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专题23 导数之凹凸反转
不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸
凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.
f(x)
【知识拓展】一般地，对于函数 的定义域内某个区间 上的不同
x ,x
的任意两个自变量的值 1 2，
x x f(x )f(x )
f( 1 2) 1 2
x =x
①总有 2 2 （当且仅当 1 2时，取等号），
f(x)
则函数 在 上是凸函数，其几何意义：函数 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的上方. ，则 单调
递减， 在 上为凸函数；
x x f(x )f(x )
f( 1 2) 1 2
x =x
②总有 2 2 （当且仅当 1 2时，取等号），
f(x)
则函数 在 上是凹函数，其几何意义：函数 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的下方. ，则 单调递增， 在 上为凹函数.
1．已知函数 .
（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： .
2．设函数 ．（1）当 时，求 的极值；
（2）当 时，证明： 在 上恒成立．
3．设函数 ， ．
（1）判断函数 零点的个数，并说明理由；
（2）记 ，讨论 的单调性；
（3）若 在 恒成立，求实数 的取值范围．
4．已知函数 ， ．
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证：当 时， ．
5．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ．
（1）求证： 时， ；
（2）求证： ．6．已知函数 且 （1） ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ．
7．已知函数 为常数）是实数集 上的奇函数，其中 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）讨论关于 的方程 的根的个数．
8．设函数 ， ．
（1）判断函数 零点的个数，并说明理由；
（2）记 ，讨论 的单调性；
（3）若 在 恒成立，求实数 的取值范围．
9．已知函数 ．（1）当 时，求 的单调区间与极值；
（2）当 时，证明： ．
10．设函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值点；
（2）当 时，证明： 在 上恒成立．
11．已知函数 ， .
（1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证： .
12．已知函数 在 处的切线方程为 .
（1）求 ；
（2）若方程 有两个实数根 ，且 ，证明： .
