1,其和函数S(x)满足方程
x S ( x ) − S ( x ) =
1
x
+
2
x 2
,求:
(1)S(x)的解析式;
(2)S(x)在 x = 0 处的 n 阶导数 S (n ) ( 0 ) ;
(3)数项级数
n 1
a
2
n
n
=
的和.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P446例16.61设数列
第 227 页，共266页
a
n
1
满足a =1,(n+1)a = n+ a ,证明:当
1 n+1 2 n
x 1 时,幂级数
n 1
a
n
x n
=
收敛,并求其和函数.
P447例16.62幂级数
n 0
( n 3 1 ) x 2 n
=
− 在区间(−1,1)内的和函数 S ( x ) = _________.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P447例16.63幂级数
第 228 页，共266页
n 0
( n 2 2 n 1 ) x 2 n 1
=
+ − + 在区间(−1,1)内的和函数 S ( x ) = __________.
P451例16.64求幂级数
n 0
( n
n
1
!
) 2
x n
=
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .高数强化18讲 · 16.无穷级数
P451例16.65求幂级数
第 229 页，共266页
n 0
4
(
n
4
( 2
n )
n
1
1 )
x 2 n
=
− +
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .
P452例16.66求幂级数
n 0
( n
x
1
2 n
) ( 2
2
n 1 )
=
+
+
+
的收敛域及和函数.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P452例16.67求幂级数
第 230 页，共266页
n 0
( n 1 ) ( n 3 ) x n
=
+ + 的收敛域及和函数.
P452例16.68求幂级数
n 1
(
n
n ) 1
( 2 n
1 x 2
1
n
)
1
=
− −
−
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .高数强化18讲 · 16.无穷级数
(−1)n( n2 −n+1 )
P453例16.69求级数 的和.
2n
n=0
P454例16.70求幂级数
第 231 页，共266页
n 0
4 n 2
2 n
4 n
1
3
x 2 n
=
+
+
+
的收敛域及和函数.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P456例16.71将函数
第 232 页，共266页
y = l n ( 1 − x − 2 x 2 ) 展开成 x 的幂级数,并指出其收敛区间.
P456例16.72将函数 f ( x ) =
x 2 −
1
3 x + 2
展开成x的幂级数,并指出其收敛区间.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P457例16.73已知幂级数
第 233 页，共266页
n 0
a
n
x n
=
的和函数为ln(2+x),则
n 0
n a
2 n
=
= ( ).
1
(A)− (B)
6
−
1
3
(C)
1
6
(D)
1
3
P457例16.74已知 c o s 2 x
( 1
1
x ) 2
n 0
a
n
x n ( 1 x 1 )
−
+
=
=
− ,求 a
n
.
P461例16.75设 f ( x ) x
1
2
, b
n
2
1
0
f ( x ) s i n n x d x ( n 1 , 2 , ) . = − = = 令
S ( x )
n 1
b
n
s i n n x
=
=
9
,则S − =( ).
4
3 1
(A) (B) (C)
4 4
−
1
4
(D) −
3
4高数强化18讲 · 16.无穷级数
P462例16.76已知函数
第 234 页，共266页
f ( x ) = x + 1 ,若其傅里叶展开式
f ( x )
a
2
0
n 1
a
n
c o s n x , x 0 ,
= +
=
,则 ln i m n 2 s i n a
2 n 1 → −
= _________.
P462例16.77证明
n 1
( 1 ) n
n
1 c
2
o s n x
1
2
2
x
4
2
, x
=
− −
= − − ,并求数项级数
n 1
( 1
n
)2 n 1
=
− −
的
和.高数强化18讲 · 17.多元函数积分学预备知识
第十七讲多元函数积分学的预备知识(仅数学一)
P465例17.1设函数
第 235 页，共266页
f ( x , y ) =
(
0
x
,
2
x
+
y
y 2 ) 2
, (
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
,
1 1 取l = , ,则( )
2 2
(A)
f (
0
l
, 0 )
存在,
f (
0
x
, 0 )
存在 (B)
f (
0
l
, 0 )
存在,
f (
0
x
, 0 )
不存在
(C)
f (
0
l
, 0 )
不存在,
f (
0
x
, 0 )
存在 (D)
f (
0
l
, 0 )
不存在,
f (
0
x
, 0 )
不存在
P466例17.2设函数 f ( x , y ) =
1
0
,
,
y
其
=
他
x 2
,
, x 0 ,
f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处沿任意方向的方
f (0,0)
向导数记为 ,则( ).
l
(A)
f (
0
l
, 0 )
存在, f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处连续
(B)
f (
0
l
, 0 )
存在, f ( x , y ) 在(0,0)处不连续
f (0,0)
(C) 不存在, f (x,y)在
l
( 0 , 0 ) 处不连续
(D)
f (
0
l
, 0 )
不存在, f (x,y)在 ( 0 , 0 ) 处连续高数强化18讲 · 17.多元函数积分学预备知识
P466例17.3设函数 f (x,y)在R2上具有连续偏导数,满足
第 236 页，共266页
f (
x
x
, y )
=
f (
x
y
, y )
, f ( x , 0 ) 0 ,则( )
(A)对任意 ( x , y ) R 2 ,有 f ( x , y ) 0 (B)对x+ y=C 0,有 f ( x , y ) C
(C)对任意 y R ,有 f (0,y)=0 (D)对 x + y = C 0 ,有 f (x,y)=C
P467例17.4设函数 f ( x , y ) =
1
0
,
,
y
其?
= x
他
3 , x 0 ,
在点(0,0)沿任何方向的方向导数为
f (
0
l
, 0 )
,则( ).
f (0,0)
(A) 存在, f (x,y)在(0,0)处可微
l
(B)
f (
0
l
, 0 )
存在, f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处不可微
(C)
f (
0
l
, 0 )
不存在, f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处可微
f (0,0)
(D) 不存在,
l
f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处不可微高数强化18讲 · 17.多元函数积分学预备知识
P467例17.5设函数
第 237 页，共266页
f ( x , y ) 在点M(x ,y )处可微,
0 0
u =
−
1
5
,
2
5
, v =
1
2
, −
1
2
.
如果
f ( x
0
u
, y
0
)
= 1 ,
f ( x
0
v
, y
0
)
= − 2 ,求 f ( x , y ) 在点 M 处的全微分.
P468例17.6已知曲面的方程为 e z = x y + y z + z x .
(1)求 在点 ( 1 , 1 , 0 ) 处的切平面方程;
(2)若曲面 的显式方程为 z = f ( x , y ) ,求 g r a d f ( 1 , 1 ) .高数强化18讲 · 17.多元函数积分学预备知识
P469例17.7设a,b为实数,函数
第 238 页，共266页
f ( x , y ) = a x 2 + b y 2 在点(2,1)处沿方向l =i+2j的方向
导数最大,最大值为4 5.
(1)求 a , b 的值;
(2)在曲线 f ( x , y ) = 4 上求一点,使其到直线 2 x + 3 y − 6 = 0 的距离最短.
x2+2y2+z2
−
P469例17.8已知质点A位于坐标原点O处,其气味的浓度函数 f (x,y,z)=e 104 ,
质点 B 位于点
1 ,
1
2
, 1
处(单位: k m ),现质点 B 总是沿着质点 A 气味变化最快的方向前
进,其速度为 1 k m / m i n ,求:
(1)质点 B 的运动轨迹方程;
(2)质点 B 到达质点 A 的时间.高数强化18讲 · 17.多元函数积分学预备知识
P471例17.9二元函数
第 239 页，共266页
f ( x , y ) = x y 在点 ( e , 0 ) 处的二阶泰勒多项式为__________.
P472例17.10求下列曲线在指定点处的切线与法平面.
(1) x = c o s t + s i n 2 t , y = s i n t ( 1 − c o s t ) , z = c o s t ,在 t
2
= 的对应点;
(2)x= y2,z = x2,点 ( 1 , 1 , 1 ) .高数强化18讲 · 17.多元函数积分学预备知识
P474例17.11求旋转抛物面
第 240 页，共266页
: z = x 2 + y 2 与平面:x+y−2z=2之间的最短距离.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
第十八讲多元函数积分学(仅数学一)
n n n j k
P480例18.1lim i2sin cos =_________.
n→2n5 2n n
i=1 j=1k=1
P485例18.2设
第 241 页，共266页
D = ( x , y )∣ 1 x 2 + y 2 4 ,求极限
I lu i m
2
1 u
0
d z
D
s i n
(
z
x 2
x 2
y 2
y 2
)
d x d y
=
→ +
+
+
.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P486例18.3确定的形状,使得三重积分I = ( 1−x2 −2y2 −3z2) dv取得最大值.
P488例18.4设区域
第 242 页，共266页
2
= { ( x , y , z )∣ x 2 +
1
y 2
=
+
(
z
x
2
,
y , z
1 , x
)∣
x
0
2
,
+
y
y
2
0
+ z 2 1 , z 0 ,
, z 0 } ,则( ).
(A)xdv=4xdv (B)
1 2
1 y d v = 4 2 y d v
(C)zdv=4zdv (D)
1 2
1 x y z d v = 4 2 x y z d v高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P489例18.5设有界闭区域
第 243 页，共266页
由半球面z = a2 −x2 −y2 (a0)与锥面z = x2 + y2 围
成,且I =(x+ y+z)dv= ,则
8
a = __________.
P489例18.6设 = ( x , y , z )∣ x 2 + y 2 + z 2 2 z ,且 ( a x b y c z ) d v
8
3
+ + = ,则( ).
(A) a = b = 1 , c 任意 (B) a , b 任意, c = 1
(C) a = b = 2 , c 任意 (D) a , b 任意, c = 2高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P491例18.7设锥面
第 244 页，共266页
的顶点是 A ( 0 , 1 , 1 ) ,准线是
x
z
2
=
+
0
y
,
2 = 1 ,
直线 L 过顶点 A 和准线上
任一点 M
1
( x
1
, y
1
, 0 ) , 是 ( 0 z 1 ) 与平面 z = 0 所围成的锥体.
P493例18.8设有界闭区域
y2 =2z,
由曲线 绕z轴旋转而成的曲面与平面
x=0
z = 4 围成,
计算三重积分 I = ( x 2 + y 2 + z ) d v .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P494例18.9已知物体占有空间闭区域由z = x2 + y2 与z = a2 −x2 −y2 (a0)围
成,在点(x,y,z)的密度是(x,y,z)= x2 + y2 +z2 ,求该物体的质量.
P496例18.10求由曲面
第 245 页，共266页
x 2 +
y
2
2
+
z
3
2
2
= x 2 +
y
2
2
围成的有界闭区域 的体积.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P497例18.11求由曲面z =8−x2 − y2与平面z =2x围成的有界闭区域的体积.
P497例18.12设
第 246 页，共266页
= ( x , y , z )∣ x 2 + y 2 z 1 ,则 的形心为_________.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P498例18.13设由柱面
第 247 页，共266页
x 2 + y 2 = a 2 ( a 0 ) 与平面z =0和z=2围成(见图),密度函数
是(x,y,z)= z,求 的质心.
P499例18.14已知均匀物体 由锥面z = x2 + y2 ,柱面 x 2 + y 2 = 1 及平面z =h(h1)
围成(见图),求 对位于原点处的单位质点的引力.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P500例18.15设一均匀物体(密度为常量)
第 248 页，共266页
由锥面 y 2 = x 2 + z 2 与平面y=1围成,求
关于 z 轴的转动惯量.
P503例18.16设封闭曲线 L
1
的方程为 x + 2y =1,计算曲线积分I = ds.
L x + 2y +2高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P504例18.17设
第 249 页，共266页
L 为椭圆 x
4
2 + y
3
2 = 1 ,其周长为a,则 ( 2xy+3x2 +4y2) ds=
L
_________.
P504例18.18设是空间圆周
x
x
2
+
+
y
y
+
2 +
z
z
=
2
0
=
,
1 ,
则 ( x2 + y2) ds=__________.
高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P504例18.19如图所示,光滑曲杆L从A到B再到
第 250 页，共266页
C ,其密度为常数,求L的形心.
P509例18.20设曲面 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,则 I =
x
2
2
+
y
3
2
+
z
4
2
d S =
__________.
P509例18.21计算第一型曲面积分 I = ( x + y + z ) 2 d S ,其中 : z = R 2 − x 2 − y 2 .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P509例18.22设曲面
第 251 页，共266页
为球面(x−a)2 +(y−b)2 +(z−c)2 =R2,计算曲面积分
I = ( x + y + z ) d S
P509例18.23设曲面 的方程为 x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 2 y + 6 z − 2 = 0 ,计算曲面积分
I = ( x + y ) d S .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P510例18.24求x2 + y2 =R2与x2 +z2 =R2所围区域的表面积.
P510例18.25设锥面
第 252 页，共266页
z 2 = x 2 + y 2 ,柱面x2 + y2 =2x,计算:
(1)柱面介于锥面之间的面积 S
1
;
(2)锥面在柱面内的面积 S
2
.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P510例18.26已知曲线
第 253 页，共266页
L 的方程为 y = 1 − x ( x − 1 , 1 ) ,起点是 ( − 1 , 0 ) ,终点为 ( 1 , 0 ) ,则
曲线积分 xydx+x2dy=_________.
L
P516例18.27设 L 为取正向的圆周 x 2 + y 2 = 1 ,则曲线积分 L ( x y − y ) d x + ( x 2 − 2 x ) d y =
__________.
P516例18.28设 L : x 2 + y 2 = 1 ,取逆时针方向,则
L e − ( x 2 + y 2 ) c o s ( x y ) d x + s i n ( x 2 + y 2 ) d y = _________.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P517例18.29计算
第 254 页，共266页
I =
L
( 2 x + y − c o s y ) d x + x s i n y d y ,其中L是从 A ( , 0 ) − 沿曲线
y c o s x
2
=
+
到 B ( , 0 ) 的弧段.
P517例18.30已知曲线 L 的方程为
z
z
=
= x
2
,
− x 2 − y 2
,起点为 A
(
0 , 2 , 0
)
,终点为
B ( 0 , − 2 , 0 ) ,计算曲线积分 I =
L
( y + z ) d x + ( z 2 − x 2 + y ) d y + x 2 y 2 d z .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P517例18.31计算曲线积分
第 255 页，共266页
I =
L
y 2 d x + z 2 d y + x 2 d z ,其中曲线L为
x
x
2
2
+
+
y
y
2
2
+
=
z
2
2
x
= 4 ,
( z 0 ) ,从x轴的正向往负向看去,取逆时针方向.
P518例18.32设有向折线段 L 由线段AB和 B C 构成,方向为
A
2
,
2
B
2
,
2
C
2
,
2
−
→
→
−
,计算曲线积分 I =
L
c o s 2 y d x − s i n 2 x d y .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P519例18.33设正向闭曲线L的方程为 x + ay =1(a0),若曲线积分
第 256 页，共266页
L
d
x
x
+
+ 4
a
x
y
d
+
y
2
=
4
3
,则a=__________.
P520例18.34设有向曲线 L 与曲线 x y = 1 ( x 0 , y 0 ) 的交点为 A
4 ,
1
4
和 B ( 1 , 1 ) ,两曲
线所围区域的面积为常数 S ,计算曲线积分 I = L
L
(
(
B
A
)e) x y y 2 d x + e x y ( 1 + x y ) + x d y .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P521例18.35设
第 257 页，共266页
D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 4 , D 为 D 的正向边界,则
( xex2+4y2 + y ) dx+ ( 4yex2+4y2 −x ) dy
=___________.
D x2 +4y2
P522例18.36设 L 从点 A
2
, 0
−
沿曲线y =cosx到点B ,0 ,则
2
L
( x − y ) d
x
x
2
+
+
(
y
x
2
+ y ) d y
= _________.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P523例18.37已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2 + y2 =2x到点(2,0),再沿圆周
第 258 页，共266页
x 2 + y 2 = 4 到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分I = 3x2ydx+ ( x3+x−2y ) dy.
L
P525例18.38已知函数 f ( x ) 具有一阶连续导数,且 f ( 1 ) = 1 .设 L 是绕原点一周的任意正
向闭曲线,均有
L
x
f
d( y
x
−) y
+
d
y
x
2
= a ,则a=( ).
(A)0 (B)1 (C) 2 (D) 2 高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P525例18.39设函数 f (x,y)在平面R2上存在连续偏导数,且只有唯一零点O(0,0),对任
何包围
第 259 页，共266页
O ( 0 , 0 ) 的光滑正向闭曲线C,曲线积分
C
x d
f
y( −
x ,
y
y
d) x
= m , m 为常数.
(1)证明:对于任何不包围 O ( 0 , 0 )
xdy−ydx
的光滑闭曲线L，曲线积分 =0;
L f(x,y)
(2)若 f(x,y)=g(x)+h(y),且g'(1) h'(1)=2,求m的值.
P527例18.40设 L 是从点 A ( 1 , − 1 ) 沿曲线x2 + y2 =−2y(y−1)到点 B ( − 1 , − 1 ) 的有向曲
线, f (x)是连续函数,计算 I =
L
x f ( x ) + 1 d y −
y 2 f ( x ) +
1
1
−
x
+
2
2 y f ( x )
d x .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P528例18.41设
第 260 页，共266页
L 是曲线
x
z
2
=
+
2
y
x
2
+
=
4
1 ,
在第一卦限中的部分,方向是从点(0,1,4)到点
( 1 , 0 , 6 ) ,计算曲线积分 I =
L
y d x − ( x 2 + y 2 + z 2 ) d z .
P529例18.42设 C 是平面 x − y + z = 2 与柱面x2 + y2 =a交线,从z轴正方向看去,C为
顺时针方向,若 (z−y)dx+(x−z)dy+(x−y)dz =−2,则a=__________.
C高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P530例18.43设是圆柱螺线x=cos,y=sin,z =,从点
第 261 页，共266页
A ( 1 , 0 , 0 ) 到点 B ( 1 , 0 , 2 ) ,
则I = ( x2 −yz ) dx+ ( y2 −zx ) dy+ ( z2 −xy ) dz =_________.
P531例18.44计算曲面积分
x d
x
y d
2
z
+
+
y
z
2
2
+
d x
z
d
2
y
,其中是曲面 x 2 + y 2 = R 2 及两平面
z = R ,z =−R(R0)所围成的立体的表面的外侧.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P531例18.45计算
第 262 页，共266页
I = x y z 2 d x d y + x y 2 z d y d z , 其中 为 z = x 2 + y 2 与 z = 1 所围区域
的表面,方向向外.
P533例18.46设直线 L 过点A(−1,0,1)与B(0,0,0),L绕z轴旋转一周得曲面
0
,计算
I =
x
e
2
z
+ y 2
d x d y ,其中 是由
0
, z = 1 , z = 2 所围有界闭区域的边界曲面,取外侧.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P534例18.47已知曲面
第 263 页，共266页
: z = x 2 + y 2 ,下侧为正,求其正向单位法向量.
P534例18.48若柱面 : x 2 + y 2 = 1 的外侧为正,求其后半柱面正向单位法向量.
P535例18.49设为曲面 z = x 2 + y 2 ( z 1 ) 的上侧,计算曲面积分
I = ( x − 1 ) 3 d y d z + ( y − 1 ) 3 d z d x + ( z − 1 ) d x d y .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P536例18.50设
第 264 页，共266页
是曲面 x − y + z + y − z + x + z − x + y = 1 的外侧,计算曲面积分
I = ( x − y + z ) d y d z + ( y − z + x ) d z d x + ( z − x + y ) d x d y .
P537例18.51设 是椭球面
x
a
2
2
+
y
b
2
2
+
z
c
2
2
= 1 ,法向量指向外侧,则
x d y d
(
z
x 2
+
+
y d
y
z
2
d
+
x
z
+
2
z
3 )
d x
/2
d y
= __________.高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
P538例18.52设
第 265 页，共266页
为锥面z = x2 + y2 (0 zH)的下侧,则 d y d z + 2 d z d x + 3 d x d y =
_________.
例18.53设 为曲面 z = x 2 + y 2 ( z 1 ) 的上侧,计算曲面积分
I = ( x − 1 ) 3 d y d z + ( y − 1 ) 3 d z d x + ( z − 1 )d x d y .高数强化18讲 · 18.多元函数积分学
例18.54设对于x0半空间内任意的光滑有向闭曲面
第 266 页，共266页
,都有
x f ( x ) d y d z − x y f ( x ) d z d x − e 2 x z d x d y = 0 , 其中函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) + 内具有连续的一
阶导数,且 l i
x →
m
0 +
f ( x ) = 1 ,求 f ( x ) .
P540例18.55设 为曲面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( x 0 , y 0 , z 0 , a 0 ) ,计算曲面积分
I = x y z ( y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 y 2 )d S .
