25张宇高数强化18讲数学二例题做题本_考研_数学_01.张宇_25张宇《36讲》做题本

高数强化18讲 · 目录 目录 第一讲函数极限与连续 ......................................................... 2 第二讲数列极限 .............................................................. 29 第三讲一元函数微分学的概念 .................................................. 42 第四讲一元函数微分学的计算 .................................................. 48 第五讲一元函数微分学的应用(一)——几何应用 .................................. 53 第六讲一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分不等式 ............ 61 第七讲一元函数微分学的应用（三）——物理应用与经济应用 ...................... 85 第八讲一元函数积分学的概念与性质 ............................................ 87 第九讲一元函数积分学的计算 .................................................. 96 第十讲一元函数积分学的应用(一)——几何应用 ................................. 107 第十一讲一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式 ................... 126 第十二讲一元函数积分学的应用(三)——物理应用于经济应用 ..................... 140 第十三讲多元函数微分学 ..................................................... 144 第十四讲二重积分 ........................................................... 173 第十五讲微分方程 ........................................................... 183 第 1 页，共196页高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 第一讲函数极限与连续 P5例1.1当 第 2 页，共196页 x → 0 时, f ( x ) = 1 2 l n 1 1 + − x x − a r c t a n x 与 g ( x ) = a x b 是等价无穷小,则 a b = __________. P6例1.2当 x → 0 时,函数 f ( x ) = a x + b x 2 + l n ( 1 + x ) 与 g ( x ) = e x 2 − c o s x 是等价无穷 小,则 a b = _________. P6例1.3已知 f ( x ) ln i m ( n n x 2 1 ) x 1  = → − + ,则 f ( x ) = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P6例1.4已知 第 3 页，共196页 f ( x ) = l i t → m 0  1 + s i n x t  2 x t ,则 f ( x ) = __________. P6例1.5已知 f ( x ) = l i t → m x  s s i n i n t x  s in t x − s in x ,则 f ( x ) = __________. ( xt) x 1−e P7例1.6已知 f (x)= lim ,则 f (x)=__________. xt t→+ 1+e高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P7例1.7已知 第 4 页，共196页 f ( x ) t l i m t t 2 x x t  = → +  + +  ,则 f (x)=__________. P7例1.8已知 f ( x ) t l i m x x t t 1 2 x 3t  = → +  + +  ,则 f (x)=__________. P7例1.9已知 f ( x ) ln i m 1 1 n x x 2 n  = → + + ,则 f ( x ) = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P8例1.10(仅数学一、数学二)已知 第 5 页，共196页 f ( x ) =  x − 3 3 − t 2 d t ,求曲线 y = f ( x ) 在  − 3 , 3  上的弧长. P8例1.11(仅数学一、数学二)已知 f ( x ) = 1 9  3 0 x 9 − x 2 t 2 d t , x  0 ,求曲线 y = f ( x ) 的 全长.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P8例1.12已知 第 6 页，共196页 f ( x ) =  1 0 l n x 2 + t 2 d t ,求 f '+ ( 0 ) . P9例1.13设 f ( x ) =  x − 1 s i n t t d t ,则 f  ( 0 ) (). (A)不存在且为 (B)存在且不为零 (C)存在且为零 (D)不存在且 f '+ ( 0 )  f '− ( 0 ) P9例1.14已知 f ( x ) =  s 0 in x s i n t 2 d t ,判断 f (x) 的奇偶性.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P9例1.15已知 第 7 页，共196页 f ( x ) =  1 0 t 2 − t x d t ( 0  x  1 ) ,求 f ( x ) 的一般表达式. P9例1.16已知 f ( a ) a a 2 l n ( 2 c o s x ) c o s x d x  =  + + ,则 f (a) 的值(). (A)与a无关,且大于0 (B)与 a 无关,且小于0 (C)与a有关,且不小于0 (D)与 a 有关,且不大于0 P10例1.17证明:当 x  0 时, f (x)= x( t−t 2) sin 2n t dt  1 ( 0 4n 2 n 为正整数).高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P10例1.18已知 第 8 页，共196页 F ( x ) 20 s i n x s i n t d t ( x 0 )  =  −  在 x → 0 + 处的二次泰勒多项式为 2 a+bx+cx ,则abc=__________. P11例1.19已知 f ( x ) 20 x t s i n t d t  =  − ,求 f ( x ) 的一般表达式. P11例1.20设 f  x + 1 x  = x 1 + + x x 3 4 ,则当 x  2 时, f (x)=__________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P12例1.21求区间 第 9 页，共196页 ( 0 , )  + 上的正值可导函数 f (x) ,使其满足对任给的x0都有 1 x f   = ,且 f (1)=2.  x f (x) P13例1.22若 f ( x ) , g ( x ) 满足下列条件: f  ( x ) = g ( x ) ,且 g  ( x ) = f ( x ) ,又 f (0)=0, g ( x )  0 .求曲线 y = f g (( x x )) 与 y = 1 , x = 0 , x = 1 所围平面图形的面积.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P14例1.23设函数 第 10 页，共196页 f ( x ) 在 0 , 4    上单调、可导,且满足  f 0 ( x ) f − 1 ( t ) d t =  x 0 t c s o i n s t t − + s c i o n s t t d t ,其中 f − 1 ( x ) 是 f (x) 的反函数,求 f (x) 的表达式. P14例1.24设 f ( x ) 为连续函数,且满足 f ( x ) − a f ( a x ) = x 2 , 0  a  1 ,求 f ( x ) 的表达 式.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P15例1.25设可导函数 第 11 页，共196页 f ( x ) 满足 f ( a ) = f ( b ) + f   a + 2 b  ( a − b ) , a  b , 且 f ( 0 ) = 1 , f ( x ) 在 x = 1 处取得极值0,求 f (x) 的表达式. P16例1.26设 f ( x ) = 2 x l 2 n − x l n x ,则 f(−1)=__________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P16例1.27设函数 第 12 页，共196页 f ( x ) = x −  x  ,其中  x  表示不超过x的最大整数,求 x l i m 1 x x 0 f ( t ) d t  → +  . P16例1.28设函数 f ( x ) = 1 1 + − x x 2 在x=0处的2次泰勒多项式为a+bx+cx ,则(). (A)a=1,b=1,c=1 (B) a = 1 , b = 1 , c = 1 2 1 (C)a=0,b=−1,c= (D) 2 a = 0 , b = − 1 , c = 1高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P17例1.29若 第 13 页，共196页 f  ( x ) = 1 + x 2 + x 3 + o ( x 3 ) ( x → 0 ) , g ( x ) =  a f , ( x ) x − f ( 0 ) , x 其  中 0 , x = 0 , 且 g ( x ) 连续. (1)求a的值; (2)当x→0时,计算g(x) 到三阶的带佩亚诺余项的泰勒公式. P18例1.30已知函数 f ( x ) =  x 0 , a s i n b x , x x  = 0 0 , , 且 a  1 , b  0 ,求 f(x) .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P18例1.31设g(x) 连续可导,F(x)= f g(x), f (x)= x .   (1)当 第 14 页，共196页 g ( x )  0 时,求 F  ( x ) ; (2)当 g ( x )  0 时,求 f   g ( x )  ; (3)当 g ( x ) = c o s x 时,讨论 f   g ( x )  在 ( 0 , )  上是否连续,并说明理由. P19例1.32设 f ( x ) = e − x 2 s i n x ,求曲线y = f (x) 在  0 , )  + 上绕 x 轴旋转一周所得旋转 体的体积.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P19例1.33设函数 第 15 页，共196页 y = y ( x ) 由  x y = = 2 t t + s i n t t 确定,则 d d y x t = 0 = ________. P20例1.34设函数 f ( x ) = 1 x + x , x   0 , 1  ,定义函数列: f 2 ( x ) = f  f1 ( x )  , , f n ( x ) = f  f n − 1 ( x )  , . f1 ( x ) = f ( x ) , 记 S n 是由曲线 y = f n ( x ) ,直线 x = 1 及 x 轴所围平面图形的面积,求极限 ln i m n S n  → .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P20例1.35(仅数学一、数学二)设非负函数 第 16 页，共196页 y ( x ) 是微分方程 2 y y  = c o s x 满足条件 y ( 0 ) = 0 的解,求曲线 f n ( x ) n x n0 y ( t ) d t ( 0 x n )  =    的弧长. P21例1.36证明: x l n 1 1 + − x x + c o s x  1 + x 2 2 ( − 1  x  1 ) ,高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P22例1.37已知 第 17 页，共196页 f ( x ) 是定义在 ( , )   − + 上任意阶可导的奇函数, g ( x ) = l n  f ( x ) + 1 + f 2 ( x )  ,则 g (1 0 ) ( 0 ) = _________. P22例1.38已知 f (x) 是 ( , )   − +  2  上任意阶可导的奇函数,g(x)= f  1− ,则 −x  1+a  g (6) (0)=_________. P22例1.39设 f (x) 在  a , b  上单调递增,证明  b a x f ( x ) d x  a + 2 b  b a f ( x ) d x .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P34例1.40设数列 第 18 页，共196页  a n  满足a =2a +2 n+2 ,a =2,求a 的表达式. n+1 n 1 n P34例1.41已知 S n 为数列  a n  的前n项和,且满足 a n + 1 = S n S n + 1 , a 1 = − 1 ,求S 的表达 n 式.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P35例1.42已知数列 第 19 页，共196页  a n  满足 a a = a a +2a (n2),且a =a =1,求 n n−2 n−1 n−2 n−1 0 1 a n ( n  2 ) 的表达式. P35例1.43已知数列  a n  满足 a n + 1 = n 1 + 1 ( n a n + a n − 1 ) ( n  1 ) , a 0 = 1 , a 1 = 0 ,求 a n − a n − 1 ( n  1 ) .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P35例1.44已知数列 第 20 页，共196页  a n  满足 a n + 1 = a a n n+ 2 ,且 a 1 = 1 ,求 a n 的表达式. P37例1.45计算 ln i m s i n 1 n 2 s i n n 2 2 s i n n n 2  →  + + +  .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P39例1.46已知 第 21 页，共196页 f ( x ) = c o s a x c o s b x ,则 f ( n ) ( x ) = _________. P52例1.47求 f ( x ) =  l i m t → 0 , x  x t − − 1 1  x t − t , x x  = 1 1 , 的函数表达式,并判断 f ( x ) 在 x = 1 处的 连续性. P54例1.48当 x → 0 时, c o s  e 2 x 2 − 1  − 1  c x k ,则 c k = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P54例1.49当 第 22 页，共196页 x → 0 + 时, e ( s in 3 x 3) − 1  c x k ,则ck =_________. P56例1.50讨论当 x  → + 时, x + 1 + x − 1 − 2 x 关于 1 x 的阶数. P57例1.51当x→0时, ( x ) , ( x )   是非零无穷小量,给出以下四个命题: ①若 ( x ) ( x )    ,则 2 ( x ) 2 ( x )    ; ②若2(x)2(x),则 ( x ) ( x )    ; ③若 ( x ) ( x )    ,则(x)−(x)=o ( (x)) ; ④若 ( x ) ( x ) o ( ( x ) )    − = ,则 ( x ) ( x )    . 所有真命题的序号是(). (A)①③ (B)①④ (C)①③④ (4)②③④高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P58例1.52设 第 23 页，共196页 f ( x ) = 2 − x x − x + o ( x − 1 ) , x → 1 ,且 f  ( 1 ) = a ,则a=__________. 10 x P59例1.53若极限 lim 存在,求的取值范围与此极限的值.  x→+  1   x −x 1−    x P59例1.54求极限 I ln i m n 2 ( n a n 1 a ) ( a 0 a 1 )  = → − +  且  .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P60例1.55求极限 第 24 页，共196页 x l i m x 2 3 1 x 3 x 1 1  → +  − +  . P60例1.56求极限 lx i m x l n e x 1 1 x  →   + −  −  . P61例1.57求极限 lim  ln ( 1+ex) −x  .   x→+高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P61例1.58求极限 第 25 页，共196页 x l i m ( 1 x x ) 3 2 x  → +  + −  . P61例1.59求极限 x l i m ( x 1 ) e 2 a rc ta n x e x    → +  − + −  .  x1+x x  P61例1.60求极限 lim  − . x→+(1+x)x e  高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P62例1.61指出函数 第 26 页，共196页 f ( x ) =  x 1 + l n s ( 1 i n x + x ) 的间断点并讨论其类别,其中[]为取整函数. P63例1.62设函数 f ( x ) 在 x 0 附近有定义, l i x → m x 0 f ( x ) 存在,证明 0 , 0       ,当 0 x 1 x 0   −  ,0 x −x 时,有 2 0 f ( x 1 ) f ( x 2 )  −  .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P63例1.63设 f (x) 具有一阶连续导数,且 lim   x− f (x)  =0, f (1)1,证明: x→+ (1)存在 第 27 页，共196页 1   ,使得 f ( ) 1 f ( 1 )   −  − ; (2)存在 1   ,使得 f ( ) 1    . P63例1.64设 f ( x ) 单调减少, x l i m f ( x ) 0  → + = ,证明 f ( x )  0 .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续 P64例1.65设x0,记x到2k的最小距离为 第 28 页，共196页 f ( x ) , k = 0 , 1 , 2 , . (1)证明 f ( x ) 以2为周期,并写出其在  0 , 2  上的表达式; (2)求 x l i m x 0 f ( x t ) d t  → +  . P65例1.66已知函数 f ( x ) 的定义域是 0,+) ,且满足 f ( 0 ) = 1 , 1 f(x)= , f 2(x)+x 2 求证: x l i m f ( x )  → + 存在,且 x l i m f ( x ) 1 2   → +  + .高数强化18讲 · 2.数列极限 第二讲数列极限 1 P69例2.1“对任意给定的kN ,总存在正整数N ,当n N时,恒有 x −a  ”是 + n k 2 数列 x  收敛于 n 第 29 页，共196页 a 的(). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 P69例2.2“存在正整数 N ,当 n  N 时,恒有 x n − a  1 n ”是数列  x n  收敛于 a 的() (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 P70例2.3设 lim a =a,且 n n→ a  0 ,则当n充分大时,有(). (A) a n  a 2 a (B) a  n 2 1 1 (C)a a− (D)a a+ n n n n高数强化18讲 · 2.数列极限 P71例2.4若 第 30 页，共196页 x 1 = 1 , x n + 1 = 4 + 3 x n , n = 1 , 2 , ,证明数列  x n  收敛,并求 lim x . n n→ P71例2.5若 x 1 = 1 3 , x n + 1 = 1 3 + 1 3 x 2n , n = 1 , 2 , ,证明数列  x n  收敛,并求 ln i m x n  → .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 2.数列极限 P71例2.6若 第 31 页，共196页 x n + 1 = a a + + a x n x n ( n = 1 , 2 , ) ,且 a  1 , x 1 = b  0 ,证明数列 x  收敛,并求 n ln i m x n  → . P72例2.7若 x n + 1 = x n + 3 2 ( n = 1 , 2 , ) , x 1 = 0 ,证明数列  x n  收敛,并求 ln i m x n  → .高数强化18讲 · 2.数列极限 P72例2.8若 第 32 页，共196页 x n 1 2 1 2 c o s x n ( n 1 , 2 , ) , x 1   + = + = = ,证明数列 x  收敛,并求 lim x . n n n→ P73例2.9已知 x 1 = 1 2 , 2 x n + 1 + x 2n = 1 ( n = 1 , 2 , ) ,求 ln i m x n  → .高数强化18讲 · 2.数列极限 P73例2.10若 第 33 页，共196页 0  x n  1 , x n + 1 = 1 − 1 − x n ( n = 1 , 2 , ) ,求: (1) ln i m x n  → ; x (2) lim n+1 . n→ x n P73例2.11设 x 1  a  0 , x n + 1 = x 2n − 2 a x n + 2 a 2 ( n = 1 , 2 , ) ,求 lim x . n n→高数强化18讲 · 2.数列极限 P74例2.13设 第 34 页，共196页 x n + 1 = x n ( 2 − x n ) ( n = 1 , 2 , ) , 0  x 1  2 ,证明数列  x n  的极限存在,并 求此极限. P75例2.14(1)证明对任意正整数 n ,都有 n 1 + 1  l n  1 + 1 n   1 n 成立; (2)设 a n = 1 + 1 2 + + 1 n − l n n ( n = 1 , 2 , ) ,证明数列  a n  收敛.高数强化18讲 · 2.数列极限 P76例2.15设 第 35 页，共196页 f 0 ( x ) 是  0 , )  + 上连续的严格单调增加函数,函数 f1 ( x ) =  x 0 f 0 ( x t ) d t . (1)补充定义 f1 ( x ) 在 x = 0 处的值,使得补充定义后的函数(仍记为 f (x) )在 0,+) 上连 1 续: (2)在(1)的条件下,证明: f1 ( x )  f 0 ( x ) ( x  0 ) ,且 f1 ( x ) 也是  0 , )  + 上连续的严格单调 增加函数. (3)令 f n ( x ) =  x 0 f n − 1 x ( t ) d t , n = 1 , 2 , 3 , ,证明:对任意的 x 0 , ln i m f n ( x )   → 极限存在.高数强化18讲 · 2.数列极限 P77例2.16若 第 36 页，共196页 x n + 1 + 4 x n 4 , x n 0 , n = 1 , 2 , ,证明数列 x  收敛,并求 n ln i m x n  → . P77例2.17若 ( 1 − x n + 1 ) x n  1 4 ( n = 1 , 2 , ) , 0  x n  1 ,证明数列  x n  收敛,并求 lim x . n n→高数强化18讲 · 2.数列极限 P78例2.18设函数 第 37 页，共196页 f ( x ) 连续,对任意的 a 1 , a n + 1 = f ( a n ) , n = 1 , 2 , .关于下列两个结论: ①若 f (x) 严格单调增加且有上界,则 x l i m f ( x )  → + 存在, ln i m a n  → 也存在; ②若 f ( x ) 严格单调减少且有下界,则 x l i m f ( x )  → + 不一定存在, ln i m a n  → 一定存在. 正确的选项是( ). (A)仅①正确 (B)仅②正确 (C)①②都正确 (D)①②都错误 P79例2.19已知 ( 2 + 2 ) n = a n + 2 b n , a n , b n 为整数,n=1,2, ,求 ln i m a b n n  → .高数强化18讲 · 2.数列极限 P79例2.20设数列 x ,y  满足 n n 第 38 页，共196页 x n + 1 = s i n x n , y n + 1 = y 2n , n = 1 , 2 , , x 1 = y 1 = 1 2 ,当 n→时,证明y 是比x 高阶的无穷小量. n n P80例2.21设数列  a n  ,  b n  满足 1    2 a 0 = ,a n+1 =a n ,n=0,1,2, ;b n =tanb n+1 ,b n   − ,0  ,n=0,1,2, .计算 2  4  ln i m a b n n  → .高数强化18讲 · 2.数列极限 P80例2.22设 第 39 页，共196页 x 1 = a , y 1 = b , b  a  0 x + y 2x y .若x = n n ,y = n n ,证明 n+1 n+1 2 x + y n n  x n  ,  y n  收敛于同一值. P82例2.26设正项数列  a n  收敛于 0 , a n  0 .若a =cosb −cosa , n n n     a n   0,  ,b n   0, ,且(1−b n )n =cosb n ,则  2  2 ln i m b ln n c o n s b n  → = _________.高数强化18讲 · 2.数列极限 P83例2.27(1)证明曲线y=nsinx与直线x+ y=1在 第 40 页，共196页 x  ( 0 , 1 ) 内有唯一交点 x n ; (2)证明(1)中的 x  收敛,并求 n ln i m x n  → ; (3)计算 ln i m x lnn n s in x n  → . x, x?是有理数, 1, u 0, P84例2.28设u = g(x)= y = f (u)= 则lim f   g(x)   0, x?是无理数, 0, u =0, x→0 _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 2.数列极限 P84例2.29关于实数数列 第 41 页，共196页  a n  ,给出以下4个命题: ①若 ln i m a n A  → = ,则 ln i m s i n a n s i n A  → = ; ②若 ln i m s i n a n s i n A  → = ,则 ln i m a n A  → = ; ③若 ln i m a n A  → = ,则 ln i m e a n e A  → = ; ④若 ln i m e a n e A  → = ,则 ln i m a n A  → = . ( ) 其中真命题的个数为 . (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 P85例2.30已知数列  a n  ( a n  0 ) .若  a n  发散,则 ( ) . (A)  a n + 1 a n  发散 (B)  a n − 1 a n  发散  1  a (C)e n + 发散 (D) a  e n   e a n − e 1 a n  发散高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念 第三讲一元函数微分学的概念 P87例3.1证明:函数 第 42 页，共196页 f ( x ) 可微的充分必要条件是 f (x) 可导,且 d  f ( x )  = f  ( x ) d x . P88例3.2设函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导, l ( x ) 为曲线 y = f ( x ) 在点( x , f (x ))处的切线. 0 0 (1)写出l(x) 的方程; (2)对于经过切点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 但不是 l ( x ) 的其他任何直线 L ( x ) = a x + b ,证明:存在 0   ,使得当 0 x x 0   −  时,有 f ( x ) − l ( x )  f ( x ) − L ( x ) .高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念 P89例3.3设 f (x),g(x) 满足 f (x)  g(x) ,且g(0)= g(0)=0,则 f (x) 在 第 43 页，共196页 x = 0 处 ( ) . (A)不一定连续(B)连续但不一定可导 (C)可导且导数可能非零(D)可导且导数为零 P89例3.4设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有定义,且 f(x )=c,x (a,b) ,又数列 0 0 x ,y  满足 n n a x n x 0 y n b , ln i m x n x 0 , ln i m y n x 0 .       → = → = 计算 ln i m f ( y n y ) n f x n ( x n )  → − − .高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念 P90例3.5设函数 第 44 页，共196页 f ( x ) 在区间 ( − 1 , 1 ) 内有定义,且在点x=0处连续,则下列命题中 f (x) ①当lim =0时, x→0 3 x f ( x ) 在点x=0处可导; ②当 lx i m→ 0 f ( x x 2 ) = 0 时, f ( x ) 在点 x = 0 处可导; ③当 f ( x ) 在点 x = 0 处可导时, lx i m→ 0 f 3 ( x x ) = 0 ; ④当 f ( x ) 在点 x = 0 处可导时, lx i m→ 0 f ( x x 2 ) = 0 . 真命题的个数为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 P93例3.6设函数 f (x) 处处可导, f (0)=−1, f(0)=1,令g(x)= f (x−1) ,则 ( ) (A)g(x) 在 x = 0 处必可导 (B) g ( x ) 在 x = 0 处必不可导 (C)g(x) 在 x = 1 处必可导 (D) g ( x ) 在 x = 1 处必不可导高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念 P97例3.7设 第 45 页，共196页 f ( x ) = x 2 3 s i n x ,求 f  ( x ) . P97例3.8设函数 f ( x ) 处处可导, f ( 0 ) = − 1 , f  ( 0 ) = 1 ,令 g ( x ) = f ( x − 1 ) ,则g(1)= _________.高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念 P98例3.9设 第 46 页，共196页 f ( x ) x 0 , s i n x , x x 0 0 , ,   =    其中,是常数,且 0   . (1)在什么情况下, f ( x ) 不是连续函数? (2)在什么情况下, f (x) 连续但不可微? (3)在什么情况下, f ( x ) 可微,但 f  ( x ) 在  − 1 , 1  上无界? (4)在什么情况下, f ( x ) 可微,且 f  ( x ) 在  − 1 , 1  上有界,但 f  ( x ) 不连续? (5)在什么情况下, f  ( x ) 连续?高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念 1 1 1 P99例3.10定义在 −1,1 上的偶函数 f (x) 满足 f (x)= ,  x ,其中 n2 (n+1)2 n2 第 47 页，共196页 n  N + ,则 ( ) . (A)无论 f (0) 如何取值, f (x) 在x=0处都不连续 (B)存在 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导 (C)存在唯一的 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在 x = 0 处可导 (D)存在多个不同的 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在 x = 0 处可导   x=2t+ t , dy P99例3.11已知函数y= y(x) 满足 则 =( ) .  y =5t2 +3t t , dx t=0 (A)0 (B)2 (C)-15 (D)不存在高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算 第四讲一元函数微分学的计算 P103例4.1设函数 第 48 页，共196页 f ( x ) 1 可导且满足x2f(x)= f 2(x), f (1)= ,则 3 f ( n ) ( 0 ) = ( ). (A)(−1)n n! (B) ( − 1 ) n − 1 n ! (C) ( − 2 ) n n ! (D) ( − 2 ) n − 1 n ! P104例4.2(1)设 y = x ( 1 1 − x ) ,求 d d n x y n ; y2 (2)设z = ,求 x(1−x)   n x z n .高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算 P104例4.3设 第 49 页，共196页 f ( x ) = ( x + 1 ) n e − x 2 ,则 f (n) (−1)=_________ P105例4.4设 y = x 2 s i n x ,求 y ( n ) . P105例4.5设 f ( x ) = ( x 3 − 1 ) n ,则 f ( n ) ( 1 ) = _________高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算 P105例4.6已知 第 50 页，共196页 f ( x ) = s i n 6 x + c o s 6 x ,则 f ( 6 ) ( x ) = __________. P106例4.7设 y = 1 + x x 2 ,求 y ( n ) 满足的递推关系及 y ( 2 n + 1 ) ( 0 ) . 1+x P106例4.8设 f (x)=arctan ,则 1−x f (1 1 ) ( 0 ) = _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算 P107例4.9设函数 第 51 页，共196页 y = f ( x ) 由  x y = = 2 t t + t a n t t , 所确定,则在 2 , 2    −  内( ) (A) f (x) 连续, f  ( 0 ) 不存在 (B) f(0) 存在, f(x) 在x=0处不连续 (C) f(x) 连续, f  ( 0 ) 不存在 (D) f(0) 存在, f  ( x ) 在 x = 0 处不连续 P108例4.10设 f ( x ) = 3 x 3 + x 2 x ,则使 f (n) (0)存在的最高阶数n为 ( ) . (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 P108例4.11已知函数 f ( x ) = 2 s + i n c ( o s s i ( n s x i n ) x ) ,则 f (10) (2)=__________.高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算 P109例4.12设函数 第 52 页，共196页 y = y ( x ) 3 3 由方程x + y +xy =3确定,则  y  ( x ) e x  x = 1 = ( ) . 7 (A)− e (B) 2 − 1 2 e (C) 1 2 e (D) 7 2 e  x=e t +t+1, P110例4.13设函数y= y(x) 由参数方程 确定,则 ( ) .  y=6(t−1)e t +t 2 2 dy d y (A) =0, 0 (B) dx dx 2 x=2 x=2 d d y x x = 2 = 0 , d d 2 x y 2 x = 2  0 2 dy d y (C) 0, 0 (D) dx dx 2 x=2 x=2 d d y x x = 2  0 , d d 2 x y 2 x = 2  0 P111例4.14已知函数 f ( x ) = e x + 2 x + 1 ,设 g ( y ) 与 f ( x ) 互为反函数,则 g  ( 2 ) = ( ) . 1 (A) (B)-3 (C) 3 − 1 2 7 2 e (D)− ( 2 )3 e +2高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 第五讲一元函数微分学的应用(一)——几何应用 P115例5.1曲线 第 53 页，共196页  x y = =  t 1 0 2 − l te n − ( u 2 2 − d t u 2 , ) 在点 (0,0) 处的切线方程为_________. P115例5.2已知曲线 ( 2 − x n 2 ) y = 1 在点 (1,1) 处的切线与x轴的交点为 ( x n , 0 ) , n = 2 , 3 , ,则 ln i m ( x n ) 2 n 2  → = __________ . P116例5.3设 f ( x ) xf (u) 有连续的一阶导数,且 f (0)=0, f(0)=1.求极限lim ,其中u x→0uf (x) 是曲线y = f (x) 在点 ( x , f ( x ) ) 处的切线在x轴上的截距.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 P117例5.4设函数 第 54 页，共196页 f ( x ) = ( x 2 + a ) e x ,若 f ( x ) 没有极值点,但曲线y = f (x) 有拐点,则 a 的取值范围是( ). (A) 0,1) (B)  1 , )  + (C)  1 , 2 ) (D)  2 , )  + P118例5.5(仅数学一、数学二)已知曲线 y = f ( x ) 在点 ( 0 , 1 ) 处的曲率圆方程为 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 2 ,且当 x → 0 时,二阶可导函数 f ( x ) 与 a + b x + c x 2 的差为 o ( x 2 ) ,则( ) (A) a = 0 , b = 1 , c = 3 2 (B) a = 1 , b = 0 , c = 1 (C)a=1,b=1,c=−1 (D) a = 1 , b = 0 , c = − 1高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 P118例5.6证明:若函数 第 55 页，共196页 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导,则 f ( x ) 在  a , b  上严格单 调递增的充分必要条件是 f  ( x )  0 且 f  ( x ) 在  a , b  的任意子区间上不恒为零. P119例5.7设 f ( x ) = a c o s x + b s i n x 在 x 3  = − 处取得极小值,并且 2 2 f ( x ) 2 d x 2    −   = .求常数a,b的值.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 P119例5.8已知函数y= y(x) 由方程x 3 + y 3 −3x+3y−2=0确定,求y(x) 的极值. P120例5.9设函数 第 56 页，共196页 f ( x ) 在 x = x 0 处有二阶导数,则( ). (A)当 f ( x ) 在 x 0 的某邻域内单调增加时, f  ( x 0 )  0 (B)当 f  ( x 0 )  0 时, f ( x ) 在x 的某邻域内单调增加 0 (C)当曲线 f ( x ) 在 x 0 的某邻域内是凹的时, f  ( x 0 )  0 (D)当 f  ( x 0 )  0 时,曲线 f ( x ) 在x 的某邻域内是凹的 0高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 P121例5.10设 第 57 页，共196页 y = k ( x 2 − 3 ) 2 ( k  0 ) 在拐点处的法线经过原点,则k的取值范围为 ( ) .  1   1  (A)−1,  (B)− ,1  4 2  4 2  (C) −1,1 (D)  − 4 1 2 , 4 1 2  P121例5.11已知 f  ( x ) 在  0 , 1  f (x) 上单调增加, f (0)= f(0)=0,证明:函数g(x)= x e 在 0,1 上单调增加.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 P121例5.12设 f (x) 在 0,+) 上连续可微,且 f (0)=1, f(x)  f (x).证明: f (x)ex(x0). P122例5.13曲线 第 58 页，共196页 y = x l n ( e + x 1 − 1 ) 的斜渐近线方程为( ) 1 Ay= x+e By = x+ C e y = x D y = x − 1 e P122例5.14曲线 y = (1 + x x ) 3 2 的斜渐近线方程为__________.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 P122例5.15求曲线 第 59 页，共196页 y = (1 1 x + + x x ) x ( x  0 ) 的斜渐近线方程. P123例5.16设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续,且满足  x 0 f ( t − x ) d t = e − x − x 4 2 − 1 ,则曲 线 y = f ( x ) 有斜渐近线_________. P123例5.17函数 y = x 2 x 在区间 (0,1 上的最小值为_________.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用 P123例5.18设 第 60 页，共196页 f  ( x ) 在区间  0 , 4  上连续,曲线 y = f  ( x ) 与直线 x = 0 , x = 4 , y = 0 围成 如图所示的三个区域,其面积分别为 S 1 = 3 , S 2 = 4 , S 3 = 2 ,且 f ( 0 ) = 1 ,则 f ( x ) 在  0 , 4  上的最大值与最小值分别为( ). (A)2,−3 (B) 4 , − 3 (C) 2 , − 2 (D)4,-2 例5.19设 f ( x ) x x 2 s i n t d t  =  + . (1)证明 f ( x ) 是以为周期的周期函数; (2)求 f ( x ) 的值域.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 第六讲一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分 不等式 P136例6.1已知函数 第 61 页，共196页 f ( x ) 在 a,b 上具有二阶导数, f ( a ) = f ( b ) = 0 ,证明: (1)存在 ( a , b )   ,使得 f ( ) f ( ) 0   +  = ; (2)当 f  ( a ) f  ( b )  0 时,存在 , ( a , b )   ,使得 f ( ) 0 , .  f ( ) 2 f ( ) f ( ) 0  =     +  + = P138例6.2已知函数 f ( x ) 和g(x) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导,且g(x)0,证明: 存在 ( a , b )   f ()− f (a) f() ,使得 = . g(b)−g() g()高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P139例6.3设 第 62 页，共196页 f ( x ) 在  0 , 1  上连续,在 ( 0 , 1 ) 内可导,且满足 ( k  1 ) f ( 1 ) = k  1 k0 x e 1 − x f ( x ) d x ,证明至少存在一点 ( 0 , 1 )   ,使得 f ( ) ( 1 1 ) f ( )     = − − . P139例6.4设 f ( x ) 在  0 , 1  上连续,在 ( 0 , 1 ) 内可导,且 f ( 1 ) = 0 ,证明存在 ( 0 , 1 )   ,使得 ( 1 ) f ( ) f ( ) 0 .     + +  =高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P140例6.5设正值函数 第 63 页，共196页 f ( x ) , g ( x ) 在  a , b  上连续,证明存在 ( a , b )   ,使得 f g (( )) ab f g ( ( x x ) ) d d x x     =   P140例6.6证明:若 f ( x ) 连续且满足 20 f ( x ) c o s x d x 0   =   ,则存在  0, ,使得  2 f ( ) 0  = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P140例6.7设函数 第 64 页，共196页 f ( x ) 在  0 ,   上连续,且 0 f ( x ) d x 0 , 0 f ( x ) c o s x d x 0    =  = .证明:在 ( 0 , )  内至少存在两个不同的点 1 , 2   ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 0   = = . P141例6.8设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 上具有一阶导数, lx i m f ( x x )   → = + .证明:对任意 a , 存在(−,+) ,使 f ( ) a   = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P141例6.9设函数 第 65 页，共196页 f ( x ) 在  0 , 1  上二阶可导, f ( 0 ) = 0 ,且 f (x) 在 (0,1) 内取得最大值2, 在 ( 0 , 1 ) 内取得最小值,证明: (1)存在 ( 0 , 1 )   ,使得 f ( ) 2    ; (2)存在 ( 0 , 1 )   ,使得 f ( ) 4    − . P142例6.10设函数 f ( x ) 在  a , b  上一阶可导,在 (a,b) 内二阶可导,且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f  ( a ) f  ( b )  0 ,证明: (1)存在 ( a , b )   ,使得 f ( ) 0  = ; (2)存在 ( a , b )   ,使得 f ( ) f ( )    =  ; (3)存在 ( a , b )   ,使得 f ( ) f ( )    = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P143例6.11设函数 第 66 页，共196页 f ( x ) 二阶可导,若 f()0,证明存在a,b满足 a b    ,使得 f ( b ) b f a ( a ) f ( ) .  − − =  P143例6.12(1)设 f ( x ) 在  a , b  上可导,若 f '+ ( a )  f '− ( b ) ,证明:对于任意的介于 f '+ ( a ) 与 f '− ( b ) 之间的,存在 ( a , b )   ,使得 f ( )    = ; (2)若 f ( x ) 在 ( , )   − + 上具有二阶导数,证明:对任意的acb,都存在 ( a , b )   ,使 f (a) f (b) f (c) 1 得 + + = f(). (a−b)(a−c) (b−a)(b−c) (c−a)(c−b) 2高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P144例6.13设函数 第 67 页，共196页 f ( x ) 在  0 , 1  上可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,且 f ( x )  x ,证明:存在 ( 0 , 1 )   .使 f ( ) 1    . P145例6.14已知函数 f ( x ) 在  x 0 , x 0 )  + 上连续,在 (x ,x +) 内可导,0,证明:若 0 0 l i x → m x +0 f  ( x ) = A ,则 f '+ ( x 0 ) = A .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P146例6.15设函数 第 68 页，共196页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,且 f ( x ) =  x 0 f ( t ) d t .证明: f (x)=0. P146例6.16设函数 f ( x ) 在区间 a,b 上满足:对任意 x , y   a , b  ,有 f ( x ) f ( y ) M x y ,  −  − 其中 M 0 , 1    是常数.证明: f ( x ) 在  a , b  上恒为常数.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P146例6.17设函数 第 69 页，共196页 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续.对任意的a0,求证: (1)  a 0   x 0 f ( t ) d t  d x =  a 0 f ( x ) ( a − x ) d x ; 2 a x  1 a  (2)  f (x) f (y)dy dx=  f (x)dx .     0 0  2 0  P147例6.18(1)若函数 f ( x ) 在 ( a , )  + 上可导,且 x l i m f ( x ) A  → +  = ,求极限 x l i m f ( x x )  → + ; (2)若函数 f ( x ) 在 ( a , )  + 上可导,且 x l i m f ( x )   → +  = + ,证明 x l i m f ( x )   → + = + .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P147例6.19已知函数 第 70 页，共196页 f ( x ) 在 ( , 0 )  − 上可导,且 lim f(x)= A0,证明 x→− x l i m f ( x )   → − = − . P148例6.20已知函数 f ( x ) 在  0 , 1  上连续,在 (0,1) 内可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 ,证明:存 在 ( 0 , 1 )   ,使得 f ( ) 2 M    ,其中 M = m0  ax x 1  f ( x )  .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 x P148例6.21已知 f (t)dt = xf (x),x0, f (x)=e x ,则 lim=_________. 0 x→0+ P149例6.22设 第 71 页，共196页 f ( x ) 在  a , b  上连续,且 f (x)0,a 0,证明存在(a,b) ,使得 b b a 2 f ( x a ) 2 d x f 2 ( )    − =高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P149例6.23设函数 第 72 页，共196页 f ( x ) =  x 1 e t 2 d t .证明: (1)存在(1,2) ,使得 f ()=(2−)e2 ; (2)存在 ( 1 , 2 )   ,使得 f ( 2 ) l n 2 e 2  =  . P151例6.24求极限 lx i m→ 0 ( 1 + x ) 3 2 t a − n ( 1 x − 2 x ) − 3 2 P151例6.25已知 lx i m→ 0 ( 1 + x ) − s 1 3 i n − 2 ( x a x + b ) = c  0 ，则(a,b,c)=_________.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P152例6.26已知 第 73 页，共196页 lx i m→ 0 e a rc ta n x x − 2 l ( n a ( x 1 2 + + x b ) x + c ) = d  0 ,则 ( a , b , c , d ) = ________. P154例6.27设函数 f ( x ) 在  0 , 1  上二阶可导, f (0)= f (1) ,且 f  ( x )  2 ,证明: f  ( x )  1 , x   0 , 1  . P155例6.28设函数 f (x) 在  a , b  上有二阶导数,且 f' (a)= f' (b)=0. + −高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P155例6.29设函数 第 74 页，共196页 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 (a,b) 内二阶可导,且 f  ( x )  1 , f ( a ) = f ( b ) = 0 .证明: ma  ax x b  f ( x )   1 8 ( b − a ) 2 . P156例6.30设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内具有二阶导数,若对任意的 x  R ,都有 f ( x )  1 , f  ( x )  1 ,证明: f  ( x )  2 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P156例6.31设函数 f (x) 在 0,1 上存在二阶导数,且对于任意x0,1, f(x) 1.若 第 75 页，共196页 f ( x ) 在区间 ( 0 , 1 ) 内取到最大值.证明: f  ( 0 ) + f  ( 1 )  1 . P157例6.32设函数 f ( x ) 在 0,+) 内具有三阶导数.若 lim f (x)存在, x→+ x l i m f ''' ( x ) 0  → + = ,证明: x l i m f ( x ) 0 , x l i m f ( x ) 0 .   → +  = → +  =高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P157例6.33设函数 第 76 页，共196页 f ( x ) 具有二阶连续导数, f ()=0, f()0.若  x n  以为极限,以 x 为首项且满足 0 x n = x n − 1 − f f ((  x x n n − 1 − 1 )) , n = 1 , 2 , 3 , ,    x −x  证明: n n−1 收敛于  (x n−1 −x n−2 )2  2 f f (( ))   −   . P158例6.34设函数 f ( x ) 在闭区间  1 , 3  上具有三阶导数,且  2 1 f ( x ) d x =  2 1 f ( x + 1 ) d x , f  ( 2 ) = 0 .证明:存在 ( 1 , 3 )   ,使得 f ( ) 0   = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P160例6.35设函数 第 77 页，共196页 f ( x ) 在区间  0 , 1  1 上连续,且a= f (x)dx0.证明:在区间 0 ( 0 , 1 ) 内 1 1 2 至少存在不同的两点, ,使得 + = . 1 2 f () f ( ) a 1 2 P160例6.36设函数 f ( x ) 在  a , b  上连续,对任意的xa,b ,总存在ya,b ,使得 f ( y )  1 2 f ( x ) 证明:至少存在一点  a , b    ,使得 f ( ) 0  = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P161例6.37设 第 78 页，共196页 f ( x ) 在  a , b  上可导,且 f (a) f (b)0,又当 x  ( a , b ) 时,有 f  ( x )  − f ( x ) ,则 f ( x ) 在  a , b  上的零点个数为_______. P161例6.38设 f ( x ) =  1 − a x  x ,其中xa0. (1)求 f ( x ) 的水平渐近线; (2)证明eaf (x)1.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P164例6.39证明: 第 79 页，共196页 l n x − 2 ( x x + − 1 1 )  ( x − 4 1 ) 3 ( x  1 ) . P165例6.40已知函数 f ( x ) 在区间  a , )  + 上具有二阶导数, f ( a ) = 0 , f  ( x )  0 , f  ( x )  0 .设 b  a ,曲线 y = f ( x ) 在点 ( b , f ( b ) ) 处的切线与 x 轴 的交点是 ( x 0 , 0 ) .证明: a  x 0  b .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P165例6.41设 第 80 页，共196页 x  ( 0 , 1 ) ,证明下面不等式: (1)(1+x)ln2(1+x) x2; (2) l 1 n 2 − 1  l n ( 1 1 + x ) − 1 x  1 2 . P168例6.42若方程 x x ( 1 − x ) 1 − x = k 在区间 (0,1) 内有且仅有两个不同的实根,求 k 的取值 范围.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P168例6.43求方程 第 81 页，共196页 ( x + 2 ) e 1 x − k = 0 不同实根的个数,其中 k 为参数. P169例6.44已知常数 k  l n 2 − 1 .证明: ( x − 1 ) ( x − l n 2 x + 2 k l n x − 1 )  0 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P170例6.45设函数 第 82 页，共196页 y = y ( x )  1 1 3 x= t +t+ ,   3 3 由参数方程 确定. 1 1  3 y= t −t+  3 3 (1)求y(x) 的极值; u = x, (2)若 且v=v(u) 恰有一个零点,求常数k的取值范围. v= y+k, P172例6.46设函数 f ( x ) 在  0 , 1  上二阶可导, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , mx   i0 n,1   f ( x )  = − 1 ,证明: 存在 ( 0 , 1    使 f ( ) 8    .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P173例6.47设函数 第 83 页，共196页 f ( x ) 在区间  − 1 , 1  上具有三阶连续导数,且 f ( − 1 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , f  ( 0 ) = 0 .证明:在区间 ( − 1 , 1 ) 内至少存在一点,使 f ( ) 3   = . P174例6.48设函数 f ( x ) 在区间  0 , 1  上具有二阶连续导数,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,  1 0 f ( x ) d x = 2 3 ,证明:存在 ( 0 , 1 )   ,使得 f ( ) 2   = − .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用 P177例6.49设函数 第 84 页，共196页 f ( x ) 可导,则任给ab,均有 b 1 − a  b a f ( x ) d x = f  a + 2 b  是 f ( x ) 为直线的( ). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 P178例6.50设 f ( x ) 在  − a , a  上具有三阶连续导数,证明:存在 ( a , a )   − ,使 f ( 3 ) f ( a ) a 3 f ( a ) 2 f a (2 0 ) .   = − − − 高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的物理应用 第七讲一元函数微分学的应用（三）——物理应用与经济应用 P181例7.1如图所示,长度为 第 85 页，共196页 a m 的绳子通过一个定滑轮 P 将 A , B 两辆小车连接在一起.滑 轮到地面的垂足是 Q , P Q = 1 2 m .在某个时刻 t 0 ,小车 A 在距离 Q 点 5 m 处以 2 m / s 的速度 远离 Q 点,若此时小车 B 的速度为 2 m / s ,求 a 的值. P182例7.2个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数 K  0 . 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r 的雪堆在开始融化的3小时内,融 0 化了其体积的 7 8 ,问雪堆全部融化需要多少小时?高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的物理应用 P182例7.3已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻 物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为 第 86 页，共196页 1 2 0 C 的物体在 2 0 C 恒温介质中冷却, 3 0 m in 后该物体温度降至 3 0 C ,若要将该物体的温度继续降至 2 1 C ,还需冷却多长时间?高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 第八讲一元函数积分学的概念与性质 P191例8.1求极限 第 87 页，共196页 n lim 1 n n n ( n 1 ) ( n 2 ) n ( n 1 )  → + +  + −  . P192例8.2设 f ( x ) x 2 , f ( x ) x 2 2 x 3  =   = − + + 且 ( x ) 0   ,则 n lim 1 3 n i n 1 i 2 ( n i ) n 1 ( x )   →  = −  + = ( ) 1 (A) (B) 12 1 6 1 (C) (D) 3 2 3高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 P193例8.3 第 88 页，共196页 n lim n 2 n 1 n 2 n 1 1 n 2 n 1 2 2 n 2 1 n ( n 1 ) 2  →  + + + + + + + + + + + −  = ________. P193例8.4设a(0,1),则 n lim i n 1 n i i a s in i n  →  = + = ( ). (A) a − c o s a (B) a − s in a (C) 1 − c o s 1 (D) 1 − s in 1高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质  1 x 2x n−1   lim 1+cos +cos + +cos x, x0, n→n n n n    P194例8.5设 f (x)=a, x=0,连续,则  f (−x), x0   第 89 页，共196页 a = _______. P194例8.6求极限 n lim k n 1 4 n c o s 2 k 4 n    →  = . P195例8.7设函数 f ( x ) 在区间  0 ,1  上连续,则  1 0 f ( x ) d x = ( ). n 2k−11 (A) lim f   (B) n→  2n n k=1 n lim k n 1 f 2 k 2 n 1 1 2 n  →  =  −  2n 2n k−11  k 2 (C) lim f   (D) lim f   n→  2n n n→ 2nn k=1 k=1高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 P195例8.8求极限 第 90 页，共196页 n lim 1 2 3 2 n 3 ( 2 n 1 ) 2  → + + + − . P200例8.9设常数 p  0 , q  0 ,若  1 0 x p ( ln 1 x − x ) q d x 收敛,则( ). (A) 0  p  1 ,1  q  2 (B) p  1 ,1  q  2 (C) 0  p  1 , 0  q  1 (D) p  1 , 0  q  1 P201例8.10设 p 为常数,若  1 0 x p ( 1 − x ) p − 1 ln x d x 收敛,则( ). (A) p  − 1 (B) − 1  p  0 (C) 0  p  1 (D) p  1公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 P201例8.11判断下列反常积分的敛散性. p +ln(1+x) + x−1 (1) dx(p0); (2) ln dx(p0); 0 x p 1 1+x (3) 第 91 页，共196页 0 x p 2 a r c ta q x n x d x   + + ; (4) 20 ln s in x ln 1 s in x d x    +  ; + 1 (5) dx. 0 3x(x−2)2(x−4)高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 P203例8.12(1)证明 第 92 页，共196页 1 c o x s2 x d x   + 绝对收敛; +sinx (2)证明 dx收敛. 1 x + P205例8.13设 f (x)dx收敛,且 a x lim f ( x ) b  → + = 存在,证明 b = 0 .高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 P205例8.14设 第 93 页，共196页 a f ( x ) d x   + 收敛,且 f (x)在a,+)上单调增加,证明: (1) f (x)有上界; (2) x lim f ( x ) 0  → + = . P205例8.15设 a f ( x ) d x   + 收敛,且 f ( x ) 在a,+)上单调减少.证明: (1)对任意 0   ,存在 X  a ,当 x  2 X 时, xx 2 f ( t ) d t 2    ; (2) x lim x f ( x ) 0  → + =高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 + + P206例8.16设 f (x)在a,+)上可导,且 f (x)dx, f(x)dx均收敛,证明 a a lim f (x)=0. x→+ P206例8.17设 第 94 页，共196页 a f ( x ) d x   + 收敛, f ( x ) + 在a,+)上可导且单调减少,证明 xf(x)dx收 a 敛.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质 P206例8.18设函数 第 95 页，共196页 f ( x ) 在 1 , )  + 上二阶可导,且 f (x)0, lim f(x)=+,证明 x→+ 1 f 1( x ) d x   + 收敛. P207例8.19设函数 f ( x ) 在0,+)上可导,且 f(x)0, f (0)=1,则 0 f ( x ) 1 f ( x ) d x   + +  收 敛是 0 f 1( x ) d x   + 收敛的( ). (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 第九讲一元函数积分学的计算 P212例9.1求下列不定积分. (1) 第 96 页，共196页  x 2 + x 2 x + 2 d x ; (2)  x 2 + x 2 x − 3 d x . P213例9.2求下列不定积分. (1)  a 2 − x 2 d x ( a  0 ) ; (2)  a 2 + x 2 d x ( a  0 ) ; (3) x2 −a2dx(a0) P213例9.3求下列不定积分. (1)  x 2 1 1 + x 2 d x ; (2)  ( 1 + 1 x 2 ) 2 d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P214例9.4求下列不定积分. 1 dx (1) dx; (2) . ex +1 ex +1 P214例9.5求下列不定积分. (1)x x2 +2x+2dx; (2) 第 97 页，共196页  x x 2 + 2 x − 3 d x . P215例9.6(1)设 f (x)连续,证明 0 f ( x ) d x 0 f 1 x 1 x 2 d x    + =  +   ; (2)计算 0 1 1 x 4 d x   + + + 1 和 dx. 0 1+x3高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P215例9.7求 第 98 页，共196页  2 x x + + 1 1 d x . n P216例9.8设a = xsinxdx,n=1,2, ,求 n 0 a n 的表达式. P216例9.9求下列不定积分. (1)  ( 1 x + e x x ) 2 d x ; (2)  ( 2 x 2 + e x x ) 2 d x ; xex (3) dx. ex +1高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P217例9.10求下列不定积分. (1)exsinxdx; (2) 第 99 页，共196页  s e c 3 x d x ; (3)sin(lnx)dx (4)  1 + x 2 d x ; (5)  s i n 2 x d x ; P218例9.11  e x  1 1 − + x2 x  2 d x = _________.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P218例9.12求下列不定积分. (1) 第 100 页，共196页 I 5 =  s in 5 x d x ; (2) I 3 =  ( a 2 d + x x 2 ) 3 . P219例9.13设 n 为非负整数,则  1 0 x 2 ln n x d x = _______. + P219例9.14设a = xne−x dx,n=1,2, ,求a 的表达式. n 0 n公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P220例9.15求不定积分 第 101 页，共196页  x 3 − 3 x 5 + 2 x 1 + 6 x d x . P221例9.16求下列不定积分. (1)  ( x x + 2 1 ) 5 d x ; (2)  x ( 1 1 + x 5 ) d x ; (3)  x 2 ( 1 1 + x 2 ) 2 d x . P221例9.17求下列不定积分. sin5x 1 (1) dx; (2) dx. cos4x sinx+sin3x高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P222例9.18求不定积分 第 102 页，共196页  s in 2 x c o s 3 x d x . P222例9.19求不定积分  2 s s in in x x + + 2 c c o o s s x x d x . 1 P223例9.20求不定积分 dx. 1+2cosx高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P223例9.21已知x3 =(x+ y)y3,求 第 103 页，共196页  d y x 3 . P223例9.22已知x= y(x−y)2,求  x 1 − 3 y d x . P224例9.23设 y = y ( x ) 由方程 y 3 + x y − 1 = 0 所确定,求  y 2 d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P225例9.24设函数 第 104 页，共196页 f ( x ) 在0,+)内可导, f (0)=0,其反函数为g(x).若  x+f(x) g(t−x)dt=x2ln(1+x),求 f (x). x P225例9.25设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内非负连续,且  xtf 0 ( x 2 ) f ( x 2 − t 2 ) d t = s in 2 ( x 2 ) , 求 f ( x ) 在  0 ,   上的平均值.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P226例9.26设 第 105 页，共196页 x  1 ,求积分 I ( x ) =  1 − 1 t − x e 2 t d t 的最大值. P227例9.27设函数 f ( x ) =  1 0 t 2 − x 2 d t ( x  0 ) ,求 f  ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小值. P227例9.28极限 lim t→ 0 + 1 5 t  t 0 d y  t y s in ( x x y ) 2 d x = _________.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算 P228例9.29函数 第 106 页，共196页 f ( x ) =  ( 1 x 1 + + 1 x) 2 c , o s x , x x   0 0 , 的一个原函数为( ).  ln ( 1+x2 −x ) , x0,  ln ( 1+x2 −x ) +1, x0, (A)F(x)= (B)F(x)= (x+1)cosx−sinx, x0 (x+1)cosx−sinx, x0    ln ( 1+x2 +x ) , x0,  ln ( 1+x2 +x ) +1, x0, (C)F(x)= (D)F(x)= (x+1)sinx+cosx, x0 (x+1)sinx+cosx, x0   P229例9.30设 f ( x ) =  e 1 − + x , x 2 , x x   0 0 , , 则 2 f (x−1)dx=__________. −2 P229例9.31设 f ( x ) =  2 ( x e + x x e + 3 2x 1 2 x 2 ) , − , 0 1   x x   1 0 , , 求函数F(x)= x f (t)dt的表达式. −1高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 第十讲一元函数积分学的应用(一)——几何应用 P238例10.1求心形线 第 107 页，共196页 r a ( 1 c o s ) ( a 0 , 0 2 )    = −    [见图]的弧长(仅数学一、数学二) 所围图形的面积以及绕Ox轴旋转得到的旋转体的体积. P240例10.2求伯努利双纽线 r 2 a 2 c o s 2 ( a 0 )  =  [见图]所围图形的面积以及绕Ox轴、Oy 轴分别旋转得到的旋转体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P241例10.3求阿基米德螺线 第 108 页，共196页 r a ( a 0 , 0 2 )    =    的弧长(仅数学一、数学二)、与Ox轴 所围图形的面积. P242例10.4求对数螺线 r e a ( a 0 , 0 2 )    =    的弧长(仅数学一、数学二)、与极轴所围 图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P242例10.5求双曲螺线 第 109 页，共196页 r a ( a 0 ,1 3 )   =    的弧长(仅数学一、数学二)及与 =1,= 3所围图形的面积. P243例10.6求三叶玫瑰线 r a s in 3 ( a 0 )  =  [见图(a)]所围图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P243例10.7求四叶玫瑰线 第 110 页，共196页 r a s in 2 ( a 0 )  =  [见图(a)]所围图形的面积. P244例10.8求摆线  x y = = a a (( t 1 − − s c in o ) t , ) s t ( a  0 ) (平摆线)一拱的弧长(仅数学一、数学二)、与 x 轴所围图形的面积及绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P245例10.9求星形线 第 111 页，共196页 x 23 + y 23 = a 23 ( a  0 ) (参数方程  x y = = a a c s o s in 3 t 3 t , ( a  0 ) )(内摆线的一种)的 弧长(仅数学一、数学二)、所围图形的面积及绕 x 轴旋转所得旋转体的体积. P245例10.10求笛卡儿叶形线 x 3 + y 3 − 3 a x y = 0 ( a  0 ) (参数方程为  x y = = 3 a 1 + 3 a 1 + t 3 t2 t 3 t , ( a  0 ) )所围 图形的面积及渐近线.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P246例10.11(仅数学一、数学二)若 第 112 页，共196页 y = k x ( 0  x  1 ) ( k  0 ) 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转 体的侧面积为 6 ,则 k = _________. P247例10.12(仅数学一、数学二)抛物面 z = x 2 + y 2 ( 0  z  1 ) 的面积为________. P247例10.13求曲线 y = x ( 1 − x ) 9 在0,1上与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 1 P247例10.14设D是由曲线y= x3,直线 第 113 页，共196页 x = a ( a  0 ) 及 x 轴所围成的平面图形,V ,V 分别 x y 是 D 绕 x 轴, y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.若V =10V ,求 y x a 的值. P247例10.15设 f n ( x ) = ( n x ) n 2 + 1 , n = 1 , 2 , ,记 S n 为 f n ( x ) 与 f n + 1 ( x ) 所围图形面积,证明 S n  4 3  1 n 3 .高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P248例10.16设 第 114 页，共196页 y lim n 1 1 n x x 2 n  = → + + ,则曲线y= y(x)与 x 轴及x=1所围图形面积为 __________. P248例10.17(仅数学一、数学二)设曲线 y = a x ( a  0 ) 与 y = x − 1 在第一象限交于一点 ( x 0 , a x 0 ) ,其中 y = x − 1 ( 1  x  x 0 ) 在第一象限绕 x 轴旋转所得的旋转体表面积为 6 ( 5 5 1 )  − ,则 a = __________.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P248例10.18(仅数学一、数学二)求曲线 第 115 页，共196页 ( x − 2 ) 2 + y 2 = 1 绕y轴旋转一周所得旋转体表面 积. P248例10.19已知 y = x a − x2 a ( a  1 , 0  x  +  ) 与x轴中间部分区域绕x轴旋转一周生成的 旋转体的体积为 e 2  ,则 a = __________.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P249例10.20求 第 116 页，共196页 y = 3 x 2 + 2 x ( x  0 ) 与x=1,y=0围成的平面图形绕y轴旋转一周所生成的 旋转体的体积. P249例10.21求曲线 x 2 + y 2 = 2 y  y  1 2  与 x 2 + y 2 = 1  y  1 2  所围成的平面图形绕y轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P249例10.22求曲线 第 117 页，共196页 y = 3 − x 2 − 1 与x轴所围成的图形绕直线 y = 3 旋转一周所生成的旋转 体的体积. P250例10.23(仅数学一、数学二)曲面 z = 1 3 − x 2 − y 2 将球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 5 分成三部分, 则三部分面积之比为___________.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P250例10.24设 第 118 页，共196页 P ( x , y ) 为曲线 L : x y c 2 o s s t in , 2 t 0 t 2   = =     上一点,作过原点O(0,0)和点P的 直线 O P ,将曲线 L 、直线 O P 以及 x 轴所围成的平面图形记为 A . (1)求平面图形 A 的面积S(x)的表达式; (2)将平面图形A的面积 S ( x ) 表示为t的函数 S = S 1 ( t ) ,并求 d S d t 1 取得最大值时点P的坐 标. P251例10.25求曲线 y 2 = ( 1 − x 2 ) 3 所围图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P251例10.26求曲线y=x 4x−x2 在区间0,4上与x轴所围图形绕y轴旋转一周所得的旋 转体的体积. P252例10.27已知函数 第 119 页，共196页 f ( x ) 在 0 , 3 2    上连续,在 0 , 3 2    cosx 内是函数 的一个原函数, 2x−3 且 f ( 0 ) = 0 . (1)求 f (x)在区间 0 , 3 2    上的平均值; (2)证明 f ( x ) 在区间 0 , 3 2    内存在唯一零点.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P253例10.28(仅数学一、数学二)求曲线 第 120 页，共196页 y =  x 0 c o s t d t 的全长. P253例10.29求下列曲线围成的区域绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 1 − x (1)y=e 2 sinx 在  0 , 2   部分与 x 轴围成的平面区域; (2) y = e − x n s in ( n x + 1 ) ( x  0 , n = 1 , 2 , ) 与 x 轴中间部分区域; (3) y = 1 − x 2 ( 0  x  1 ) 与 x y c s o s in 3 t 3 t , 0 t 2   = =     围成的平面区域.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P254例10.30设星形线的方程为 第 121 页，共196页  x y = = 2 2 c s o s in 3 t , 3 t , 则它绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的表面积为 _________. P254例10.31双纽线 r 2 a 2 c o s 2 ( a 0 )  =  绕极轴旋转一周所围成的旋转曲面面积S = ___________. P255例10.32求曲线段 y = ln x ( 2  x  6 ) 的一条切线,使该切线与直线 x = 2 , x = 6 及此曲线 段所围平面图形的面积最小.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P255例10.33(仅数学一、数学二)计算下列曲线的弧长. 1 (1)y=ln ( 1−x2) ,0x ; 2 (2) 第 122 页，共196页 y = 1 4 x 2 − 1 2 ln x ( 1  x  e ) ; (3) y ln c o s x 0 x 6  =     ; (4) ln y + 2 x − 1 2 y 2 = 0 ( 1  y  e ) . P256例10.34求曲线 ( y + 1 ) 2 = ( 2 − x ) ln x 在区间 [1 , 2 ] 上所围成的平面图形绕直线y=-1旋转 一周所生成的旋转体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P256例10.35求曲线 第 123 页，共196页 y = x e , y = ln x 与x轴围成图形绕直线 x = e 旋转一周所生成的旋转体的 体积 P256例10.36设函数 y = f ( x ) e−xcosx 满足微分方程y+ y= ,且 2 sinx f ( ) 0  = ,则曲线 y = f ( x ) ( x  0 ) 绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积是( ). (A) 5 ( 1 e 2 )   + − (B) 5 ( 1 e 2 )   − − (C) 5 ( 1 e )   + −  (D) 5 ( 1−e−)高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P257例10.37求下列曲线与 第 124 页，共196页 x 轴所围区域的面积. (1)y=(x+1)( enx −1 )(n1);(2) y x 2 2 e 2 x , x  0 , )  = −  + ; (3) y e x s in x , x  0 , )  = −  + ;(4) y = x e , y = ln x . P258例10.38求下列区域绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积. (1) y = e − x , x 轴, y 轴, x ( 0 )  =  所围成的曲边梯形; (2) y = e x + 2 e − x , x = 0 , x = t ( t  0 ) , y = 0 所围成曲边梯形; 3 (3)y= xe − 2 x(x0)下方及 x 轴上方的无界区域.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用 P258例10.39(仅数学一、数学二)求曲线 第 125 页，共196页 y = e x + 2 e − x , x = 0 , x = t ( t  0 ) , y = 0 所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的表面积. P259例10.40(仅数学一、数学二)设 D 是由曲线 y = 1 − x 2 ( 0  x  1 ) 与 x y c s o s in 3 t 3 t , 0 t 2   = =     围成的平面区域,求 D 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的表面积.高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 第十一讲一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式 P264例11.1已知函数 第 126 页，共196页 f ( x ) = e sin x + e − sinx ,则 f(2)=__________. P264例11.2已知函数 f ( x ) =  xe0 c o st d t , g ( x ) =  sin 0 xe 2t d t ,则（ ） (A)𝑓(𝑥)是奇函数,𝑔(𝑥)是偶函数 (B)𝑓(𝑥)是偶函数,𝑔(𝑥)是奇函数 (C)𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)均是奇函数 (D)𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)均是周期函数 1 dx P265例11.3I = =__________. −1 1 1+ex高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P265例11.4 第 127 页，共196页 I 2 2 1 s in 4 e x x d x   =  − + − = __________. a+ P265例11.5(1)设I = sinnxdx,n=1,2, ,a为任意常数,则( ). a (A) I 只与 a 有关 (B) I 只与 n 有关 (C) I 与 a , n 均有关 (D) I 与 a , n 均无关 k a+ (2)设I = 2 1−sin2x dx,k为正整数, a a 为任意实数,则( ). (A) I 只与 a 有关 (B) I 只与 k 有关 (C)I 与 a , k 均有关 (D)I 与 a , k 均无关高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P266例11.6设一阶齐次线性微分方程y+ p(x)y=0的系数p(x)是以T为周期的连续函 数,则“该方程的非零解以T为周期”是“ T p(x)dx=0”的( ). 0 (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 P267例11.7设可导函数 第 128 页，共196页 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) , f ( 0 ) = 1 ,又 f(x) g(t)dt= x t2sin3t dt , 0 0sint+cost 则 f ( )  = __________. ln(1+x) 1 P268例11.8I = dx=_________. 0 1+x2高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用  P268例11.9 x cos2x−cos4x dx=_________. 0 P269例11.10设 第 129 页，共196页 f ( x )   为连续函数,4f (2x)dx− f (x)=cos4x,则2f (x)dx=________. 0 0 P269例11.11设数列  a n  的通项 a n 0 ( 1 d x x 2 ) n , n 2 , 3 ,  =  + + = ln(1+e2n) a  ,计算lim n+1 n→ a  n高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P270例11.12已知函数 第 130 页，共196页 f ( x ) 在 0 , 2    上可导,且 20 f ( x ) c o s x d x 0   =   ,证明存在0,  ,  2 使得 f ( ) f ( ) ta n     = . P273例11.13计算下列积分. (1)  2 0 ( x − 1 ) d x ; (2)  2 0 x ( x − 1 ) ( x − 2 ) d x ; (3) 2n x(x−1)(x−2) (x−n) x−(2n−1)(x−2n)dx.   0公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P274例11.14计算下列积分. 4 (1) x 4x−x2 dx; 0 (2) 2(2x+1) 2x−x2 dx. 0 P275例11.15设函数 第 131 页，共196页 F ( x ) x x 2 f ( t ) d t  =  + ,其中 f (t)=esin2t( 1+sin2t ) cos2t,则 F ( x ) ( ). (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不是常数高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P275例11.16已知 第 132 页，共196页 f ( x ) 2 0 s in x x d x  =  ,则 f (x)( ). (A)大于零 (B)小于零 (C)恒为零 (D)非常数 3 P276例11.17设𝐼 =∫2 𝜋 cos𝑥 d𝑥,则𝐼( ). 0 2𝑥−3𝜋 (A)恒正 (B)恒负 (C)存在零点 (D)发散 P276例11.18证明:𝐹(𝑥)=∫ 𝑥+2𝜋 esin𝑡sin𝑡 d𝑡 >0. 𝑥高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P277例11.19证明: 第 133 页，共196页 0 2 s in x 2 d x 0    . P277例11.20设函数 f ( x ) 具有二阶导数, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 ,记 I 1 f ( x ) s in x d x ,   I 2 f ( x ) c o s x d x , =  −   =  − 则( ). (A)I 0,I 0 (B) 1 2 I 1  0 , I 2  0 (C)I 0,I 0 (D) 1 2 I 1  0 , I 2  0高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P278例11.21设 第 134 页，共196页 f ( x ) lim t t 2 s in x t g 2 x 1 t g ( 2 x )  = →   +  −  ,且g(x)的一个原函数为 ln ( x + 1 ) , 求  1 0 f ( x ) d x P278例11.22已知 f ()=1,且 0 f ( x ) f ( x ) s in x d x 3    +   = ,求 f (0).高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P279例11.23设 第 135 页，共196页 f ( x ) =  xe0 − 2t + 2 t d t ,求 1(x−1)2 f (x)dx. 0 P279例11.24设函数 f ( x ) 在区间  0 ,1  上具有连续导数,且  1 0 x 2 f  ( x ) d x = 1 .证明: (1)存在  0 ,1    ,使得 f ( ) 3   = ; (2)若 f ( 1 ) =  1 0 f ( x ) d x = 0 ,则存在  0 ,1    6 ,使得 f()=− . 7高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P280例11.25已知 第 136 页，共196页 f ( ln x ) 1 , x , x x (( 0 1 ,1 , ) , ) , f ( 0 ) 0   =    + = ,则 f ( 1 ) = _________. P281例11.26 lim n 1 0 ( n 1 ) x n ln ( 1 x ) d x  →  + + = ( ). (A) l n 2 (B)1 (C) e 2 (D)  + 例11.27设函数 f (x)在(−,+)内具有二阶连续导数.证明: f(x)0的充分必要条件是 对不同的实数 a , b , f  a + 2 b   b 1 − a  b a f ( x ) d x .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P282例11.28设函数 第 137 页，共196页 f ( x ) 在  a , b  上连续且严格单调递增,且 f  ( x )  0 .求证: ( b − a ) f ( a )   b a f ( x ) d x  ( b − a ) f ( a ) + 2 f ( b ) . P283例11.29设函数 f (x)在  a , b  a+b 上具有二阶连续导数,且 f  =0.证明:存在  2  a,b,使得 f()= 24  b f (x)dx. (b−a)3 a高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P284例11.30证明 第 138 页，共196页 lim n 40 s in ( n x ) s in n x d x 0   →  = . P286例11.31设 f ( x ) 可积,且 lim x f ( x ) a  → + = ,证明 lim x 1 x x 0 f ( t ) d t a  → +  = . P287例11.32设 f ( x ) 在  0 ,1  上具有二阶连续导数, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , f  ( x )  0 ,证明:对于 任意 x  ( 0 ,1 ) ,  1 0 f f (  x ( x )) d x  4 .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用 P288例11.33设 第 139 页，共196页 f ( x ) 在  a , b  上单调递增且连续,证明  b a x f ( x ) d x  a + 2 b  b a f ( x ) d x . P288例11.34求极限 lim n 1 0 x 2 s in 2 n x d x   →  . P289例11.35求极限 lim h → 0 +  1 − 1 h 2 h + x 2 f ( x ) d x ,其中函数 f ( x ) 在−1,1上连续.高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用 第十二讲一元函数积分学的应用(三)——物理应用于经济应用 P291例12.1如图所示,井深 第 140 页，共196页 a 米,每米绳子的重量是 5 N ,挂斗重400N,污泥重 1 5 0 0 N , 将挂斗从井底提到井口所做的功为59250J,则a=_________. P291例12.2半径为 a  的半球形水池蓄满了水,水的比重为1,现将水抽干,至少做功 ,则 2 a = _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用 P292例12.3如图所示,一闸门的上部是一个宽为2米、高为 第 141 页，共196页 H 米的矩形,下部由y= x2 与 y = 1 围成.当闸门上边缘与水面在一个平面时,其上部所受水压力与下部所受水压力之比 为 5 4 ,求上部的高度 H . P293例12.4设沿 y 轴上的区间 0,1 放置一长度为1且线密度为的均匀细杆,在 x 轴上 x = 1 处有一单位质点,则该细杆对此质点的引力( G 为引力常量)沿x轴正向的分力为 _________.高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用 P293例12.5将地面上质量为m的物体竖直举高 第 142 页，共196页 H 米,求克服重力所做的功 W ( H ) . P294例12.6水从一根底面半径为 1 c m 的圆柱形管道中流出.因为水有黏性,在流动过程中 受到管道壁的阻滞,所以流动的速度是随着到管道中心的距离而变化的.距管道中心越远,水 流速度越小,在距离管道中心 r c m 处的水的流动速度为 1 0 ( 1 − r 2 ) c m / s .问水是以多大流 量(以 c m 3 / s 为单位)流过管道的?高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的物理应用 P294例12.7(1)宽度为6m的金属板，三分之一作为侧边,做成排水沟[见图(a)]，问折起角 度多大时，排水沟的截面积S最大; (2)设一抛物线过(1)中所求得截面的 第 143 页，共196页 A , D 及 B C 中点,记该抛物线与直线段 A D 所围成封 S 闭平面的面积为S ,求 ; S (3)若排水沟长为 1 m ,其横截面原为(1)中等腰梯形的形状,因淤泥沉积形成了(2)中抛物线 的形状,现清楚淤泥,恢复(1)中的形状,将淤泥搬运出排水沟,至少作多少功?(设单位体积的 淤泥重为 N  )高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 第十三讲多元函数微分学 x2 − y2 P300例13.1求 lim . (x,y)→(0,0) x2 + y2 P300例13.2求 第 144 页，共196页 ( x l i m ) ,y → (0 ,0 ) x x 3 2 + + y y 3 . P300例13.3求lim ( x2 + y2) ( x2+y2) . x→0 y→0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P300例13.4求 第 145 页，共196页 l ix y m x 2 x x y y y 2   → → − + + . P300例13.5求 l i x y m 1 ( x 2 y 2 ) e ( x y )  → → + + − + . P301例13.6求 l ix y m a 1 1 x xx 2 y  → →  +  + .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P301例13.7设 第 146 页，共196页 f ( x , y ) = x s i n 1 y + y s i n 1 x , I 1 = l i m x → y → 0 0 f ( x , y ) , I 2 = l i m y → 0  l i m x → 0 f ( x , y )  ,则 ( ). (A)I ,I 均存在 (B)I 存在,I 不存在 1 2 1 2 (C)I 不存在, 1 I 2 存在 (D) I 1 , I 2 均不存在 P301例13.8设 f ( x , y ) = x 2 x + y y 2 , I 1 = l i m x → y → 0 0 f ( x , y ) , I 2 = l i m y → 0  l i m x → 0 f ( x , y )  ,则( ) (A)I ,I 均存在 (B) 1 2 I 1 存在,I 不存在 2 (C)I 不存在, 1 I 2 存在 (D) I 1 , I 2 均不存在高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P302例13.9设 第 147 页，共196页 f ( x , y ) = x x 2 2 − + y y 2 2 , I 1 = l i m x → 0  l i m y → 0 f ( x , y )  , I 2 = l i m y → 0  l i m x → 0 f ( x , y )  , I 3 = l i m x → y → 0 0 f ( x , y ) ,则 ( ). (A)I ,I 存在, 1 2 I 3 不存在 (B) I 1 , I 2 , I 3 均不存在 (C)I ,I ,I 均存在 (D) 1 2 3 I 1 , I 2 不存在, I 3 存在 P306例13.10设 f ( x , y ) 在区域 D 上二阶偏导数连续,则下列命题: ①若  f (  x y , y )  0 , ( x , y )  D ,则 f ( x , y ) ( x )  = ; ②若  f (  x x , y ) =  f (  x y , y )  0 , ( x , y )  D ,则 f (x,y) 为常数; ③若  f (  x x , y )  0 , ( x , y )  D ,则对任意 p 0 ( x 0 , y 0 )  D ,存在 0   ,使得在 U ( p 0 , )  内 有 f (x,y)=(y) 所有真命题的序号为( ). (A)①② (B)③ (C)②③ (D)①②③高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P306例13.11函数 第 148 页，共196页 f ( x , y ) =  1 0 , , x y 其 ? = 他 0 , 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). (A)关于两个变量都连续,其在原点连续 (B)关于两个变量都连续,其在原点不连续 (C)关于两个变量都不连续,其在原点连续 (D)关于两个变量都不连续,其在原点不连续 P307例13.12已知函数 f ( x , y ) =  x 0 2 ( , x y + x , y y 2 ) ( , = x ( , 0 y , ) 0  ) , ( 0 , 0 ) , 则 f (x,y) 在点 (0,0) 处( ) (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P307例13.13函数 第 149 页，共196页 g ( x , y ) = x 2 + y 2 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在 P307例13.14函数 f ( x , y ) =  x 0 x 2 , 2 + y y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , 在点 ( 0 , 0 ) 处( ) (A)连续,可微 (B)连续,不可微 (C)不连续,可微 (D)不连续,不可微高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P308例13.15 第 150 页，共196页 f ( x , y ) =  2 x , 2 y , 其 1 , ? y x = = 他 0 0 , , 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). (A)两个偏导数均连续,且函数可微 (B)两个偏导数均连续,且函数不可微 (C)两个偏导数均不连续,且函数可微 (D)两个偏导数均不连续,且函数不可微 P30813.16函数 f ( x , y ) =  ( 0 x , 2 + y 2 ) s i n x 2 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , 在 ( 0 , 0 ) 处( ). (A)可微,偏导数连续 (B)可微,但偏导数不连续 (C)不可微,偏导数连续 (D)不可微,且偏导数不连续公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P309例13.17函数 第 151 页，共196页 f ( x , y ) =  x 0 y , s i n 1 y , y y  = 0 0 , 在 (0,0) 处( ). (A)可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 连续 (B)可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 不连续 (C)不可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 连续 (D)不可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 不连续 P309例13.18设函数 f ( x , y ) =  x 0 y , x x 2 2 − + y y 2 2 , x x 2 2 + + y y 2 2  = 0 0 , , 则( ) (A) f '' x y ( 0 , 0 ) = 1 , f ''y x ( 0 , 0 ) = 1 (B) f '' x y ( 0 , 0 ) = 1 , f ''y x ( 0 , 0 ) = − 1 (C) f'' (0,0)=−1, f'' (0,0)=1 (D) f'' (0,0)=−1, f'' (0,0)=−1 xy yx xy yx高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P310例13.19已知函数 第 152 页，共196页 f ( x , y ) 在点 (0,0) 处连续,且极限 l i m x → y → 0 0 f x (2 x + , y y )2 存在,证明: f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. P310例13.20设函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处具有连续偏导数,且 f 'x ( 0 , 0 ) = 1 , f 'y ( 0 , 0 ) = 2 , 求 l i m h → 0 f ( h , h ) − h f ( 0 , 0 ) .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P311例13.21设 第 153 页，共196页 ( x + a ( y x ) + d x y + 2 ) y d y 是某个二元函数的全微分,求 a 的值. P311例13.22设函数 z = f ( x , y ) z 1 满足 =siny+ ,且 x 1−xy z ( 1 , y ) = s i n y ,求 f (x,y)高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P312例13.23已知函数 第 154 页，共196页 f ( x , y ) 的偏导数在点 (x ,y ) 的某邻域内存在且有界,证明: 0 0 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续. P312例13.24设函数 f ( x , y ) 在 R 2 上连续,且 x 2 l i m2 y f ( x , y )   + → + = + ,证明:要么 x 2 l i m2 y f ( x , y )   + → + = + ,要么 x 2 l i m2 y f ( x , y )   + → + = − .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P313例13.27如果函数 第 155 页，共196页 f ( x , y ) 在点 (0,0) 处连续,那么下列命题正确的是( ). f (x,y) (A)若极限lim 存在,则 f (x,y) 在点 (0,0) 处可微 x→0 x + y y→0 (B)若极限 l i m x → y → 0 0 f x (2 x + , y y )2 存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微 (C)若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m x → y → 0 0 f x ( x + , y y ) 存在 (D)若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m x → y → 0 0 f x (2 x + , y y )2 存在 P314例13.28设 F ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有二阶连续偏导数,且 F ( x 0 , y 0 ) = 0 , F x ( x 0 , y 0 ) = 0 , F y ( x 0 , y 0 )  0 , F ''x x ( x 0 , y 0 )  0 .则由方程 F ( x , y ) = 0 确定 的隐函数 y = y ( x ) 在点 x = x 0 处( ) (A)取得极小值 (B)取得极大值 (C)不取得极值 (D)不能确定是否取得极值高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P314例13.29二元函数 第 156 页，共196页 f ( x , y ) 在点 (0,0) 处可微的一个充分条件是( ). (A) ( x l i m ) ,y → (0 ,0 )  f ( x , y ) − f ( 0 , 0 )  = 0 f (x,0)− f (0,0) (B)lim =0,且 x→0 x l i m y → 0 f ( 0 , y ) − y f ( 0 , 0 ) = 0 (C) ( x l i m ) ,y → (0 ,0 ) f ( x , y x ) 2 − + f y ( 2 0 , 0 ) = 0 (D)limf'(x,0)− f '(0,0) =0,且limf'(0,y)− f'(0,0)=0  x x   y y  x→0 y→0 P316例13.30设函数 f ( x , y ) =  x 0 ye x 2t d t ,则   2 x  f y (1 ,1 ) = _________.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P316例13.31设函数 第 157 页，共196页 f ( x ) 在  1 , )  + 上连续, f ( 1 ) = 1 ,且满足  x 1 y f ( t ) d t = x  y 1 f ( t ) d t + y  x 1 f ( t ) d t ( x  1 , y  1 ) . 求:(1) f ( x ) 的表达式; (2)由方程Fxex+y, f (xy) = x2 + y2确定的隐函数   y = y ( x ) 的导数 d d y x ,其中 F ( u , v ) 是 可微的二元函数. P317例13.32设函数 F ( a , b ) =  a a b b −1 ( a − b x ) f ( x ) d x , f ( x ) 可导,记 I 1 = F '' a b ( 1 , 1 ) , I 2 = F '' b a ( 1 , − 1 ) ,则( ). (A)I I (B) 1 2 I 1  I 2 (C) I 1 = I 2 (D) I 1 I 2  0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P318例13.33已知二元函数 第 158 页，共196页 z = f ( x , y ) 可微,两个偏增量  z = ( 2+3x2y2) x+3xy2(x)2 + y2(x)3 , z=2x3yy+x3(y)2 ,且 f (0,0)=1, x y 求 f ( x , y ) . P322例33.34设 f ( x ) =  sin x e c o sx 2t + x t d t ,求 f(0) . P322例13.35设 z = z ( x , y ) 是由方程 x z = l n z y 确定的二元隐函数,求全微分dz.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P323例13.36设函数 第 159 页，共196页 z = z ( x , y ) 由方程ez +xyz+x+cosx=2确定,求dz . (0,1) P323例13.37已知函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, f ( 1 , 1 ) = 2 是 f (u,v) 的极值, z = f [ x + y , f ( x , y ) ] ,求   x 2  z y (1 ,1 ) .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P323例13.38设 第 160 页，共196页 y = y ( x ) , z = z ( x ) 是由方程 z = x f ( x + y ) 和 F ( x , y , z ) = 0 所确定的函 数,其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,且 F 'y + x f F 'z  0 ,求 d d z x . P324例13.39设函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数连续,在点 ( 1 , 0 ) 的某邻域内有 f ( x , y ) = 1 − x − 2 y + o  ( x − 1 ) 2 + y 2  成立.记 z ( x , y ) = f ( e y , x + y ) ,则 d  z ( x , y )  (0 ,0 ) = __________.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P325例13.40设 第 161 页，共196页 z ( x , y ) = x 2 + x y y 2 , x y  0 z z ,则x + y =__________. x y P326例13.41请判断以下函数分别是几次齐次函数. f 1 = x + y , f 2 = x 2 + x y + y 2 , f 3 = A x 2 + 2 B x y + C y 2 , f 4 = x 2 + x y y 2 , f 5 = 1 x y .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P327例13.42设 第 162 页，共196页 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,证明 f ( x , y ) 为k次齐次函数的充要条件是 f f 满足:x + y =kf (x,y). x y P327例13.43设在上半平面 D = { ( x , y )∣ y  0 } 内,函数 f ( x , y ) 具有连续偏导数,且对任 意的 t  0 , 都有 f ( t x , t y ) = t − 2 f ( x , y ) .证明: y f ( x , y ) d x − x f ( x , y ) d y = 0 是全微分方程.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P329例13.44已知可微函数 第 163 页，共196页 f ( u , v ) f (u,v) f (u,v) 满足 + =ecosv(1−usinv)+u,且 u v f ( u , 0 ) = 1 2 ( u + e ) 2 .记 g ( x , y ) = f ( x , x − y ) . (1)计算  g (  x x , y ) ; (2)求 f ( x , y ) 的表达式. P330例13.45设 z = z ( x , y ) 有二阶连续偏导数,用变换 u = x − 2 y , v = x + a y 可把方程 6   2 x z 2 +   x 2  z y -   2 y z 2 = 0 简化为   u 2 z  v = 0 ,求常数 a .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P331例13.46设函数 第 164 页，共196页 u = f ( l n x 2 + y 2 ) 有二阶连续偏导数,且满足 1 2u 2u 3  f (xt)dt + = ( x2 + y2) 2,若极限lim 0 =−1,求函数 x2 y2 x→0 x f ( x ) 的表达式. P332例13.47设 f ( x , y ) 是一阶偏导数连续的正值函数,满足 f 'x ( x , y ) + f ( x , y ) = 0 ,若 f 'y ( 0 , y ) = t a n y , f ( 0 , 0 ) = 1 ,求 f ( x , y ) .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P336例13.48设 第 165 页，共196页 f ( x , y ) = x y ,则点 (0,0) ( ) (A)是驻点,也是极值点 (B)是驻点,不是极值点 (C)不是驻点,是极值点 (D)不是驻点,也不是极值点 P336例13.49求函数 f ( x , y ) = x 2 − 3 x 2 y + y 3 的驻点,并判断是否是极值点.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P336例13.50求函数 第 166 页，共196页 f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 x y 的极值和极值点. P337例13.51设 f ( x , y ) = ( y − x 2 ) ( y − 2 x 2 ) , k 为任意常数,则( ). (A) f (x,kx) 在 x = 0 处取极小值,点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极小值点 (B) f (x,kx) 在 x = 0 处取极小值,点 ( 0 , 0 ) 不是 f ( x , y ) 的极小值点 (C) f (x,kx) 在 x = 0 处不取极小值,点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极小值点 (D) f (x,kx) 在 x = 0 处不取极小值,点 ( 0 , 0 ) 不是 f ( x , y ) 的极小值点高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P338例13.52求 第 167 页，共196页 f ( x , y ) = ( 1 + e y ) c o s x − y e y 的极值点和极值. P338例13.53设 a  0 , b  0 ,函数 f ( x , y ) = 2 l n x + ( x − a 2 2 ) x 2 + b y 2 在x0时的极小值 为2,且 f ''y y ( − 1 , 0 ) = 1 . (1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x , y ) 在 x  0 时的极值.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P339例13.54设 第 168 页，共196页 u ( x , y ) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且 2u 2u 2u 0, =0,则 xy x2 y2 u ( x , y ) 的( ). (A)最大值点和最小值点必定都在 D 的内部 (B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上 (C)最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上 (D)最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上 P339例13.55设函数 f ( x , y ) 在平面区域D内连续,则以下四个命题: ①函数 f ( x , y ) 在其偏导数不存在的点也可能取到极值; ②若函数 f ( x , y ) 在 D 内存在唯一驻点,则 f ( x , y ) 在 D 内至多有1个极值点; ③若函数 f ( x , y ) 在 D 内有2个极值点,则其中之一必为极大值点,另一个必是极小值点; ④在驻点 ( x 0 , y 0 ) 处,若 f '' x x ( x 0 , y 0 ) f ''y y ( x 0 , y 0 ) −  f '' x y ( x 0 , y 0 )  2  0 ,则 ( x 0 , y 0 ) 不是极值 点. 正确命题的个数为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P340例13.56设 第 169 页，共196页 D  R 2 是有界闭区域,函数 f ( x , y ) 在 D 上连续,在D内可微,且满足方 程 f 'x ( x , y ) + f 'y ( x , y ) = k f ( x , y ) ( k  0 ) . 若在 D 的边界上 f ( x , y ) = 0 ,证明 f ( x , y ) 在 D上恒为零. P340例13.57设函数 f ( x , y ) 在 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1  上连续,在D内具有二阶连续偏 导数,且在 D 的内部满足  2 f  ( x x 2 , y ) +  2 f  ( y x 2 , y ) = f ( x , y ) . 若在 D 的边界上 f ( x , y )  0 ,证明: f ( x , y )  0 , ( x , y )  D .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P340例13.58设 第 170 页，共196页 f ( x ) 为二阶可导函数,且x=0是 f ( x ) 的驻点,则二元函数 z = f ( x ) f ( y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极大值的一个充分条件是( ). (A) f ( 0 )  0 , f  ( 0 )  0 (B) f ( 0 )  0 , f  ( 0 )  0 (C) f ( 0 )  0 , f  ( 0 )  0 (D) f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 )  0 P342例13.59设 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 均为可微函数,且 g 'y ( x , y )  0 .已知 ( x 0 , y 0 ) 是 f ( x , y ) 在约束条件 g ( x , y ) = 0 下的一个极值点,下列选项正确的是( ). (A)若 f 'x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,则 f 'y ( x 0 , y 0 ) = 0 (B)若 f 'x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,则 f 'y ( x 0 , y 0 )  0 (C)若 f 'x ( x 0 , y 0 )  0 ,则 f 'y ( x 0 , y 0 ) = 0 (D)若 f 'x ( x 0 , y 0 )  0 ,则 f 'y ( x 0 , y 0 )  0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P342例13.60已知 第 171 页，共196页 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 内切于 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  0 , b  0 ) ,求a,b的值使后者 面积 S 最小. P343例13.61求 u = x 2 + y 2 在约束条件 5 x 2 + 4 x y + 2 y 2 = 1 下的最大值与最小值.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学 P344例13.62已知函数 第 172 页，共196页 f ( x , y ) = 3 ( x 2 + y 2 ) − x 3 . (1)求函数 f ( x , y ) 的极值; (2)求 f ( x , y ) 在有界闭区域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1 6  上的最大值和最小值.高数强化18讲 · 14.二重积分 第十四讲二重积分 n n i P350例14.1lim =________. n→ (n+i)( n2 + j2) i=1 j=1 P362例14.2 第 173 页，共196页 60 d y 6y c o s x x d x     = _________. P362例14.3求  2 0 d y  2 y 1 y + x 3 d x .高数强化18讲 · 14.二重积分 P362例14.4求函数 第 174 页，共196页 f ( x ) =  xs 1 i n t 2 d t 在区间 0,1 的平均值. P363例14.5求 1 dy 1   ex2 −ey2  dx. 0 y  x   高数强化18讲 · 14.二重积分 P363例14.6设函数 第 175 页，共196页 f ( x , y ) 连续,则以下等式不成立的是( ). (A) 1 dx x2 f (x,y)dy = 1 dy 1 f (x,y)dx+ 0 dy 1 f (x,y)dx 0 −x 0 y −1 −y (B)  1 0 d x  0 2 x − x 2 f ( x , y ) d y +  2 1 d x  2 0 − x f ( x , y ) d y =  1 0 d y  2 − 1 − y 1 − y 2 f ( x , y ) d x   1 1 (C)3 d f (rcos,rsin)r dr = r dr3f (rcos,rsin)d 0 0 0 0  r (D)2 d 2cos f (rcos,rsin)r dr = 2 r dr arccos 2 f (rcos,rsin)d  r − 0 0 −arccos 2 2 P365例14.7已知 f ( x ) 具有三阶连续的导数,且 f ( 2 ) = − 1 2 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = f  ( 0 ) = − 1 , ,计算累次积分 I =  2 0 d x  x 0 ( 2 − x ) ( 2 − y ) f  ( y ) d y .高数强化18讲 · 14.二重积分 P365例14.8确定积分区域 第 176 页，共196页 D  y2  ,使得二重积分I = 1−x2 − dxdy达到最大值.  2  D P366例14.9设函数 f ( x ) 连续,且 1  f ( x )  2 , x   0 , 1  ,证明:  D f f (( x y )) d x d y  9 8 ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  .高数强化18讲 · 14.二重积分 P366例14.10已知函数 第 177 页，共196页 f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,且关于变量x和 y 的周期均为1,记 I =  1 − 1 d x  1 − 1 f ( x , y )   2 f  ( x x 2 , y ) +  2 f  ( y x 2 , y )  d y . (1)证明 I = −  D    f (  x x , y )  2 +   f (  x y , y )  2  d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ − 1  x  1 , − 1  y  1  ; (2)若I 0,证明 f (x,y) 是常函数. P370例14.11设 D  ( r , ) r 1 , r 2 c o s , s i n 0     = ∣    ,计算 D 2 x 1 2 d     − 高数强化18讲 · 14.二重积分 P370例14.12设 第 178 页，共196页 J i = D i 3 x − y d x d y ( i = 1 , 2 , 3 ) ,其中 D 2 =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  x  , D 3 =  ( x , y )∣ 0  x D  1 1 = , x  ( 2 x  , y y )∣  0 1   , x  1 , 0  y  1  , 则( ) (A)J  J  J (B) 1 2 3 J 3  J 1  J 2 (C) J 2  J 3  J 1 (D) J 2  J 1  J 3 P371例14.13设 D 是介于圆周 x 2 + y 2 = 4 与圆周(x+1)2 + y2 =1之间的部分,计算二重 积分I =_________ .高数强化18讲 · 14.二重积分 P372例14.14已知 第 179 页，共196页 f ( t ) D ( )t x 2 y 2 2t ( e x 2 y 2 k y 2 ) d  = ：  +  + − 在t(0,+) 内是单调增加函数, k 为常数,求 k 的取值范围. P373例14.15设 D =  ( x , y ) x + y  2  , f ( x , y ) =  x 2 , x 2 1 + y 2 , 1 x  + x y +  1 y ,  2 , 计算二 重积分 f (x,y)dxdy D高数强化18讲 · 14.二重积分 P374例14.16设 第 180 页，共196页 D ( r , ) 0 4 , 0 r s e c     =       ,则 D 1 ( x y ) 2 d    − − = _________. P375例14.17设平面有界区域 D 位于第一象限,由曲线 x 2 + y 2 − x y = 1 , x 2 + y 2 − x y = 2 与直线 y = 3 x , y = 0 围成,计算  D 3 x 2 1 + y 2 d x d y .高数强化18讲 · 14.二重积分 P376例14.18设函数 f (x,y) 具有连续偏导数,记D = (x,y)∣2  x2 + y2 1  .当  第 181 页，共196页 x 2 + y 2 = 1 时, f (x,y)=0, f (0,0)=a.记g(r,)= f (rcos,rsin) . g(r,) (1)计算r ; r (2)计算 l i m 0 D x f ( x x , y x ) 2 y y 2 f ( x y , y ) d x d y   → +     + +   . P378例14.19如图所示,平面区域 D 由直线x+ y=1,x+ y=2,y= x和y=2x围成,计算 二重积分  D ( x + y ) d x d y .高数强化18讲 · 14.二重积分 P378例14.20设 第 182 页，共196页 D =  ( x , y )∣ ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2  2 , y  x  ,计算二重积分  D ( x − y ) d x d y . P379例14.21设 a 0 , b 0 , ( a ) 0 x a 1 e x d x     =  + − − ,则  1 0 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x = _________.高数强化18讲 · 15.微分方程 第十五讲微分方程 P385例15.1微分方程 第 183 页，共196页 x + y y  = y − x y  的通解为__________. P385例15.2微分方程 d d y x = 2 2 x x − + 5 4 y y + − 3 6 满足 y ( 0 ) = 2 的特解为__________. P386例15.3设 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续且有水平渐近线y=b0,则( ). (A)当 a  0 时, y  + a y = f ( x ) 的任意解都满足 lx i m y ( x ) b a  → + = (B)当 a  0 时,y+ay= f (x) 的任意解都满足 lx i m y ( x ) a b  → + = (C)当 a  0 时, y  + a y = f ( x ) 的任意解都满足 lx i m y ( x ) b a  → + = (D)当a0时, y  + a y = f ( x ) a 的任意解都满足 lim y(x)= x→+ b高数强化18讲 · 15.微分方程 P387例15.4(仅数学一、数学二)设函数 第 184 页，共196页 y ( x ) 是微分方程 2 x y  − 4 y = 2 l n x − 1 满足条件 y ( 1 ) = 1 4 的解,求曲线 y = y ( x ) ( 1  x  e ) 的弧长. P388例15.5已知微分方程y+ y = f (x) ,其中 f (x) 是R上的连续函数. (1)若 f ( x ) = x ,求方程的通解; (2)若 f ( x ) 是周期为 T 的函数,证明:方程存在唯一的以T 为周期的解.高数强化18讲 · 15.微分方程 P389例15.6求解定解问题 第 185 页，共196页  y y y  + ( 0 (  0 2 )) x = = ( y 1 , 0 .  ) 2 = 0 , P390例15.7求解定解问题  y y y  + ( 0 (  0 2 ) ) x = = ( y 1 , −  1 2 ) 2 . = 0 , P390例15.8求解微分方程 y 2 y  − y  = 0 .高数强化18讲 · 15.微分方程 P391例15.9求解微分方程 第 186 页，共196页 x y y  + x ( y  ) 2 − y y  = 0 . P391例15.10微分方程 y  − y = s i n x 在 (−,+) 上有界的解为__________. P392例15.11设 y = y ( x ) 为可导函数,且满足y(0)=2及 d d y x + y ( x ) =  x 0 2 y ( t ) d t + e x ,则 y ( x ) = __________.高数强化18讲 · 15.微分方程 P393例15.12欧拉方程x2y+xy−4y =0满足条件y(1)=1,y(1)=2的解为 y = _________. P393例15.13以 第 187 页，共196页 y 1 = t e t , y 2 = s i n 2 t 为两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程为( ). (A) y (4 ) − 2 y  + 5 y  − 8 y  + 4 y = 0 (B) y (4 ) − 2 y  + 5 y  + 8 y  + 4 y = 0 (C) y (4 ) + 2 y  + 5 y  − 8 y  + 4 y = 0 (D) y (4 ) − 2 y  − 5 y  − 8 y  + 4 y = 0 P394例15.14求曲线 ( y − C 2 ) 2 = 4 C 1 x 满足的微分方程.高数强化18讲 · 15.微分方程 P394例15.15已知 第 188 页，共196页 y ( x ) = u ( x ) x + v ( x ) e x 是 ( x − 1 ) y  − x y  + y = ( x − 1 ) 2 的解,求该微分 方程的通解. P395例15.16求微分方程 y  + t a n y = c o x s y 的通解.高数强化18讲 · 15.微分方程 P395例15.17求下列各微分方程的通解. (1) 第 189 页，共196页 y + x y  = y ( l n x + l n y ) ; (2)y+1=e−ysinx. P396例15.18求微分方程 x y  = y  ( l n y  − l n x ) 的通解.高数强化18讲 · 15.微分方程 P396例15.19用变量代换 第 190 页，共196页 x c o s t ( 0 t )  =   化简微分方程 ( 1 − x 2 ) y  − x y  + y = 0 并求其满足 y x = 0 = 1 , y  x = 0 = 2 的特解. P397例15.20以 u = y x 变换方程x2y+ ( x2 −2x ) y+ ( 2−x−2x2) y =10x3,并求其通解.高数强化18讲 · 15.微分方程 P400例15.21设 第 191 页，共196页 f ( x ) 在 ( 1 , )  − + 上具有连续的一阶导数,且满足 f ( 0 ) = 1 及 f  ( x ) + f ( x ) − x 1 + 1  x 0 f ( t ) d t = 0 . 求 f  ( x ) ,并证明:当 x  0 时,有 e − x  f ( x )  1 . P401例15.22已知 f ( x y ) = y f ( x ) + x f ( y ) 对任意正实数 x , y 均成立,且 f  ( 1 ) = e ,求 f ( x y ) 的极小值.高数强化18讲 · 15.微分方程 P403例15.23(仅数学一、数学二)求一条凹曲线 第 192 页，共196页 y = y ( x ) ( x  1 ) 的表达式,已知其上任一 点处的曲率 k 2 y 2 1 c o s  = ,其中为该曲线在相应点处的切线的倾角, c o s 0   .并设曲线 在点 (3,2) 处的切线的倾角为45 .高数强化18讲 · 15.微分方程 P404例15.24(仅数学一、数学二)设 第 193 页，共196页 y = f ( x ) 是区间  0 , )  + 上具有连续导数的单调增加 函数,且 f ( 0 ) = 1 .对任意的 t  0 , )   + ,直线 x = 0 , x = t ,曲线 f ( x ) 以及 x 轴所围成的曲 边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求 函数 y = f ( x ) 的表达式.高数强化18讲 · 15.微分方程 P405例15.26(仅数学一、数学二)现有容量为 第 194 页，共196页 1 0 0 0 0 m 3 的污水处理池,开始时池中全部是 清水,现有含污染物的质量浓度为 1 3 k g / m 3 的污水流经该处理池,流速为 5 0 m 3 / m i n ,已 知该处理池每分钟处理2%的污染物,求: (1)任意时刻 t ,池中污染物总质量 y ( t ) 的表达式; 1 (2)经过多长时间,从池中流出的污染物的质量浓度为 kg/m3. 30高数强化18讲 · 15.微分方程 P406例15.27在 第 195 页，共196页 x O y 平面上,设 P Q = 1 ,初始时刻 P 在原点, Q 在 ( 1 , 0 ) 点,若P点沿着 y 轴的正方向移动,且Q点的运动方向始终指向P点,求Q点的运动轨迹.高数强化18讲 · 15.微分方程 P407例15.28(仅数学一、数学二)设位于坐标原点的甲追踪位于x轴上点 第 196 页，共196页 A ( 1 , 0 ) 处的乙, 甲始终对准乙.已知乙以匀速v 沿平行于 0 y 轴正向的方向前进,甲的速度是kv ,k 0,设甲 0 追踪乙的曲线方程是 y = y ( x ) . (1)证明 y = y ( x ) 满足方程 k ( 1 − x ) y  = 1 + ( y  ) 2 ,且 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 0 ; (2)k为何值时,甲可追上乙,并求出甲追上乙时的坐标.