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专题21 指对幂函数（2020-2022年真题练）
一、单选题
1．（2022·北京·高考真题）己知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对选项 ，则有： ，对选项 ，则有： ，
对选项 ，定义域为： ，对选项 ，则有： ，故答案选：
3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态【解析】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面， 时对应的是非超临界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
4．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【解析】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
5．（2022·全国·高考真题（文））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 可得 ，而 ，
所以 ，即 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 ．综上， ．故选：A.
6．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，因为 ，当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，故选：C.
7．（2021·湖南·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得： ，解得： ，
所以函数 的定义域为 ，故选：B.
8．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【解析】由 ，当 时， ，则 .故选：C.
9．（2021·天津·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【解析】 ， ，
.故选：C.
10．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ， ， ，
， ， .故选：D.
11．（2021·天津·高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.故选：B.
12．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，即 .故选：C.13．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符
合题意．
故选：C．
14．（2021·全国·高考真题（理））设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ,
所以 ;下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当0<x<2时， ,即 , ,
所以 在 上单调递增，所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 , ,
由于 ，在x>0时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b<c;
综上， ,故选：B.
15．（2020·山东·高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题知： ，解得 且 .所以函数定义域为 .故选：B
16．（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数在
上的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，所以 在 上递减，
是偶函数，所以 在 上递增.注意到 ，所以B选项符合.故选：B
17．（2020·海南·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【解析】由 得 或 ，所以 的定义域为
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增
所以 ，故选：D
18．（2020·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ， ， ，
所以 .故选：D.
19．（2020·全国·高考真题（文））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由 可得 ，所以 ，所以有 ，故选：B.
20．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 得： ，令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数， ，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.
21．（2020·全国·高考真题（文））设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【解析】因为 ， ，
所以 .故选：A.
22．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根
据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其
中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .故选：C.
23．（2020·全国·高考真题（理））设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
24．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【解析】由题意可知 、 、 ，
， ；由 ，得 ，
由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .故选：A.
二、填空题
25．（2022·上海·高考真题）已知函数 的反函数为 ，则 ________
【解析】由 可得 ，故 ，因此， .
26．（2020·山东·高考真题）若 ，则实数 的值是______.
【解析】 ，即 ，解得： .
故答案为：
27．（2020·北京·高考真题）函数 的定义域是____________．
【解析】由题意得 ， ，故答案为：28．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【解析】 ，因为 为奇函数，所以
三、双空题
29．（2022·全国·高考真题（文））若 是奇函数，则 _____， ______．
【解析】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
四、解答题
30．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）函数 的图象如图所示：（2） ，
当 时， ，可得： ，
当 ， ，可得： ，
所以 的解集为： ，
所以 的取值范围为 .
