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专题23 圆锥曲线与内心问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知点 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若
的内心是G，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 、 是椭圆 的左右焦点，点 为 上一动点，且 ，若 为
的内心，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆 的离心率为 ，两个焦点分别为 ， ， 为椭圆
上异于顶点的任意一点，点 是 的内心，连接 并延长交 于点 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
4．已知 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，且 ，点P为双曲线右支上一点，M为
的内心，若 成立，则λ的值为（ ）A． B． C．2 D．
5．已知双曲线 ( )的左､右焦点分别为 为双曲线上的一点， 为 的内心，
且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为2，焦点到渐近线的距离为
.过 作直线 交双曲线 的右支于 两点，若 分别为 与 的内心，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设 为椭圆 上的动点， 为椭圆 的焦点， 为 的内心，则直线
和直线 的斜率之积（ ）
A．是定值 B．非定值，但存在最大值C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值
8．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过右焦点 的直线 与双曲线的右支交于 两点，
若 的内心分别为 ，则 与 面积之和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，M为C的右顶点，过 的直线与C的
右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为 ， 的内心，R，r分别为
， 内切圆的半径，则（ ）
A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧
C． D．
10．已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ，右顶点为A，点M为椭圆 上一点，点
I是 的内心，延长MI交线段 于N，抛物线 （其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆
交于B，C两点，若四边形 是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．椭圆 的离心率是
C． 的最小值为 D． 的值为
11．已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线 的右支上一点，且三角形 为正三角形（ 为坐标原点），记 ， 的斜率分别为 ， ，
设 为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．双曲线 的离心率为
C． D．
12．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 且倾斜角为 的直线交双曲
线C的右支于A，B两点，I为 的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（ ）
A．若C的离心率 ，则 的取值范围是
B．若 且 ，则C的离心率
C．若C的离心率 ，则
D．过 作 ，垂足为P，若I的横坐标为m，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知双曲线的中心在原点，右顶点为 ，点 在双曲线的右支上，点 到直线 的距离
为1．当 时， 的内心恰好是点 ，则双曲线的方程 ．
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P是C在第一象限上的一点，且
直线 的斜率为 ，点B为 的内心，直线PB交x轴于点A，且 ，则双曲线C的渐近
线方程为 ．15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，M是双曲线C右支上一点，记
的重心为G，内心为I．若 ，则双曲线C的离心率为 ．
16．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，点 为 的内心，若
，则 的面积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，其离心率是 ， 为椭圆上异于长轴端
点的一点， ，设 的内心为 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知直线 过定点 ，若椭圆 上存在两点 关于直线 对称，求直线 斜率 的取值范围．
18．已知椭圆C： ，直线 与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的
圆相切， 为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点， 的重心为G，内心为I，且 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线 与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线 过定点
，求实数k的取值范围．19．已知 是圆 ： 上的动点，点 ，直线 与圆 的另一个交点为 ，点
在直线 上， ，动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ， 都在 轴上方，问：在 轴上是否存在定
点 ，使得 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
20．已知椭圆 ， 直线 与以原点为圆心，以椭圆 的短半轴为半径的圆相切，
为其左右焦点， 为椭圆 上的任意一点， 的重心为 ，内心为 ，且 ,
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知 为椭圆 上的左顶点，直线 过右焦点 与椭圆 交于 两点，若 的斜率 满
足 ，求直线 的方程．21．已知点 是双曲线 的左、右焦点， 是 右支上一点， 的周长为
， 为 的内心，且满足 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过 的直线 与双曲线的右支交于 两点，与 轴交于点 ，满足 （其中
），求 的取值范围.
22．已知椭圆 的右焦点为 ，点A，B在椭圆C上，点 到直线 的距
离为 ，且 的内心恰好是点D．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线 上，求 面积的
最大值．
