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专题 22 计数原理与二项式定理
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课
中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法
作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名
学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
3、（2023年全国乙卷数学(理)）3．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外
读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种 D．240种
4、（2023年全国甲卷数学（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中
任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
5、（2023年新高考天津卷）在 的展开式中， 项的系数为_________．
6、【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
7、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
8、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配
方案共有（ ）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
9、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A． B． C． D．
10、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 个场馆，甲场馆安排 名，
乙场馆安排 名，丙场馆安排 名，则不同的安排方法共有 （ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
11、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
12、【2020全国Ⅱ理】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至
少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
13、【2020全国Ⅲ理14】 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
题组一、排列、组合问题
1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰
球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分
配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
1-2、（2023·安徽·统考一模）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十
大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要
求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
1-3、（2023·安徽铜陵·统考三模）若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动，两家企业均要求既
有女生又有男生，则不同的分配方案有（ ）种
A．20 B．28 C．32 D．64
1-4、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种.
A．144 B．72 C．36 D．24
1-5、（2023·吉林·统考三模）（多选题）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说
法正确的是（ ）
A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法
B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法
D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法
题组二、二项式定理展开式项与系数的问题
2-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．80 B． C． D．40
2-2、（2023·湖南永州·统考三模）在二项式 的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不
相邻，则不同的排列方案为（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
2-3、（2023·江苏南京·校考一模）在二项式 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这
个展开式中， 项的系数是__________．（用数字作答）
2-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是 ，
则 ______，展开式的常数项为______．（用数字作答）
题组三、二项式定理展开式的综合性问题
3-1、（2023·云南玉溪·统考一模）已知 展开式中x的系数为
q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶
点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．40 D．50
3-2、（2023·江苏南通·三模）已知 ，则__________.
3-3、（2023·安徽铜陵·统考三模） 的展开式中 的系数是______.
3-4、（2023·浙江温州·统考三模） 展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）
3-5、（2022·山东青岛·高三期末（多选题）） 的展开式中各项系数之和为2，则其中正
确的是（ ）
A．a=1
B．展开式中含 项的系数是
C．展开式中含 项
D．展开式中常数项为40
3-6、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的展开式中常数项是15 B． 的展开式中各项系数之和是0
C． 的展开式中的二项式系数最大值是15 D． 的展开式中不含 的项
1、（2023·山西晋中·统考三模）从0，1，2， ，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍
数，则不同的取法有_________种．（用数字作答）
⋯
2、（2023·山西阳泉·统考三模）在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展
示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小
组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分
配方式一共有________种．（用数字作答）
3、（2023·安徽·校联考三模）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已
知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．
4、（2023·辽宁沈阳·统考三模） 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．430 B．435 C．245 D．2405、（2023·重庆·统考三模）二项式 展开式的第r项系数与第r＋1项系数之比为（ ）
A． B． C． D．
6、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模） 的展开式中二项式系数最大的项是________.
7、（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在 的展开式中x的系数为______．
8、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知二项式 的展开式
中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 的指数均为偶数
9、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知 ， ．记
．
（1）求 的值；
（2）化简 的表达式，并证明：对任意 的， 都能被 整除．
