25李良《高数真题切片讲义》+《强化冲刺一体班》_考研_数学_06.李良_25李良《高数真题切片讲义》+《强化冲刺一体班》

关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 李良高数真题切片讲义 强化冲刺一体班关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第一章 函数、极限、连续 题型——极限的概念与性质 1.【03，数1，8题】【03，数2，7题】设{a },{b },{c }均为非负数列，且 n n n lima 0,limb 1,limc ∞,则必有 （ ） n n n n∞ n∞ n∞ （A）a b 对任意n成立. （B）b c 对任意n成立. n n n n （C）极限lima c 不存在. （D）极限limb c 不存在. n n n n n∞ n∞ | x | sin(x  2) 2.【04，数3，7题】函数 f(x)  在下列哪个区间内有界 （ ） x(x 1)(x  2)2 （A）(1,0). （B）(0,1). （C）(1,2). （D）(2,3). 2关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型——计算函数极限 1 1.【03，数1，1题】lim(cosx) ln(1x2)  ． x0 1  2cosx x  2.【04，数2，15题】求极限lim   1. x0 x3   3    1 cos2 x  3.【04，数3，15题】求lim  . x0 sin2 x x2  2x 4.【05，数3，1题】极限lim xsin  ． x x2 1 3关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学  1x 1 5.【05，数3，15题】求lim  . x01ex x xln(1x) 6.【06，数1，1题】lim  ． x0 1cosx πx 1 ysin y y 7.【06，数3，15题】设 f(x,y)  , x0,y 0.求： 1xy arctanx （Ⅰ）g(x) lim f(x,y)； y∞ （Ⅱ）lim g(x). x0 4关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 arctanxsinx 8.【07，数2，11题】lim  ． x0 x3 x3 x2 1 9.【07，数3，11题】 lim (sin xcos x)  ． x∞ 2x x3 1 sinx 10.【08，数3，15题】计算lim ln . x0 x2 x [sinxsin(sinx)]sinx 11.【08，数1，15题】【08，数2，15题】求极限lim . x0 x4 (1cosx)[xln(1tanx)] 12.【09，数2，15题】求极限lim . x0 sin4 x 5公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 eecosx 13.【09，数3，9题】lim  ． x0 31x2 1 x  x2  14.【10，数1，1题】极限lim   x∞(xa)(xb) （ ） （A）1. （B）e. （C）eab. （D）eba. x 15.【10，数3，4题】设 f(x)ln10 x，g(x)x，h(x)e10 ，则当x充分大时有 （ ） （A）g(x)h(x) f(x). （B）h(x)g(x) f(x). （C） f(x)g(x)h(x). （D）g(x) f(x)h(x). 6关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 1 16.【10，数3，15题】求极限 lim(xx 1)lnx. x∞ 1 ln(1x)ex1 17.【11，数1，15题】求极限lim   . x0 x  1 12x x 18.【11，数2，9题】lim   ． x0 2  7关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 12sinxx1 19.【11，数3，15题】求极限lim . x0 xln  1x  1 20.【12，数3，9题】lim(tanx)cosxsinx  ． π x 4 8关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ex2 e22cosx 21.【12，数3，15题】求极限lim . x0 x4 1  ln(1x)x 22.【13，数2，9题】lim  2   ． x0 x  9关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型——函数极限的逆问题 sinx 1.【04，数3，1题】设lim (cosxb)5，则a  ，b  ． x0 ex a 1 1   2.【10，数3，1题】若lim    aex  1，则a等于 （ ） x0x  x   （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 10公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 xarctanx 3.【13，数1，1题】已知极限lim c，其中k ，c为常数，且c 0，则（ ） x0 xk 1 1 （A）k 2，c . （B）k 2，c . 2 2 1 1 （C）k 3，c . （D）k 3，c . 3 3 题型——无穷小的比较 1.【02，数1，11题】设函数 f(x)在x 0的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0, f(0)0，若af(h)bf(2h) f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定 a,b的值. 11关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 2【. 03，数2，1题】若x 0时，(1ax2)4 1与xsinx是等价无穷小，则a  ． 3.【05，数 2，5题】当x 0时，(x)  kx2与(x)  1 xarcsinx  cosx 是等价 无穷小，则k  ． 12关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【07，数1，1题】【07，数2，1题】【07，数3，1题】当x0时，与 x 等价的无穷 小量是 （ ） 1x （A）1e x . （B）ln . 1 x （C） 1 x 1. （D）1cos x . 1x 1 5.【12，数2，15题】已知函数 f(x)  ，记alim f(x)， sinx x x0 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若当x0时， f(x)a与xk是同阶无穷小量，求常数k 的值． 13关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 π 6.【13，数2，1题】设cosx1 xsin(x)，其中(x)  ，则当x0时，(x)是 2 （ ） （A）比x高阶的无穷小量. （B）比x低阶的无穷小量. （C）与x同阶但不等价的无穷小量. （D）与x等价的无穷小量. 7.【13，数3，1题】当x0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小量，则下列式子中错 误的是 （ ） （A）xo(x2)o(x3). （B）o(x)o(x2) o(x3). （C）o(x2)o(x2) o(x2) . （D）o(x)o(x2) o(x2) . 14关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 8.【13，数2，15题】【13，数3，15题】当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn为等 价无穷小量，求n与a的值. 题型——计算数列极限 n 1 n2na1 1.【02，数3，1题】设常数a ，则limln   ． 2 n∞  n(12a)  15关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 n1 (1)n 2.【06，数3，1题】lim   ． n∞ n  题型——单调有界原理 1.【02，数2，16题】设0 x 3,x  x (3 x )(n 1,2,L) ，证明数列 x 的极限 1 n1 n n n 存在，并求此极限. 16关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2【. 06，数1，16题】【06，数2，18题】设数列{x }满足0 x π，x sinx (n 1,2,L). n 1 n1 n （Ⅰ）证明limx 存在，并求该极限； n n∞ 1  x x2 （Ⅱ）计算lim n1 n . n∞ x  n 3.【08，数1，4题】【08，数2，5题】设函数 f(x)在(∞,∞)内单调有界，{x }为数列， n 下列命题正确的是 （ ） （A）若{x }收敛，则{f (x )}收敛. （B）若{x }单调，则{f (x )}收敛. n n n n （C）若{f (x )}收敛，则{x }收敛. （D）若{f (x )}单调，则{x }收敛. n n n n 17关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【12，数2，3题】设a 0(n1,2,3L)，S a a a La ，则数列 S 有界 n n 1 2 3 n n 是数列 a 收敛的 （ ） n （A）充分必要条件. （B）充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）既非充分也非必要条件. 5.【12，数2，21题】 1  （Ⅰ）证明方程xn  xn1L x 1（n为大于1的整数）在区间  ,1 内有且仅有一 2  个实根； （Ⅱ）记（I）中的实根为x ，证明limx 存在，并求此极限． n n n 18关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 6.【13，数2，20题】设函数 f(x)lnx . x （Ⅰ）求 f(x)的最小值； 1 （Ⅱ）设数列{x }满足lnx  1.证明limx 存在，并求此极限. n n x n n n1 题型——函数在一点处的连续与间断 1etanx  , x 0  x 1.【02，数2，1题】设函数 f(x)arcsin 在x0处连续，则a  ． 2  ae2x, x 0 19关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学   ln(1ax3)  , x0, xarcsinx  2【. 03，数2，13题】设函数 f(x)6, x0,问a为何值时，f(x)在x 0  eax x2 ax1  , x0.  x xsin   4 处连续；a为何值时，x 0是 f(x)的可去间断点？ 1 1 1 1 3【. 03，数3，13题】设 f(x)   ,x[ ,1) ，试补充定义 f(1)使得 f(x) πx sinπx π(1x) 2 1 在x[ ,1]上连续. 2 20公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 (n1)x 4.【04，数2，1题】设 f(x) lim ，则 f(x)的间断点为x  ． n∞ nx2 1  1 f( ), x0, 5【. 04，数3，8题】设 f(x)在(∞,∞)内有定义，且lim f(x)  a，g(x) x x∞  0, x0, 则 （ ） （A）x 0必是g(x)的第一类间断点. （B）x 0必是g(x)的第二类间断点. （C）x 0必是g(x)的连续点. （D）g(x)在点x 0处的连续性与a的取值有关. 21关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 6.【05，数2，12题】设函数 f(x) ，则 （ ） x ex1 1 （A）x0，x 1都是 f(x)的第一类间断点. （B）x0，x 1都是 f(x)的第二类间断点. （C）x0是 f(x)的第一类间断点，x 1是 f(x)的第二类间断点. （D）x0是 f(x)的第二类间断点，x 1是 f(x)的第一类间断点.  1 x   sint2dt, x0, 7【. 06，数2，2题】设函数 f(x)x3 0 在x 0处连续，则a  ．  a, x0 22关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 (ex e)tanx 8.【07，数2，2题】函数 f(x) 在π,π 上的第一类间断点是x  （ ） 1 x(ex e) π π （A）0. （B）1. （C） . （D） . 2 2 ln x 9.【08，数2，4题】设函数 f(x) sinx，则 f(x)有 （ ） x1 （A）有1个可去间断点，1个跳跃间断点. （B）有1个可去间断点，1个无穷间断点. （C）有两个无穷间断点. （D）有两个跳跃间断点. 23关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1cos[xf(x)] 10【. 08，数2，9题】已知函数 f(x)连续，且lim 1，则 f(0) ． x0 (ex2 1)f(x) x2 1, x c,  11【. 08，数3，9题】设函数 f(x) 2 在(∞,∞)内连续，则c ． , x c  x  xx3 12.【09，数2，1题】【09，数3，1题】函数 f(x) 的可去间断点的个数为 （ ） sinπx （A）1. （B）2. （C）3. （D）无穷多个. 24关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x2 x 1 13.【10，数2，1题】函数 f  x  1 的无穷间断点的个数为 （ ） x2 1 x2 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. x x 1 14.【13，数3，2题】函数 f(x) 的可去间断点的个数为 （ ） x(x1)ln x （A）0. （B）1. （C）2. （D） 3. 25关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第二章 一元函数微分学 题型1——导数的定义 1.【04，数1，8题】【04，数2，10题】设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在0， 使得 （ ） （A） f(x)在(0,)内单调增加. （B） f(x)在(,0)内单调减小. （C）对任意的x(0,)有 f(x) f(0). （D）对任意的x(,0)有 f(x) f(0). 2【. 04，数2，16题】设函数 f(x)在(∞,∞)内有定义，在区间[0,2]上，f(x) x(x2 4)， 若对任意的x都满足 f(x)kf(x2)，其中k为常数. （Ⅰ）写出 f(x)在[2,0)上的表达式； （Ⅱ）问k 为何值时， f(x)在x 0处可导. 26关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【04，数3，11题】设 f(x)在[a,b]上连续，且 f(a)  0， f(b)  0，则下列结论中 错误的是 （ ） （A）至少存在一点x (a,b)，使得 f(x )  f(a). 0 0 （B）至少存在一点x (a,b)，使得 f(x )  f(b). 0 0 （C）至少存在一点x (a,b)，使得 f(x )  0. 0 0 （D）至少存在一点x (a,b)，使得 f(x )  0. 0 0 f(x) 4.【03，数3，7题】设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数g(x) x （ ） （A）在x 0处左极限不存在. （B）有跳跃间断点x 0. （C）在x 0处右极限不存在. （D）有可去间断点x 0. 5.【05，数1，7题】【05，数2，7题】设函数 f(x)limn1 x 3n ，则 f(x)在(∞,∞) n∞ 内（ ） （A）处处可导. （B）恰有一个不可导点. （C）恰有两个不可导点. （D）至少有三个不可导点. 27关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 f(h2) 6.【06，数3，8题】设函数 f(x)在x  0处连续，且lim 1，则 （ ） h0 h2 （A） f(0)0且 f(0)存在. （B） f(0)1且 f(0)存在.   （C） f(0)0且 f(0)存在. （D） f(0)1且 f(0)存在.   7.【07，数1，4题】【07，数2，4题】【07，数3，2题】设函数 f(x)在x 0连续，则下 列命题错误的是 （ ） f(x) （A）若lim 存在，则 f(0)0. x0 x f(x) f(x) （B）若lim 存在，则 f(0)0. x0 x f(x) （C）若lim 存在，则 f(0)存在. x0 x f(x) f(x) （D）若lim 存在，则 f(0)存在. x0 x 8.【11，数 2，2题】【11，数3，2题】已知函数 f(x)在x 0处可导，且 f(0)0，则 x2f(x)2f(x3) lim  （ ） x0 x3 （A）2f(0). （B）f(0). （C） f(0). （D）0. 28关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 9【. 12，数1，2题】【12，数2，2题】【12，数3，2题】设函数 f(x)(ex 1)(e2x 2)L(enx n)， 其中n为正整数，则 f(0) （ ） （A）(1)n1(n1)!. （B）(1)n(n1)!. （C）(1)n1n!. （D）(1)nn!. 题型2——导数的计算 1.【02，数 1，2 题】已知函数 y y(x) 由方程 ey 6xyx2 10 确定，则 y(0) ． x y  x  x 2.【03，数2，9题】已知 y  是微分方程y    的解，则   的表达式为 lnx x  y  y （ ） y2 y2 x2 x2 （A） . （B） . （C） . （D） . x2 x2 y2 y2 29关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学  1 xcos , x 0, 3.【03，数3，1题】设 f(x) x 其导函数在x 0处连续，则的取值范  0, x0. 围是 ． 4.【06，数2，9题】设函数g(x)可微，h(x)e1gx ，h(1)1，g(1)2，则g(1)等于 （ ） （A）ln31. （B）ln31. （C）ln21. （D）ln21. dy 5.【06，数2，5题】设函数 y y(x)由方程y 1xey确定，则  ． dx x0 30公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 6.【09，数2，12题】设 y y(x)是由方程xyey  x1确定的隐函数，则 d2y  ． dx2 x0 7.【11，数2，3题】函数 f(x)ln (x1)(x2)(x3) 的驻点个数为 （ ） （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. x 8.【11，数3，9题】设 f(x)limx  13t  t ，则 f(x) ． t0 31关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 9.【12，数2，9题】设 y  y(x)是由方程x2  y1ey所确定的隐函数，则 d2y  ． dx2 x0 ln x, x1, dy 10【. 12，数3，10题】设函数 f(x) y  f[f(x)]，则  ． 2x1, x1. dx xe 11.【13，数 2，2 题】设函数 y  f (x) 由方程 cos(xy)ln y x 1 确定，则  2  limn  f   1   （ ） n  n  （A）2. （B）1. （C）1. （D）2. 32关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x 12【. 13，数2，10题】设函数 f(x)  1etdt，则y  f (x)的反函数x f 1(y)在 y 0 1 dx 处的导数  ． dy y0 题型3——高阶导数 1.【06，数3，2题】设函数 f(x)在x 2的某邻域内可导，且 f(x)ef(x), f(2)1,则 f(2) ． 1 2.【07，数2，13题】【07，数3，12题】设函数 y  ，则 y(n)(0) ． 2x3 33关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【10，数2，11题】函数 y ln(12x)在x0处的n阶导数 y(n)(0) ． 题型4——曲线的切线与法线方程 1.【03，数2，2题】设函数y  f(x)由方程xy2lnx  y4所确定，则曲线 y  f(x)在 点(1,1)处的切线方程是 ． 2.【03，数3，2题】已知曲线 y  x33a2xb与x轴相切，则b2可以通过a表示为 b2  ． 34关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【04，数1，1题】曲线 y lnx上与直线x y1垂直的切线方程为 ． 4.【08，数1，10题】【08，数2，11题】曲线sin(xy)ln(yx) x在点(0,1)处的切线方 程为 ． 5.【10，数2，3题】曲线 y x2与曲线 y alnx(a 0)相切，则a （ ） （A）4e. （B）3e. （C）2e. （D）e. 35关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学   6.【11，数3，11题】曲线tan x y  ey在点(0,0)处的切线方程为 ．  4 7.【13，数 3，9 题】设曲线 y  f(x) 与 y  x2 x 在点 (1,0) 处有公共切线，则  n  limnf    ． n n2 题型5——参数方程求导  xt33t1, 1.【04，数2，2题】设函数y(x)由参数方程 确定，则曲线y y(x)向上凸 y t33t1 的x的取值范围为 ． 36关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 π 2.【02，数2，11题】已知曲线的极坐标方程是r 1cos，求该曲线上对应于 处 6 的切线与法线的直角坐标方程． x12t2,  d2y 3.【03，数2，14题】设函数 y y(x)由参数方程 y  12lnteu du (t 1)所确定，求 dx2 .  1 u x9 xcostcos2t, π 4【. 07，数2，12题】曲线 上对应于t  的点处的法线斜率为 ． y 1sint 4 37关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学  x t2 2t, 5【. 05，数2，9题】设函数y y(x)由参数方程 确定，则曲线y y(x)在x3 y ln(1t) 处的法线与x轴交点的横坐标是 （ ） 1 1 （A） ln23. （B） ln23. 8 8 （C）8ln23. （D）8ln23. xt2 1, 6.【06，数2，21题】已知曲线L的方程 (t 0). y 4tt2 （Ⅰ）讨论L的凹凸性； （Ⅱ）过点(1,0)引L的切线，求切点(x ,y )，并写出切线的方程； 0 0 （Ⅲ）求此切线与L（对应于x x 的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. 0 38关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学  x  1t eu2 du 7.【09，数2，9题】曲线 0 在点(0,0)处的切线方程为 ．  y t2ln(2t2) xet,  d2y 8.【10，数1，9题】设 则  ． y   t ln  1u2  du, dx2  t0 0  1 1 x t3t ,   3 3 9.【11，数2，16题】设函数y y(x)由参数方程 确定，求 y y(x)的极 1 1  y  t3t  3 3 值和曲线 y y(x)的凹凸区间及拐点. 39关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 xsint, d2y 10.【13，数1，11题】设 （t为参数），则  ． y tsintcost dx2 π t 4 xarctant,  11.【13，数2，12题】曲线 上对应于t 1的点处的法线方程为 ． yln 1t2 题型6——变化率问题 1.【10，数2，13题】已知一个长方形的长l以2cm s的速率增加，宽w以3cm s的速率 增加.则当l 12cm,w5cm时，它的对角线增加的速率为 ． 40公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型7——微分的概念与计算 1【. 02，数2，6题】设函数 f(u)可导，y  f (x2)，当自变量x在x 1处取得增量x 0.1 时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则 f(1) （ ） （A）1. （B）0.1. （C）1. （D）0.5. 2.【05，数2，1题】设 y (1sinx)x，则dy  ． xπ 41关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【06，数1，7题】【06，数2，7题】【06，数3，7题】设函数 y  f(x)具有二阶导数， 且 f(x)0， f(x)0，x为自变量x在x 处的增量，y与dy分别为 f(x)在点x 处 0 0 对应的增量与微分，若x 0，则 （ ） （A）0dyy. （B）0ydy. （C）ydy0. （D）dyy0. 题型8——罗尔中值定理 1【. 03，数3，18题】设函数 f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且 f(0) f(1) f(2)3， f(3)1. 试证：必存在(0,3)，使 f()  0. 42关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【07，数1，19题】【07，数2，21题】【07，数3，19题】设函数 f(x)，g(x)在 [a,b] 上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又 f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明： 存在(a,b),使得 f() g(). 3.【08，数2，1题】设 f(x) x2(x1)(x2)，则 f(x)的零点个数为 （ ） （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 4【. 13，数1，18题】【13，数2，18题】设奇函数 f(x)在[1,1]上具有2阶导数，且 f (1)1， 证明： （Ⅰ）存在(0,1)，使得 f() 1； （Ⅱ）存在(1,1)，使得 f() f() 1. 43关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型9——拉格朗日中值定理 1.【02，数1，8题】【02，数2，9题】设函数y  f (x)在(0,∞)内有界且可导，则（ ） （A）当 lim f(x)0时，必有 lim f(x)0. x∞ x∞ （B）当 lim f(x)存在时，必有 lim f(x)0. x∞ x∞ （C）当lim f(x)0时，必有lim f(x)0. x0 x0 （D）当 lim f(x)存在时，必有 lim f(x)0. x0 x0 2【. 02，数3，6题】设函数 f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，则（ ） （A）当 f(a)f(b)0时，存在(a,b)，使 f()0. （B）对任何(a,b)，有lim[f(x) f()]0. x （C）当 f(a) f(b)时，存在(a,b)，使 f()0. （D）存在(a,b)，使 f(b) f(a) f()(ba). 44关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【05，数1，18题】【05，数2，19题】已知函数 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 且 f(0)0, f(1)1. 证明： （Ⅰ）存在(0,1)，使得 f()1； （Ⅱ）存在两个不同的点,(0,1)，使得 f()f()1. 4.【05，数3，11题】以下四个命题中，正确的是 （ ） （A）若 f(x)在(0,1)内连续，则 f(x)在(0,1)内有界. （B）若 f(x)在(0,1)内连续，则 f(x)在(0,1)内有界. （C）若 f(x)在(0,1)内有界，则 f(x)在(0,1)内有界. （D）若 f(x)在(0,1)内有界，则 f(x)在(0,1)内有界. 45关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 5.【09，数1，18题】【09，数2，21题】【09，数3，18题】 （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在 (a,b)，使得 f(b) f(a) f()(ba). （Ⅱ）证明：若函数 f(x)在x 0处连续，在(0,δ)(δ 0)内可导，且lim f(x) A， x0 则 f(0)存在，且 f(0) A.   6【. 10，数2，21题】设函数 f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且 f (0)  0， 1  1 1  f(1)  . 证明：存在 0,  ,  ,1 ,使得 f() f()22. 3  2 2  46关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 7.【13，数3，19题】设函数 f(x)在[0,)上可导，且 f (0)  0，且 lim f(x) 2，证 x 明： （Ⅰ）存在a 0，使得 f(a) 1； 1 （Ⅱ）对（Ⅰ）中的a，存在(0,a)，使得 f() . a 8.【2007，数1，5题】【2007，数2，6题】 设函数 f(x)在(0,∞)上具有二阶导数，且 f(x)0，令u  f(n)(n 1,2,L)，则下列 n 结论正确的是 （ ） （A）若u u ，则 u 必收敛. （B）若u u ，则 u 必发散. 1 2 n 1 2 n （C）若u u ，则 u 必收敛. （D）若u u ，则 u 必发散. 1 2 n 1 2 n 47关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 9.【2001，数1，15题】设 y  f(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且 f(x)  0,试证： （I）对于(1,1)内的任意x0，存在唯一的(x)(0,1)，使 f(x) f(0)xf(x)x  成立； 1 （II）lim(x) . x0 2 题型10——柯西中值定理 1【. 03，数2，20题】设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 f(x) 0. f(2xa) 若极限 lim 存在，证明： xa xa （Ⅰ）在(a,b)内 f(x)0； b2 a2 2 （Ⅱ）在(a,b)内存在点，使  ；  b f(x)dx f() a 2 b （Ⅲ）在(a,b)内存在与（Ⅱ）中相异的点，使 f()(b2 a2)  f(x)dx . a a 48关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型11——泰勒定理 1.【02，数2，18题】设函数 f(x)在x0的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0, f(0)0, f(0)0.证明：存在唯一的一组实数,,，使得当h0时， 1 2 3 f(h)f(2h)f(3h) f(0)是比h2高阶的无穷小. 1 2 3 2.【03，数2，3题】 y  2x的麦克劳林公式中xn项的系数是 ． 3.【06，数2，15题】试确定常数 A,B,C的值，使得ex(1BxCx2)1Axo(x3)， 其中o(x3)是当x 0时比x3高阶的无穷小. 49关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【09，数1，1题】【09，数2，2题】【09，数3，2题】当x0时， f(x) xsinax与 g(x) x2ln(1bx)是等价无穷小，则 （ ） 1 1 （A）a1，b . （B）a1，b . 6 6 1 1 （C）a 1，b . （D）a 1，b . 6 6 5.【11，数2，1题】【11，数3，1题】已知当x0时， f(x)3sinxsin3x与cxk 是 等价无穷小，则 （ ） （A）k 1, c4. （B）k 1, c4. （C）k 3, c  4. （D）k 3, c4. 50公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 6.【96，卷1，七】设 f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件 f(x) „ a， f(x) „ b， 其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任一点， （Ⅰ）写出 f(x)在点xc处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； b （Ⅱ）证明 f(x) „ 2a . 2 题型12——求函数的单调区间与极值 1.【03，数1，7题】【03，数2，10题】设函数 f(x)在(∞,∞)内连续，其导函数的图 形如图所示，则 f(x)有 （ ） （A）一个极小值点和两个极大值点. （B）两个极小值点和一个极大值点. （C）两个极小值点和两个极大值点. （D）三个极小值点和一个极大值点. 51关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【05，数3，10题】设 f(x)  xsin x  cosx，下列命题中正确的是 （ ）  π （A） f(0)是极大值， f 是极小值.  2  π （B） f(0)是极小值， f 是极大值.  2  π （C） f(0)是极大值， f 也是极大值.  2  π （D） f(0)是极小值， f 也是极小值.  2 3.【10，数1，16题】【10，数2，15题】求函数 f(x)  x2 (x2 t)et2 dt的单调区间与极 1 值. 4.【10，数3，3题】设函数 f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x)0，若g(x )a是g(x) 0 的极值，则 f[g(x)]在x 取极大值的一个充分条件是 （ ） 0 52关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 （A） f(a)0. （B） f(a)0. （C） f(a)0. （D） f(a)0. 5.【1998，数2，9题】设函数 f(x)在x a的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存 在0，当x(a,a)时，必有 （ ） （A）(xa)[f(x) f(a)] 0. （B）(xa)[f(x) f(a)] „ 0. f(t) f(x) f(t) f(x) （C）lim 0(xa) . （D）lim „ 0(xa) . ta (tx)2 ta (tx)2 f(x) 6.【2001，数3，6题】设函数 f(x)的导数在xa处连续，又lim  1,则（ ） xa xa （A）xa是 f(x)的极小值点. 53关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 （B）xa是 f(x)的极大值点. （C）(a, f(a))是曲线y f(x)的拐点. （D）xa不是 f(x)的极值点，(a, f(a))也不是曲线y f(x)的拐点. 7. 【96，卷3，六】设函数 y y(x)由方程2y3 2y2 2xyx2 1所确定，试求 y y(x) 的驻点，并判别它是否为极值点. 题型13——函数曲线的凹凸区间与拐点 1.【04，数2，8题】【04，数3，9题】设 f(x) x(1x) ，则 （ ） （A）x 0是 f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y  f(x)的拐点. （B）x 0不是 f(x)的极值点，但(0,0)是曲线 y  f(x)的拐点. 54关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 （C）x 0是 f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y  f(x)的拐点. （D）x 0不是 f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y  f(x)的拐点. 2.【07，数3，17题】设函数y  y(x)由方程 yln yx y 0确定，试判断曲线 y  y(x) 在点(1,1)附近的凹凸性. 2 3.【08，数2，12题】曲线 y (x5)x3的拐点坐标为 ． 4.【10，数3，12题】若曲线 y x3ax2bx1有拐点(1,0)，则b ． 55关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 5.【11，数1，1题】曲线 y (x1)(x2)2(x3)3(x4)4的拐点是 （ ） （A）(1,0). （B）(2,0). （C）(3,0). （D）(4,0). 题型14——一元函数的最值问题 1.【09，数2，13题】函数y  x2x在区间(0,1]上的最小值为 ． 1 2.【92，卷5，九】给定曲线 y  . x2 （Ⅰ）求曲线在横坐标为x 的点处的切线方程； 0 （Ⅱ）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度. 56关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型15——求曲线的渐近线 x2 1.【05，数1，1题】曲线y  的斜渐近线方程为 ． 2x1 3 (1 x)2 2.【05，数2，2题】曲线 y  的斜渐近线方程为 ． x x4sinx 3.【06，数2，1题】曲线 y 的水平渐近线方程为 ． 5x2cosx 57关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 4.【07，数1，2题】【07，数2，5题】【07，数3，6题】曲线 y  ln(1ex)渐近线的 x 条数为 （ ） （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 2x3 5.【10，数2，10题】曲线 y  的渐近线方程为 ． x2 1 x2 x 6.【12，数1，1题】【12，数2，1题】【12，数3，1题】曲线 y  的渐近线的条数 x2 1 为（ ） （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 58关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型16——一元微分学的方法证明不等式 2a lnblna 1 1.【02，数2，17题】设0ab，证明不等式   . a2 b2 ba ab 4 2.【04，数1，15题】【04，数2，19题】设eabe2，证明ln2bln2a  (ba). e2 59关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【06，数2，19题】【06，数3，17题】 证明：当0ab π时，bsinb2cosbπbasina2cosaπa. 4.【11，数1，18题】【11，数1，19题】 1 1 1 （Ⅰ）证明：对任意的正整数n，都有 ln(1 ) 成立； n1 n n 1 1 （Ⅱ）设a 1 L lnn (n 1,2,L)，证明数列 a 收敛. n 2 n n 60公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 5.【12，数1，15题】【12，数2，20题】【12，数3，18题】 1x x2 证明xln cosx 1 (1x 1) . 1x 2 题型17——方程根及函数零点的问题 1.【03，数2，17题】讨论曲线 y 4lnxk与 y  4xln4 x的交点个数. 61关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【05，数3，7题】当a取下列哪个值时，函数 f(x)2x39x2 12xa恰好有两个不 同的零点 （ ） （A）2. （B）4. （C）6. （D）8. 3.【11，数1，17题】求方程karctanxx0不同实根的个数，其中k为参数. 62关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4π 4.【11，数3，18题】证明方程4arctanxx  3 0恰有两个实根. 3 题型18——曲率、曲率半径及曲率圆（数学一、二） 1.【09，数2，5题】若 f(x)不变号，且曲线y  f (x)在点(1,1)处的曲率圆为x2  y2 2， 63关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 则函数 f(x)在区间(1,2)内 （ ） （A）有极值点，无零点. （B）无极值点，有零点. （C）有极值点，有零点. （D）无极值点，无零点. 2 2.【12，数2，13题】曲线 y x2 x(x0)上曲率为 的点的坐标是 ． 2 题型19—导数的经济应用（数三） 1.【04，数3，18题】设某商品的需求函数为Q1005P，其中价格P(0,20)，Q为 需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性E (E  0)； d d 64关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 dR （Ⅱ）推导 Q(1E ) (其中R为收益)，并用弹性E 说明价格在何范围内变化时， d d dP 降低价格反而使收益增加. 2.【07，数3，5题】设某商品的需求函数为Q1602p，其中Q,p分别表示需求量和价 格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 （ ） （A）10. （B）20. （C）30. （D）40. 3.【09，数3，12题】设某产品的需求函数为Q Q(p)，其对价格 p的弹性 0.2，则 p 当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 65关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【10，数3，11题】设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1 p3，其中 p 为价格， 且R(1)1，则R(p) ． 5.【13，数3，18题】设生产某商品的固定成本为60000元，可变成本为20元/ 件，价格 Q 函数为 p60 （ p 是单价，单位：元；Q是销量，单位：件）. 已知产销平衡，求： 1000 （Ⅰ）该商品的边际利润； （Ⅱ）当 p 50时的边际利润，并解释其经济意义； （Ⅲ）使得利润最大的定价 p . 6.【12，数3，17题】某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）， 设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和 y（件），且这两种产品的边际成本 x 分别为20 （万元/件）与6 y（万元/件）． 2 （Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)（万元）； （Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最 66关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义． 67关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第三章 一元函数积分学 题型1——原函数与不定积分的概念 1.【04，数1，2题】已知 f(ex) xex，且 f(1)0，则 f(x) ． 2.【05，数1，8题】【05，数2，8题】设F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M  N ” 表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （ ） （A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B）F(x)是奇函数 f(x)是偶函数. （C）F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. （D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. 68关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型2——不定积分的计算 x x 1.【02，数3，13题】设 f(sin2 x) ，求 f(x)dx. sinx 1x xearctanx 2.【03，数2，15题】计算不定积分 dx. 3 (1x2) 2 arcsinex 3.【06，数2，16题】求 dx. ex 69关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学  1x  4.【09，数2，16题】【09，数3，16题】计算不定积分ln1 dx (x0).   x   arcsin x lnx 5.【11，数3，17题】求不定积分 dx. x 题型3——利用定积分的定义求极限 1  2 n 1.【02，数2，4题】lim  1cos  1cos L 1cos  ． nn  n n n  70公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 n 2 2 2  1  2  n 2.【04，数2，9题】limln 1  1  L1  等于 （ ） n  n  n  n 2 2 （A） ln2 xdx. （B）2 lnxdx. 1 1 （C）2 2 ln  1x  dx. （D） 2 ln2 1x  dx . 1 1  1 1 1  3.【12，数2，10题】limn  L   ． n 1n2 22 n2 n2 n2  题型4——定积分的性质 π tanx π x 1.【03，数2，11题】设I  4 dx，I  4 dx，则 （ ） 1 2 0 x 0 tanx （A）I  I 1. （B）1 I  I . 1 2 1 2 （C）I  I 1. （D）1 I  I . 2 1 2 1 71关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【10，数1，17题】【10，数2，16题】【10，数3，18题】 （Ⅰ）比较 1 lnt  ln(1t) n dt与 1 tn lnt dt (n1,2,)的大小，说明理由； 0 0 （Ⅱ）设u   1 lnt  ln(1t) n dt (n 1,2,)，求极限limu . n n 0 n∞ 3.【11，数1，4题】【11，数2，6题】【11，数3，4题】设 π π π I  4ln(sinx)dx,J  4ln(cotx)dx,K  4ln(cosx)dx ，则I,J,K 的大小关系是（ ） 0 0 0 （A）I  J  K . （B）I  K  J . （C）J  I  K . （D）K  J  I . 72关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【12，数1，4题】【12，数2，4题】设I  k ex2 sinxdx (k 1,2,3),则有 （ ） k 0 （A）I  I  I . （B）I  I  I . 1 2 3 3 2 1 （C）I  I  I . （D）I  I  I . 2 3 1 2 1 3 题型5——定积分的计算  1 1 xex2 ,   x ,   2 2 2 1.【04，数3，3题】设 f(x) 则 f(x1)dx  ． 1 1  1, x , 2  2 3 n 2.【03，数2，8题】设a  n1xn1 1xndx，则极限limna 等于 （ ） n 2 0 n∞ n 3 3 （A）(1e)2 1. （B）(1e1)2 1. 3 3 （C）(1e1)2 1. （D）(1e)2 1. 73关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【05，数1，17题】【05，数2，17题】如图，曲线C 的方 程为 y f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l 与l 分别是 1 2 曲线C 在点(0,0))与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数 3 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 (x2 x)f(x)dx. 0 1 xdx 4.【05，数2，3题】  ． 0 (2x2) 1x2 2 1 1 5.【07，数1，11题】 ex dx ． 1 x3 74关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 6.【08，数2，2题】【08，数3，2题】如图，曲线方程为 y f(x)，函数 f(x)在区间[0,a] a 上有连续导数，则定积分 xf(x)dx等于 （ ） 0 （A）曲边梯形ABOD面积. （B）梯形ABOD面积. （C）曲边三角形ACD面积. （D）三角形ACD面积. 1x2arcsinx 7.【08，数2，17题】计算 dx. 0 1x2  1 xx3 2 2 8.【08，数3，10题】函数 f x   ，求积分 f(x)dx ．  x 1x4 2 75关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 9.【09，数2，11题】lim exsinnxdx ． n∞ 0 π2 10.【10，数1，10题】 xcos xdx ． 0 2 11.【12，数1，10题】 x 2xx2dx ． 0 题型6——变限积分函数的性质 sinx, 0 x  x 1.【13，数2，3题】设函数 f(x) F(x) f(t)dt，则 （ ） 2,  x2 0 （A）x  是函数F(x)的跳跃间断点. （B）x  是函数F(x)的可去间断点. （C）F(x)在x  处连续但不可导. （D）F(x)在x  处可导. 76关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【02，数2，7题】设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 （ ） x x （A） f(t2)dt. （B） f 2(t)dt. 0 0 x x （C） t[f(t) f(t)]dt . （D） t[f(t) f(t)]dt. 0 0 3.【06，数2，8题】设 f(x)是奇函数，除x 0外处处连续，x 0是其第一类间断点， x 则 f(t)dt是 （ ） 0 （A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数. （C）在x  0间断的奇函数. （D）在x  0间断的偶函数. 4.【07，数1，3题】【07，数2，3题】【07，数3，3题】如图，连续函数 y  f(x)在区间 [3,2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[2,0],[0,2]上的图形分 x 别是直径为2的下、上半圆周. 设F(x)  f(t)dt ，则下列结论正确的是（ ） 0 3 5 （A）F(3)  F(2). （B）F(3)  F(2). 4 4 3 5 （C）F(3)  F(2). （D）F(3)  F(2). 4 4 77关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 5.【09，数1，3题】【09，数2，6题】【09，数3，4题】设函数 y  f(x)在区间[1,3]上 的图形如图： x 则函数F(x) f(t)dt的图形为 （ ） 0 （A） （B） （C） （D） 78关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型7——与变限积分函数有关的问题 1.【02，数1，12题】已知两曲线 y  f(x)与 y arctanx et2 dt在点(0,0)处的切线相同， 0 2 写出此切线方程，并求极限limnf  . n∞ n  3 2x x2, 1 x0,   2 x 2.【02，数2，12题】设 f(x) 求函数F(x)  f(t)dt的表达  xex , 0 x1. 1  (ex 1)2 式. x u2    arctan(1t)dt du   0  0  3.【02，数3，11题】求极限lim . x0 x(1cosx) 79关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4【. 04，数1，7题】【04，数2，7题】把x0  时的无穷小量  x cost2dt，  x2 tan tdt， 0 0 x   sint3dt 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 0 （ ） （A）,,. （B）,,. （C）,,. （D）,,. π x 5.【04，数2，17题】设 f(x) 2 sint dt ， x （Ⅰ）证明 f(x)是以π为周期的周期函数； （Ⅱ）求 f(x)的值域. x  (xt)f(t)dt 6.【05，数2，15题】设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限lim 0 . x0 x x f(xt)dt 0 80公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 7【. 05，数2，16题】如图，C 和C 分别是 y  (1ex)和 y ex 1 2 2 的图象，过点(0,1)的曲线C 是一单调增函数的图象. 过C 上 3 2 任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和 y轴的直线l 和l . 记C ， x y 1 C 与l 所围图形的面积为S (x)；C ，C 与l 所围图形的面 2 x 1 2 3 y 积为S (y).如果总有S (x)S (y)，求曲线C 的方程x(y). 2 1 2 3  π 8.【07，数2，17题】设 f(x)是区间  0,  上的单调、可导函数，且满足  4 81关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 f(x) x costsint  f 1(t)dt  t dt ， 0 0 sintcost 其中 f 1是 f 的反函数，求 f(x). x2 9.【08，数1，1题】设函数 f(x)  ln(2t)dt，则 f(x)的零点个数 （ ） 0 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 10.【08，数1，18题】设函数 f (x)连续， 82关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x （Ⅰ）利用定义证明函数F(x)  f(t)dt 可导，且F(x) f(x)； 0 x 2 （Ⅱ）当 f (x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)2 f(t)dtx f(t)dt也 0 0 是以2为周期的周期函数. x  f(t)dt 11.【08，数3，1题】设函数 f(x)在区间[1,1]上连续，则x0是函数g(x) 0 x 的（ ） （A）跳跃间断点. （B）可去间断点. （C）无穷间断点. （D）振荡间断点. 12．【10，数3，9题】设可导函数 y  y(x)由方程 xy et2 dt  x xsint2dt确定，则 0 0 dy  ． dx x0 83关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x  ln(1t2)dt 13.【11，数2，15题】已知函数F(x) 0 .设 lim F(x) lim F(x)0，试 x x∞ x0 求的取值范围. 1 f(x) xln(1t) 14.【13，数1，15题】计算 dx，其中 f(x) dt. 0 x 1 t 84关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型8——与定积分相关的等式证明 1.【02，数3，16题】设函数 f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)0.利用闭区间上连续 b b 函数性质，证明存在一点[a,b]，使 f(x)g(x)dx f() g(x)dx. a a 2.【08，数2，20题】 （Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]， b 使得 f(x)dx  f()(ba). a 3 （Ⅱ）若(x)具有二阶导数，且满足(2)(1)，(2) (x)dx，证明至少存在 2 一点(1,3)，使得()0. 85关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【08，数3，18题】设 f(x)是周期为2的连续函数， t2 2 （Ⅰ）证明对任意的实数t，都有 f(x)dx f(x)dx； t 0 x t2  （Ⅱ）证明G(x)  2f(t) f(s)ds dt是周期为2的周期函数． 0  t  4.【10，数3，19题】设函数 f(x)在闭区间[0,3]上连续，在开区间(0,3)内二阶可导，且 2 2f(0) f(x)dx f(2) f(3). 0 （Ⅰ）证明存在(0,2)，使 f() f(0)； （Ⅱ）证明存在(0,3)，使 f()0. 86关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型9——与定积分相关的不等式证明 1.【04，数3，17题】设 f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且满足  x f(t)dt   x g(t)dt，x[a,b)， b f(t)dt   b g(t)dt. a a a a b b 证明： xf(x)dx   xg(x)dx. a a 2【. 05，数3，19题】设 f(x)，g(x)在[0,1]上的导数连续，且 f(0)0，f(x)0，g(x)0. a 1 证明：对任何a[0,1]，有 g(x)f(x)dx f(x)g(x)dx f(a)g(1). 0 0 87关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 xsint 3.【09，数3，3题】使不等式 dt lnx成立的x的范围是 （ ） 1 t  π π  （A）(0,1). （B） 1, . （C）  ,π. （D）(π,∞).  2 2  x 4.【2000，数2，14题】设函数S(x) cost dt， 0 （Ⅰ）当n为正整数，且nπ„ x(n1)π时，证明：2n„ S(x) 2(n1)； S(x) （Ⅱ）求 lim . x∞ x 5.【1999，数 2，18 题】设 f(x) 是区间[0,∞) 上单调减少且非负的连续函数， n a  f(k) n f(x)dx (n 1,2,L)，证明数列 a 的极限存在. n n 1 k1 88关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 a Ma2 6.【93，卷3，八】设 f(x)在[0,a]上连续，且 f(0)0，证明：  f(x)dx „ ，其 0 2 中M max| f(x)|. 0„x„a 题型10——反常积分敛散性的判定 1 mln2(1x) 1.【10，数1，3题】【10，数2，4题】设m,n均是正整数，则反常积分 dx的 0 n x 敛散性 （ ） （A）仅与m的取值有关. （B）仅与n的取值有关. （C）与m,n取值都有关. （D）与m,n取值都无关. 89关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学  1 , 1 xe,  (x1)1  2.【13，数2，4题】设函数 f(x) 若反常积分 f(x)dx收敛，  1 1 , xe,  xln1x 则 （ ） （A） 2. （B） 2. （C）20. （D）0 2. 3.【95，卷4，二（2）】下列广义积分发散的是 （ ） 1 1 1 1 （A） dx. （B） dx. 1sinx 1 1x2 （C） ∞ ex2 dx. （D） ∞ 1 dx. 0 2 xln2 x 90公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型11——反常积分的计算 ∞ dx 1.【02，数1，1题】  ． e xln2 x ∞ dx 2.【04，数2，3题】  ． 1 x x2 1 ∞ xdx 3.【06，数2，3题】反常积分  ． 0 (1x2)2 ∞ 4.【09，数2，10题】已知 ekxdx1，则k  ． ∞ 91关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ex, x0, ∞ 5.【11，数2，12题】设函数 f(x)  0，则 xf(x)dx  ． 0, x0 ∞  lnx 6.【13，数1，12题】【13，数3，11题】 dx ． 1 (1x)2 题型12——平面图形的面积及旋转体的体积 1.【02，数2，2题】位于曲线 y  xex(0 x∞)下方，x轴上方的无界图形的面积 是 ． 92关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【02，数 2，14 题】求微分方程xdy(x2y)dx0的一个解 y  y(x)，使得由曲线 y  y(x)与直线x1,x2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最 小. 3.【02，数3，14题】设D 是由抛物线 y 2x2和直线xa，x2及y 0所围成的平面 1 区域；D 是由抛物线 y 2x2和直线y 0，xa所围成的平面区域，其中0a2. 2 （Ⅰ）试求D 绕x轴旋转而成的旋转体体积V ；D 绕y轴旋转而成的旋转体体积V ； 1 1 2 2 （Ⅱ）问当a为何值时，V V 取得最大值？试求此最大值. 1 2 4.【03，数1，13题】过坐标原点作曲线 y lnx的切线，该切线与曲线 y lnx及x轴围 成平面图形D. （I）求D的面积A； （II）求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体积V . 93关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 5.【03，数2，4题】设曲线的极坐标方程为ea(a0)，则该曲线上相应于从0变到 2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 ． x  6.【07，数2，18题】设D是位于曲线y  xa 2a(a 1,0 x∞)下方、x轴上方的无 界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； （Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求出最小值. 1 7.【10，数3，10题】设位于曲线 y  (e „ x)下方，x轴上方的无界区 x(1ln2 x) 域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是 ． 94关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 8.【11，数3，12题】曲线 y x2 1，直线x 2及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所成 的旋转体的体积为 ． 9.【12，数2，17题】过点(0,1)作曲线L: y lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B 点，区域D由L与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 95关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4 10.【12，数3，12题】由曲线 y  和直线 y x及 y  4x在第一象限中围成的平面图形 x 的面积为 ． π π 11.【13，数2，11题】设封闭曲线L的极坐标方程为r cos3 ( „  „ )，则L所围 6 6 平面图形的面积是 ． 1 12.【13，数2，16题】【13，数3，16题】设D是由曲线 y  x3，直线x  a(a 0)及x轴 所围成的平面图形，V ,V 分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积. 若V 10V ， x y y x 求a的值. 96关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型13——平面曲线的弧长、旋转体的侧面积、 平行截面面积已知的立体体积（数一、二）  2 1 1.【03，数2，18题】设位于第一象限的曲线 y f(x)过点 , ，其上任一点P(x,y)   2 2   处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分. （I）求曲线 y f(x)的方程； （II）已知曲线 y sinx在[0,π]上的弧长为l，试用l表示曲线 y f(x)的弧长s. exex 2.【04，数2，18题】曲线 y  与直线x0，xt(t 0)及y0围成一曲边梯形. 2 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在xt处的底面 积为F(t). S(t) （Ⅰ）求 的值； V(t) S(t) （Ⅱ）计算极限 lim . t∞F(t) 97关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【08，数2，19题】设 f(x)是区间[0,∞)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)1. 对任意的t[0,∞)，直线x0,xt(t 0)，曲线 y f(x)及x轴围成的曲边梯形绕x轴 旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数 f(x)的 表达式. 4.【10，数2，12题】当0π时，对数螺线r e的弧长为 ． 98关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x π 5.【11，数1，9题】【11，数2，11题】曲线 y   tantdt(0 x ) 的弧长s  ． 0 4 题型14——一元积分学的物理应用（数一、二） 1.【10，数2，18题】一个高为l的柱体形贮油罐，底面是 长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐 3 中油面高度为 b时(如图)，计算油的质量.（长度单位为 2 m，质量单位为kg，油的密度为常数，单位为kg/m3） 99关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【02，数2，15题】某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与 线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部 分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4，闸门矩 形部分的高h应为多少米？ 3.【03，数1，16题】某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将 克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例 系数为k,k 0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩 时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r 1). 问 （I）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ （II）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.） 100公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【03，数2，19题】有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x(y)(y 0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底 面圆的半径为2m. 根据设计要求，当以3m3 /min的速率向容 器内注入液体时，液面的面积将以π m2 /min的速率均匀扩大 （假设注入液体前，容器内无液体）. （I）根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式； （II）求曲线x (y)的方程. (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 101关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 5.【04，数1，16题】【04，数1，20题】某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在 触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h .经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻 力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0106 ).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是 多少?(注：kg表示千克，km/h表示千米/小时) 6.【11，数2，20题】一容器的内侧是由图中曲线绕 y轴旋转一周  1  1 而成的曲面，该曲线由x2  y2  2y y 与x2  y2 1y   2  2 连接而成. （Ⅰ）求容器的容积； （Ⅱ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做 多少功？(长度单位：m，重力加速度为gm s2 ，水的密度为103 kg m3 ） 102关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第四章 多元函数微分学 题型1——多元微分学的基本概念 1.【02，数1，6题】考虑二元函数 f(x,y)的下面4条性质： ① f(x,y)在点(x ,y )处连续； 0 0 ② f(x,y)在点(x ,y )处的两个偏导数连续； 0 0 ③ f(x,y)在点(x ,y )处可微； 0 0 ④ f(x,y)在点(x ,y )处的两个偏导数存在. 0 0 若用“PQ”表示可由性质P 推出Q，则有 （ ） （A）②③①. （B）③②①. （C）③④①. （D）③①④. 2.【08，数3，3题】设 f(x,y)e x2y4 ，则 （ ） （A） f(0,0)存在， f(0,0)存在. （B） f(0,0)不存在， f(0,0)存在. x y x y （C） f(0,0)存在， f(0,0)不存在. （D） f(0,0)不存在， f(0,0)不存在. x y x y 103关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【12，数1，3题】如果函数 f(x,y)在点(0,0)处连续，那么下列命题正确的是 （ ） f(x,y) （A）若极限lim 存在，则 f(x,y)在点(0,0)处可微. x0 x  y y0 f(x,y) （B）若极限lim 存在，则 f(x,y)在点(0,0)处可微. x0 x2  y2 y0 f(x,y) （C）若 f(x,y)在点(0,0)处可微，则极限lim 存在. x0 x  y y0 f(x,y) （D）若 f(x,y)在点(0,0)处可微，则极限lim 存在. x0 x2  y2 y0 4.【07，数2，7题】二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是 （ ） （A） lim  f(x,y) f(0,0) 0. (x,y)(0,0) f(x,0) f(0,0) f(0,y) f(0,0) （B）lim 0且lim 0 . x0 x y0 y f(x,y) f(0,0) （C） lim 0. (x,y)(0,0) x2  y2 （D）lim  f(x,0) f(0,0) 0且lim  f(0,y) f(0,0)  0 . x x y y x0 y0 104关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 f(x,y) f(x,y) 5.【12，数2，5题】设函数 f(x,y)可微，且对任意的x,y都有 0， 0， x y 则使不等式 f(x ,y ) f(x ,y )成立的一个充分条件是 （ ） 1 1 2 2 （A）x  x ，y  y . （B）x  x ，y  y . 1 2 1 2 1 2 1 2 （C）x  x ，y  y . （D）x  x ， y  y . 1 2 1 2 1 2 1 2 6【. 05，数1，10题】设有三元方程xyzlnyexz 1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1) 的一个邻域，在此邻域内该方程 （ ） （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z  z(x,y). （B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y  y(x,z)和z  z(x,y). （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和z  z(x,y). （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和 y  y(x,z). 105关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型2——计算偏导数与全微分 f(x,y)2x y2 1.【12，数3，11题】设连续函数z  f(x,y)满足lim 0，则 x0 x2 (y1)2 y1 dz  ． (0,1) 2【. 02，数3，12题】设函数u  f(x,y,z)有连续偏导数，且z  z(x,y)由方程xex yey  zez 所确定，求du. 2 f 2 f 3.【03，数 3，14 题】设 f  u,v  具有二阶连续偏导数，且满足  1，又 u2 v2  1  2g 2g g(x,y) f  xy, (x2  y2)  ，求  .  2  x2 y2 106关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 z z 4【. 04，数2，4题】设函数z  z(x,y)由方程z e2x3z 2y确定，则3   ． x y z z 2z 5【. 04，数2，21题】设z  f (x2 y2,exy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 , , . x y xy 6.【04，数3，2题】函数 f(u,v)由关系式 f  xg(y),y  xg(y)确定，其中函数g(y)可 2f 微，且g(y)0，则  ． uv 107关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 xy 7.【05，数1，9题】【05，数2，11题】设函数u(x,y)(x y)(xy)  (t)dt ， xy 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 （ ） 2u 2u 2u 2u （A）  . （B）  . x2 y2 x2 y2 2u 2u 2u 2u （C）  . （D）  . xy y2 xy x2 8.【05，数3，3题】设二元函数z  xexy (x1)ln(1 y)，则dz  ． (1,0)  y  x 9.【05，数3，16题】设 f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y) f    yf   ，求  x  y 2g 2g x2  y2 . x2 y2 108关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 1 10.【06，数3，3题】设函数 f(u)可微，且 f(0) ，则z  f(4x2  y2)在点(1,2)处的 2 全微分dz  ． (1,2) z 11.【07，数1，12题】设 f(u,v)为二元可微函数，z  f(xy,yx)，则  ． x  y x 12.【07，数2，15题】【07，数3，13题】设 f(u,v)是二元可微函数，z  f  ,  ，则  x y z z x  y  ． x y 109关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 13.【07，数2，20题】已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)1，函数 y  y(x)由方程 dz d2z yxey1 1所确定.设z  f(ln ysinx)，求 ， . dx dx2 x0 x0 x  yy z 14.【08，数2，13题】已知z    ，则  ．  x x (1,2) 15.【08，数3，16题】设z  z (x,y)是由方程x2  y2 z (x yz)所确定的函数， 其中具有2阶导数且1时，求 （Ⅰ）dz； 1 z z u （Ⅱ）记u(x,y)     ，求 . x yx y x 16.【09，数 1，9 题】设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数， z  f (x,xy) ，则 110公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2z  ． xy 17.【09，数2，17题】设z  f(x  y,x  y,xy)，其中 f 具有2阶连续偏导数，求dz与 2z . xy z 18.【09，数3，10题】设z (xey)x，则  ． x (1,0) 111关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学  y z 19.【10，数1，2题】【10，数2，5题】设函数z  z(x,y)由方程F ,  0确定，其  x x z z 中F 为可微函数，且F0，则x  y  （ ） 2 x y （A）x. （B）z. （C）x. （D）z. xy sint 2F 20.【11，数1，11题】设函数F(x,y) dt，则  ． 0 1t2 x2 x0 y2 21.【11，数1，16题】【11，数1，17题】设函数z  f[xy,yg(x)]，其中函数 f 具有二阶 2z 连续偏导数，函数g(x)可导且在x 1处取得极值g(1)1.求 . xy x1 y1 112关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x  x y 22.【11，数3，10题】设函数z  1  ，则dz  ．  y (1,1) 23.【11，数3，16题】已知函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数， f(1,1)2是 f(u,v)的极 2z 值，z  f[x y,f(x,y)].求 . xy x1 y1  1 24. 【 12 ， 数 2 ， 11 题 】 设 z  f lnx  ， 其 中 函 数 f  u  可 微 ， 则  y z z x  y2  ． x y 113关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 y x z z 25.【13，数2，5题】设z  f (xy)，其中函数 f 可微，则   （ ） x y x y 2 2 （A）2yf(xy). （B）2yf(xy).（C） f(xy). （D） f(xy). x x z 26.【13，数3，10题】设函数z  z(x,y)由方程(z y)x  xy 确定，则  ． x (1,2) 114关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型3——变量替换下方程的化简 1.【10，数2，19题】设函数u  f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 2u 2u 2u 4 12 5 0，确定a,b的值，使等式在变换 xay， xby下化 x2 xy y2 2u 简为 0.  ux2y, 2z 2z 2z 2z 2.【96，卷1，四（2）】设变换 可把方程6   0化简为 0， vxay x2 xy y2 uv 其中z  z(x,y)有二阶连续的偏导数，求常数a . 115关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型4——无条件极值 1【. 03，数3，8题】设可微函数 f(x,y)在点(x ,y )取得极小值，则下列结论正确的是（ ） 0 0 （A） f(x ,y)在y  y 处的导数等于零. 0 0 （B） f(x ,y)在 y  y 处的导数大于零. 0 0 （C） f(x ,y)在 y  y 处的导数小于零. 0 0 （D） f(x ,y)在y  y 处的导数不存在. 0 0 f(x,y)xy 2【. 03，数1，9题】已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim 1， x0 (x2  y2)2 y0 则 （ ） （A）点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. （B）点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. （C）点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. （D）根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点. 116关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【09，数1，15题】【09，数3，15题】求二元函数 f(x,y) x2(2 y2) yln y 的极值. x2y2  4.【12，数1，16题】【12，数2，16题】求函数 f(x,y) xe 2 的极值. 117关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 5.【04，数1，19题】设z  z(x,y)是由x2 6xy10y2 2yzz2 180确定的函数， 求z  z(x,y)的极值点和极值. 6.【09，数2，3题】设函数z  f(x,y)的全微分为dz  xdx ydy，那么点(0,0)（ ） （A）不是 f(x,y)的连续点. （B）不是 f(x,y)的极值点. （C）是 f(x,y)的极大值点. （D）是 f(x,y)的极小值点. 7.【11，数 1，3题】设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0， f(0)0，则函数 z  f(x)ln f(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ） （A） f(0)1， f(0)0. （B） f(0)1， f(0)0. （C） f(0)1， f(0)0. （D） f(0)1， f(0)0. 118关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 8.【11，数2，5题】设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0， 且 f(0) g(0)0，则函数 z  f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ） （A） f(0)0，g(0)0. （B） f(0)0，g(0)0. （C） f(0)0，g(0)0. （D） f(0)0，g(0)0. x3 9.【13，数1，17题】求函数 f(x,y)(y )exy的极值. 3 119关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型5——多元函数的条件极值 1.【06，数1，10题】【06，数2，12题】【06，数3，11题】设 f(x,y)与(x,y)均为可微 函数，且(x,y)0，已知(x ,y )是 f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点， y 0 0 下列选项正确的是 （ ） （A）若 f(x ,y ) 0，则 f(x ,y ) 0 . x 0 0 y 0 0 （B）若 f(x ,y ) 0，则 f(x ,y ) 0. x 0 0 y 0 0 （C）若 f(x ,y ) 0，则 f(x ,y ) 0 . x 0 0 y 0 0 （D）若 f(x ,y ) 0，则 f(x ,y ) 0. x 0 0 y 0 0 2.【08，数2，21题】求函数u  x2  y2 z2在约束条件z  x2  y2和x yz 4下的最 大值和最小值. 120公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【10，数3，17题】求函数u  xy2yz在约束条件x2  y2 z2 10下的最大值和最小 值. x2  y2 2z2 0, 4.【08，数1，17题】已知曲线C: 求曲线C距离xOy面最远的点和最 x y3z 5. 近的点. 5.【13，数2，19题】求曲线x3xy y3 1 (x 0,y 0)上的点到坐标原点的最长距离与 最短距离. 121关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型6——多元函数的区域最值 1.【05，数2，20题】已知函数z  f(x,y)的全微分dz 2xdx2ydy，并且 f(1,1)2. 求  y2  f(x,y)在椭圆域D (x,y) x2  1上的最大值和最小值.  4    2【. 07，数1，17题】求函数 f(x,y) x2 2y2 x2y2，在区域D  (x,y) x2 y2 4,y 0 上的最大值和最小值. 122关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型7——方向导数和梯度（数一） x2 y2 z2 1 1.【05，数1，3题】设函数u(x,y,z)1   ，单位向量n {1,1,1}，则 6 12 18 3 u  ． n (1,2,3) x 2.【08，数1，2题】函数 f(x,y)arctan 在点(0,1)处的梯度等于 （ ） y （A）i . （B）i . （C） j. （D）j.  z  3.【12，数1，11题】gradxy   ．  y (2,1,1) 123关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【02，数1，16题】设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的   区域为D  (x,y)|x2  y2 xy „ 75 ，小山的高度函数为h(x,y)75x2y2xy . （I）设M(x ,y )为区域D上的一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数 0 0 最大？若记此方向导数的最大值为g(x ,y )，试写出g(x ,y )表达式. 0 0 0 0 （II）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀 登的起点.也就是说，要在D的边界线x2  y2 xy 75上找出使（I）中的g(x,y)达到最 大值的点.试确定攀登起点的位置. 124关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第五章 二重积分 题型1——二重积分的概念与性质 n n n 1.【10，数1，4题】【10，数2，6题】lim   （ ） n∞  ni  n2 j2  i1 j1 1 x 1 1 x 1 （A） dx dy. （B） dx dy . 0 0  1x  1 y2  0 0  1x  1 y  1 1 1 1 1 1 （C） dx dy . （D） dx dy . 0 0  1x  1 y  0 0  1x  1 y2  2.【05，数3，8题】设 I cos x2  y2d,I cos(x2  y2)d,I cos(x2  y2)2d，其中 1 2 3 D D D D  {(x, y) x2  y21}，则 （ ） （A）I  I  I . （B）I  I  I . 3 2 1 1 2 3 （C）I  I  I . （D）I  I  I . 2 1 3 3 1 2 125关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学   3.【09，数1，2题】如图，正方形 (x,y) x 1, y 1 被其对 角线划分为四个区域D (k 1,2,3,4)，I ycosxdxdy，则 k k D k max  I  （ ） k 1„k„4 （A）I . （B）I . （C）I . （D）I . 1 2 3 4   4.【13，数2，6题】【13，数3，3题】设D 是圆域D  (x,y) x2 y2 1 在第k 象限的 k 部分，记I  (yx)dxdy (k 1,2,3,4)，则 （ ） k D k （A）I 0. （B）I 0. （C）I 0. （D）I 0. 1 2 3 4 题型2——直角坐标系下交换积分次序 1 1 1 y 1.【02，数3，2题】交换积分次序：4dy f(x,y)dx2dy2 f(x,y)dx  ． 1 0 y y 4 126关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 t t 2.【04，数1，10题】设 f(x)为连续函数，F(t)  dy f(x)dx，则F(2)等于（ ） 1 y （A）2f(2). （B） f(2). （C）f(2). （D）0. π 1 3.【07，数2，8题】【07，数3，4题】设函数 f(x,y)连续，则二次积分 dx f(x,y)dy π sinx 2 等于 （ ） 1 π 1 π （A） dy f(x,y)dx. （B） dy f(x,y)dx. 0 πarcsiny 0 πarcsiny 1 πarcsiny 1 πarcsiny （C） dy f(x,y)dx. （D） dy f(x,y)dx. π π 0 0 2 2 2 2 2 4y 4【. 09，数2，4题】设函数 f(x,y)连续，则 dx f(x,y)dy  dy f(x,y)dx （ ） 1 x 1 y 2 4x 2 4x （A） dx f(x,y)dy. （B） dx f(x,y)dy. 1 1 1 x 2 4y 2 2 （C） dy f(x,y)dx. （D） dy f(x,y)dx. 1 1 1 y 127关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型3——直角坐标与极坐标的互换 π 1 1【. 06，数1，8题】【06，数2，11题】设 f(x,y)为连续函数，则4d f(rcos,rsin)rdr 0 0 等于 （ ） 2 1x2 2 1x2 （A） 2 dx f(x,y)dy. （B） 2 dx f(x,y)dy. 0 x 0 0 2 1y2 2 1y2 （C） 2 dy f(x,y)dx. （D） 2 dy f(x,y)dx. 0 y 0 0 f(x2  y2) 2.【08，数2，6题】【08，数3，4题】设函数 f(x)连续，若F(u,v)  dxdy， x2  y2 D uv F 其中区域D 为图中阴影部分，则  （ ） uv u （A）vf(u2). （B）vf(u). v v （C） f(u2). （D） f(u). u u π 2 3.【12，数3，3题】设函数 f(t)连续，则二次积分2d f(r2)rdr  （ ） 0 2cos 2 4x2 （A） dx x2 y2 f(x2 y2)dy . 0 2xx2 2 4x2 （B） dx f(x2 y2)dy . 0 2xx2 2 4y2 （C） dy x2  y2 f(x2  y2)dx. 0 1 1y2 2 4y2 （D） dy f(x2  y2)dx. 0 1 1y2 128关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学   4.【04，数2，12题】设函数 f(u)连续，区域D  (x,y) x2  y22y ，则 f(xy)dxdy D 等于 （ ） 1 1x2 （A） dx f(xy)dy . 1  1x2 2 2yy2 （B）2 dy f(xy)dx. 0 0 π 2sin （C） d f(r2sincos)dr . 0 0 π 2sin （D） d f(r2sincos)rdr. 0 0 题型4——二重积分的简化计算 π 1.【12，数2，6题】设区域D由曲线ysinx，x  ，y1围成，则(xy5 1)dxdy  2 D （A）. （B）2. （C）2. （D）.   2.【05，数2，10题】设区域D  (x,y) x2 y2 4,x0,y 0 ， f(x)为D上的正值连 a f(x) b f(y) 续函数，a，b 为常数，则 d （ ） f(x)  f(y) D ab ab （A）ab. （B） . （C）(ab). （D） . 2 2 129关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型5——计算二重积分 1【. 02，数1，13题】计算二重积分emax{x2,y2}dxdy，其中D  (x,y)|0 x1,0 y 1  . D 2.【03，数3，15题】计算二重积分I  e(x2y2π)sin(x2 y2)dxdy ，其中积分区域 D   D  (x,y) x2 y2  π . 3.【04，数3，16题】 求( x2  y2  y)d，其中D是 D 由圆x2  y2  4和(x 1)2  y2 1所围成的平面区域 （如图）. 130公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【05，数1，15题】设D {(x,y) x2 y2  2,x0,y 0}，  1x2  y2  表示不超过 1x2  y2的最大整数. 计算二重积分xy  1x2  y2  dxdy. D 5.【05，数2，21题】【05，数3，17题】计算二重积分 x2  y2 1d，其中 D D{(x,y) 0 x1,0 y1}. 131关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学   6.【06，数1，15题】【06，数2，17题】设区域D  (x,y) x2 y2 1,x0 ，计算二重 1xy 积分I  dxdy. 1x2  y2 D 7【. 06，数3，16题】计算二重积分 y2 xydxdy ，其中D是由直线 y  x，y1，x 0 D 所围成的平面区域. 132关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x2, x  y 1,  8.【07，数2，22题】【07，数3，18题】设二元函数 f(x,y) 1 , 1 x  y 2.   x2  y2   计算二重积分 f(x,y)d.其中D  (x,y) x  y „ 2 . D 9.【08，数2，18题】【08，数3，17题】计算max{xy,1}dxdy,其中 D D {(x,y) 0 x 2,0 y2}.   10.【08，数3，11题】设D  (x,y) x2  y2 1 ，则(x2 y)dxdy ． D 133关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 11.【09，数2，19题】【09，数3，17题】计算二重积分(x y)dxdy，其中 D   D  (x,y) (x1)2(y1)2 2,y x . 12.【10，数2，20题】计算二重积分I r2sin 1r2cos2drd，其中 D  π D  r, |0r sec,0 .  4 13.【10，数3，16题】计算二重积分(x y)3d，其中D由曲线x  1 y2 与直线 D x 2y  0及x 2y 0围成. 134关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 14【. 11，数1，19题】【11，数1，21题】已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)0， f(x,1)0， f(x,y)dxdy a，其中D  (x,y)|0 x1,0 y 1 ， D 计算二重积分I  xyf(x,y)dxdy. xy D 15.【11，数2，13题】设平面区域D由直线y  x,圆x2  y2  2y 及y轴所组成，则二重 积分xyd ． D 16.【12，数2，18题】计算二重积分xyd，其中区域D为曲线r 1cos 0 π  D 与极轴围成． 135关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 17.【13，数2，17题】【13，数3，17题】设平面区域D由直线x3y，y 3x及x y 8 围成，计算x2dxdy. D 题型6——二重积分的应用 （数学一、二） 1 1 1.【13，数2，21题】设曲线L的方程 y  x2  lnx (1 „ x „ e). 4 2 （Ⅰ）求L的弧长； （Ⅱ）设D是由曲线L，直线x 1，x e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐 标.   2. 【94，卷4，三】计算二重积分(x y)dxdy,其中D  (x,y) x2  y2 „ x y1 . D 136关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型6——无界区域上的二重积分（数三） a, 0x1, 1.【03，数3，3题】设a 0， f(x) g(x)  而D表示全平面，则 0, 其他. I   f(x)g(y  x)dxdy  ． D 1 2.【12，数3，16题】计算二重积分exxydxdy，其中D是以曲线 y  x ，y 及y x D 轴为边界的无界区域． 137关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第六章 常微分方程 题型1——一阶常微分方程 1.【02，数2，13题】已知函数 f(x)在(0,∞)内可导， f(x)0， lim f(x)1，且满 x∞ 1  f(xhx)h 1 足lim  ex，求 f(x). h0 f(x)  2.【03，数3，17题】设F(x) f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(∞,∞)内满足以 下条件： f(x)  g(x)，g(x)  f(x)，且 f(0)0， f(x)  g(x)  2ex. （I）求F(x)所满足的一阶微分方程； （II）求出F(x)的表达式. 138关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 6 3.【04，数2，5题】微分方程(yx3)dx2xdy 0满足 y  的特解为 ． x1 5 1 4.【05，数 1，2 题】【05，数 2，4 题】微分方程 xy2y xlnx满足 y(1) 的解 9 为 ． 5.【05，数3，2题】微分方程xy  y  0满足初始条件 y(1)  2的特解为 ． y(1x) 6.【06，数1，2题】【06，数2，4题】微分方程 y 的通解是 ． x 139关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3 dy y 1 y 7.【07，数3，14题】微分方程     满足 y 1的特解为 y  ． dx x 2 x x1 8.【08，数1，9题】【08，数3，12题】微分方程xy y 0满足条件 y(1)1的解是 y  ． 9.【08，数2，10题】微分方程(y  x2ex)dx  xdy  0 的通解是 y  ． 10.【11，数1，10题】【11，数2，10题】微分方程 y y excosx满足条件 y(0)0的 解为y ． 11.【12，数 2，12 题】微分方程 ydx(x3y2)dy 0 满足条件 y 1 的解为 x1 140公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 y ． 题型2——二阶常微分方程 1 1.【13，数3，12题】微分方程 y y y  0的通解为 y  ． 4 2.【02，数 2，8 题】设 y  y(x)是二阶常系数微分方程 y pyqy e3x 满足初始条 ln(1x2) y(0) y(0)0的特解，则当x0，函数 的极限 （ ） y(x) （A）不存在. （B）等于1. （C）等于2. （D）等于3. 3.【04，数2，11题】微分方程 y y  x2 1sinx的特解形式可设为 （ ） 141关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 （A） y* ax2 bxcx(AsinxBcosx). （B）y*  x(ax2 bxc AsinxBcosx). （C）y* ax2 bxcAsinx . （D） y* ax2 bxc Acosx . 4.【06，数2，10题】函数 y C exC e2xxex 满足的一个微分方程是 （ ） 1 2 （A） y y2y 3xex . （B）y y2y 3ex . （C）y y2y 3xex . （D） y y2y 3ex . 5【. 07，数1，13题】【07，数2，14题】二阶常系数非齐次线性微分方程 y4y3y 2e2x 的通解为 y  ． 6.【09，数1，10题】若二阶常系数线性齐次微分方程 yayby 0的通解为 142关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 y(C C x)ex，则非齐次方程 yayby  x满足条件 y(0) 2， y(0) 0的解为 1 2 y ． 7.【10，数1，15题】求微分方程 y3y2y 2xex的通解. 8.【11，数2，4题】微分方程 y2y exex(0)的特解形式为 （ ） （A）a(ex ex). （B）ax(ex ex). （C）x(aex bex) . （D）x2(aex bex). 9【. 12，数1，9题】若函数 f(x)满足方程 f(x) f(x)2f(x)0及 f(x) f(x)2ex， 则 f(x) ． 10【. 12，数2，19题】【12，数3，19题】已知函数 f(x)满足方程 fx fx2fx0 143关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 及 f(x) f(x)2ex . （Ⅰ）求 f(x)的表达式； x （Ⅱ）求曲线 y f(x2) f(t2)dt的拐点. 0 题型3——线性方程解的结构 1【. 06，数3，10题】设非齐次线性微分方程 yP(x)y Q(x)有两个不同的解y (x),y (x)， 1 2 C为任意常数，则该方程的通解是 （ ） （A）C[y (x)y (x)]. （B）y (x)C[y (x) y (x)]. 1 2 1 1 2 （C）C[y (x)y (x)]. （D） y (x)C[y (x) y (x)]. 1 2 1 1 2 2.【10，数2，2题】【10，数3，2题】设y ,y 是一阶线性非齐次微分方程 y p(x)y q(x) 1 2 144关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 的两个特解，若常数,使y y 是该方程的解，y y 是该方程对应的齐次方程 1 2 1 2 的解，则 （ ） 1 1 1 1 （A） , . （B） , . 2 2 2 2 2 1 2 2 （C） , . （D） , . 3 3 3 3 3.【13，数2，13题】已知 y e3x xe2x，y ex xe2x，y xe2x是某二阶常系数非 1 2 3 齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件 y 0， y 1的解y ． x0 x0 题型4——变量替换化简方程 1.【06，数 1，18 题】【06，数 2，20 题】设函数 f(u)在(0,∞)内具有二阶导数，且 2z 2z z  f( x2  y2)满足等式  0. x2 y2 f(u) （Ⅰ）验证 f(u) 0； u （Ⅱ）若 f(1)0， f(1)1，求函数 f(u)的表达式. 2.【03，数1，17题】【03，数2，16题】设函数 y y(x)在(∞,∞)内具有二阶导数， 145关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 且 y0,x x(y)是 y y(x)的反函数. 3 d2x dx  （I）试将x x(y)所满足的微分方程 (ysinx)  0变换为 y y(x)满足 dy2 dy  的微分方程； 3 （Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0, y(0) 的解. 2 3【. 05，数2，18题】用变量代换xcost(0t π)化简微分方程(1 x2)y xy y  0， 并求其满足 y 1， y 2的特解. x0 x0 146关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型5——积分方程 1.【11，数3，19题】设函数 f(x)在[0,1]上具有连续导数， f(0)1，且满足    f(x y)dxdy  f(t)dxdy ，D  (x,y) 0ytx,0xt (0t 1). t D D t t 求 f(x)的表达式. x 2.【89，卷1，五】设 f(x)sinx (xt)f(t)dt，其中 f(x)为连续函数，求 f(x). 0 147关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3x t  3.【95，卷4，四】已知连续函数 f(x)满足条件 f(x) f  dte2x，求 f(x). 0 3 题型6——可降阶的微分方程 1 1【. 02，数1，3题】【02，数2，3题】微分方程 yy y2 0满足初始条件 y 1,y  x0 x0 2 的特解是 ． 2.【07，数2，19题】求微分方程 y(x y2) y满足初始条件 y(1) y(1)1的特解. 148关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x2tt2, 3.【10，数2，17题】设函数 y  f(x)由参数方程 (t 1)所确定，其中(t) y (t) 5 d2y 3 具有2阶导数，且(1) ，(1)6，已知  ，求函数(t). 2 dx2 4(1t) 题型7——高于二阶的齐次微分方程 1【. 08，数1，3题】【08，数2，3题】在下列微分方程中，以 yCex C cos2xC sin2x 1 2 3 （C ,C ,C 为任意常数）为通解的是 （ ） 1 2 3 （A） y y4y4y 0. （B）y y4y4y 0. （C）y y4y4y 0. （D） y y4y4y 0. 149关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【10，数2，9题】三阶常系数线性齐次微分方程 y2y y2y 0的通解为 y  ． 题型8——微分方程的应用 1（数学一、二、三） 1【. 06，数3，18题】在xOy坐标平面上，连续曲线l过点M(1,0)，其上任意点P(x,y)(x0) 处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a 0）. （Ⅰ）求l的方程； 8 （Ⅱ）当l与直线 y ax所围成平面图形的面积为 时，确定a的值. 3 150公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 2.【09，数2，18题】设非负函数y  y(x) (x 0)满足微分方程xy y20，当曲线 y  y(x)过原点时，其与直线x 1及 y 0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋 转所得旋转体的体积. π π 3.【09，数 2，20 题】设 y  y(x)是区间（-π,π）内过点（- ， ）的光滑曲线，当 2 2 π  x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 0 „ xπ 时，函数 y(x) 满足 y yx0.求y(x)的表达式. 151关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4【. 09，数3，19题】设曲线y  f(x)，其中 f(x)是可导函数，且 f(x)0.已知曲线 y  f(x) 与直线 y  0,x 1及x t(t 1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该 曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程. 152关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型9——微分方程的应用 2（数一、二） x x(t),  1.【08，数2，16题】设函数 y  y(x)由参数方程 t2 确定，其中x(t)是 y  ln(1u)du  0 dx  2tex 0, d2y 初值问题dt 的解.求 . dx2  x 0  t0 x  f (t), π 2.【12，数1，18题】已知曲线L: (0 t  ) ，其中函数 f  t 具有连续导数， y cost, 2 π 且 f  0 0， f(t)0 (0t  )．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1， 2 求函数 f  t 的表达式，并求此曲线L及x轴与y轴为边界的区域的面积． 153关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3.【11，数2，18题】设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l: y  y(x)与直线 y x相切于原 d dy 点.记为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，若  ，求 y(x)的表达式. dx dx 题型——差分方程（数三） 1.【2001，数3，2题】某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万. 若以 W 表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则W 满足的差分方程是 . t t 2.【08，数3，19题】设银行存款的年利率为r  0.05，并依年复利计算.某基金会希望通 过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，L，第n年取出109n万 元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ 154关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型10——伯努利、全微分和欧拉方程（数一） d2y dy 1.【04，数1，4题】欧拉方程x2 4x 2y0 (x0)的通解为 ． dx2 dx 2.【94，卷1，五】设 f(x)具有二阶连续导数， f(0)0, f (0)1，且 [xy(x y) f(x)y]dx[f (x)x2y]dy 0 为一全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的 通解. 155关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 dy 3.伯努利方程 3xy  xy2 的通解为 ． dx 156关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第七章 无穷级数 题型1——数项级数敛散性的判定 1.【04，数3，10题】设有下列命题： ∞ ∞ ①若  (u u )收敛，则  u 收敛. 2n1 2n n n1 n1 ∞ ∞   ②若 u 收敛，则 u 收敛. n n1000 n1 n1 u ∞ ③若lim n1 1，则  u 发散. n n∞ u n n1 ∞ ∞ ∞ ④若  (u  v )收敛，则  u ，  v 都收敛. n n n n n1 n1 n1 则以下命题中正确的是 （ ） （A）①②. （B）②③. （C）③④. （D）①④. 2.【11，数3，3题】设u 是数列，则下列命题正确的是 （ ） n ∞ ∞ （A）若  u 收敛，则  (u u )收敛. n 2n1 2n n1 n1 ∞ ∞ （B）若  (u u )收敛，则  u 收敛. 2n1 2n n n1 n1 ∞ ∞ （C）若  u 收敛，则  (u u )收敛. n 2n1 2n n1 n1 ∞ ∞ （D）若  (u u )收敛，则  u 收敛. 2n1 2n n n1 n1 157关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 n ∞  1 1  3.【02，数1，7题】设u 0(n1,2,3,)，且lim 1，则级数 (1)n1    n n∞u n n1 u n u n1  （A）发散. （B）绝对收敛. （C）条件收敛. （D）收敛性根据所给条件不能判定. a  a a  a 4.【03，数3，9题】设 p  n n ，q  n n ，n 1,2,，则下列命题正 n n 2 2 确的是 （ ） ∞ ∞ ∞    （A）若 a 条件收敛，则 p 与 q 都收敛. n n n n1 n1 n1 ∞ ∞ ∞    （B）若 a 绝对收敛，则 p 与 q 都收敛. n n n n1 n1 n1 ∞ ∞ ∞    （C）若 a 条件收敛，则 p 与 q 敛散性都不定. n n n n1 n1 n1 ∞ ∞ ∞    （D）若 a 绝对收敛，则 p 与 q 敛散性都不定. n n n n1 n1 n1 158关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ∞  5.【04，数1，9题】设 a 为正项级数，下列结论中正确的是 （ ） n n1 ∞ （A）若limna 0，则级数  a 收敛. n n n∞ n1 ∞ （B）若存在非零常数，使得limna ，则级数  a 发散. n n n∞ n1 ∞ （C）若级数  a 收敛，则limn2a 0. n n n∞ n1 ∞ （D）若级数  a 发散，则存在非零常数，使得limna  . n n n∞ n1 ∞ ∞ 6.【05，数3，9题】设a  0，n 1,2,L，若  a 发散，  (1)n1a 收敛，则下列 n n n n1 n1 结论正确的是 （ ） ∞ ∞   （A） a 收敛， a 发散. 2n1 2n n1 n1 ∞ ∞   （B） a 收敛， a 发散. 2n 2n1 n1 n1 ∞ （C）  (a  a )收敛. 2n1 2n n1 ∞ （D）  (a  a )收敛. 2n1 2n n1 159关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ∞  7.【06，数1，9题】【06，数3，9题】若级数 a 收敛，则级数 （ ） n n1 ∞ ∞ （A）  a 收敛. （B）  (1)na 收敛. n n n1 n1 ∞ ∞ a a （C）  a a 收敛. （D）  n n1 收敛. n n1 2 n1 n1 8.【09，数1，4题】设有两个数列a ，b ，若lima 0，则 （ ） n n n n         （A）当 b 收敛时， ab 收敛. （B）当 b 发散时， ab 发散. n n n n n n n1 n1 n1 n1     （C）当  b 收敛时，  a2b2 收敛. （D）当  b 发散时，  a2b2 发散. n n n n n n n1 n1 n1 n1  1  (1) n 9.【12，数3，4题】已知级数  (1)n nsin 绝对收敛，级数 条件收敛，则 n n2 n1 n1 （ ） 1 1 3 3 （A）0  . （B） 1. （C）1 . （D） 2. 2 2 2 2 160关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 10.【04，数1，18题】设有方程xn nx10，其中n 为正整数. 证明此方程存在唯一正 ∞ 实根x ，并证明当 1时，级数  x 收敛. n n n1 11.【13，数3，4题】设a 为正项数列，下列选项正确的是 （ ） n  （A）若a a ，则  (1)n1a 收敛. n n1 n n1  （B）若  (1)n1a 收敛，则a a . n n n1 n1  （C）若  a 收敛，则存在常数 p1，使limnpa 存在. n n n n1  （D）若存在常数 p1，使limnpa 存在，则  a 收敛. n n n n1 161关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型2——幂级数的收敛半径和收敛域 ∞ 1.【08，数1，11题】已知幂级数  a (x2)n 在x  0 处收敛，在x  4处发散，则幂 n n0 ∞ 级数  a (x3)n 的收敛域为 . n n0 n 2.【11，数1，2题】设数列a 单调减少，lima 0，S  a (n1,2,)无界，则 n n∞ n n k k1 ∞ 幂级数  a (x1)n 的收敛域为 （ ） n n1 （A）(1,1]. （B）[1,1). （C）[0,2). （D）(0,2]. ∞ en (1)n 3.【09，数3，11题】幂级数  xn 的收敛半径为 . n2 n1 4.【02，数3，7题】设幂级数  ∞ a xn 与  ∞ b xn 的收敛半径分别为 5 与 1 ，则幂级数 n n 3 3 n1 n1 ∞ a2  n xn的收敛半径为 （ ） b2 n1 n 5 1 1 （A）5. （B） . （C） . （D） . 3 3 5 162关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型3——幂级数求和函数 ∞ x2n 1.【03，数3，16题】求幂级数1  (1)n  x 1  的和函数 f (x)及其极值. 2n n1 ∞  1  2.【05，数1，16题】求幂级数 (1)n1 1 x2n 的收敛区间与和函数 f (x).  n(2n1) n1 163关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ∞  1  3.【05，数3，18题】求幂级数   1x2n在区间(1,1)内的和函数S(x).  2n 1  n1 ∞ (1)n1x2n1 4.【06，数3，19题】求幂级数  的收敛域及和函数S(x). n(2n1) n1 164关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ∞ 1 n1 5.【10，数1，18题】求幂级数 x2n的收敛域及和函数. 2n1 n1  4n2 4n3 6.【12，数1，17题】求幂级数  x2n的收敛域及和函数. 2n1 n0 165关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型4——数项级数求和 1.【09，数1，16题】设a 为曲线 y  xn与 y  xn1(n 1,2,L)所围成区域的面积，记 n ∞ ∞ S  a , S  a ， 1 n 2 2n1 n1 n1 求S 与S 的值. 1 2 ∞ ∞ ∞ 2．【91，卷1，二（3）】已知级数  (1)n1a 2，  a 5，则级数  a 等于 n 2n1 n n1 n1 n1 （A）3. （B）7 . （C）8. （D）9. ∞ (1)n(n2 n1)  3.【93，卷1，五】求级数 的和. 2n n0 π ∞ 4.【2000，数3，15题】设I  4sinn xcosxdx, n0,1,2,L，求  I . n n 0 n0 166关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型5——求幂级数展开式 12x ∞ (1)n 1.【03，数1，14题】将函数 f (x)  arctan 展开成x 的幂级数，并求级数  1 2x 2n1 n0 的和. x 2.【06，数1，17题】将函数 f(x) 展开成x 的幂级数. 2xx2 1 3.【07，数3，20题】将函数 f(x) 展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间. x2 3x4 167关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型6——级数综合题 1.【02，数1，15题】【02，数3，15题】 x3 x6 x9 x3n （I）验证函数 y(x)1   L L( x)满足微分方程 3! 6! 9! (3n)! y y yex； ∞ x3n  （II）利用（I）的结果求幂级数 的和函数. (3n)! n0 x4 x6 x8 2.【04，数3，19题】设级数   L (  x  )的和函数 24 246 2468 为S(x). 求： （Ⅰ）S(x)所满足的一阶微分方程； （Ⅱ）S(x)的表达式. 168关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ∞ 3.【07，数1，20题】设幂级数  a xn 在(∞,∞)内收敛，其和函数 y(x)满足 n n0 y2xy4y0，y(0)0，y(0)1. 2 （Ⅰ）证明a  a ，n1,2,L n2 n1 n （Ⅱ）求y(x)的表达式. 4【. 13，数1，16题】设数列a 满足条件：a 3，a 1，a n(n1)a  0 (n2)， n 0 1 n2 n  S(x)是幂级数  a xn的和函数. n n0 （Ⅰ）证明：S(x)S(x)0； （Ⅱ）求S(x)的表达式. 169关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型——傅里叶级数（数一） ∞ 1.【03，数1，3题】设x2  a cosnx(π „ x „ π)，则a  . n 2 n0 1 2.【13，数1，3题】设 f(x) x ，b  2 1 f (x)sinnπxdx (n1,2,)，令 2 n 0   9 S(x) b sinnπx，则S    （ ） n  4 n1 3 1 1 3 （A） . （B） . （C） . （D） . 4 4 4 4 170关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 ∞ (1)n1 3.【08，数1，19题】将函数 f(x)1x2 (0xπ)展开成余弦级数，并求级数  n2 n1 的和. 171关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第八章 向量代数与空间解析几何 题型1——向量代数 1.【95，卷1，一（3）题】设(ab)c2，则[(ab)(bc)](ca) ． 题型2——空间解析几何 x  t 2,  1.【90，卷1，一（1）】过点M(1,2,1)且与直线 y 3t 4,垂直的平面方程是 .  z t 1 x 1,  x1 y2 z1 2.．【87，卷1，一（1）】与两直线 y  1t,及   都平行，且过原点的 1 2 1  z  2t, 平面方程为 . 172关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 3．【96，卷1，一（2）】设一平面经过原点及点(6,3,2)，且与平面4xy2z8垂直， 则此平面方程为 . x1 y5 z8 x y 6, 4．【93，卷1，二（3）】设有直线L :   与L : 则L 与L 的 1 1 2 1 2 2yz 3, 1 2 夹角为 （ ） π π π π （A） . （B） . （C） . （D） . 6 4 3 2 5.【06，数1，4题】点(2,1,0)到平面3x4y5z0的距离d  ． 173关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 x2 y2 6.【09，数1，17题】椭球面S 是椭圆  1绕x 轴旋转而成，圆锥面S 是过点(4,0) 1 4 3 2 x2 y2 且与椭圆  1相切的直线绕x 轴旋转而成. 4 3 （Ⅰ）求S 及S 的方程； 1 2 （Ⅱ）求S 与S 之间的立体体积. 1 2 x1 y z1 7.【98，数1，11题】求直线L:   在平面:xy2z10上的投影直 1 1 1 线L 的方程，并求L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 0 0 174关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型3—曲面的切平面与法线、空间曲线的切线与法平面 1【. 03，数1，2题】曲面z  x2  y2与平面2x4yz0平行的切平面的方程是 ． 2.【13，数1，2题】曲面x2 cos(xy) yz x 0在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ） （A）x yz2. （B）x yz 0. （C）x2yz3. （D）x yz 0. 3.【2001，数1，7题】设函数 f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且 f(0,0)3, f(0,0)1,则 x y （ ） （A）dz| 3dxdy. (0,0) （B）曲面z f(x,y)在点(0,0, f(0,0))的法向量为{3,1,1}. z  f(x,y), （C）曲线 在点(0,0, f(0,0))的切向量为{1,0,3}. y 0 z  f(x,y), （D）曲线 在点(0,0, f(0,0))的切向量为{3,0,1}. y 0 175关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【92，卷1，二（3）】在曲线x t,y  t2,z t3的所有切线中，与平面x2yz4平 行的切线 （ ） （A）只有1条. （B）只有2 条. （C）至少有3条. （D）不存在. 176关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第九章 三重积分 题型1—计算三重积分 1.【03，数1，18题】设函数 f (x)连续且恒大于零，  f(x2  y2 z2)dv  f(x2  y2)d F(t) (t) ，G(t) D(t) ，  f(x2  y2)d  t f(x2)dx t D(t) 其中(t){(x,y,z) x2y2z2 t2}，D(t){(x,y) x2y2 t2}. （I）讨论F(t)在区间(0,∞)内的单调性； 2 （II）证明：当t  0时，F(t)  G(t). π   2.【09，数1，12题】设 (x,y,z) x2y2z2 1 ，则z2dxdydz .  177关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 y2 2z, 3.【1997，数1，11题】计算I (x2 y2)dV,其中为平面曲线  绕z 轴旋转 x0  一周形成的曲面与平面z8所围成. 4.【89，卷 1，三（3）】计算三重积分(xz)dv，其中是由曲面 z x2 y2 与  z 1x2y2 所围成的区域. 178关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型2—三重积分的应用   1【. 10，数1，12题】设   x,y,z  x2  y2  z 1 ，则的形心竖坐标z . 2.【模拟题】某物体所在的空间区域为：:x2  y2 2z2  x y2z，其密度函数为 (x,y,z)  x2  y2 z2，求该物体的质量M . 3.【13，数1，19题】设直线L 过A(1,0,0)、B(0,1,1)两点，将L 绕 z 轴旋转一周得到曲 面 ， 与平面z  0 ，z  2 所围成的立体为. （Ⅰ）求曲面 的方程； （Ⅱ）求的形心坐标. 179关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 第十章 曲线积分与曲面积分 题型1—第一类曲线积分 x2 y2 1.【98，数1，3题】设L 为椭圆  1,其周长记为a ，则 4 3 Ñ (2xy3x2 4y2)ds  . L 2.【09，数1，11题】已知曲线L: y  x2(0 x  2)，则 xds  ． L 3.【89，卷 1，一（3）】设平面曲线 L 为下半圆 y 1x2 ，则曲线积分  (x2  y2)ds . L 180关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型2—第二类平面曲线积分   1.【03，数1，15题】已知平面区域D (x,y) 0 „ x „ π,0 „ y „ π ，L 为D的正向边界. 试证： （I）  xesinydyyesinxdx  xesinydyyesinxdx； L L （II）Ñ xesinydyyesinxdx2π2 . L 2.【04，数1，3题】设L 为正向圆周x2  y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分  xdy2ydx的值为 . L 3.【07，数1，6题】设曲线L: f(x,y)1（ f(x,y)具有一阶连续偏导数）过第二象限内的 点M 和第四象限内的点N ， 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是 （ ） （A） f(x,y)dx. （B） f(x,y)dy.   （C） f(x,y)ds. （D） f  (x,y)dx f  (x,y)dy.   x y 181关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 4.【08，数1，16题】计算曲线积分 sin2xdx2(x2 1)ydy，其中L 是曲线 y sinx上 L 从点(0,0)到点(,0)的一段. 5.【10，数1，11题】已知曲线L 的方程为 y 1 x ，x1,1 ，起点是1,0，终点 是1,0，则曲线积分 xydxx2dy . L 6.【12，数1，19题】已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2  y2 2x到点(2,0)，再 沿圆周x2  y2 4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分I  3x2ydx(x3x2y)dy. L 7【. 13，数1，4题】设L : x2  y2 1，L :x2  y2 2，L : x2  2y2  2，L :2x2  y2  2 1 2 3 4  y3   x3  为四条逆时针方向的平面曲线，记Ñ  y dx2x dy (i1,2,3,4)，则 L i 6   3  maxI ,I ,I ,I  （ ） 1 2 3 4 （A）I . （B）I . （C）I . （D）I . 1 2 3 4 182关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型3——平面曲线积分与路径无关 1.【02，数1，14题】设函数 f(x)在(∞,∞)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0) 内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d).记 1 x I  [1y2f(xy)]dx [y2f(xy)1]dy， L y y2 （I）证明曲线积分I 与路径L 无关； （II）当ab  cd 时，求I 的值. 2.【05，数1，19题】设函数(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L (y)dx2xydy 上，曲线积分 Ñ 的值恒为同一常数. L 2x2  y4 （Ⅰ）证明：对右半平面x  0 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有 (y)dx2xydy Ñ  0 ； C 2x2  y4 （Ⅱ）求函数(y)的表达式. 183关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学   3.【06，数1，19题】设在上半平面D (x,y) y0 内，函数 f(x,y)具有连续偏导数， 且对任意的t  0都有 f(tx,ty)t2f(x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲 线L ，都有Ñ yf(x,y)dxxf(x,y)dy 0. L 题型4——第一类曲面积分 1.【07，数1，14题】设曲面:|x|| y||z|1，则Ò (x| y|)dS  .  2.【10，数1，19题】设P 为椭球面S :x2  y2  z2  yz 1上的动点，若S 在点P 处的 (x 3) y2z 切平面与xOy面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分I  dS， 4 y2 z2 4yz  其中 是椭球面S 位于曲线C 上方的部分. 184关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学   3【. 12，数1，12题】设 (x,y,z) xyz1,x0,y0,z0 ，则y2dS  .  题型5——第二类曲面积分 1.【04，数1，17题】计算曲面积分I 2x3dydz2y3dzdx3(z2 1)dxdy，其中 是  曲面z 1x2  y2(z 0)的上侧. 2.【05，数1，4题】设是由锥面z x2 y2 与半球面z R2 x2 y2 围成的空间 区域， 是的整个边界的外侧，则xdydz ydzdxzdxdy  .  3.【06，数1，3题】设 是锥面z x2 y2 （0  z 1）的下侧，则 185关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 xdydz2ydzdx3(z1)dxdy  .  4.【07，数1，18题】计算曲面积分I xzdydz2zydzdx3xydxdy，其中 为曲面  y2 z1x2 (0z1)的上侧. 4 5.【08，数1，12题】设曲面 是z  4x2 y2 的上侧，则 xydydzxdzdxx2dxdy  .  xdydz ydzdxzdxdy 6.【09，数1，19题】计算曲面积分I  Ò ，其中 是曲面 3  (x2  y2 z2)2 2x2 2y2 z2 4的外侧. 186关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型6——第二类空间曲线积分 1.【11，数1，12题】设L 是柱面方程x2  y2 1与平面z  x  y 的交线，从z 轴正向往 y2 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Ñ xzdxxdy dz . L 2 2.【2001，数1，14题】计算I Ñ (y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz,其中L 是平 L 面xyz2与柱面 x  y 1的交线从z 轴正向看去，L 为逆时针方向. 3.【1997，数1，12题】计算曲线积分Ñ (z y)dx(x z)dy(x y)dz，其中C 是曲 C x2  y2 1, 线 从z 轴正向往z 轴负向看，C 的方向是顺时针的. x y z  2, 187关注公众号“李良讲数学” 获取更多好课资源 抖音/B站/小红书：@李良考研数学 题型7——场论初步（旋度、散度） 1.【01，数1，2题】设r  x2y2z2,则div(gradr)|  . (1,2,2) 2.【89真题改编】向量场A(x,y,z) xy2i yezj xln(1 z2)k在点P(1,1,0)处的旋度 rotA  . 188