人教版七年级上数学教案(1)_教资初高中_教资面试2025教资面试备考资料合集_教资面试资料合集_2025教资面试资料_25上教资面试-小学资料包_19教案：合集_初中学科全册教案

第一章 有理数教案
教学目标
1．知识与技能
①通过生活实例，了解有理数等知识是生活的需要．
②理解并掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念．
③通过本章的学习，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算．
2．过程与方法
通过全章的学习，培养学生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力．
3．情感、态度与价值观
①通过生活实例的引入，通过教师、学生双边的教学活动，激励学生学习数学的兴趣，让学生真正体验
到数学知识来源于生活并服务于生活．
②通过本章知识的学习，给学生渗透辩证唯物主义思想．
教学重点难点
重点：有理数的运算，这一章的主要学习目标都可以归结到有理数的运算上，诸如有理数的有关概念、
运算法则、运算律、近似数与有效数字等内容的学习，直接目标都是落实到有理数的运算上．
难点：负数概念的建立，对有理数中的有关概念以及有理数法则的理解，绝对值意义和运算中符号的确
定．
课时分配
内容 课时
1．1 正数和负数 1
1．2 有理数 4
1．3 有理数的加减法 5
1．4 有理数的乘除法 4
1．5 有理数的乘方 4
单元复习与验收 2
教学建议
教师在教学过程中注意从实际问题（即联系实际生活的典型例子）引入，让学生参与活动，在教师的引
导和学生大胆尝试的过程中，使学生自觉地发现问题，分析问题以及解决问题，从而使学生自得知识，自觅
规律．在这过程中，训练学生分析问题、解决问题的能力．
1．在进行有理数的有关概念的教学时：
（1）注意从实际问题引入，使学生知道数学知识来源于生活．如：从温度与海拔高度引入负数，从而得
出有理数的概念；借助温度引出数轴，建立数（有理数）与形（数轴上的点）之间的联系．
（2）注意利用数轴的直观性讲述相反数、绝对值，发挥字母表示数的优越性，使学生对概念的认识能更
深一步，并为今后学习整式、方程打下基础．
2．讲解有理数运算时，有理数加法及乘法法则的导出借助数轴更直观形象易理解，并且要着重在符号
法则的基础上，进行基本运算训练，提高学生计算准确率．
1．1 正数和负数
教学目标
1．知识与技能
①了解正数与负数是实际生活的需要．
②会判断一个数是正数还是负数．
③会用正负数表示互为相反意义的量．
2．过程与方法
通过正负数的学习，培养学生应用数学知识的意识、训练学生运用新知识解决实际问题的能力．
3．情感、态度与价值观
①通过教师、学生双边的教学活动，激发学生学习的兴趣，让学生体验到数学知识来源于生活并为生活
服务．
②通过正负数的学习，渗透对立、统一的辩证思想．
教学重点难点
重点：会判断正数、负数，运用正负数表示相反意义的量，理解0表示量的意义．
难点：负数的引入．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
课件展示 珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地，由同学感受高于水平面和低于水平面的不同情况．
（二）合作交流，解读探究
1．举出一些生活中常遇到的具有相反意义的量，如温度是零上7℃和零下5℃，买进90张课桌与卖出
80张课桌，汽车向东50米和向西120米，等．
想一想 以上都是一些具有相反意义的量，你能用小学算术中的数来表示出每一对量吗？你能再举一
些日常生活中具有相反意义的量吗？该如何表示它们呢？
2．为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量，如零上温度，前进、收入、上升、高出等
规定为正的，而把与它相反的量，如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负的，正的量用算述里学过的
数表示，负的量用学过的数前面加上“－”（读作负）号来表示（零除外）．
活动 每组同学之间相互合作交流，一同学任说有关相反的两个量，由其他同学用正负数表示．
讨论 什么样的数是负数？什么样的数是正数？0是正数还是负数？自己列举正数、负数．
【总结】正数是大于0的数，负数是在正数前面加“－”号的数，0既不是正数，也不是负数，是正数与负
数的分界．
（三）应用迁移，巩固提高例1 举出几对具有相反意义的量，并分别用正、负数表示．
【提示】 相反意义的量有“上升”与“下降”，“前”与“后”、“高于”与“低于”、“得到”与
“失去”、“收入”与“支出”等．
【点评】 这是一道开放性试题，旨在考查用正负数与相反意义量的表示能力．
例2 在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什
么？
【答案】 表示比标准质量低0.03克．
例3 2001年美国的商品进出口总额比上年减少6.4%可记为 -6.4% ，中国增长7.5%可记为 ＋
7.5 % ．
备选例题
（2004·山东淄博）某项科学研究以45分钟为1个时间单位，并记为每天上午10时为0，10时以前记
为负，10时以后记为正．例如，9:15记为-1，10:45记为1等等．依此类推，上升7:45应记为 （ ）
A.3 B.-3 C.-2.5 D.-7.45
【点拨】 读懂题意是解决本题的关键．7:45与10相差135分钟．
【答案】 B
（四）总结反思，拓展升华
为了表示现实生活中具有相反意义的量引进了负数．正数就是我们过去学过（除零外）的数，在正数前
加上“－”号就是负数，不能说“有正号的数是正数，有负号的数是负数”．另外，0既不是正数也不是负数
1．填空-1，2，-3，4，-5， 6 ， - 7 ， - 8 …第81个数是 – 8 1 ，第2005个数是 – 200 5 ．
【提示】通过观察可见，数字的排列是按正常的大小顺序，符号是负正相间，第奇数个为负，第偶数个为
正．
【点评】 本节是对探究问题的训练．
2．表1-1-1是小张同学一周中简记储蓄罐中钱的进出情况表（存入记为“＋”）：
表1-1-1
星期 日 一 二 三 四 五 六
（元） ＋16 +5.0 -1.2 -2.1 -0.9 +10 -2.6
（1）本周小张一共用掉了多少钱？存进了多少钱？
【答案】 6.8元，31元．
（2）储蓄罐中的钱与原来多了还是少了？
【答案】 多了．
（3）如果不用正、负数的方法记账，你还可以怎样记账？比较各种记账的优劣．
【答案】 用文字说明，但前者更简洁．
3．数学游戏：4个同学站成一排，从左到右每个人编上号：1，2，3，4．用“＋”表示“站”，“－”（负
号）表示“蹲”．
（1）由一个同学大声喊：+1，-2，-3，+4，则第1、第4个同学站，第2、第3个同学蹲，并保持这个姿势，然
后再大声喊：-1，-2，+3，+4，如果第2、第4个同学中有改变姿势的，则表示输了，作小小的“惩罚”；
（2）增加游戏难度，把4个同学顺序调整一下，但每个人记作自己原来的编号，再重复1．的游戏；
（3）这不仅仅是游戏哟！在电脑中，所有“命令”或“数据”都是用有理数（特别是二进制数）表示的．
例如，没有特别的“翻译”程序，电脑就不明白你给屏幕上的卡通人下的是“站”还是“蹲”的命令，这时
就可输入正负数以区别不同的姿势．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．填空题
（1）如果节约用水30吨记为+30吨，那么浪费20吨记为 － 2 0 吨．
（2）如果4年后记作＋4，那么8年前记作 - 8 ．
（3）如果运出货物7吨记作－7吨，那么＋100吨表示 运进货物 10 0 吨 ．
（4）一年内，小亮体重增加了3kg，记作＋3，小阳体重减少了2 kg，则小阳增长了 2k g ．
2．中午12时，水位低于标准水位0.5米，记作－0.5米，下午1时，水位上涨了1米，下午5时，水位又
上涨了0.5米．
（1）用正数或负数记录下午1时和下午5时的水位；
（2）下午5时的水位比中午12时水位高多少？
【答案】 （1）下午1时，水位0.5米；下午5时，水位－1米 （2）0.5+1=1.5（米）
提升能力
3．粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如
果超重部分用正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数．
【答案】 +2，-1，-0.2．
4．有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？
【答案】 有，是0．
5．下列各数中哪些是正数？哪些是负数？
－15，-0.02， ，- ，4，-2 ，1.3，0，3.14，
【答案】 正数： ，4，1.3，3.14， ；负数：－15，0.02，- ，-2
开放探究
6．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的记为正，迟到的记为负，结果最早到的同学记为＋3点，最迟
到的同学记为-1.5点，你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早多少小时？【答案】 最早的同学上午9点到，最迟的是下午1点半到，最早的比最迟的早到4.5个小时．
7．新中考题
（2004·玉林）冷库Ａ的温度是－5℃，冷库Ｂ的温度是－15℃，则温度高的是冷库 Ａ ．
1．2 有理数
1．2．1 有理数
教学目标
1．知识与技能
①理解有理数的意义．
②能把给出的有理数按要求分类．
③了解0在有理数分类的作用．
2．过程与方法
经历本节的学习，培养学生树立分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力．
3．情感、态度与价值观
通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育．
教学重点难点
重点：会把所给的各数填入它所在的数集的图里．
难点：掌握有理数的两种分类．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
讨论交流 现在，同学们都已经知道除了我们小学里所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数．大
家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪些类型的数．
（二）合作交流，解读探究
学生列举：3，5.7，-7，-9，-10，0， ， ，-3 ， -7.4，5.2…
议一议 你能说说这些数的特点吗？
学生回答，并相互补充：有小学学过的整数、0、分数，也有负整数、负分数．
说明：我们把所有的这些数统称为有理数．
试一试 你能对以上各种类型的数作出一张分类表吗？
有理数
说明：以上分类，若学生思考有困难，可加以引导：因为整数和分数统称为有理数，所以有理数可分为整
数和分数两大类，那么整数又包含那些数？分数呢？
做一做 以上按整数和分数来分，那可不可以按性质（正数、负数）来分呢，试一试．
有理数
（3）数的集合
把所有正数组成的集合，叫做正数集合．
试一试 试着归纳总结，什么是负数集合、整数集合、分数集合、有理数集合．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 把下列各数填入相应的集合内：
，3.1416，0，2004，- ，-0.23456，10%，10.l，0.67，-89
正数集合 … 负数集合 … 整数集合 … 分数集合 …
【答案】
22 8
,2004,10%, -3.1416,- ,
7 5
10.1,0.67,... -0.23456,-89,...
正数集合 负数集合12 8
,-3.1416,- ,
0,2004,-89,... 7 5
-0.23456,10%,10.1,
0.67,...
整数集合 分数集合
例2 以下是两位同学的分类方法，你认为他们的分类的结果正确吗？为什么？
有理数
有理数
【答案】 两者都错，前者丢掉了零，后者把正负数、整数、分数混为一谈．
【点评】 以上是对各类有理数的特点及有理数的分类进行的训练，基础性强，需要重视 （Ｂ）
①0是最小的正整数 ②0是最小的有理数
③0不是负数 ④0既是非正数，也是非负数
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例4 如果用字母表示一个数，那a可能是什么样的数，一定为正数吗？与你的伙伴交流一下你的看法．
【答案】 不一定，a可能是正数，可能是负数，也可能是0．
【点评】 此题开放性较强．同时，要求学生能用分类的思想对a全面认识．
备选例题
（2004·浙江温州）观察下列数，按某种规律在横线上填入适当的数，并说明你的理由． ， ， ，
________， ，…你的理解是_________．
【点拨】 找出各项数的特点是本题关键所在，第一个数为 ，后一个数是前一个数的分子，分母都加1
所得的数．
【答案】
（四）总结反思，拓展升华
提问：今天你获得了哪些知识？
由学生自己小结，然后教师总结：今天我们学习了有理数的定义和两种分类的方法．我们要能正确地判
断一个数属于哪一类，要特别注意“0”的正确说法．
1． 请你在图1-2-1的圈中填上适合的数，使得圈内的数依次为整数集、有理数集、正数集、分数集、
负数集．
【答案】 答案不唯一，如图1-2-2所示．3
0 81
12
- 0.4
5
2．有理数按正、负可分为
按整数分，可分为
（1）你能自己再制定一个标准，对有理数进行另一种分类吗？
（2）生活中，我们也常常对事物进行分类，请你举例说明．
【答案】 （1）如将有理数分成大于1的数，小于1的数，等于1的数．
（2）例如对人按年龄可分为：婴儿、幼儿、儿童、少年、青年、中年、老年．
3．下面两个圈分别表示负数集和分数集，你能说出两个图的重叠部分表示什么数的集合呢？
负数集合 分数集合
答案 负分数
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．把下列各数填入相应的大括号内：
-7，0.125， ，-3 ，3，0，50%，-0.3
（1）整数集合{-7，3，0}
（2）分数集合{0.125， ，-3 ，50%，-0.3}
（3）负分数集合{-3 ，-0.3}
（4）非负数集合{0.125， ，3，0，50%}
（5）有理数集合{-7，0.125， ，-3 ，3，0，50%，-0.3}
2．下列说法正确的是（Ｄ）
Ａ．整数就是自然数 Ｂ．0不是自然数
Ｃ．正数和负数统称为有理数 Ｄ．0是整数而不是正数
3．某商店出售的三种规格的面粉袋上写着（25±0.1）千克，（25±0.2千克），（25±0.3）千克的字样，
从中任意两袋，它们质量相差最大的是 0. 6 千克．
提升能力
4．字母a可以表示数，在我们现在所学的范围内，你能否试着说明a可以表示什么样的数？
【答案】a可以表示正整数，正分数，0，负整数或负分数．
5．某校对初一新生的男生进行了引体向上的测试，以能做5个为标准，超过的次数记为正数，不足的
次数记为负数，其中10名男生的测试成绩如下：
－2 -1 2 -1 3 0 -1 -2 1 0
（1）这10名男生有百分之几达标（即达标率）？
（2）这10名男生共做了多少个引体向上？
【答案】 （1）50%；（2）5×10-1=49（个）开放探究
6．应用创新题
若向东8米记作＋8米，如果一个人从Ａ地出发先走＋12米，再走－15米，又走＋18米，最后走－20米，
你能判断这个人此时在何处吗？
【答案】 在Ａ地西边5米处．
7．新中考题
（2004·内蒙古赤峰）我市2004年元月某一天的天气预报中，宁城县的最低温度是－22℃，克旗的最低
温度是－26℃，这一天宁城县的最低气温比克旗的最低气温高 （Ａ）
A．4℃ B．-4℃ C．8℃ D．-8℃
（六）资料采撷
原始的计算工具
计算是人类的一种思维活动，人类初期的计算主要是计数．最早用来帮助计数的工具是人类的四肢（手
脚、手指、脚趾）或身边的小石头、贝壳、绳子等．中国有句古话叫“屈指可数”，说明人们常用手指来计算简
单的数．
在美国纽约的博物馆里，珍藏着一件从秘鲁出土的古代文物，名叫“基普”，意即打了绳结的绳子．基
普是古人用来计数和记事的．传说公元前6世纪，波斯国王在一次征战中曾命令一支部队守桥，他把一条
打了结的皮带交给留守将士，要他们每守一天解开一个结，一直守到皮带上的结全部解完了才准撤退．
在没有文字的我国古代，人们用在绳子上打结的方法来计数和记事．一件事打一个结，大事打个大结，
小事打个小结，办完了一件事就解掉一个结．
古人不仅用绳结计数，而且还使用小石子等其他工具来计数．例如，他们饲养的羊，早晨放牧到草地里，
晚上必须圈到栅栏里．这样，早晨从栅栏里放出来的时候，出来一只就往罐子里扔一块小石子；傍晚羊进栅
栏时，进去一只就从罐子里拿出一块小石子．如果石子全部拿光了，就说明羊全部进圈了；如果罐子里还剩
下石子，说明有羊丢失了，必须立刻寻找．
1．2．2 数轴
教学目标
1．知识与技能
①掌握数轴三要素，能正确画出数轴．
②能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．
2．过程与方法
①使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识．
②结合本节内容，对学生渗透数形结合的重要思想方法．
3．情感、态度与价值观
使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点．
教学重点难点
重点：数轴的概念．
难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
课件展示 在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50m和西150m处分别有一个书店和一个超
市，学校西100m和160m处分别有一个邮局和医院，分别用A、B、C、D表示书店、超市、邮局、医院，你会画图
表示这一情境吗？（学生画图）
（二）合作交流，解读探究
师：对照大家画的图，为了使表达更清楚，我们把0左右两边的数分别用正数和负数来表示，即用一直
线上的点把正数、负数、0都表示出来．也就是本节内容──数轴．
点拨 （1）引导学生学会画数轴．
第一步：画直线定原点
第二步：规定从原点向右的方向为正（左边为负方向）
第三步：选择适当的长度为单位长度（据情况而定）
第四步：拿出教学温度计，由学生观察温度计的结构和数轴的结构是否有共同之处．
对比思考：原点相当于什么；正方向与什么一致；单位长度又是什么？
（2）有了以上基础，我们可以来试着定义数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．
做一做 学生自己练习画出数轴．
试一试：你能利用你自己画的数轴上的点来表示数4，1.5，-3，- ，0吗？
讨论 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？与原点相距多少个单位长度；表
示－a的点在原点的什么位置上？与原点又相距了多少个长度单位？
小结 整数能在数轴上都找到点吗？分数呢？
可见，所有的__________都可以用数轴上的点表示___________都在原点的左边，______________都
在原点的右边．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2
① ② ③
0 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2
④ ⑤ ⑥
-2 -1 0 1 2
⑦
【答案】 ①错．没有原点 ②错．没有正方向 ③正确 ④错．没有单位长度 ⑤错．单位长度不统一
⑥正确 ⑦错．正方向标错
例2 试一试：用你画的数轴上的点表示4，1.5，-3，- ，0
【答案】
C D E B A
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图中Ａ点表示4，Ｂ点表示1.5，Ｃ点表示-3，Ｄ点表示－ ，Ｅ点表示0．
例3 如果a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？表示－a的点在原点的什么
位置上呢？
【提示】 由数轴上数的特点不准得到，正数都在原点的右边，负数都在原点左边．
【答案】 所有的有理数都可以在数轴上找个点与它对应，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示
负数．
【点评】 数与数轴上的点结合，这是一种重要的数学思想，数形结合．
例4 下列语句：①数轴上的点又能表示整数；②数轴是一条直线；③数轴上的一个点只能表示一个数
④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有
（Ｂ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【提示】 题中，结合数轴上的点与有理数的特点，可见①中错误的；②、③是正确的；④中可以含有0，
⑤中应该是所有的有理数都可以在数轴上找出对应的点，但并不是数轴上的点都表示有理数．
例5 （1）与原点的距离为2.5个单位的点有 两 个，它们分别表示有理数 2. 5 和 -2. 5 ．
（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7个单位到达终点，那么终点表示的数是
+ 3 ．
例6 在数轴上表示－2 和1 ，并根据数轴指出所有大于-2 而小于1 的整数．
【答案】 -2，-1，0，1
【点评】 本题反映了数形结合的思想方法．
例7 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若这个数轴上随意画出一条长2000cm
的线段AB，则线段AB盖住的整点是（C）
A．1998或1999 B．1999或2000
C．2000或2001 D．2001或2002
【提示】分两种情况分析：（1）当线段AB的起点是整点时，终点也落在整点上，那就盖住2001个整点；
（2）是当线段AB的起点不是整点时，终点也不落在整点上，那么线段AB盖住了2000个整点．
【点评】 本题体现了新课程标准的探索和实践能力．
备选例题
（2004·新疆生产建设兵团）在数轴上，离原点距离等于3的数是________．
【点拨】 不要忽视在原点的左右两边．
【答案】 ±3
（四）总结反思，拓展升华
数轴是非常重要的工具，它使数和直线上的点建立了对立关系．它揭示了数和形的内在联系，为我们今
后进一步研究问题提供了新方法和新思想．大家要掌握数轴的三要素，正确画出数轴．提醒大家，所有的有
理数都可以用数轴上的相关点来表示，但反过来并不成立，即数轴上的点并不都表示有理数．
一条直线的流水线上，依次有5个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点M、M、M、M、M 表示，
1 2 3 4 5
如图：
M 1 M 2 M 3 M 4 M 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（1）点M 和M 所表示的有理数是什么？
4 2（2）点M 和M 两点间的距离为多少？
3 5
（3）怎样将点M 移动，使它先达到M，再达到M，请用文字说明；
3 2 5
（4）若原点是一休息游乐所，那5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？
【答案】 （1）M 表示2，M 表示3；（2）相距7个单位长度；（3）先向左移动1个单位，再向右移动8个单
4 2
位长度；（4）17个单位长度．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．规定了 原点 、 正方向 、 单位长度的直线 叫数轴，所有的有理数都可从用 数轴 上的点
来表示．
2．P从数轴上原点开始，向右移动2个单位，再向左移5个单位长度，此时P点所表示的数是 - 3 ．
3．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（C）
A．7 B．-3 C．7或-3 D．不能确定
4．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（D）
A．正数 B．负数 C．不是负数 D．不是正数
5．数轴上表示5和-5的点离开原点的距离是 5 ，但它们分别 在原点的两边 ．
提升能力
6． 1 是最小的正整数， 0 是最小的非负数， 0 是最大的非正数．
7．与原点距离为3.5个单位长度的点有 2 个，它们分别是 3. 5 和 -3. 5 ．
8．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，-4.5，4，3
【答案】 略
开放探究
9．在数轴上与-1相距3个单位长度的点有 2 个，为 - 4 或 2 ；长为3个单位长度的木条放在数轴
上，最多能覆盖 4 个整数点．
10．新中考题
（2004·南京）下列四个数中，在-2到0之间的数是（Ａ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
1．2．3 相反数
教学目标
1．知识与技能
①借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的位置关系．
②给一个数，能求出它的相反数．
2．过程与方法
①训练学生利用数轴应用数形结合的方法解决问题．
②培养学生自己归纳总结规律的能力．
3．情感、态度与价值观
①通过相反数的学习，渗透数形结合的思想．
②感受事物之间对立、统一联系的辩证思想．
教学重点难点
重点：理解相反数的意义．
难点：理解和掌握双重符号简化的规律．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
活动 请一个学生到讲台前面对大家，向前走5步，向后走5步．
交流 如果向前走为正，那向前走5步与向后走5步分别记作什么？
（二）合作交流，解读探究
１．观察下列数：6和-6，2 和－2 ，7和－7， 和－ ，并把它们在数轴上标出．
想一想 （1）上述各对数之间有什么特点？
（2）表示这两对数的点在数轴上有什么特点？
（3）你能够写出具有上述特点的数吗？
观察 像这样只有符号不同的两个数叫相反数．
两个互为相反数的数，在数轴上的对应点（0除外），是在原点两旁，并且距离原点相等的两个点．即：
互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称．我们把a的相反数记为－a，并且规定0的相反数就
是零．
【总结】 在正数前面添上一个“－”号，就得到这个正数的相反数，是一个负数；把负数前的“－”号
去掉，就得到这个负数的相反数，是一个正数．
２．在任意一个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如-（+5）=-5，表示+5的相反数
为-5；-（-5）=5，表示-5的相反数是5；-0=0，表示0的相反数是0．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 填空
（1）-5.8是 5. 8 的相反数， 3 的相反数是－（+3），a的相反数是 – a ，a-b的相反数是 -（ a -
b ） ，0的相反数是 0 ．
（2）正数的相反数是 负数 ，负数的相反数是 正数 ， 0 的相反数是它本身．
例2 下列判断不正确的有 （C）①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边；③所有的有
理数都有相反数；④相反数是符号相反的两个点．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例3 化简下列各符号：
（1）-[-（-2）] （2）+{-[-（+5）]}
（3）-{-{-…-（-6）}…}（共n个负号）
【答案】 （1）-2 （2）5 （3）当n为偶数时，为6；当n为奇数时，为-6．
【提示】 化简的规律是：有偶数个负号，结果为正；有奇数个负号，结果为负．
例4 数轴上A点表示+4，B、C两点所表示的数是互为相反数，且C到A的距离为2，点B和点C各对应
什么数？
【答案】 C点表示2或6，则相应的B点应表示-2或-6．
【提示】 画出数轴，结合数轴的特点来分析．
【点评】 经历观察数学活动，发展自己的指导能力．
备选例题
（2004·江西）如图所示，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是___________．
A
a 0
【点拨】 由数轴上的位置，不难知道a是一个负数，这是解决本题的前提．
【答案】 -a
（四）总结反思，拓展升华
归纳 ①相反数的概念及表示方法．
②相反数的代数意义和几何意义．
③符号的化简．
1．（1）王亮说：“一个数总比它的相反数大”．你认为正确吗？为什么？
（2）若数轴上表示一对相反数的两点之间的距离为26.8，求这两个数．
【答案】 （1）不正确，如0的相反数还是0，负数的相反数是正数．
（2）其中的一个数到原点的距离为13.4，所以这两个数是＋13.4和－13.4．
2．你若a是不小于－1又不大于3的数，那么a的相反数是什么样的数呢？
【提示】 结合数轴进行观察比较．
解：由题意知-1≤a≤，而-1，a，3的相反数分别是1，-a，-3．
∴-a在1和-3之间
故-3≤a≤1
∴a的相反数是不小于-3又不大于1的数．
【点评】 在解决问题中，能进行简单的、有条理的思考．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．判断题
（1）-3是相反数 （×）
（2）-7和7是相反数 （∨）
（3）-a的相反数是a，它们互为相反数 （∨）
（4）符号不同的两个数互为相反数 （×）
2．分别写出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来．
1，-2，0，4.5，-2.5，3
【答案】 相反数分别为：-1，2，0，-4.5，2.5，-3，数轴表示略．
3．若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（Ｂ）
A．正数 B．正数或0 C．负数 D．负数或0
4．一个数比它的相反数小，这个数是（Ｂ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
5．数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为4 ，则这两个数是± ．
6．比-6的相反数大7的数是 1 3 ．
提升能力
7．若a与a-2互为相反数，则a的相反数是 – 1 ．
8．（1）-（-8）的相反数是 – 8 ，
（2）+（-6）是 6 的相反数．
（3） 1- a 的相反数是a-1．
（4）若-x=9，则x= - 9 ．
9．已知有理数m、-3、n在数轴上位置如图所示，将m、-3、n的相反数在数轴上表示，并将这6个数用
“<”连接起来．
-3 M 0
【答案】 -3<-n<m<-m<n<3
开放探究10．如图是一个正方体纸盒的展开图，请把-11，12，11，-2，-12，2分别填入六个正方形，使得按虚线折
成的正方体后，对面上的两个数互为相反数．
2
12 11 -12 -11
-2
11．试讨论-a的正负．
【答案】 当a<0时，-a>0，当a>0时，-a〈0，当a=0时，－a=0．
12．新中考题
（2004·河南）－ 的相反数是 （Ａ）
A． B．－ C． D．－
1．2．4 绝对值（第一课时）
教学目标
1．知识与技能
①能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
②通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
2．过程与方法
经历绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力．
3．情感、态度与价值观
①通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想．
②体验运用直观知识解决数学问题的成功．
教学重点难点
重点：给出一个数，会求它的绝对值．
难点：绝对值的几何意义、代数定义的导出．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
活动 请两同学到讲台前，分别向左、向右行3米．
交流 ①他们所走的路线相同吗？ ②若向右为正，分别可怎样表示他们的位置？ ③他们所走的路
程的远近是多少？
（二）合作交流，解读探究
观察 出示一组数6与-6，3.5与-3.5，1和-1，它们是一对互为________，它们的__________不同，
__________相同．
【总结】 例如6和-6两个数在数轴上的两点虽然分布在原点的两边，但它们到原点的距离相等，如果
我们不考虑两点在原点的哪一边，只考虑它们离开原点的距离，这个距离都是6，我们就把这个距离叫做6
和－6的绝对值．
绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作│a│．
想一想 （1）-3的绝对值是什么？
（2）+2 的绝对值是多少？
（3）-12的绝对值呢？
（4）a的绝对值呢？
答案略．
交流 同桌间合作交流，每位同学任说五个数，由同桌指出它们的绝对值．
思考 例1 求8，-8，3，-3， ，－ 的绝对值．（出示胶片）
由此，你想到什么规律？
总结 互为相反数的两个数的绝对值相同．
求+2.3，-1.6，9，0，-7，+3的绝对值．（出示胶片）
由此，你想到什么规律？
讨论交流 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是零．
总结 正数的绝对值是它本身．
负数的绝对值是它的相反数．
零的绝对值是零．
讨论 字母a可以代表任意的数，那么表示什么数？这时a的绝对值分别是多少？
学生活动：分组讨论，教师加入讨论，学生相反补充回答．
归纳 若a>0，则│a│=a若a<0，则│a│=-a
若a=0，则│a│=0
（三）应用迁移，巩固提高
例题填空：
（1）绝对值等于4的数有 2 个，它们是 ± 4 ．
（2）绝对值等于-3的数有 0 个．
（3）绝对值等于本身的数有 无数 个，它们是 0 和正数（非负数） ．
（4）①若│a│=2，则a= ± 2 ．
②若│-a│=3，则a= ± 3 ．
（5）绝对值不大于2的整数是 0 ， ± 1 ， ± 2 ．
（6）根据绝对值的意义，思考：
①如果=1，那么a > 0；
②如果=-1，那么a < 0；
③如果a<0，那么－│a│= a ．
【点评】 去绝对值符号，首先要判断绝对值里的正负情况，由此发展自身的合情推理能力．
备选例题
（2004·四川资阳）绝对值为4的数是 （ ）
A．±4 B．4 C．-4 D．2
【点拨】 要注意到一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
【答案】 A
（四）总结反思，拓展升华
本节课，我们学习认识了绝对值，要注意掌握以下两点：①一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点
到原点的距离；②求一个数的绝对值必须先判断是正数还是负数．
1．阅读与理解：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为│AB│．
当AB两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1）所示，│AB│=│OB│=│b│=│a-b│；
当A、B两点都不在原点时：
① 如图（2）所示，点都在原点的右边，
│AB│=│OB│-│OA│=│b│-│a│=b-a=│a-b│；
② 如图（3）所示，点都在原点的左边，
│AB=│OB│-│OA│=│b│-│a│=-b-（-a）=│a-b│；
③ 如图（4）所示，点都在原点的两边，
│AB│=│OA│+│OB│=│a│+│b│=-a+b=│a-b│；
a b a b b a a b
O(A) B O A B B A O A O B
(1) (2) (3) (4)
综上，数轴上A、B两点之间的距离│AB│=│a-b│．
2．回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示-2和－5的两点之间的距离是 3 ，数
轴上表示1和-3的两点之间的距离是 4 ；
（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离是 │ x+ 1 │ ，如果│AB│=2，那么x为 1 或是 - 3 ；
（3）当代数式│x+1│+│x-2│取最小值时，相应的x的取值范围是 - 1 ≤ x ≤ 2 ．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．填空题
（1）-│-3│= - 3 ，+│-0.27│= 0.2 7 ，
-│+26│= -2 6 ，-（+24）= -2 4 ．
（2）-4的绝对值是 4 ，绝对值等于4的数是 ± 4 ．
（3）若│x│=2，则x= ± 2 ，若│-x│=2，则x= ± 2 ．若│-x│=3，则x 不存在 ．
（4）│3.14- ｜= -3.1 4 ．
（5）绝对值小于3的所有整数有 ± 2 ， ± 1 ， 0 ．
2．选择题
（1）则│a│≥0，那么 （D）
A．a>0 B．a<0 C．a≠0 D．a为任意数
（2）若│a│=│b│，则a、b的关系是 （C）
A．a=b B．a=-b C．a+b=0或a-b=0 D．a=0且b=0
（3）下列说法不正确的是 （B）
A．如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值也必不相等
C．两个负有理数，绝对值大的离原点远
D．两个负有理数，大的离原点近
（4）若│x│+x=0，则x一定是 （C）
A．负数 B．0 C．非正数 D．非负数
（5）已知│a+b│+│a-b│-2b=0，在数轴上给出关于a、b的四种位置关系，则可能成立的有 （B）a 0 b b 0 a 0 a b 0 b a
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
提升能力
3．若实数a、b满足│3a-1│+│b-2│=0，求a+b的值．
【答案】 a= ，b=2，a+b=2
开放探究
4．正式排球比赛，对所使用的排球的重量是严重规定的，检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记
为正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表：
+15 -10 +30 -20 -40
指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题？
【答案】 第2个球更好一些，因为它的绝对值最小，说明接近规定的重量．
5．新中考题
（2004·长沙）-2的绝对值是 2 ．
1．2．4 绝对值（第二课时）
教学目标
1．知识与技能
会利用绝对值比较两个负数的大小．
2．过程与方法
利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
敢于面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心．
教学重点难点
重点：利用绝对值比较两个负数的大小．
难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
投影 你能比较下列各组数的大小吗？
（1）│-3│与│-8│ （2）4与-5 （3）0与3
（4）-7和0 （5）0.9和1.2
（二）合作交流，解读探究
讨论交流 由以上各组数的大小比较可见：正数都大于0，0都大于负数，正数都大于负数．
思考 若任取两个负数，该如何比较它的大小呢？
点拨 若-7表示－7℃，-1表示－1℃，则两个温度谁高谁低？
【总结】 两个负数，绝对值大的反而小，或说，两个负数绝对值小的反而大．
注意 ①比较两个负数的大小又多了一种方法，即：两个负数，绝对值大的反而小．
②异号的两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑先比较它们的绝对值．
③在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序也就是从小到大的顺序，即：左边的数总比右边的数要小
即：利用数轴来比较有理数的大小．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 比较下列各组数的大小
（1）－ 和－2.7
（2）－ 和－
解：（1）∵ ｜－ ｜＝ │-2.7│=2.7，而 ＜2.7
∴ － >-2.7
（2）∵｜－ ｜= ＝ ，｜－ ｜＝ ＝ ，而 ＜ ∴－ ＞－
例2 按从大到小的顺序，用“〈”号把下列数连接起来．
-4 ，-（- ），│-0.6│，-0.6，-│4.2│
解：∵-（- ）= ，│-0.6│=0.6，-│4.2│=-4.2而|-4 |=4 ，│-0.6│=0.6，│-4.2│=4.2
且4 >4.2>0.6，0.6<
∴ -4 <-│4.2│<-0.6<│-0.6│<-（- ）
例3 自己任写三个数，使它大于- 而小于- ．
【点评】 此题是一个开放型问题，培养学生发散性思维．
例4 已知│a│=4，│b│=3，且a>b，求a、b的值．
【答案】 a=4，b=±3
备选例题
（2004．江苏南通）如图1-2-11所示，在所给数轴上画出数-3，-1，│-2│的点．把这组数从小到大用
“〈”号连接起来．
0 1
【提示】 把它们分别在数轴上点出相关位置，并比较大小．
【答案】 略
（四）总结反思，拓展升华
1．本节课所学的有理数的大小比较你能掌握两种方法吗？
（1）利用数轴，在数轴上把这些数表示出来，然后根据“数轴上左边的数总比右边的数大”来比较；
（2）利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小”来进行．
2．（1）阅读下列比较－a与－ a的大小的解题过程：
解：∵│-a│=a，│- a│= a
又∵a> a ∴-a<- a
你认为上述解答过程正确吗？与同学们研究，并发表你的看法．
（2）要比较有理数a和 a的大小时，因为a的正、负不能确定．所以要分a>0，a=0，a<0三种情况讨论：
当a>0时，a> a．
当a=0时，a= a．
当a<0时，a< a．
利用以上结论解题：
①计算│a│+a=_________．
②比较3a+a的值．
【点评】 （1）错，-a与- a并不一定是负数，不可以用比较绝对值方法加以比较，可以用比差法，也
可以分类．
（2）①当a>0时，2a；当a≤0时，0
②a>0时，3a>a；a=0时，3a=a；a<0时，3a<a．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．填空题
（1）绝对值小于3的负整数有 - 1 ， - 2 ，绝对值不小于2且不大于5的非负整数有 2 、 3 、 4 、 5 ．
（2）若│x│=-x，则 x ≤ 0 ，若＝1，则 a> 0 ．
（3）用“〉”、“＝”、“〈”填空：
①-7 < -5 ②-0.1 < -0.01
③-│-3.2│ < -（-3.2） ④-│- │ > -3.34⑤- > － ⑥-（- ） > 0.025
⑦- < -3.14 ⑧- > －
（4）若│x+3│=5，则x= 2 或－ 8 ．
2．选择题
（1）下列判断正确的是 （Ｄ）
A．a>-a B．2a>a C．a>- D．│a│≥a
（2）下列分数中，大于－ 而小于－ 的数是 （B）
A．－ B．－ C．－ D．－
（3）│m│与－5m的大小关系是 （D）
A．│m│>-5m B．│m│<-5m
C．│m│=-5m D．以上都有可能
（4）m≠0，则 ＝ （C）
A．1 B．-1 C．±1 D．无法判断
提升能力
3．解答题
（1）比较－ 和－ 的大小，并写出比较过程．
【答案】 － ＜－ ，过程略
（2）求同时满足：①│a│=6，②-a>0这两个条件的有理数a．
【答案】 a=-6
（3）将有理数：-（-4），0，-│-3 │，-│+2│，-│-（+1.5）│，-（-3），│-（+2 ）│表示到数轴上，并
用“〈”把它们连接起来．
【答案】 略
（4）甲、乙、丙、丁四个有理数讨论大小问题．甲说：我是正整数中最小的．乙说：我是绝对值最小的．丙
说：我与甲的一半相反．丁说：我是丙的倒数．你能写出它们分别是多少吗？然后按从小到大的顺序排列．
【答案】 甲乙丙丁分别是1，0，- ，-2，丁〈丙〈乙〈甲
（5）若a<0，b>0，且│a│<│b│，试用“〈”号连接a、b、-a、-b．
【答案】 -b<a<-a<b
开放探究
4．开放题
已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对
应的数有哪些？
【答案】 -3、-1、1、3
5．新中考题
（2004·山东泰安）若│a│=1，│b│=4，且ab<0，则a+b＝ 3 或 - 3 ．
（六）资料采撷
“数形结合”的思想方法
数学是研究数和形的学科，代数研究数的问题，几何研究图形的性质．在数学里数和形是密切联系的，
我们常常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助几何图形来理解代数概念，寻找解题思路，处理代
数问题．这种数和形之间的相互应用，是一种重要的数学思想，叫做数形结合思想．
数轴的引入，使我们能用直观的图形来理解数的有关概念，这就是“数”与“形”的结合．利用数轴可
以比较几个有理数的大小；利用数轴可以更好地理解相反数、绝对值的概念；利用数轴可以直观地研究有理
数的加法运算等．也就是说，在后面将充分利用数轴这个工具，从数形结合的观点出发，学习一系列新知识．
1．3 有理数的加减法
1．3．1 有理数的加法（第一课时）教学目标
1．知识与技能
经历探索有理数的加法法则，理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理
数的加法运算．
2．过程与方法
①有理数加法法则的导出及运用过程中，训练学生独立分析问题的能力及口头表达能力．
②渗透数形结合的思想，培养学生运用数形结合的方法解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
①通过观察、归纳、推断得到数学猜想，体验数学充满探索性和创造性．
②运用知识解决问题的成功体验．
教学重点难点
重点：有理数的加法法则的理解和运用．
难点：异号两数相加．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
课件展示 下午放学时，小新的车子坏了，他去修车，不能按时回家，怕妈妈担心，打电话告诉妈妈，可
妈妈坚持要去接他，问他在什么地方修车，他说在我们学校门前的东西方向的路上，你先走20米，再走30米，
就能看到我了．于是妈妈来到校园门口．
（二）合作交流，解读探究
讨论 妈妈能找到他吗？
讨论交流 若规定向东为正，向西为负．
（1）若两次都向东，很显然，一共向东走了50米．
算式是：20+30=50
即这位同学位于学校门口东方50米．
这一运算可用数轴表示为
20 30
-10 0 10 20 30 40 50
（2）若两次都向西，则他现在位于原来位置的西50米处．
算式是：（-20）+（-30）=-50
这一算式在数轴上可表示成：
-50 -40 -30 -20 -10 O 10 20 30
（3）若第一次向东20米，第二次向西走30米．则利用数轴可以看到这位同学位于原位置的西方10米
处．
算式是：+20+（-30）=-10（学生试画数轴以下同）
（4）若第一次向西走20米，第二次向东走30米．利用数轴可以看到这位同学位于原位置的什么地方？
如何用算式表示？
算式是：（-20）+（+30）=+10
对以下两种情形，你能表示吗？
（5）第一次向西走了20米，第二次向东走了20米，那这位同学位于原位置的什么地方？
这位同学回到了原位置．即：-（20）+（+20）=0．
（6）如果第一次向西走了20米，第二次没有走，那如何呢？
-20+0=-20
思考 根据以上6个算式，你能总结出有理数相加的符号如何确定？和的绝对值如何确定？互为相反
数相加，一个有理数和0相加，和分别为多少？
学生活动 小组讨论、试看分类、归纳
观察（1）式，两个加数都为正，和的符号也是正，和的绝对值正好是两个加数绝对值的和．
观察（2）式，两个加数都为负，和的符号也是负，和的绝对值是两个加数绝对值的和．
由（1）（2）归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
如：（-7）+（-8）=-15，16+17=+33，（-4）+（-9）=-13
观察（3）式、（4）式可见：两个加数的符号不同，和的符号有的是“＋”号，有的是“－”号，为了更清
楚总结规律．可引导学生再举几个类似的例子，从而可总结得到：
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
观察（5）可知：互为相反的两个数和为0．
观察（6）可知：一个数和零相加，仍然得这个数．
【总结】 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
值，互为相反数的两个数相加得0．
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
（三）应用迁移，巩固提高例1 计算
（1）（-4）+（-6）= -1 0
（2）（+15）+（-17）= - 2
（3）（-39）+（-21）= -6 0
（4）（-6）+│-10│+（-4）= 0
（5）（-37）+22= -1 5
（6）-3+（3）= 0
例2 某足球队在一场比赛中上半场负5球，下半场胜4球，那么全场比赛该队净胜 － 1 球．
例3 绝对值小于2005的所有整数和为 0 ．
例4 一个数是11，另一个数比11的相反数大2，那么这两个数的和为（C）
A．24 B．-24 C．2 D．-2
例5 下面结论正确的有 （B）
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．
②一个正数与一个负数相加得正数．
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．
④两个正数相加，和为正数．
⑤两个负数相加，绝对值相减．
⑥正数加负数，其和一定等于0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例6 根据有理数加法法则，分别根据下列条件，利用│a│与│b│表示a与b的和：
（1）a>0，b>0，则a+b= │ a │ + │ b │
（2）a<0，b<0，则a+b= - （│ a │ + │ b │）
（3）a>0，b<0，│a│>│b│，则a+b= │ a │ - │ b │
（4）a>0，b<0，│a│<│b│，则a+b= - （│ b │ - │ a │）
例7 如果a>0，b<0，且a+b<0，比较a、+a、b、－b的大小．
【提示】 由a>0，b<0，且a+b<0，根据加法法则来确定a、b的绝对值的大小再利用数轴来比较大小．
【答案】 b<-a<a<-b．
【点评】 数形结合的思想是解决问题的关键．
备选例题
（2004·南京）在1，－1，-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A.1 B.0 C.-1 D.3
【点拨】 只有找出最大的两个数，才会出现最大的和．
【答案】 B
（四）总结反思，拓展升华
1．有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应先判断类型，然后确定和的符号，最后计算和
的绝对值．特别是绝对值不等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数符号相同，并把绝对值相减，
因为正负互为抵消了一部分．
2．活动
（1）请你在顺序给出的数字2、3、4、5、6、7、8、9前面添加“＋”或“－”号，使它们的和为10；
（2）把你的答案与同学的答案对一下，有什么不一样？不同的填写方法共有几种？
（3）若允许出现一位数和两位数（不改变给出的数字的次序，在某些数字前面不添加“＋”或“－”
号，此时把连续的两个数字示为两位数），还能得到10吗？回答是肯定的．例如：2+34+56+7-89，请你试一试，
写出几个式子：
（4）请你另外约定某个规则，并按规则写出一些式子来．
【答案】 （1）-2-3-4+5+6+7-8+9；-2-3+4-5+6-7+8+9；
-2+3-4-5-6+7+8+9；-2+3+4+5-6+7+8-9；
-2+3+4+5+6-7-8+9；2-3+4-5+6+7+8-9；
2-3+4+5-6+7-8+9；2+3-4-5+6+7-8+9；
2+3-4+5-6-7+8+9；2+3+4+5+6+7-8-9（提示：使得负数之和为17）．
（2）共10种 （3）如23+4+5+67-89等
（4）在顺次给出的数字2，3，4，5，6，7，8，9前面增加“＋”或“－”号，使它们的和为0．如2+3+4-
5+6+7-8-9等．（提示：使得负数和为22）
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．填空题
（1）绝对值不小于3且小于5的所有整数的和为 0 ．
（2）已知两数5 和－6 ，这两个数的相反数的和是 1 ，两数和的相反数是 1 ，两数绝对值的
和是 1 2 ，两数和的绝对值是 1 ．
（3）①若a>0，b>0，则a+b > 0．
②若a<0，b<0，且a+b < 0．
③若a>0，b<0，且│a│>│b│，则a+b > 0．
④若a>0，b<0，且│a│<│b│，则a+b < 0．
（4）若│a│=3，│b│=5，则│a+b│= 2 或 8 ，a+b= ± 2 或 ± 8 ．
（5）若a<0，b>0，且a+b<0，则│a│ > │b│（填“>”或“<”）
2．计算题
（1）（-15）+27= 1 2（2）（-3.2）+（+3.2）= -0. 9
（3）5.2+（-2.8）= 2. 4
（4）（-2）+（+1）=－１
（5）-8+│-5│= - 3
（6）-（-7）+（-2）= 5
提升能力
3．列式计算
（1）求3 的相反数与-2 的绝对值的和．
（2）某市一天上午的气温是10℃，上午上升2℃，半夜又下降15℃，则半夜的气温是多少．
【答案】 （1）-3 +│-2 │=－ （2）10+2+（-15）=-3（℃）
4.若a<0，b>0，且a+b<0，试比较a、b、-a、-b的大小，并用“〈”把它们连接起来．
【答案】 利用加法法则和数轴结合 a<-b<b<-a
开放探究
5．在－44，-43，-42，…，2001，2002，2003，2004，2005这一串的整数中，求前100个连续整数的和．
【答案】 550
6．举例说明当m、n为任意有理数时，│m+n│与│m│+│n│的大小关系，并与同学们共同讨论：
（1）你所列举的大小关系是否全面．
（2）运用有理数加法法则加以解释．
【答案】 （1）│m+n│≤│m│+│n│ （2）略
7．新中考题
（2004·吉林）填空题：某天早晨的气温是－7℃，中午上升了11℃，则中午的气温是 4 ℃ ．
1．3．1 有理数的加法（第二课时）
教学目标
1．知识与技能
①能运用加法运算律简化加法运算．
②理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练．
2．过程与方法
①培养学生的观察能力和思维能力．
②经历对有理数的运算，领悟解决问题应选择适当的方法．
3．情感、态度与价值观
在数学学习中获得成功的体验．
教学重点难点
重点：如何运用加法运算律简化运算．
难点：灵活运用加法运算律．
教与学互动设计
（一）情境创设，导入新课
思考 在小学里，我们学过的加法运算有哪些运算律？它们的内容是什么？能否举一两个例子来？
那这些加法运算律还适于有理数范围吗？今天，我们一起来探究这个问题．
（二）合作交流，解读探究
体验 1．自己任举两个数（至少有一种是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果，你
发现了什么？
□＋○和○＋□
发现：对任选择的数，都有□＋○＝○＋□，即小学里学过的加法交换律在有理数范围内仍是成立的．
体验 2．任选三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□，○，◇内，并比较它们的运算结果．
（□＋○）＋◇和□＋（○＋◇）
发现都有（□＋○）＋◇＝□＋（○＋◇），这就是说，小学的加法结合律，在有理数范围内都是成立的．
小结 有理数的加法仍满足交换律和结合律．
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用式子表示成a+b=a+b．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用式子表示成（a+b）
+c=a+（b+c）
（三）应用过移，巩固提高
例1 说出下列每一步运算的依据
（-0.125）+（+5）+（-7）+（+ ）+（+2）
=（-0.125）+（+ ）+（+5）+（+2）+（-7） （加法交换律）
=[（-0.125）+（+ ）]+[（+5）+（+2）]+（-7）（加法结合律）=0+（+7）+（-7） （有理数的加法法则）
=0 （有理数的加法法则）
例2 利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
（1）（+9）+（-7）+（+10）+（-3）+（-9）
（2）（+0.36）+（-7.4）+（+0.03）+（-0.6）+（+0.64）
（3）（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+…+（+2003）+（-2004）
【答案】 （1）0 （2）-6.7 （3）-1002
例3 某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他
这天下午行车里程如下（单位：千米）
+15，+14，-3，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18
（1）他将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午出发点的距离是多少千米？
（2）若汽车耗油量为a公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？
解：（1）+15+（+14）+（-3）+（-11）+（+10）+（-12）+4+（-15）+16+（-18）
=[15+（-15）]+（14+10+4+16）+[（-3）+（-11）+（-12）+（-18）]
=0
（2）（│+15│+│+14│+│-3│+│-11│+│+10│+│-12│+│4│+│-15│+│16│+│-18│）·a
=118a
【答案】 （1）将最后一名乘客送到目的地，该司机仍在其出发点．
（2）共耗油118a公升．
例4 若│2x-3│与│y+3│互为相反数，求x+y的相反数．
【提示】 两个非负数互为相反数，只有都为０．
解：根据题意，有2x-3=0，y+3=0
则x= ，y=-3
x+y= +（-3）=－ ．
所以x+y的相反数是 ．
备选例题
（2004·芜湖）小王上周在股市以收盘价/（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下
来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌（元） +2 -0.5 +1.5 -1.8 +0.8
根据上表回答问题：
（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？
（2）周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全
部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】 （1）星期二收盘价为25+2-0.5=26.5（元／股）
（2）收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28（元/股）
收盘最低价为25+2-0.5+1.5-1.8=26.2（元/股）
（3）小王的收益为：27×1000（1-5‰）-25×1000（1+5‰）
=27000-135-25000-125
=1740（元）
∴小王的本次收益为1740元．
（五）总结反思，拓展升华
本节课我们探索了有理数的加法交换律和结合律．灵活运用加法的运算律使运算简便．一般情况下，我
们将互相为相反数的相结合，同分母的分数相结合，能凑整数的数相结合，正数负数分别相加，从而使计算
简便．
1．计算 ＋ ＋ ＋…＋
2．如果│a│=3，│b│=2，且a<b，求│a+b│的值．
3．取-56，从该数起，逐次加1，得到一列数．-56，-55，-54，-53，-52，… 问：
（1）第10个整数是多少？第56个呢？第100个呢？
（2）依次求出这列数前10个、前56个、前100个整数的和分别是多少？
（3）这列数字前n个数的和是否随着n的增大而增大？请说明理由．
【答案】 1． 2．5或1．
3．（1）-47，-1，43
（2）-515，-1596，-650
（3）不是，当加到第58个数（为1）时，前n个数的和才开始递增．
（六）课堂跟踪反馈
夯实基础1．运用加法的运算律计算（+6 ）+（-18）+（+4 ）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当的是（D）
A．[（+6 ）+（4 ）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）]
B．[（+6 ）+（-6.8）+（4 ）]+[（-18）+18+（-3.2）]
C．[（+6 ）+（-18）]+[（+4 ）+（-6.8）]+[18+（-3.2）]
D．[（+6 ）+（+4 ）]+[（-18）+18）]+[（-3.2）+（-6.8）]
2．已知│x│=4，│y│=5，则│x+y│的值为 （C）
A．1 B．9 C．9或1 D．±9或±1
3．有理数中，所有整数的和等于 0 ．
4．（-2）+4+（-6）+8+…+（-98）+100=50．
5．一个加数是绝对值等于 的负有理数，另一个加数是－ 的相反数，这两个数的和等于 ．
6．计算题
（1）-16 +29
（2）（+0.65）+（-1.9）+（-1.1）+（- ）+（+5 ）+（-2 ）
（3）1 +（-6.5）+3 +（-1.75）+2
（4）（+6 ）+（-5 ）+（4 ）+（+2 ）+（-1）+（-1 ）
【答案】 （1）12 （2） （3）-0.5 （4）5
提升能力
7．小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入120元，第二笔支取了85元，第三笔取出70元，第四笔存
入130元．如果将这四笔业务合并为一笔，请你替他策划一下这一笔业务该怎样做．
【答案】 ＋120+（-85）+（-70）+（+130）=95（元），所以一次存入95元．
8．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．某天自Ａ地出发到收工时所走路线
（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5．
（1）问收工时距Ａ地多远？
（2）若每千米路程耗油0.2升，问从Ａ地出发到收工共耗油多少升？
【答案】 （1）距Ａ41千米 （2）13.4升
开放探究
把-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3这些数填入下图的圆圈中，使得每条直线上数字之和都为0．
【答案】-4 -3
-5 -2
3
-1 2
0 1
9．新中考题
（2004·重庆万州区）计算：-3+│-1│= - 2 ．
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1．3．2 有理数的减法（第一课时）
教学目标
1．知识与技能
①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则．
②会熟练进行有理数减法运算．
2．过程与方法
①体验把减法运算转化为加法运算，渗透转化思想．
②经历探索有理数减法法则的过程，发展学生的逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
在数学学习中获得成功的体验，尊重并充分理解他人的见解．
教学重点难点
重点：有理数减法法则和运算．
难点：有理数减法法则的推导．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
抢答游戏 （1）-7+______=+5，（2）______+（-3）=12，（3）（-72）+______=-30
投影 2．大家看这幅画面，由实物投影仪显示课本第１页引言中的画面，这是北京2003年11月某天
的温度为-3～3℃，它确切的含义是什么？这一天的最高温差是多少？
观察、讨论
表明最高温度差为3℃，最低温度为-3℃，这天最高温差为6℃．
思考 能不能列计算式？
生：3-（-3）
（二）合作交流，解读探究
鼓励学生充分探索，提示减法是加法的逆运算，思考该如何转化．
观察下列两式：（？）+（-3）=4
根据有理数加法法则，有（+7）+（-3）=4
因而为：4-（-3）=7
观察总结 比较下列两式：
4-（-3）=7 4+3=7
因而有：4-（-3）=4+3
你能发现什么吗？
再举一组数：计算（-5）-（+3）=-5+_____
学生活动 3+（？）=-5
因为3+（-8）=-5
所以（-5）-（+3）=-8
又-5+（-3）=-8
所以: (-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8
总结归纳：减去一个数，等于加上这个数的相反数，字母表示为：a-b=a+（-b）
（三）应用迁移，巩固提高
例1 计算题
（1）（－ ）-（+ ）-（- ）
（2）（-0.1）-（-8 ）+（-11 ）-（- ）
（3）（-1.5）-（-1.4）-（-3.6）+（-4.3）-（+5.2）（4）（5-6）-（7-9）
【答案】 （1）－ （2）-3 （3）-6 （4）1
例2 根据题意列出式子计算
（1）一个加数是1.8，和是－0.81，求另一个加数．
（2）－ 的绝对值的相反数与 的相反数的差．
解：（1）另一个数为-0.81-1.8=-2.61
（2）-｜- |-（- ）=-
例3 若│a│=8，│b│=3，且a<b，求a-b．
解：由题知a=±8，b=±3，且a<b，故a=-8，b=3或-3．
a-b=-8-3=-11或a-b=-8-（-3）=-5，即：a-b=-11或-5．
例4 若a<0，b>0，则
（1）│a-b│= b- a
（2）若│a+b│+│a-b│=-2a，则应添加什么条件．
【提示】 去绝对值首先必须考虑绝对值的正负，在（2）中，要使结果为-2a，即前一个绝对值为－a-b，
后一个绝对值为b-a，即a+b必须为负，从而确定成立的条件．
【答案】 a+b<0
【点评】 由结论反过来推导条件，根据结论的特征作推断．
备选例题 （2004·浙江绍兴）比-1小1的数是 （D）
A．-1 B．0 C．1 D．-2
【提示】 即-1-1=－2
【答案】 D
（四）总结反思，拓展升华
总括：有理数减法法则是一个转化法则，减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．可见，引进负数后
对加法和减法，可以用统一的加法来解决．
不论是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则，在使用法则时，注意减号变加号的同时把减数变成
它的相反数，而被减数不变．
1．已知a<0，b<0，│a│>│b│，试判断a-b的符号．
【答案】 负
（2）a、b是两个有理数，试比较a-b与a的大小．
【答案】 当b>0时，a-b<a；当b=0时，a-b=a；当b<0时，a-b>a．
3．已知有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示：
b -1 0 a 1
（1）比较a-b与a+b的大小．
（2）化简│b-a│+│a+b│
【答案】 （1）a-b>a+b （2）-2b
4．下图是一家饭店楼层的示意图．其中有6层是客房，底楼是接待处，地下3层是停车场．
7
6
5
4 客 户
3
2
1 接待处
-1
-2 停 车 场
-3
（1）客房5楼与停车场2楼相差几层？
（2）一服务员把汽车停在停车场1楼，进入该层电梯，往上7层，又下3层，再下3层，最后上7层，你知
道最后他在哪里？
（3）某日，电梯停电，该服务员在停车场1楼停好汽车后，只能走楼梯，他先去客房，依次到了5楼、1楼、
4楼，然后去接待处，最后回到停到场1楼，他共走了几层楼梯？
【答案】 （1）7层 （2）客房7层 （3）16层
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．填空题
（1）0℃比－10℃高多少度？列算式为 0 -（ -1 0 ） ，转化为加法是 0+1 0 ，运算结果为 1 0 ．
（2）减法法则为减去一个数，等于 加上 这个数的 相反数 ，即把减法转为 加法 ．
（3）比-18小5的数是 – 2 3 ，比-18小-5的数是 – 1 3 ．
（4）A、B两地海拔高度为100米、-20米，B地比A地低 12 0 米．2．下列说法正确的是（C）
A．正数与正数的差是正数 B．负数与负数的差是正数
C．正数减去负数差为正数 D．0减去正数差为正数
3．下列说法正确的个数是（A）
①减去一个数等于加上这个数;②零减去一个数，仍得这个数
③两个相反数相减得零;④有理数减法中，被减数不一定比减数或差大
⑤减去一个负数，差一定大于被减数;⑥减去一个正数，差不一定小于被减数
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．计算题
（1）（-7）-（-4）-（+5）;（2）（-9）-[（-10）-（-2）]
（3）（-4 ）-（+5 ）-（-4 ）;（4）-8.2-9.2-1.6-（-5）
【答案】 （1）-8，（2）-1，（3）-5 ，（4）-14
提升能力
5．若│a│=5，│b│=7，且│a+b│=-（a+b），求a-b的值．
【答案】 12或2
6．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结
束时，各组的分数如下：
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
100 150 -400 350 -100
（1）第一名超出第二名多少分？
（2）第一名超出第五名多少分？
【答案】 （1）200，（2）750
开放探究
7．设A是-4的相反数与-12的绝对值的差，B是比－6大5的数．
求：（1）A-B （2）B-A （3）从（1）、（2）的计算结果，你能知道A-B与B-A之间有什么关系？
【答案】 A=-8，B=-1 （1）-7 （2）7 （3）互为相反数关系
8．若a>0，b<0，试比较－a，-b，-（a+b），-（a-b）的大小关系．
【答案】 -（a-b）<-a<（-（a+b）<-b
9．新中考题
（2004·重庆）计算2-（3）的结果为 （B）
A．-5 B．5 C．1 D．-1
1．3．2 有理数的减法（第二课时）
教学目标
1．知识与技能
使学生理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算．
2．过程与方法
通过加减法的相互转化，培养学生的应变能力，口头表达能力及计算能力．
3．情感、态度与价值观
敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验．
教学重点难点
重点：把加减混合运算理解为加法算式．
难点：把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
竞赛活动 比一比，看谁算得快
（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
（-7）+（+5）+（-4）-（-10）
（二）合作交流，解读探究
师：对比上式①，你首先想到将原式如何变形？
生：根据有理数的减法法则把减号统一成加号，即原式变为：
-20+（+3）+（+5）+（-7）
师：很好，可见在引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算．用字母可表示成：
a+b-c=a+b+（-c）．
下面：请大家一起来练习计算以上两道题．
学生作业练习
师针对学生做的方法评析，作以下说明．
1．式③表示的是-20，+3，+5，-7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号，从而有-20+3+5-7．
大家要注意到，虽然加号和括号都省略了，但-20+3+5-7仍表示-20，+3，+5，-7的和所以这个算式可以
读作“负20，正3，正5，负7的和”．当然，按运算意义也可读作“负20加3加5减7”．
学生尝试用两种读法读．同桌间互相出式，并读出两种读法．
2．刚才在大家练习的过程中，我们看到有两种典型的处理方法，一是将原式按次序计算；二是将原式
换成（-20-7）+（3+5）．大家观察比较一下，你看哪种方法更好，为什么？
生：第二种过程更简便、合理．因为它运用了有理数加法的交换律、结合律．师：太棒了，在有理数的加法运算中，通常应用加法运算律，可使计算简化，根据刚才过程可见，在有理
数加减混合运算统一成加法后，一般应注意运算的合理性，适当运用运算律．大家一起看下面问题：
（三）应用迁移，巩固提高
例1 把（+ ）+（－ ）-（+ ）-（- ）-（+1）写成省略加号的和的形式，并计算．
解：（+ ）+（－ ）-（+ ）-（- ）-（+1）
=（+ ）+（－ ）-（- ）-（+ ）-（+1）
= － - + -1
= + - - -1
=1-1-1
=-1
说明：解题过程由学生口述、教师板演，同时提问每步的根据和目的，并强调书写的规范化．
师：纵观这道题的解答过程，你能总结得到什么？小组同学可作交流．
学生小组交流，并总结．
【总结】 有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤：
1．将减法转化成加法运算：
2．省略加号和括号；
3．运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；
4．按有理数加法法则计算．
例2 比谁算得对，算得快
（1）（+ ）+（- ）-（+ ）-（- ）-（+1）
（2）-7-（-8）-（-7 ）-（+9）+（-10）+11
（3）-99+100-97+98-95+96+…+2
（4）-1-2-3-…-100
【点拨】 按照正确的运算法则进行运算．
【答案】 （1）-1，（2）1，（3）50，（4）-5050
例3 银行储蓄所办理了8件工作业务，取出950元，存进500元，取出800元，存进1200元，存进了
2500元，取出1025元，取出200元，存进400元，这时，银行现款是增加了，还是减少了？增加或减少了多少
元？
【点拨】 根据题意把取出记为“－”，存进记为“＋”，列出算式进行运算．
解：每次存款数记为-950，＋500，-800，+1200，+2500，-1025，-200，+400．
则总额为：
－950+500+（-800）+1200+2500+（-1025）+（-200）+400
=1625（元）
答：增加了1625元．
备选例题 （2003·桂林）计算1-3+5-7+9-11+…+97-99
【点拨】 抓住算式的结构规律，可以考虑两两结合．
解：原式＝（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（97-99）=-50
（五）总结反思，拓展升华
回顾一下本节课所学内容，你学会了什么？
说明：在学生思考回答的过程中将本节的重点知识纳入知识系统．
1．若x<0，则│x-（-x）│等于 （D）
A.-x B.0 C.2x D.-2x
2．“*”表示一种运算，规则是
3*6=3-4+5-6
0*6=0-1+2-3+4-5+6
-3*6=-3-（-2）+（-1）-0+1-2+3-4+5-6
3*（-6）=3-2+1-0+（-1）-（-2）+（-3）-（-4）+（-5）-（-6）
0*（-6）=0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）-（-5）+（-6）
（-3）*（-6）=（-3）-（-4）+（-5）-（-6）
（1）试根据以上的运算规则，填写下列各式的运算过程和结果：
①（-4）*4= -4 - （ - 3 ） + （ - 2 ） - （ - 1 ） +0-1+2-3+ 4 = 0 ；
②1*10= 1-2+3-4+5-6+7-8+9-1 0 = - 5 ；
③（-5）*（-11）= （ - 5 ） - （ - 6 ） + （ - 7 ） - （ - 8 ） + （ - 9 ） - （ -1 0 ） + （ -1 1 ）
= - 8 ；④0*（-4）= 0 - （ - 1 ） + （ - 2 ） - （ - 3 ） + （ - 4 ） = - 2 ；
⑤4*（-5）= 4-3+2-1+0 - （ - 1 ） + （ - 2 ） - （ - 3 ） + （ - 4 ） - （ - 5 ） = 5 ；
（2）根据以上的运算规则，填写结果：
①1*100= -5 0 ；
②（-100）*（-1）= -5 0 ；
③若（-1）*n=2，则n为 C ；（在下列答案中选：A.5 B.-4 C.-4或5 D.无法确定）
④若n*（-3）=-2，则n= - 1 或 6 ；若n*（-1）=-2，则n= - 3 或－ 4 ．
（六）课堂跟踪反馈
1．填空题
（1）式子-6-8+10+6-5读作 负 6 ，负 8 ，正 1 0 ，正 6 与负 5 的和 ，或读作 负 6  减 8  加 1 0 加 6 减 5 ．
（2）把－a+（+b）-（-c）+（-d）写成省略加号的和的形式为 -a+ b ＋ c- d ．
（3）若│x-1│+│y+1│=0，则x-y= 2 ．
（4）运用交换律填空：-8+4-7+6= - 8 – 7 + 4 + 6
2．选择题
（1）已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m+n等于（D）
A．4 B．8 C．-10 D．-2
（2）使等式│-5-x│=│-5│+│x│成立的x是（D）
A．任意一个数 B．任意一个正数
C．任意一个负数 D．任意一个非负数
（3）-a+b-c由交换律可得 （B）
A．-b+a-c B．b-a-c C．a-+c-b D．-b+a+c
（4）a、b两数在数轴上位置如图，设M=a+b，N=-a+b，H=a-b，G=-a-b，则下列各式中正确的是（B）
-1 b 0 1 a
A.M>N>H>G B.H>M>G>N C.H>M>N>G D.G>H>M>N
提升能力
3．计算题
（1）0-（+5）-（-3.6）+（-4）+（-3）-（-7.4）
（2）（+3 ）-（-1 ）+（- ）-（- ）-（+4 ）
（3）2-（-5 ）-（+4 ）+（-2 ）-（+6 ）
（4）1-2+3-4+5…+2003-2004
【答案】 （1）-1 （2） （3）-5 （4）-1002
4．某医院的急诊病房收治了一位非典病人，护士每隔2个小时为这位病人量一次体温（单位为℃）（正
常人的体温37℃）．
（1）完成下表：
时刻 8点 10点 12点 14点 16点 18点
体温
与正常人的正常体温差值
（2）这一天的8点18点之间，这位急诊病人哪个时刻体温最高？哪个时刻的体温低？
（3）这位病人的这一天的平均体温是多少？
【答案】 （1）略 （2）14点最高 （3）38.6℃
开放探究
5．股票交易是市场经济中的一种金融活动，它可以促进投资和资金流通．南京某证券交易所的一种股
票第一天最高价比开盘价高0.2元，最低价比开盘价低0.3元，第二天的最高价比开盘价高0.3元，最低价
比开盘价低0.1元，第三天的最高价等于开盘价，最低价比开盘价低0.2元．一天中最高价与最低价的差，
叫做这天股票的涨幅．计算这三天的平均涨幅．
【答案】 0.4
6．新中考题
（2004·呼和浩特）选择题：计算9-（-3）= （D）
A．-12 B．6 C．-6 D．12
1.3.2 有理数的减法（第三课时）
教学目标
1．知识与技能
使学生会使用计算器进行有理数的加减运算．
2．过程与方法
尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．
3．情感、态度与价值观
有克服困难和运用知识解决问题的成功体验．
教学重点难点重点：记清计算器中常用功能键的用法，多进行实际操作，逐步熟悉计算器的用法．
难点：准确地用计算器进行加减运算．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
观察体验 大家看这样一个算式：-15.13+4.85+（-7.69）-（-13.38）要计算出它的值，你能有什么方法
吗？
引导 使用计算器、电子计算器，简称计算器，具有运算快，操作简便，体积小，功能多等特点，既可帮助
我们进行各种复杂的数学计算，还可以帮助我们理解数学概念，有时计算器还可以编程序或绘制各种图形．
在信息高速发展的时代，它已成为人们广泛使用的计算工具．
本节课我们来学习计算器的简单使用方法．
（二）合作交流，解读探究
自主探索 我们平时用的是带符号键（一）的计算器或带符号键+/-的计算器．下面，我们就这两种类
型的计算器将上式计算一下．
首先阅读课本第30页，并对照计算器操作，再练习计算-15.13+4.85+（-7.69）-（-13.38）
学生活动：阅读、对照课本实际操作．
学生演示 （一）-15.13+4.85+（-7.69）-（13.38）=-15.13+4.85-7.69+13.38
按键顺序
（一） 15.13 + 4.85 - 7.69 + 13.38 = -4.59
演示（二）
15.13 +\- + 4.85 - 7.69 + 13.18 = -4.59
总结：-15.13+4.85+（-7.69）-（-13.38）=-4.59
（三）应用迁移，巩固提高
例1 用计算器计算
（1）（-417）+509+（-371）+（-137）
（2）（-18.65）+（-6.23）+18.41+6.53-（-12.64）
（3）81.26-（+293.08）-（-8.74）-（-111.29）
（4）-26.18+（-12.93）+16.77-（-78.81）
【答案】 （1）-416 （2）12.7 （3）-91.79 （4）56.47
例2 课本练习．
备选例题 （2004·湖北荆门）计算机利用的二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为
二 进 制 数 ， 只 需 把 该 数 写 成 若 干 个 2n 数 的 和 ，  依 次 写 出 成 0 即 可 ． 如 19 （ + ）
=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（二）为二进制下的5位数，则十进制数2004是二进制下的 （
）
A.10位数 B.11位数 C.12位数 D.13位数
【提示】 根据二进制数的定义来将2004改写为二进制形式．
2004=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+1×24+1×23+1×22可见，二进制下2004是11位．
【答案】 B
（四）总结反思，拓展升华
1．使用计算器，能使我们从繁杂的计算中解放出来．使用时，要记清计算器中常用的功能键的用法，多
进行实际操作，操作时还需注意以下几点：（1）计算器？要平稳放置；（2）计算开始时按ON，停止使用按
OFF；（3）按下数学键时，应看其是否正确．
2．用计算器计算
（1） =____________.
（2） =___________.
（3） =_______________.
由此，你可以猜想出哪些类似等式
_________________________________.
【点评】 借助计算器解决问题，通过观察、操作、归纳、推断等教学活动，体验数学问题的创造性，感受
数学思考的严谨性．
【答案】 （1）121 （2）12321 （3）1234321 =123454321
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．用计算器求－3.525-（-0.743）-4.511，按键顺序是 3.52 5 +\ - + 0.74 3  -  4.51 1 或 （ 一）
3.52 5 + 0.74 3 - 4.51 1
提升能力
2．用计算器计算：
（1）-729+361-（-438）-（-266）（2）71.89-（-61.03）+（-38.88）-（+63.74）
（3）688-319+（-263）-（-399）
（4）-4.71-（-8.92）+（-13.83）-（+21.76）
（5）81.26-293.08+8.74+111.23
【答案】 （1）336 （2）30.3 （3）505 （4）-12、14 （5）-91.85
开放探究
3．你能在－5和35之间插入三个数，使这5个数中相邻两个数之间的距离相等吗？
【答案】 5、15、25
4．新中考题
（2004·绍兴）用计算器探索：按一定规律排列的一组数： ， ， ，… ， ．如果从中选出
若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选________个数．
【解析】 本题主要考查学生计算器的运用能力，可将这些数按从大到小的顺序输入相加，可以发现，
+ + + + + + ≈0.5517>0.5，故至少要选7个数．
【答案】 7
（六）资料采撷
＋，＋，×或·，÷的由来
加减乘除（＋，－，×或·，÷）等数学符号都是经过长期发展而形成的，到了17世纪，才得到广泛使用．
加法符号，开始使用的是英文plus（加）的字头p．在德国，使用了相当于英语“and”（和）的词
“et”．随着欧洲商业繁荣，写“et”也嫌慢了，为了加快速度，把两个字母连着写，因此“et”慢慢地变
成了“＋”．
减法也是一样，使用英文minus（减少）的字头m，为了便于速写，逐渐变成了“－”．
在“＋”号出现了100年左右后，英国的奥特雷德首先使用了“×”作为乘号．后来，莱布尼兹认为
“×”容易与x相混淆，建议用“·”作为乘号，这样，“·”也得到了承认．
除法的符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到推广．除的本意是，符号“÷”的中间
的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”．
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法（第一课时）
教学目标
1．知识与技能
①经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证的能力．
②会进行有理数的乘法运算．
2．过程与方法
通过对问题的变式探索，培养观察、分析、抽象的能力．
3．情感、态度与价值观
通过观察、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动中的探索性和创造性．
教学重点难点
重点：能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算．
难点：含有负因数的乘法．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
做一做 出示一组算式，请同学们用计算器计算并找出它们的规律．
例1 （1）（+5）×（+3）=_______;（2）（+5）×（-3）=________
（3）（-5）×（+3）=________;（4）（-5）×（-3）=________
例2 （1）（+6）×（+4）=________;（2）（+6）×（-4）=________
（3）（-6）×（+4）=________;（4）（-6）×（-4）=________
（二）合作交流，解读探究
想一想 你们发现积的符号与因数的符号之间的关系如何？
学生活动：计算、讨论
总结 一正一负的两个数的乘积为负；两正或两负的乘积是正数．
两数相乘，同号得正，异号得负．
想一想 两数相乘，积的绝对值是怎么得到的呢？
学生：是两因数的绝对值的积．
引导 此结论能否用现实来验证呢？请同学们阅读教科书第36页，讨论协作完成问题的解释．
探究交流 阅读课本，小组讨论、总结．
学生甲解释：课本上说蜗牛沿一条直线的跑道，以每分钟2cm的速度向右爬行了3分钟．那么它现在在
什么位置？（即它位于原来位置的哪个方向，与原位置相距多少米？）
式子（+2）×（+3）=+6
（+2）表示向右爬行，（+3）表示爬行了3分钟．即小虫位于原位置右边6米．
学生乙解释：（-2）×（+3）=-6表示蜗牛向左从每分钟2m的速度爬行了3分钟后离开原位置的左边6m
的距离．
师：引导学生可否把（-2）看成是蜗牛的速度为每分钟-2m爬行了3分钟．
学生答．
师：你们能否试着把这一情境用数轴来表示呢？学生代表到黑板作图，运用数轴把刚才的说法结合数轴来讲解．
师：下面问题，涉及到时间为负的情况．这该如何来领会．
学生活动：小组讨论．
学生代表：-3是指蜗牛3分钟前从起点爬到现在的位置的时间，积的负号是指3分钟前的位置在现在
位置的左边表示“－”，6是蜗牛3分钟前与现在的距离．
师：能否用数轴来展现其过程吗？
学生试着画数轴，并请一位同学到黑板演示过程．
师：用负数表示现在之前的一段时间，这是一个创意．在你们的讨论过程中，现在可否作出（-2）×（-3）
=+6的解释呢？并用数轴来表示，试一试．
学生回答问题．
课件展示 把刚才的情境设计成多媒体课件，让学生感受形成过程．
师：大家再思考，如果3×0或-3×0，那积为多少？从而可得到什么结论？
生：任何数和0相乘都得零．
学生活动：一同学任说一数，由另一同学说出它的倒数．
小结 正数的倒数是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 判断题
（1）两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数．（×）
（2）两数相乘，若积为负数，则这两个数异号． （∨）
（3）两个数的积为0，则两个数都是0． （×）
（4）互为相反的数之积一定是负数． （×）
（5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数． （∨）
【点拨】 根据有理数和乘法运算法则来作出判断．
例2 填空题
（1）（-1 ）×（- ）= 1 ，（2）（+3）×（-2）= - 6 ，
（3）0×（-4）= 0 ， （4）1 ×（-1 ）= - 2 ，
（5）（-15）×（- ）= 5 ，（6）-│-3│×（-2）= 6 ，
（7）输入值a=-4，b= ，输出结果：①ab= - 3 ，②-a·b= 3 ， ③a·a= 1 6 ，④b·（-b）=－
【点评】 乘号“×”也可用“·”代替，或省略不写，但要以不引起误会为原则，如a×b可表示成
a·b或ab，而（+2）×（-5）可表示成（-2）（-5）或（-2）·（-5），凡数字相乘，如果不用括号，用“×”为好，
例如2×5不宜写成2·5或25．
例3 用正、负数表示气温的变化量：上升为正、下降为负．某登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温
的变化量为-6℃．攀登5km后，气温有什么变化？
【答案】 （-6）×5=-30，即下降了30℃．
例4 在整数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个数相乘，所得的积的最大值是多少？任取两个数相加，所得
的和的最小值又是多少？
【答案】 （-5）×（-3）×6=90，为最大的积；-5+（-3）=-8，是最小的两数之和．
【提示】 每次销售价的改变都是在改变前的价格的基础上进行的．
6．课本练习
备选例题 （2004·江苏南通）以下是一个简单的数值运算程序：输入x→×（-3）→-2→输出．当输入
的x值为－1时，则输出的数值为 1 ．
【点拨】 程序运算式是有理数运算的新型形式，该程序所反映的运算过程是-3x-2．当输入x为-1时，
运算式为（-3）×（-1）-2=1．
（四）总结反思，拓展升华
引导学生从三个方面理解本节课所学内容：1．有理数的乘法法则；2．多个不为0的因数相乘时，积的符
号的确定；3．几个相乘的因数中，只要有一个0因数，则积的确定．
1．自己操作实践、如何应用计算器来计算有理数的乘法、阅读课本P41．并练习用计算器来计算：
（1）74×59 =4366 ; （2）（-98）×（-63） =617 4
（3）（-49）×（+204） =-999 6 ;（4）37×（-73） =-270 1
2．“⊙”表示一种新运算，它的规则是：a⊙b=-a×b-（a+b）
（1）求3⊙5= -2 3 ;（2）求（3⊙4）⊙5= 10 9
（3）请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且2（-3）=1
【答案】 a b=-a×b+（-a+b）
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．填空题（1）若ab>0，则表示a、b的关系是 a 、 b 同号 ．若ab=0，则表示a、b的关系是 a 、 b 中至少有一个为 0
．若ab<0，则表示a、b的关系是 a 、 b 异号 ．
（2）（-2）×（-3）= 6 ，（- ）·（-1 ）= 1 ，2001×（-2002）×2003×（-2004）×0= 0 ．
2．选择题
（1）若ab>0，则必有 （D）
A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 C．同号
（2）若ab=0，则必有 （C）
A．a=b=0 B．a=0
C．a、b中至少有一个为0 D．a、b中最多有一个为0
（3）一个有理数和它的相反数的积 （C）
A．符号必为正 B．符号必为负 C．一定不大于0 D．一定大于0
（4）有奇数个负因数相乘，其积为 （B）
A．正 B．负 C．非正数 D．非负数
3．计算题
（1）（-3 ）×（-4） （2）（-2）×（-3）×（-5）
（3）（-7 ）×3×（－ ） （4）（-9.89）×（-6.2）×（-26）×（-30.7）×0
【答案】 （1）14 （2）-30 （3）1 （4）0
提升能力
4．现定义两种运算“”和“”对于任意两个整数a、b，有ab=a+b-1，ab=ab-1，求4[（68）（35）] 的值．
【答案】 103
开放探究
5．（2004·云南）观察按下列顺序排列的等式．
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想，第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表示成 9 （ n- 1 ） +n=1 0 （ n- 1 ） + 1 ．
（六）资料采撷
“相反数”和“倒数”
绝对值相等、符号相反的两个数，称为互为相反数，要强调“互为”的含义．a的相反数记为－a．初学代
数，见到字母，学生往往只想到它代表正数，而没想到字母也可能是负数或0．这些都应使学生明确其真正意
义．相反数等于本身的数是0．
倒数早在小学就学过了．如果两个数的乘积是1，这两个数就互为倒数，这里也强调“互为”的含义．
并且还应使学生注意：0没有倒数，互为倒数的两个数同号，倒数等于本身的数是±1．
“反”和“倒”的意思比较相近，容易搞错．其实它们是完全不同的两个概念．一般地，相反数是指一
对数，它们的绝对值相等，符号相反；倒数也是指一对数，它们的绝对值不等，符号相同．
1.4.1 有理数的乘法（第二课时）
教学目标
1．知识与技能
使学生经历探索有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能灵活运用乘法运算律进行有理数的乘法
运算，使之计算简便．
2．过程与方法
通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力．
3．情感、态度与价值观
能面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心．
教学重点难点
重点：熟练运用运算律进行计算．
难点：灵活运用运算律．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
想一想 上一节课大家一起学习了有理数的乘法运算法则，掌握得较好．那在学习过程中，大家有没有
思考多个有理数相乘该如何来计算？
做一做 （出示胶片）你能运算吗？
（1）2×3×4×（-5）
（2）2×3×（-4）×（-5）
（3）2×（-3）×（-4）×（-5）
（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）
（5）-1×302×（-2004）×0
由此我们可总结得到什么？（二）合作交流，解读探究
交流讨论 不难得到结论：几个不为0的数乘，积的符号由负因数这个数决定．当负因数的个数是偶
数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，并把绝对值相乘．
注意 只要有一个因数为0，则积为0．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 计算（-3）× ×（－ ）×（－ ）×（-8）×（-1）
【提示】先找出其中负因数的个数为5个，故积的符号为负，再将绝对值相乘．
＝（-3）× ×（－ ）×（－ ）×（-8）×（-1）
＝-3× × × ×8×1
=-9
例2 计算（-1999）×（-2000）×（-2001）×（-2002）×2003×（-2004）×0
【提示】 不管数字有多么复杂，只要其中有一个为0，则积为0．
数学游戏 学生活动：按下列要求探索：
（1）任选两个有理数（至少有一个为负），分别填入□和○内，并比较两个结果：
□×○＝_________和○×□________
（2）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、○和◇中，并比较计算结果：
（□·○）·◇＝_________和□·（○·◇）=__________
（3）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、○和◇中，并比较计算结果：
◇·（□＋○）＝________和◇·□和◇·○＝________
【总结】 有理数的乘法仍满足交换律，结合律和分配律．
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用式子表示为a·b=b·a
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用式子表示成（a·b）
·c=a·（b·c）
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘．
用字母表示成：a（b+c）=a·b+a·c
例3 （投影）计算:（1）- ×（8- - ）
（2）19 ×（-15）
【分析】 ①利用乘法分配律
②将19 换成20- ，再用分配律计算．
学生板演、练习．
备选例题 （2004·江苏泰州）-1 的倒数是 （ ）
A． B． C．- D．-
【提示】 -1 化为假分数- ，它的倒数为-
【答案】 C
（四）总结反思，拓展延伸
本节课我们的成果是探究出有理数的乘法运算律并进行了应用．可见，运算律的运用十分灵活，各种运
算律常常是混合应用的．这就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，要寻找最佳解题途径，不断
总结经验，使自己的能力得到提高．
一列数a，a，a，…a．
1 2 3 n
若a=100+（-6）×1，
a=100+（-6）×2，
a=100+（-6）×3，
…
则a= 100 - 6n ；当a=-2002时，n= 351 ．
n n
在这列数a，a，a，…，a 中最小的正数＝ 4 ，最大的负数＝ - 2 ．
1 2 3 n
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
（1）两个整数的积为8，它们的和等于 ± 9 或 ± 6 ．
（2）“a、b同号”用不等式表示为 ab>0 ．“a、b异号”用不等式表示为 ab< 0 ．（3）3.1416×7.5944+3.1416×（-5.5944）= 6.283 2 .
（4）（ -3- + - ）×（-36）= 10 1 .
（5）（-8）×（-12）×（-0.125）×（- ）×（-0.001）= -0.00 4 .
（6）（-14 ）×（+4）=（ -1 5+ ）×4= -1 5 ×4+ ×4
= -5 9
（7）已知a>0，b<0，则│ab│＋b│a│= 0 ．
（8）若a+b<0，ab>0，则a < 0，b < 0．
2．计算题
（1）（- ）× ×（- ）×（-2 ）= -
（2）6.878×（-15）+6.878×（-12）-6.878×（-37） =68.7 8
（3） ×-16×（- ）×（-1 ）×8×（-0.25） = 8
（4）（- - + - ×（-5）×12 =2 6
（5）（-99 ）×36= -359 9
提升能力
3．若a、b、c为有理数，且│a+1│＋│b＋2│＋│c+3│＝0．求（a-1）（b+2）（c-3）
4．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算※，定义x※y=xy+1．根据运算符号的意义完成下列各题．
（1）2※4=9 （2）求1※4※0=1
（3）任意选取两个有理数（至少一个为负数）分别填入下例□与○内，并比较两个运算结果，你能发现
什么？
□※○与○※□
（4）根据以上方法，设a、b、c为有理数．请与其他同学交流a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用式子
把它们表达出来．
【答案】 （3）相等 （4）a※（b+c）+1=a※b+a※c
开放探究
5．趣味题
以前有一个农民，他有17只羊，临终前，他嘱咐把羊分给三个儿子，他说：“大儿子分一半，二儿子分
，小儿子分 ，但是不允许把羊杀死或者卖掉”．三个儿子感到很为难，不知怎么分，你能他们分吗？
【答案】 借一只羊就会有18只，他们分别分得9只，6只和2只后，还剩一只羊，再还给人家．
6．新中考题
（2004·山东淄博）观察下列数表
1 2 3 4 …第一行
2 3 4 5 …第二行
3 4 5 6 …第三行
4 5 6 7 …第四行
┋ ┋ ┋ ┋
第 第 第 第
一 二 三 四
列 列 列 列
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（A）
A．2n-1 B．2n+1 C．n2-1 D．n2
1．4．2 有理数的除法（第一课时）
教学目标
1．知识与技能
①了解有理数除法的定义．
②经历有理数除法法则的过程，会进行有理数的除法运算．
③会化简分数．
2．过程与方法
①通过有理数除法法则的导出及运用，让学生体会转化思想．
②培养学生运用数学思想指导数学思维活动的能力．3．情感、态度与价值观
在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，能从交流中获益．
教学重点难点
重点：正确应用法则进行有理数的除法运算．
难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
我们在前几节课和大家一起学习了有理数的乘法．并且还由乘法而认识了有理数的倒数问题．那大家
知道乘法的逆运算是什么？该如何计算和应用．这就是本节课我们学习的内容．
（二）合作交流，解读探究
试一试 （-10）÷2=？
交流 因为除法是乘法的逆运算，也就是求一个数“？”，使（?）×2=-10
显然有（-5）×2=-10，所以（-10）÷2=-5
我们还知道：（-10）× =-5
由上式表明除法可转为乘法．即：（-10）÷2=（-10）×
再试一试：（-12）÷（-3）=？
【总结】 除以一个数，等于乘以这个数的倒数（除数不能为0）．用字母表示成a÷b=a× ，（b≠0）．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 计算：（1）（-36）÷9 （2）（-63）÷（-9） （3）（－ ）÷
（4）0÷3 （5）1÷（-7） （6）（-6.5）÷0.13
（7）（－ ）÷（－ ） （8）0÷（-5）
提出问题：在大家的计算过程中，应用除法法则的同时，有没有新的发现？
学生活动：分组讨论．
【总结】 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【点拨】 这个运算方法的得出为计算有理数除法又添了一种方法．我们要根据具体情况灵活选用方法
大家试来比较一下，以上各题分别用哪种运算法则更简便．
【讨论】 （1）、（2）、（5）、（6）用确定符号，并把绝对值相除．
（3）、（7）用除以一个数，等于乘以这个数的倒数．
【引导】 小学里我们都知道，除号与分数线可相互转换．如 =-12÷3．利用这个关系，我们可以将
分数进行化简．
例2 化简下列分数
（1） （2） （3） （4）
学生活动：口答．
备选例题 （2004·福建南平） ＋ （ab≠0）的所有可能的值有（C）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】本题含有绝对值符号，故要考虑a、b的正负情况．当a>0时， ＝1；当a<0时， ＝－1．
【答案】 C
例3 试着用计算器计算
（1）-0.056÷1.4 =-0.0 4 ; （2）1.252÷（-4.4） =-0.28 5
（3）（-3.561）÷（-1.96） =1.81 7
【说明】 让学生练习用计算器进行有理数的除法计算．通过自己的亲身的探索、操作而增强学生的独
立意识和动手能力．
（四）总结反思，拓展延伸
本节课大家一起学习了有理数除法法则．有理数的除法有2种方法，一是根据除以一个数等于乘以这
个数的倒数，二是根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．一般能整除时用第二种．
1．（1）m为负整数，它的倒数 ，它的相反数为-m，试比较m， 和－m的大小．
（2）m为正整数，结论又怎样？（3）m为非零有理数，讨论m， 和－m的大小．
【答案】 （1）-m> ≥m （2）m≥ >-m （3）①-1<m<0时，－m>m> ，②m≤-1时，-m> ≥m，③当
0<m<1时， >m>-m，④m≥1时，m≥ >-m．
（六）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．选择题
（1）如果一个数除以它的倒数，商是1，那么这个数是（D）
A．1 B．2 C．-1 D．±1
（2）若两个有理数的商是负数，那么这两个数一定是（D）
A．都是正数 B．都是负数 C．符号相同 D．符号不同
（3） =-1，则a为 （B）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
（4）若a+b<0， >0，则下列成立的是（B）
A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 D．a<0，b>0
2．计算题
（1）（-2 ）÷（－ ） = 6 （2）3.5÷ ÷（-1 ） = －
（3）－ ÷（-7）÷（- ） = - （4）（-1）÷（+ ）÷（- ） =
提升能力
3．填空题
（1）若a、b是互为倒数，则3ab= 3 ．
（2）相反数是它本身的数有 0 ，绝对值等于它本身的数是 非负数 ，倒数等于它本身的数是 1 ， -
1 ．
（3）若<0，且yz<0，那么x > 0．（填“）”、“〈”〉
（4）当 x= 2 时，代数式没有意义．
（5） ± 1 的倒数等于本身， 0 的相反数等于本身， 非负数 的绝对值等于本身，一个数除以
1 等于本身，一个数除以 – 1 等于这个数的相反数．
开放探究
4．一家公司为了开发某种产品，需要每年向银行存款或取款，到今年，存取款结果正好为零．如果把向
银行的存款数（万元）记为正数，那么向银行的取款数（万元）就应当记为负数；如果把现在起向后的时间
（年）记为正数，那么把现在起向前的时间（年）记为负数，在这个问题中，
（1）（-100）÷4的实际意义是___________；
（2）（-100）÷（-4）的实际意义是_____________．
仿照上题，请你举一个实例，使问题的数量为：
（1）16÷（-2） （2）（-10）÷（-2）
【答案】 略
5．新中考题
（2004·北京）－ 的倒数是 （B）
A．3 B．-3 C． D．－
（七）资料采撷
大数学家维纳的故事
维纳（1894─1964）是最早在美洲数学界赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了．
维纳早期在英国，后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年．他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与
他套近乎．有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案．实际上这位学生并
不想知道答案，只是问他“方法”．维纳说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出
了另一种解法．维纳最有名的故事是有关搬家的事．一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的个性，搬家前一天晚上
再三提醒他．她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙．第二天维纳
带着纸条和钥匙上班去了．白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家．晚
上维纳习惯性地回到旧居．他很吃惊，家里没人．从窗子望进去，家具也不见了．掏出钥匙开门，发现根本对
不上．于是他使劲拍了几下门，随后在院子里踱步．突然发现街上跑来一个小女孩．维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运．我找不到家了，我的钥匙插不进去．”小女孩说道：“爸爸，没错，妈妈让我来找你．”
有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想介绍一番．在麻省理工学院真正能与维纳直接
说上几句话、握握手，还是十分难得的．但这位学生不知道怎样接近他才好．这时，只见维纳来来回回踱着步
陷于沉思之中．这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想．但最终还是鼓
足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来
维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……．
1.4.2 有理数的除法（第二课时）
教学目标
1．知识与技能
①掌握有理数加、减、乘、除运算的法则、运算顺序，能够熟练运算．
②能解决实际问题．
2．难点：过程与方法
经历探索有理数运算的过程，获得严谨，认真的思维习惯和解决问题的经验．
3．情感、态度与价值观
敢于面对数学活动中的困难，有解决问题的成功经验．
教学重点难点
重点和难点：如何按有理数的运算顺序，正确而合理地进行计算．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
想一想 观察式子 ×（ － ）× ÷ 里有哪种运算，应该按什么运算顺序来计算？
（二）合作交流，解读探究
引导 首先计算小括号里的减法，然后再按照从左到右的顺序进行乘除运算，这样运算的步骤基本清
楚了．另外带分数进行乘除运算时，必须化成假分数．
学生活动：板演，其他学生做在练习本上．
注意 有理数混合运算的步骤：先乘除，后加减，有括号先算括号．
（三）应用迁移，巩固提高
例1 （1）-3 ÷2 ÷（-2） （2）- ×（-1 ）÷（-2 ）
（3）- ÷ ×（- ）÷（- ） （4）20÷（-4）×5+5×（-3）÷15-7
解答略．
例2 某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈
利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？
【提示】 记盈利额为正数，亏损额为负数，这个公司去年全年亏盈额（单位：万元）为：
（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2=-4.5+6+6.8-4.6=3.7
即：这个公司去年全年盈利3.7万元．
例3 某商店先从每件10元的价格，购进某商品15件，又从每件12元的价格购进35件，然后从相同
的价格出售，如果商品销售时，至少要获利10%，那么这种商品每件售价不应低于多少元．
【提示】 先求出在不获得利润的情况下这种商品的售价，然后再计算提高利润后的售价．
由题意得： ×（1+10%）=12.54（元）
【答案】 这种商品每件售价不应低于12.54元．
例4 小明在计算（-6）÷（ + ）时，想到了一个简便方法，计算如下：
（-6）÷（ + ）
=（-6）÷ +（-6）÷
=-12-18
=-30
请问他这样算对吗？试说明理由．
【分析】 不对，因为除法没有分配律，应该是：-6÷ =-6× =-
备选例题 （2004·淮安）在如图 1-4-1所示的运算流程中，若输出的数 y=3，则输入的数
x=_________．输入x
是
是否偶数 除以2 输出y
否
加1
【提示】这是一道选择结构的程序计算题，需分情况讨论：如果输入数据为偶数，则根据输出结果可判断
该数为6；如果输入数据不是偶数，则根据输出结果可判断该数为5．故正确答案为5和6．
（四）总结反思，拓展延伸
引导学生一起小结：①有理数的运算顺序：先乘除，后加减，有括号的先算括号；②要注意认真审题，根
据题目，正确选择途径，仔细运算，注意检查，使结果无误．
“二十四点”游戏中的加减乘除四则运算．
有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个
数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，如对1、2、3、4，可作运算：（1+2+3）×4=24．（注
意上述运算与4×（2+3+1）应视作相同方法的运算）
现有四个有理数3，4，6，10，运用上述规则可以写出多种不同方法的运算式，使其结果等于24．
（1）3×（4+10-6） （2）（10-4）＋3×6 （3）4+6÷3×10…
活动设计：
初一（5）班有48名同学，将其分成12组，每组准确一副写有1至13数字的13张纸牌．活动开始，同一
组内每一位同学任意抽取1张纸牌，然后四人手中纸牌的示数（每人用且只用一次）用加减乘除四则运算，
使其结果等于24．
比一比，30分钟内，哪一个小组得到的算式最多．
【点评】 通过这种游戏，激发同学们的兴趣，解决开放性问题，训练发散思想能力．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．选择题
（1）下列各数中互为倒数的是 （B）
A．-5 和 B．-0.75和- C．-1和1 D．-5 和
（2）若a<b<0，那么下列式子成立的是（C）
A． < B．ab<1 C． >1 D． <1
（3）已知数a<0，ab<0，化简│a-b-3│－│4+b-a│的结果是（A）
A．-1 B．1 C．7 D．7
2．填空题
（1）直接写出运算结果：
（-9）× = - 6 ，-1 ÷0.5= - 3 ，（ + ）÷（-6）= -
（2）若一个数的相反数是 ，这个数的倒数是 – 5 ．
（3）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数，则 +ab+ =
（4）当x= ± 3 时， 无意义．
（5）若>0，<0，则│ac│＝-ac．
（6）若a=25.6，b=-0.064，c=0.1，则（-a）÷（-b）÷c=-4 000．
提升能力
3．计算题
（1）（-4 ）÷（-2 ）÷（-1 ）= -
（2）（-5）÷（-1 ）× ×（-2 ）÷7= - 1
（3）1÷（-1）+0÷（-5.6）-（-4.2）×（-1）= -5. 2（4） ÷( + - )=
（5）（-12 ）÷1.4-（-8 ）÷（-1.4）+（+10 ）÷1.4= -
（6）{2 -[（1.5×2 ）÷ -1 ]}÷ = -22
4．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求3x-（a+b+cd）-x．
【答案】 1或-3
开放探究
5．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示：
a b 0 c
（1）求 + -
（2）比较a+b，b+c，c-b的大小，并用“〈”将它们连接起来．
【答案】 （1）可知b<0，a<0，c>0，∴ab>0，bc<0
原式＝ + - =- - +2=2-
（2）可知a+b<0，b+c>0，c-b>0，且│c-b│>│b+c│，∴a+b<b+c<c-b
6．新中考题
（2004·山西）联欢会上，小红按照4个红气球，3个黄气球，2个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场，
第52个气球的颜色是 黄色 ．
第1课时：整式(1)
教学内容：
教科书第54—56页，2.1整式：1．单项式。
教学目标和要求：
1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
4．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力。
教学重点和难点：
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
难点：单项式概念的建立。
教学方法：
分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程：
一、复习引入：
1、 列代数式
(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ；
(3)若x表示正方形棱长，则正方形的体积是 ；
(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；
(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
2、 请学生说出所列代数式的意义。
3、 请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。
由小组讨论后，经小组推荐人员回答，教师适当点拨。
二、讲授新课：
1．单项式：通过特征的描述，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：单项式，并板书归纳得出的单项式的概
念，即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如
a，5。
2．练习：判断下列各代数式哪些是单项式？
(1) ； (2)abc； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5。
3．单项式系数和次数：
直接引导学生进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。以四个
单项式 a2h，2πr，abc，－m为例，让学生说出它们的数字因数是什么，从而引入单项式系数的概念并板书，
接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，从而引入单项式次数的概念
并板书。
4．例题：
例1：判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
①x＋1； ② ； ③πr2； ④－ a2b。
答：①不是，因为原代数式中出现了加法运算；②不是，因为原代数式是1与x的商；
③是，它的系数是π，次数是2； ④是，它的系数是－ ，次数是3。
例2：下面各题的判断是否正确？
①－7xy2的系数是7； ②－x2y3与x3没有系数； ③－ab3c2的次数是0＋3＋2；
④－a3的系数是－1； ⑤－32x2y3的次数是7； ⑥ πr2h的系数是 。
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；
③单项式次数只与字母指数有关。
5．游戏：
规则：一个小组学生说出一个单项式，然后指定另一个小组的学生回答他的系数和次数；然后交换，看两小
组哪一组回答得快而准。
第2课时：整式(2)
教学目标和要求：
1．通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2．通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。由单项式与多
项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更
新。
3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。
教学重点和难点：
重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。
难点：多项式的次数。
教学过程：
一、复习引入：
1．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是 ；
(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生 人；
(3)图中阴影部分的面积为_________；
(4)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 个，脚 只。
(由于本课的主题是多项式，通过列代数式引入多项式，既是对前面知识的回顾，又由此导入新课，既符合学
生的认知水平，又能为学生学习新知提供丰富的素材。)
2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别。
(1)2(a＋b) ； (2)21＋x ； (3)a＋b ； (4)2a＋4b 。
(由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时
又锻炼他们的口表能力。通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教室可给予适当的提示及补
充。)
二、讲授新课：
1．多项式：
板书由学生自己归纳得出的多项式概念。上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样，几
个单项式的和叫做多项式(polynomial)。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项(term)。其中，不含字母的项，
叫做常数项(constant term)。例如，多项式 有三项，它们是 ，－2x，5。其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多
项式 是一个二次三项式。
注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
(教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别
与联系，渗透类比的数学思想。)
2．例题：
例1：判断：
①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12；
②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。
(这两个判断能使学生清楚的理解多项式中项和次数的概念，第(1)题中第二、四项应为
－a2b、－b3，而往往很多同学都认为是a2b和b3，不把符号包括在项中。另外也有同学认为该多项式的次数为
12，应注意：多项式的次数为最高次项的次数。)
例2：指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。
解：略。
例3：指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2。
解：略。
例4：已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
解：略。
(让学生口答例2、例3，老师在黑板上规范书写格式。讲述例2时应特别提醒学生注意，
多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数。在例3讲完后插入整式的定义：
单项式与多项式统称整式(integral expression)。例4分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使
学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力。)
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：
6．课堂练习：课本p59：1，2。①填空：－ a2b－ ab＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为
，写出所有的项 。
②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。
整式的加减（第一课时）
一、教学目标
知识与技能：1. 理解同类项的概念，并能正确辨别同类项。
2. 掌握合并同类项的法则，能进行同类项的合并。
3.会利用合并同类项将整式化简。
过程与方法：1. 探索在具体情境中用整式表示事物之间的数量关系，发展学生的抽象概括能力。
2.通过类比数的运算律得出合并同类项的法则，在教学中渗透“类比”的数学思想。
情感、态度与价值观：1.通过参与同类项、合并同类项法则的探究活动，提高学习数学的兴趣。
2.培养学生合作交流的意识和探索精神。
二、教学重点与难点
重点：合并同类项法则。
难点：对同类项概念的理解以及合并同类项法则的应用。
三、学习课时（四课时——第一课时）
四、重、难点突破
通过实际问题引出同类项和合并同类项概念的探讨，在学习过程中，让学生自己经历探索与交流的活
动，自主得到同类项的概念，并利用数的分配律观察并归纳出合并同类项的法则。
五、教学方法
讨论及探究式教学方法
六、教具准备
课件
七、教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动1]
问题1：教室里非常混乱，有很多书本、 [学生] 思考并回答：将 从生活中的实例出发，
扫把、粉笔等东西，问学生如何整理？为什 扫把放到一起，将书本摆放整 创设情境，在激发学生学习
么？ 齐…。 兴趣的同时把生活中的分
[师] 引导学生意识到 类思想引入到数学中来。着
“归类”存在于生活中。由学 重指出分类时把具有相同
生举例在生活中那些运用到归 特征的归为一类。
类方法。
问题2：青藏铁路上，在格尔木到拉萨之 在具体情境中用整式
间有一段很长的冻土地段。列车在冻土地段 表示问题中的数量关系，利
的行驶速度可以达到100千米/时，在非冻土 学生思考并回答： 用实际问题吸引学生的注
地段的行驶速度可以达到120米/时，请根据 100 +252 意力。
这些数据回答下列问题：
问题与情境 师生行为 设计意图
在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地 合并同类项以及整式
段所需时间是通过冻土地段所用时间的 提出问题3，让学生带着 的加减是建立在单项式、多
这个问题来解决探究1. 项式的相关概念的基础上，
倍，如果通过冻土地段需要 小时，你能用含
因此在学习新知识之前对
的式子表示这段铁路的全长吗？
前面的知识有必要进行简
[学生] 独立完成探究1 单的回顾.
中的（1），并对（2）进行分组讨
问题3：式子100 +252 能化简吗？依 论.据是什么？ [师] 巡视，对能化简出
结果的小组，请他们说出化简
的理由及依据.对不能化简出 通过对探究1和探究
的小组应加以引导，参与到他 2的探讨，引出同类项的概
探究1 们的讨论中. 念、合并同类项概念.
（1）运用有理数的运算律计算：
， 在探究1的基础上，以原
有的关于数的运算律的知识，
.
开展探究2.
（2）根据（1）中的方法完成下面的运算，
并说明其中的道理. 观察多项式中各项的特
点，得出同类项的概念以及合 问题3是本节内容的
.
并同类项的概念. 核心，让学生在探究的过程
同类项：所含字母相同， 中体会用字母表示数的意
并且相同的字母的指数也相同 义，培养学生的抽象概括能
探究2
的项. 力，在小组合作中体会交流
（1） （ ）
合并同类项：把多项式中 的重要性和必要性。
（2） （ ） 的同类项合并成一项.类比数
的运算，探究得出合并同类项
（3） （ ）
的法则.
法则：所得项的系数是合
并前各同类项系数的和，字母
部分不变.
[活动2] 学生接受同类项的定义
问题1： 不是很难，但是做到判断无
说一说： 学生独立思考后回答. 误却很困难，需要通过练习，
反复强调同类项判断标准，
使学生通过甄别、比较，逐步
（１） 这个多项式中含有哪些项？
一次请两位同学做游戏， 提高准确度和熟练度.
（２） 各项的系数是多少？
可以进行多次.
（３） 那些项可以合并成一项？为什么？
找一找：
游戏的加入是为了让所
游戏：一个同学任意说出一个单项式，另一
有的同学都真正参与到课堂
个同学说出它的同类项.
学生独立完成，教师详细 中来，让同学在轻松的环境
讲解，并示范. 中进一步体会同类项的概
注意：学生对同类项的正 念.
试一试：
确判别以及合并时不要漏
试着把多项式合并同类项.
项. 巩固同类项的概念、合
并同类项概念、合并同类项
法则.通过具体练习让学生
熟悉如何识别同类项、体会
合并同类项的过程就是化简多项式的过程，并具体示范，
学生独立完成，教师巡视 让学生进一步了解化简过程
并讲解板演（2）. 的依据.
问题2： 注意：再次强调同类项的
例1 合并下列各式的同类项： 概念，能够熟练的判别同类
项（当字母不止一个时，与字 合并同类项法则的直接
（1） ； 母的顺序无关，如（2）中的 运用.
和 在巡视过程中了解学生
（2） ； 的困难点，再在讲解过程中
加以重视.
(3) .
[活动3]
问题1：
例2 （1）求多项式 学生独立完成，教师巡 在比较两种方法的过程
的值，其中 视.引导学生应用两种方法 中，体会合并同类项
进行比较：直接代入求值，先 对运算的简化作用；自己得
化简再求值，看哪种方法简 出结论：解决这类问题先化
；
便. 简再求值更简单.
问题与情境 师生行为 设计意图（2）求多项式
的值，其中
引导学生回顾用正负数 提高学生将所学知识运
问题2：
表示具有相反意义的量，然 用在实际问题中的能力，培
例3 （1）水库中水位第一天连续下降
后学生独立完成. 养用数学的思想解决实际问
了 小时，每小时平均下降 ；第二天连续
题.
上升了 小时，每小时上升 ，这两天
水位总的变化情况如何？
注意：关注学生是否能
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为
用正负数表示题目中具有相
千克.上午卖出3袋，下午又购进同样包装的
反意义的量.
大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？
[活动4]
比一比：规定时间内完成下面的练习，看谁 学生独立完成，教师巡 通过比一比这个环节使
做得既快又对. 视. 学生能够熟练地进行整式的
（1） ； （2） ； 加减运算，让学生对本节知
识的理解得到巩固.
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
[活动5]
通过本节的学习，你最开心的是解决了 师生交流这节课的收获 由学生进行小结，能够
些什么问题，又学到了什么知识？ 与体会.了解学生对知识点 提高学生的归纳总结能力和
的总结是否全面、准确. 语言表达能力.
教师总结.
2. 2 整式的加减 (2 )
教学目标
1．知识与技能
能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．2．过程与方法
经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观
察、分析、归纳能力．
3．情感态度与价值观
培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度．
重、难点与关键
1．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．
2．难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．
3．关键：准确理解去括号法则
教学过程
一、新授
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为（t-0.5）小
时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为
100t+120（t-0.5）千米 ①
冻土地段与非冻土地段相差
100t-120（t-0.5）千米 ②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
思路点拨：教师引导，启发学生类比数的运算，利用分配律．学生练习、交流后，教师归纳：
利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100t+120（t-0.5）=100t+120t+120×（-0.5）=220t-60
100t-120（t-0.5）=100t-120t-120×（-0.5）=-20t+60
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．
上面两式去括号部分变形分别为：
+120（t-0.5）=+120t-60 ③
-120（t-0.5）=-120+60 ④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
思路点拨：鼓励学生通过观察，试用自己的语言叙述去括号法则，然后教师板书（或用屏幕）展示：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
特别地，+（x-3）与-（x-3）可以分别看作1与-1分别乘（x-3）．
利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：
+（x-3）=x-3 （括号没了，括号内的每一项都没有变号）
-（x-3）=-x+3 （括号没了，括号内的每一项都改变了符号）
去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则谁也不
变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
二、范例学习
例1．化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）．
思路点拨：讲解时，先让学生判定是哪种类型的去括号，去括号后，要不要变号，括号内的每一项原来是
什么符号？去括号时，要同时去掉括号前的符号．为了防止错误，题（2）中-3（a2-2b），先把3乘到括号内，然
后再去括号．
解答过程按课本，可由学生口述，教师板书．例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，
水流速度是a千米/时．
（1）2小时后两船相距多远？
（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
教师操作投影仪，展示例2，学生思考、小组交流，寻求解答思路．
思路点拨：根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度 + 水流速度，  船逆水航行速度 = 船在静水中行驶
速度 - 水 流速度．因此，甲船速度为（50+a）千米/时，乙船速度为（50-a）千米/时，2小时后，甲船行程为2
（50+a）千米，乙船行程为（50-a）千米．两船从同一洪口同时出发反向而行，所以两船相距等于甲、乙两船
行程之和．
解答过程按课本．
去括号时强调：括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号．为
了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去
括号．
三、巩固练习
1．课本第68页练习1、2题．
2．计算：5xy2-[3xy2-（4xy2-2x2y）]+2x2y-xy2． [5xy2]
思路点拨：一般地，先去小括号，再去中括号．
四、课堂小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面
的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．
当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．
五、作业布置
1．课本第71页习题2．2第2、3、5、8题．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题:
1．下列各式化简正确的是（ ）．
A．a-（2a-b+c）=-a-b+c B．（a+b）-（-b+c）=a+2b+c
C．3a-[5b-（2c-a）]=2a-5b+2c D．a-（b+c）-d=a-b+c-d
2．下面去括号错误的是（ ）．
A．a2-（a-b+c）=a2-a+b-c B．5+a-2（3a-5）=5+a-6a+5
C．3a- （3a2-2a）=3a-a2+ a D．a3-[（a2-（-b））=a3-a2-b
3．将多项式2ab-4a2-5ab+9a2的同类项分别结合在一起错误的是（ ）．
A．（2ab-5ab）+（-4a2+9a） B．（2ab-5ab）-（4a2-9a2）
C．（2ab-5ab）+（9a2-4a2） D．（2ab-5ab）-（4a2+9a2）
二、化简下列各式:
4．2（-a3+2a2）-（4a2-3a+1）． 5．（4a2-3a+1）-3（-a3+2a2）．
6．3（a2-4a+3）-5（5a2-a+2）． 7．3x2-[5x-2（ x- ）+2x2]．
答案:
一、1．C 2．B 3．D
二、4．-2a3+3a-1 5．3a3-2a2-3a+1 6．-22a2-7a-1 7．x2- x-3.课题： 3.1.1一元一次方程（1）
1、 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；
教学目标 2、 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；
3、 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
教学难点
均是从实际问题中寻找相等关系。
知识重点
教学过程（师生活动） 设计理念
教师提出教科收第66页的问题，并用多媒体直观演示，同进
出现下图：
用多媒体演示的目
的是使学生能直观
地理解“匀速”的
含义，为后面寻相
问题1：从上图中你能获得哪些信息？（必要时可以提示学 等关系做准备。
培养学生读图的能
生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。）
力和思维的广阔
教师可以在学生回答的基础上做回顾小结
性。
问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗·（当
情境引入
学生列出不同算式时，应让他们说明每个式子的含义）
教师可以在学生回答的基础上做回顾小结：
这样既可以复习小
1、问题涉及的三个基本物理量及其关系；
学的算术方法，又
2、从知的信息中可以求出汽车的速度；
为后面与方程的比
3、从路程的角度可以列出不同的算式：
较打下伏笔。
提出问题：引出新
课
问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？
1、教师引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数
量．
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山 渗透列方程解决实
千米，王家庄距秀水 千米． 际问题的思考程
2、教师引导学生寻找相等关系，列出方程． 序。
问题1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？ 理解题意是寻找相
问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表 等的关系的前提。
示？你能表示其他各段路程的车速吗？
问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？
教师根据学生的回答情况进行分析，如： 考虑到学生寻找关
依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车 系的难度，教师在
学习新知 速”可列方程： 此处有意加以引
导。
，
依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”
教师要根据课堂教
可列方程： 学的情况灵活处
理，不能把学生的
3、给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念． 思维硬往教材上
4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤： 套。
(1)用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z等字母）；
(2)根据问题中的相等关系，列出方程．
1、比较列算式和列方程两种方法的特点．建议用小组讨论的方 通过比较能使学生
式进行，可以把学生分成两部分分别归纳两种方法的优缺点，也 学会到从算式到方
可以每个小组同时讨论两种方法的优缺点，然后向全班汇报． 程是数学的进步。
列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量
举一反三讨 关系；
论交流 列方程：可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量 问题的开放性有利
关系。 于培养学生思维的
2、思考：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依 发散性。
据的是哪个相等关系？、
建议按以下的顺序进行：！ 这样安排的目的（1)学生独立思考；
（2)小组合作交流；
（3）全班交流．
如果直接设元，还可列方程：
如果设王家庄到青山的路程为x千米，那么可以列方程：
是所有的学生都有
独立思考的时间和
依据各路段的车速相等，也可以先求出汽车到达翠湖的时 合作交流的时间。
刻：
，再列出方程 =60
说明：要求出王家庄到翠湖的路程，只要解出方程中的x即
可，我们在以后几节课中再来学习．
1、例题（补充）：根据下列条件，列出关于x的方程：
（1)x与18的和等于54；
（2）27与x的差的一半等于x的4倍．
建议：本例题可以先让学生尝试解答，然后教师点评．
解：（1）x＋18=54；
（2） （27－x）＝4x.
补充例题（练习）
列出方程后教师说明：“4x"表示4与x的积，当乘数中有 的目的一方面是增
初步应用
字母时，通常省略乘号“X”，并把数字乘数写在字母乘数的前 加列式的机会，另
课堂练习
面． 一方面介绍列代数
2、练习（补充）： 式的有关知识。
(1) 列式表示：
① 比a小9的数； ② x的2倍与3的和；
③ 5与y的差的一半； ④ a与b的7倍的和．
(2)根据下列条件，列出关于x的方程：
（1） 12与x的差等于x的2倍；
（2）x的三分之一与5的和等于6.
小结与作业
可以采用师生问答的方式或先让学归纳，补充，然后教师补充的
方式进行，主要围绕以下问题：
课堂小结 1、 本节课我们学了什么知识？
2、 你有什么收获？
说明方程解决许多实际问题的工具。
1、 必做题：阅读教科书上70页的《阅读与思考》；第73页习题
2.1第1，5题。
2、 选做题：根据下列条件，用式表示问题的结果：
（1） 一打铅笔有12支，m打铅笔有多少支？
（2） 某班有a名学生，要求平均每人展出4枚邮票，实
本课作业
际展出的邮标量比要求数多了15枚，问该班共展
出多少枚邮票？
（3） 根据下列条件列出方程：小青家3月份收入a元，
生活费花去了三分之一，还剩2400元，求三月份的
收入。
课题：3.1.1 一元一次方程（2）
①理解一元一次方程、方程的解等概念；
②掌握检验某个值是不是方程的解的方法；
教学目标
③培养学生根据间题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力；
④体验用估算方法寻求方程的解的过程，培养学生求实的态度。教学重点 重点是寻找相等关系、列出方程．
对于复杂一点的方程，用估算的方法寻求方程的解，需要多次的尝试，也需要一
教学难点
定的估计能力
教学过程（师生活动） 设计理念
问题：小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的
用学生身边的实际
年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？
问题作为引入，能
如果设小雨的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小思的年
有效地激
龄吗？
发学生的参与欲
情境引入 在学生回答的基础上，教师加以引导：小思的年龄可以用两
望．用不同的方法
个不同的式子25-x和2x-8来表示，这说明许多实际问题中的数
表示同一个量，可
量关系可以用含字母的式子来表示．
以自然地列出方
由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们又
程．
可以写成：25-x=2x-8．这样就得到了一个方程．
①．尝试：
让学生尝试解答教科书第67页的例1。对于基础比 本环节采用“尝试
较差的学生，教师可以作如下提示： 一交流一讲评一讨
(1）选择一个未知数，设为x， 论”四个
(2）对于这三个问题，分别考虑： 步骤。
用含x的式子表示这台计算机的检修时间； 这几个问题
用含x的式子分别表示长方形的长和宽； 的提示教师可根据
用含x的式子分别表示男生和女生的人数． 学生的基础灵活处
(3)找一个问题中的相等关系列出方程． 理．
②交流：
在学生基本完成解答的基础上，请几名学生汇报所列的方 “解释式子的含
程，并解释方程等号左右两边式子的含义． 义”有必要，它可
③教师在学生回答的基础上作补充讲解，并强调： 以培养学生的自查
（1）方程等号两边表示的是同一个量； 的习惯。
(2)左右两边表示的方法不同． 强调的目的在于抓
自主尝试 简单地说：列方程就是用两种不同的方法表示同一个量．以 住列方程的关键。
第(1)题为例：方程左边的式子"1 700＋150x”表示计算机已使
用的时间加上后来可使用的时间，也就是规定的检修时间．右边
的"2 450”也是规定检修的时间．这样就有“1 700十150x =2 讨论的目的在于突
450". 出重点，突破难点，
④讨论： 同时培养学生的灵
问题1：在第(1)题中，你还能用两种不同的方法来表示另一 活性，也为后面的
个量，再列出方程吗？ “移项”打下伏
让学生在学习小组内讨论，然后分组汇报交流： 笔。
选“已使用的时间”可列方程：2 450-150x=1 700.
选“还可使用的时间”可列方程：150x=2 450-1 700.
问题2：在第(3)题中，你还能设其他的未知数为x吗？
在学生独立思考、小组讨论的基础上交流：
设这个学校的男生数为x，那么女生数为(x+80)，全校的学生
数为(x+x+80).
列方程：x＋80=52％(x+x＋80)．
①概念的建立．
让学生在观察上述方程的基础上，教师进行归纳：各方程都
只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一
元一次方程．
“一元”：一个未知数；“一次”：未知数的指数是一次．
判断下列方程是不是一元一次方程： 概念的建立要经历
（1）23-x=一7： （2）2a-b=3 由感性到理性的过
程，“判断”的目
(3 )y+3＝6y-9； （4）0.32 m-(3＋0.02 m) =0.7. 的就是为了对概念
进一步理解。
建立概念
（5）x2＝1 （6）
学生参与，渗透建
②引导学生归纳： 立数学模型的思
从上面的分析过程我们可以发现，用方程的方法来解决实际 想。
问题，一般要经历哪几个步骤？在学生回答的基础上，教师用方
框表示：
设未知数 列方程
实 际 问 一元一次方
题 程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方
程，是用数学解决实际问题的一种方法．
列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值．对于简
单的方程，我们可以采用估算的方法．
①问题：你认为该怎样进行估算？
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法：让学生尝试后发
现，要求出答案必须用一些具体的数值代入，看方程是否成立，最
后教师进行归纳．
可以像教科书那样用列表的方法进行尝试，也可以像下面的
示意图那样按程序进行尝试．
②在此基础上给出概念：能使方程左右两边的值相等的未知
数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．
一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替
未知数代人方程，看方程左右两边的值是否相等．
估算求解
估算是一种重要的
方法，应引起重视。
练习教科书第69页中练习
课堂练习
小结与作业
着重引导学生从以下几个方面进行归纳：
①这节课我们学习了什么内容？ 对于较复杂的方
②用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么？ 程，用估算的办法
课堂小结 ③列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量． 一时很难求出方程
④估算是一种重要的方法． 的解，只须让学生
思考：教科书第69页中的“思考”．（不一定让学生估算出 有所体验即可。
方程的解，目的是体验用估算的方法有时会很麻烦）
①必做题：教科书第73页习题2.1第2,6,7,8题·
②选做题：教科书第74页习题2.1第11题．
③备选题：
（1）x=3是下列哪个方程的解？（ ）
A. 3x-1-9=0 B. x=10-4x
C. x(x-2)＝3 D. 2x-7＝12
（2）方程 的解是（ ）
本课作业
A. －347.B － C. 12 D. －12
（3）已知x－5与2x－4的值互为相反数，列出关于x的方程．
(4)某班开展为贫困山区学校捐书活动，捐的书比平均每人捐3
本多21本，比平均每人捐4本少27本，求这个班，有多少名学
生？如果设这个班有x名学生，请列出关于 x的方程．
课题：3.1.2 等式的性质（1）
教学目标 ①了解等式的两条性质；②会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程；
③培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力；
④渗透“化归”的思想．
教学重点 理解和应用等式的性质
知识难点 应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”.
教学准备 演示实验用的一架天平、砝码（估计与乒乓球等质量的取3只）、小木块等．
教学过程（师生活动） 设计理念
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解．你能 第（1）题是为了复
用这种方法求出下列方程的解吗？ 习，第（2）题是估
提出问题 （1） 3x-5＝22； (2) 0.28-0.13y=0.27y＋1. 算比较困难，以引
第(1)题要求学生给出解答，第(2)题较复杂，估算比较困 起学生认知冲突，
难，此时教师提出：我们必须学习解一元一次方程的其他方法． 引出新课
①实验演示：
教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考
能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律．然后按
教科书第71页图2.1-2的方法演示
实验．
用实验演示，能比
教师可以进行两次不同物体的实验．
较直观地归纳出等
②归纳：
式的性质
请几名学生回答前面的问题．
在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天
平，它具有与上面的事实同样的性质．比如“8=8”，我们在两边
都加上6，就有“8＋6=8＋6”；两边都减去11，就有“8－11=8－
11”48.
③表示：
问题1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？
在学生回答的基础上，教师必须说明：等式两边加上的可以
是同一个数，也可以是同一个式子．
问题2：等式一般可以用a=b来表示．等式的性质1怎样用式
子的形式来表示？
探究新知
如果a=b，那么a±c=b±c
字母a、b、c可以表示具体的数，也可以表示
一个式子。
④观察教科书第71页图2.1－3，你又能发现什么规律？你
能用实验加以验证吗？
两种形式的表示方
在学生观察图2.1一3时，必须注意图上两个方向的箭头所表
法应该让学生理解
示的含义．观察后再请一名学生用实验验证．
然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
先观察后实验的目
的 一是培养学生
如果a=b，那么ac=bc
的看图能力，二是
培养学生读数学书
的能力
如果a=b(c≠0)，那么
问题3：你能再举几个运用等式性质的例子吗？
举例的目的在于得
如：用5元钱可以买一支钢笔，用2元钱可以买一本笔记本，
到初步的应用
那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本，15元钱就可以买
3支钢笔．相当于：
“5元一买1支钢笔的钱；2元一买1本笔记本的钱．
5元＋2元=买1支钢笔的钱＋买1本笔记本的钱．
3×5元=3×买1支钢笔的钱．”
方程是含有未知数的等式，我们可以运用等式的性质来解 例题一方面要做好
方程。 示范，另一方面要
充分发挥学生的主
例1教科书第72页例2中的第（1）、（2）题．
体性
分析：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？’’因
此我们需要把方程转化为“x=a(a为常数)”形式。
问题 1：怎样才能把方程x＋7=26转化为x=a的形式？
小结实际上是解题
应用举例 学生回答，教师板书：
后的一种反思
解：（1）两边减7，得、
x+7－7=26－7，
x=19. I
问题2：式子“－5x”表示什么？我们把其中的－5叫做这
个式子的系数．你能运用等式的性质把方程－5x=20转化为x=a
的形式吗？用同样的方法给出方程的解．
小结：请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式．
例2（补充）小涵的妈妈从商店买回一条裤子，小涵问妈妈：
“这条裤子需要多少钱？”妈妈说：“按标价的八折是36元．”
你知道标价是多少元吗？
要求学生尝试用列方程的方法进行解答．在学生基本完成的
情况下，教师给出示范． 补充这个例题，能
解：设标价是x元，则售价就是80％x元，根据售价是36 使学生及时应用所
元 学的知识解决实际
可列方程： 问题
80%x=36，
两边同除以80％，得
x=45.
答：这条裤子的标价是45元．
① 分别说出下列各式子的系数
3x，－7m， ，a，－x，
② 利用等式的性质解下列方程 ①这方面的练习
课堂练习 （1） x－5=6 （2）0.3x=45 有体现就够了，以
免冲淡解方程
（3）－y=0.6 （4）
③七年级3班有18名男生，占全班人数的45%，求七年级3班的
学生人数。
小结与作业
让学生进行小结，主要从以下几个方面去归纳：
课内小结是不可或
①等式的性质有那几条？用字母怎样表示？字母代表什
缺的一环，它可以
么？
起到提炼、整理、把
②解方程的依据是什么？最终必须化为什么形式？
课堂小结 知识纳入学生的认
③在字母与数字的乘积中，数字因数又叫做这个式子的系
知体系．思考题不
数．
作统一要求，这将
思考：你能用等式的性质解本课引入时的方程
在下一课中学习．
3x－5=22吗？（第2个方程在学了后续的知识后再解答）
① 必做题
（1）利用等式的性质解下列方程：
① a＋25=95 ②x－12=－4
③ 0.3x=12 ④
本课作业
（2）教科书第74页第9题
② 选作题：
一件电器，按标价的七五折出售是213元，问这件电器的标
价是多少元？
课题：3.1.2 等式的性质（2）
①进一步理解用等式的性质解简简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程
教学目标 ②初步具有解方程中的化归意识；
③培养言必有据的思维能力和良好的思维品质．
教学重点 用等式的性质解方程。
知识难点 需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。
教学过程（师生活动） 设计理念
解下列方程：（1）x＋7=1.2; （2） 由于这一课时也
是学习用等式的
复习引入 在学生解答后的讲评中围绕两个问题： 性质解方程，所
① 每一步的依据分别是什么？ 以通过复习来引
② 求方程的解就是把方程化成什么形式？ 入比较自然。
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。
对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来 不同层次的学生
解，下列方程你也能马上做出选择吗？ 经过尝试就会有
探究新知 例1 利用等式的性质解方程： 不同的收获：一
部分学生能独立
解决，一部分学（）0.5x－x=3.4 （2）
先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：
① 要把方程0.5x－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边
的0.5，怎么去？
② 要把方程－x=2.9转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”
号，怎么去？
然后给出解答：
解：两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5
化简，得
生虽不能解答，
－x=－2．9，、
但经过老师的引
两边同乘－1，得l
导后，也能受到
x=－2.9
启发，这比纯粹
小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解
的老师讲解更能
方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变
激发学生的积级
形时，始终要朝着这个目标去转化．
性。
你能用这种方法解第（2）题吗？
在学生解答后再点评．
解后反思：
①第（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？
②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？
允许学生在讨论后再回答．
例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服
装每套平均用布3．5米，儿童服装每套平均用布1．5米．现已做
了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？
在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x
这里补充一个例
套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能
题的目的一是解
列出方程吗？
方程的应用，二
解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需
是前两节课中已
要布1.5米，根据题意，得
学到了方程，在
80x×3.5＋1.5x＝355．
这里可以进一步
化简，得
应用，三是使后
280＋1.5x＝355，
面的“检验”更
两边减280，得
加自然。
280＋1.5x－280＝355－280，
化简，得
1.5x＝75，
两边同除以1.5，得x＝50．
解题的格式现在
答：用余下的布还可以做50套儿童服装．
不一定要学生严
解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列
格掌握。
方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学
问题．
问题：我们如何才能判别求出的答案50是否正确？
在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个
数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程
左右两边是否相等，例如：把 x=50 代入方程 80×3.5＋
1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355
方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解。
你能检验一下x=－27是不是方程 的解吗？
① 教科书第73页练习 第（3）（4）题。
② 小聪带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价
课堂练习 为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单
价是多少？（用列方程的方法求解）
建议：采用小组竞赛的方法进行评议
小结与作业
引发竞争意识，
提高自我评价和
建议：①先让学生进行归纳、补充。主要围绕以下几个方面：
自我表现的机
（1） 这节课学习的内容。
会，以达到激发
（2） 我有哪些收获？
课堂小结 兴趣，巩固知识
（3） 我应该注意什么问题？
的目的。评价包
②教师对学生的学习情况进行评价。
括对学生个人、
③思考题 用等式的性质求x:－2x=－5x＋7
小组，对学生的
学习态度、情感投入及学习的效
果方面等。
① 必做题：教科书第73页第4（1）、（2）、（4）题；补充：用等式的性
本课作业 质解方程：①3＋4x=17;②4－ =3
② 选做题：教科书第73页第4（3）题，第74页第10题。
课题： 3.2 一元一次方程的讨论（1）
①经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模
型．
②学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程．
教学目标
③能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方
程．
④初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。
教学难点 分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程
知识重点 建立方程解决实际问题，会解 “ax＋bx=c”类型的一元一次方程
教学过程（师生活动） 设计理念
（出示背景资料）约公元825年，中亚细亚数学家阿 本节引子与上一节
尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的 的“阅读与思考”
拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意 相呼应，同
思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个 时提出下面几节要
问题． 讨论的内容，起到
承上启下的作用，
又有助于增加学习
设置情境
数学的兴趣，扩大
提出问题
知识面，感受数学
出示教科书76页问题1：某校三年共购买计算机140台，去 的历史和文化的陶
年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年 冶，提高数学紊养．
这个学校购买了多少台计算机？ 以学生身边的
实际问题展开讨
论，突出数学与现
实的联系．
引导学生回忆： 指明解题思路，强
化本章的中心问题
设未知数 列方程
实 际 问 一元一次方
设问1：如何列方程？分哪些步骤？ 分析到位，渗透模
题 程
师生讨论分析： 型化的思想。
① 设未知数：前年购买计算机x台
② 找相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140台
③ 列方程：x＋2x＋4x=140
探索分析 设问2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x=a的形式？ 初步渗秀化归思
解决问题 学生观察、思考： 想。
根据分配律，可以把含 x的项合并，即
x＋2x＋4x=（1＋2＋4）x=7x 为使解方程的主线
老师板演解方程过程：（略） 更连续，这里暂不
为帮助有困难的学生理解，可以在上述过程中标上箭头和框图。 提“同类项”一
词，淡化名称。
设问3：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什
么？
学生讨论、回答，师生共同整理：
“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形 使学生养成说理的
式。 习惯。
学生练习课本上第77面练习1、2
课堂练习
对于问题1还有不同的未知数的设法吗？
拓广探索 学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程 尝试不同解法，培
养发散思维和择优
比较分析
意识。若设今年购买计算机x台，得方程
一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色 解决实际问题，体
综合应用 五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块 验数学来源于实
巩固提高 有多少？ 践，又服务于实践
学生思考、讨论出多种解法，师生共同讲评。 的意义。
小结与作业
以问题的形出现，
提问：
引导学生思考、交
1、 你今天学习的解方程有哪些步骤，每一步依据是什么？
流，梳理所学知识。
2、 今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点？
课堂小结 训练学生的口头表
学生思考后回答、整理：
达能力，养成及时
① 解方程的步骤及依据分别是：合并和系数化为1
归纳总结的良好学
② 总量=各部分量的和
习习惯。
1、 必做题：课本P82页习题2.2中1、3①②、4、6
2、 选做题：
（1） 在一卷古埃及草卷 中，记载着这样一个数学问题
“啊哈 ，它的全部，与它的 ，其和等于19。”你
本课作业
能求这问题中的他吗？
（2） 阅读诗文： 感受数学文化
三百一十五里关，初行健步并不难。
次日脚痛减一半，六朝才得至其返。
欲问每朝行数里，请公仔细算相还。
课题： 3.2.2 一元一次方程的讨论（1）第2课时
1、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型
的重要性．
教学目标
2、掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的
目标，体会解法中蕴涵的化归思想．
教学难点 分析实际问题中的相等关系，列出方程
知识重点 建立方程解决实际问题，会解 “ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程
教学过程（师生活动） 设计理念
出示教科书77页问题2：把一些图书分给某班学生 以学生身边的
阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25 实际问题展开讨
提出问题 本．这个班有多少学生？ 论，突出数学与现
实的联系．
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路． 进一步渗透模型化
学生讨论、分析： 的思想
1、设未知数：设这个班有x名学生
2、找相等关系： 引发学生认知上的
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等． 冲突，寻求解决途
3、列方程：3x＋20=4x-25 … (1) 径。
设问1：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有 在此结合例子解释
何不同？ “项”，没有正式
学生讨论后发现：方程的两边都有含x的项（3x与 给出项的定义，为
分析问题
4x)和不含字母的常数项（20与－25）． 突出方程主线，这
设问2：怎样才能使它向x=a的形式转化呢？ 里不做更多补充，
学生思考、探索：为使方程的右边没有含x的项，等号两边同 学生可以自然接
减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20. 受。
3x－4x=－25－20… （2） 再次渗透化归思
设问3：以上变形依据是什么？ 想。
等式的性质1。 培养学生说理有
据，画框图、标箭
头，辅助学生分析。通过观察结果强调
“变号”这一特
点。
归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移 使学生认识到移项
项。 法则是由于解方程
师生共同完成解答过程。 的需要有依据地产
设问4：以上解方程中“移项”起了什么作用？ 生的，在理解基础
学生讨论、回答，师生共同整理： 上记忆法则。
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，
使方程更接近于x=a的形式。
学生练习课本上第79面练习
课堂练习
对于问题1还有不同的未知数的设法吗？
学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程
拓广探索
及时巩固、反馈
比较分析 若设今年购买计算机x台，得方程
1、 现在你能解答课本74页的习题2.1第6题吗？ 通完成这部分题，
使学生熟悉应用一
元一次方程解决实
综合应用 2、 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条 际问题的一般过
巩固提高 船，正好每条船坐6人，如果送还 和了一条船 ，正每 程，掌握解题的正
条船坐9人，问这个班共多少同学？ 常程序，不断提高
自己分析问题的能
力
小结与作业
提问：
3、 今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步聚？每一步
的依据是什么？
4、 现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与
“还原”是什么意思吗？
使学生能理解解方
5、 今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？
程的目标，，体会解
课堂小结 学生思考后回答、整理：
法中蕴含 的程序
① 解方程的步骤及依据分别是：
化思想。
移项（等式的性质1）
合并（分配律）
系数化为1（等式的性质2）
② “对消”与“还原”就是“合并”与“移项”
③ 表示同一量的两个不同式子相等。
3、 必做题：课本第82页习题2.2第2、3（3）（4）、7、8题
4、 选做题：
布置作业 将一块长、宽、高分别为4厘米、2厘米、3厘米的长方体橡皮
泥捏成一个底面半径为2厘米的圆柱，它的高是多少？（精
分层次布置作业。
确到0.1厘米，
课题： 3.2.3 一元一次方程的讨论（1）第3课时
1、经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析和解决问题的能
力。
教学目标
2、学会探索数列中的规律，建立等量关系。
3、能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性。
教学难点 探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程
知识重点 建立一元一次方程解决实际问题。
教学过程（师生活动） 设计理念
创设情境提 前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问 本例是有关数列的数题，其实许多数列、游戏活动中也蕴含着方程知识。出示教 学问题，题要求出三个
科书79页例1：有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－ 未知数，与前几节不同
27，81，－243……其中某三个相邻数的和是－1701，这三个 的是，问题中没有明确
数各是多少？ 未知数之间的联系，需
出问题
要学生观察发现它们的
排列规律，问题具有一
定的挑战性，能激发学
生探索的规律
引导学生观察这列数有什么规律？（从符号和绝对值
两方面）
学生讨论后发现：后面一个数是前一个数的－3倍。
通过讨论让学生认识
师生共同分析，完成解答过程：
到：用一元一次方程解
解：设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为
含多个未知数的问题
－3x，第3个数为－3×(－3x)=9x
时，通常先设其中一个
根据这三个数的和是－1710，得
为x，再根据其他未知数
分析问题 x－3x＋9x=－1710
与x的关系，用含x的式
合并，得7x=－243
表示这些未知数。
所以－3x=729
完整的解题过程的呈
9x=－2187
现，利于培养学生有条
答：这三个数是－243、729、－2187
理地思考与表达。
引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。
学生讨论、分析：探索规律，找出相等关系
如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。
1、 三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数。
使学生培养检验方程的
课堂练习 2、 如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇
合理性的习惯。
数吗？
在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这
三天的日期的数字之和是39.
1， 培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当
选择更结合实际，更贴
月的哪几号吗？
近学生生活的问题，引
综合应用 2， 若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是
导学生用一元一次方程
巩固提高 当月的哪几号？
分析和解决它们，增强
学生练习，讲评。
数学的应用意识。
小结与作业
提问：
使学生对“应用一元一
④ 你是怎样分析数列中的规律的？
次方程解决实际问题”
⑤ 你学会判明方程的解是否合理吗？
课堂小结 有较全面、理性的认识，
⑥ 试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决
进一步体会模型化的思
实际问题”的一般过程。
想。
学生思考、讨论、整理。
5、 必做题：
（1）课本第82页习题2.2第5、9题
（2）三个连续偶数的和是30，求这三个偶数。
布置作业 6、 选做题：
小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出
了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我
圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？
课题： 3.2.4从古老的代数书说起一元一次方程的讨论（1）
1、 经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想。
教学目标 2、 通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分
析问题，解决问题的能力。
教学难点 探究实际问题与一元一次方程的关系。
知识重点 建立一元一次方程解决实际问题
教学过程（师生活动） 设计理念
信息社会，人们沟通交流方式多样化，移动电话已很普 本例是一道与生活相关
创设情境提
及，选择经济实惠的收费方式很有理实意义。 的移动电话收费的问
出问题
出示教科书80页的例2;观察下列两种移动电话计费方式 题，让学生讨论选择经表： 济实惠的收费方式很有
全球通 神州行 现实意义。
月租费 50元/月 0
本地通话费 0.40元/分 0.60元/分 理解问题是本身是列方
设计以下问题： 程的基础，本例是通过
1、 你能从中表中获得哪些信息，试用自己的话说说。 表格形式给出已知数据
2、 猜一猜，使用哪一种计费方式合算？ 的，通过设计问题1、2、3
3、 一个月内在本地通话200分和300分，按两种计费方式 让学生展开讨论，帮助
各需交费多少元？ 理解，培养学生的读题
4、 对于某个本地通通话时间，会出现两种计费方式的收费 能力和收集信息的能
一样的情况吗？ 力。
探索分析 学生充分交流讨论、整理归纳
解决问题 解：1、用“全球通”每月收月租费50元，此外根据累计通
话时间按0.40元/分加收通话费;用“神州行”不收月租
费，根据累计通话时间按0.60元/分收通话费。
问题2是开放性的，答案
2、 不一定，具体由当月累计通话时间决定。
与通话时间有关
3、
全球通 神州行
以表格的形式呈现数
200分 130元 120元
据，简单明了，易于比
300分 170元 180元
较。
4， 设累计通话t分，则用“全球通”要收费（50+0.4t）
元，用“神州行”要收费0.6t元，如果两种计费方式的
通过探究实际问题与一
收费一样，则
元一次方程的关系，提
0.6t=50+0.4t
高分析问题，解决问题
移项得 0.6t－0.4t=50
的能力。
合并，得0.2t=50
系数化为1，得t=250
答：如果一个月内通话250分，那么两种计费方式的收费相
同。
一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察
开放题
旅游（旅费统一支付），联系了标价相同的两家旅游公司，经
学生在现实的、富有挑
洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全部付费，学生按七
战性的问题情境中多种
综合应用 五折付费;乙公司给的优惠条件是：全部师生按八折付费，
角度认识问题，多种策
巩固提高 请你参谋参谋，选择哪家公司较省钱？
略思考问题，尝试解释
答案的合理性，培养探
学生练习，教师巡视，指导，讨论解是否合理
索精神和创新意识
小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程分析和解决
实际问题”的基本过程
学生思考、讨论、整理。
这是第一次比较完整地
用框图反映实际问题与
实 际 问 列方程 数学问题 一元一次方程的关系。
课堂小结 题题 （一元一次方 让学生结合自己的解题
知识梳理 过程概括整理，帮助理
程）
解，培养模型化的思想
和应用数学于现实生活
的意识。
实 际 问 检验
数学问题的
题 的 答 小结与作业
解
案
1、 必做题：教科书82页习题2.2第2题。
2、 一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，如果把个位
数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，求
原来的两位数。
布置作业 3、 选做：某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客
自我评价 车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的
客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的
客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300
元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？课题： 3.3.1从“买布问题”说起一元一次方程的讨论（2）
1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程
解应用题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法．
教学目标 2、培养学生分析问题，解决问题的能力．
3、通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数
学的信心
在小学根深蒂固用算术方法解应用题的基础上，让学生逐步树立列方程解应用
教学难点
题的思想。
知识重点 弄清列方程解应用题的思想方法;用去括号解一元一次方程。
教学过程（师生活动） 设计理念
同学们也许都读过俄国杰出短篇小说家契诃夫的作品 21世纪的人才是全方位
《变色龙》、《套中人》、《小公务员之死》……可同学们是否 发展的人才， 用浓郁的
还知道，在他的小说《家庭教师》中，居然写了一位教师为一 文学气息来导入新课，
创设情境提
道数学题大伤脑筋呢！让我们大家一起来看看这究竟是怎 不仅希望培养学生的文
出问题
样的一道题： 学修养，也希望能充分
调动学生学习数学的浓
厚兴趣。
出示教科书84页问题（买布问题）：顾客用540卢布买了
两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每
俄尺5卢布，两种布料各买了多少？
1、如何解决这个问题呢？
事实上，算术方法，代数
2、算术方法？方程方法？两种都行吗？孰良孰莠？请同学
方法各有各的优势，而
们讨论交流·
给出问题 让学生自主地做出判断
3、较之算术方法，方程解法要简易得多，展示如下：（师生共
与选择是新课程理念的
同合作）
充分体现
设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料（138－x）俄尺;因
而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5（138－x）卢布，根
据买两种布料共用540卢布，列得方程
3x＋5(138－x)=540
好，现在怎样使这个方程向x=a的形式转化呢？利用“分配
律”先去括号，下面的框图表示了解这个方程的具体进程，
你能说出每步的依据吗？
展示整个解题过程的目
的在于：让学生在以往
的经验中得到启发，发
现解方程的一般规律，
承上启下，继往开来。
解决问题
让学生明白，在解方程
的过程中出现了新的问
题：去括号，因而必须掌
握去括号的能力。
由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料。
去括号：在解方程的过程中，我们发现去括号是解方程
时常用的变形，因而，要利用方程解决实际问题，当然必须
掌握去括号解方程的能力。
1、 探索性练习：
完成教科书85页练习，并得出去括号法则：括号外的因数
是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号
相同；括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括
号内相应各
项的符号相反．
2、形成性练习： 学会举一反三是数学品
巩固练习
（1）完成教科书86页练习． 质培养的良好结果
（2）学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同
学每人搬六块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400
块，问初一同学有多少人参加了搬砖？
（3）学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米／秒
的）速度跑完了大部分路程，最后以8米／秒的速度冲刺
到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺以前跑了多少时间？
3、拓展性练习：
编一道联系实际的数学问题，使所列的方程是
6x＋8（65一x）＝400
并将其与上题中的（2）、（3）相比较，有何感想？将你的想法
和同学交流．
小结与作业
通过以下问题引导学生回顾、小结：
1、 通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又
本课小结
获得了哪些收获？
2、 去括号解一元一次方程要注意什么？
1、 必做题：课本91页习题2.3第1、2、4、5题
2、 选做题：课本92页习题2.3第11题
3、 备选题
(1)解方程
3x－2[3（x－1）－2（x＋2）]=3（18－x）
(2)杭州新西湖建成后，某班40名同学去划船游湖，一共租
了8条小船，其中有可坐4人的小船和可坐6人的小船，40
本课作业
名同学刚好坐满8条小船，问这两种小船各租了几条？
(3)某校初一年级共120名学生，在植树节那天要栽50棵
树，其中有30棵小树，20棵大树，两位同学一起可以完成一
棵小树的栽植，三位同学一起可以完成一棵大树的栽植，结
果当天顺利地完成了全部任务．阅读上面的情景，编制适当
的题目，利用数学知识求解．
课题： 3.3.2从“买布问题”说起一元一次方程的讨论（2）
1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决一些实际问题．
2、通过观察、实践、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程．
教学目标
3、在积极参与教学活动过程中，初步体验一元一次方程的使用价值，形成实事
求是的态度和独立思考的习惯。
教学难点 寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。
知识重点 弄清题意，用列方程解决实际问题。
教学过程（师生活动） 设计理念
1、 解下列方程：
（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）
（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5
温故而知新仍不失为一
种很好的教学手段，而
（3）
复习巩固 且学起到了开门见山的
作用，承上启下，先声夺
2、（教科书86页例1)一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，
人。
用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．
已知水流的速度是3千米／小时，求船在静水中的平均速
度．
问题1(教科书87页例2)：某车间22名工人生产螺钉和 事实上，算术方法，代数
螺母，每人每天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一 方法各有各的优势，而
个螺钉要配两个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分 让学生自主地做出判断
配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 与选择是新课程理念的
解决问题的关键： 充分体现
1、如果设x名工人生产螺钉，则 名工人生产螺母；
2、 为了伸每天的产品刚好配套．应使生产的螺母恰好是螺
提出问题
钉数量的
探究新知
练习1：某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平
均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖
出的土及时运走？
问题2:要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身
两个，或者做盒底盖3个．如果一个盒身和两个底盖可以做
成一个包装盒，那么能否把这白卡纸分成两部分，一部分做
盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请设计一种分法．
（ 想一想：如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和
一个盒底盖，那么，怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒
身和盒底盖配套，又能充分地利用白卡纸？）
练习2：
1、用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒
底43个一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张
白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的 配套、分配问题是方
盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？ 程问题中的常规问题．
2、某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件 但是此问题中出现了一
100个．甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套．要在 张白卡纸可以适当的
30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零 “套裁”，
件的天数？ 这与现实生活尤其是市
场经济是十分吻合而且
具有实际意义的．
通过以下问题引导学生反思小结：
1、通过这节课的学习，你有什么收获？
小结
2、在解决配套、分配等问题方面你获得了哪些经验？这
些问题中的相等关系有什么特点？
4、 必做题：课本91页习题2.3第6、7题，复习题2第1、2
题。
本课作业
5、 选做题，教科书92页习题2.3第12题。
课题： 3.3.3 从“买布问题”说起一元一次方程的讨论（2）
1、会把实际问题建成数学模型，会用去分母的方法解一元一次方程．
2、通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想；通过去分母解方程，让
教学目标
学生了解数学中的“化归”思想．
3、让学生了解数学的渊源及辉煌的历史，激发学生的学习热情
教学难点 实际问题中如何建立等量关系，并根据等量关系列出方程。
知识重点 会用去分母的方法解一元一次方程
教学过程（师生活动） 设计理念
1、引言：同学们，目前初中数学主要分成代数与几何
两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方
程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述
的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学
家—“代数学之父”丢番图．
2、丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人
惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分
之一又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚
的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其 数学的历史是辉煌的，
父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又 让学生了解数学的渊
引 入 过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢 源，在历史的背景下进
番图去世时的年龄？ 行数学的探求，有益于
设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程 学生的数学学习。
和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数
是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，那么可以使解方
程中的计算更方便一些。
去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公
倍｝数84.于是，所列方程变为整系数方程，解得：x=84。
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．
现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德
试一试
1858年找到的纸草书上．经破译，上面都是一些方程，共85
个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总
共是33，这个数为几何？
任何未知的探求都希
解方程：
望通过已知来解决，这
是数学中“化归”思
1、 为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么
探讨归纳 想的核心．问题的出现
数？
必须寻找以往的经验
2、 在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？
进行解决．于是，如何
3、 解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般
去分母成为主题．
步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据．
1、 完成课本90页练习。
2、 解方程（1）
(2)
巩固练习 及时巩固、反馈
3、（童话数学100雁问题）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面
又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百
雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头的老
雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群
加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑
上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？
小结与作业
可通过以下问题引导学生小结：
1、去分母解一元一次方程时要注意什么？
课堂小结
2、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分
母最小公倍数的目的是什么？
7、 必做题：课本第91页习题2.3第3、8、9题
8、 选做题：教科书第91页习题2.3第13题。
9、 备选题：(我国古代故事：李白买酒）下面这首打油诗说
布置作业
的是李白饮酒的趣事．有一天，李白“无事街上走，提壶
去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶 分层次布置作业。
中酒”．请你告诉我，李白壶中原有多少酒？
课题： 3.3.4 从“买布问题”说起一元一次方程的讨论（2）
1、会根据实际问题中数量关系列方程解决问题，熟练掌握一元一次方程的解
法．
教学目标 2、培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力．
3、通过开放性问题的设计，培养学生创新能力和挑战自我的意识，增强学生的
学习兴趣。
教学难点 从实际问题中抽象出数学模型。
教学重点 根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练地列方程解应用题。
教学过程（师生活动） 设计理念
1、 解下列方程：
（1）
（2） 能融会贯通，灵活运用
数学手段解决数学问
复习巩固
题，才能达到择优解题
（3） 的目的。
2、讨论交流：按怎样的步骤解方程
才最简便？由此你能得到怎样的启发？
1、问题（教科书90页例3）： 开放性的拓展，意在培
整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计 养学生的创新能力和
探索研究
划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时， 自我挑战能力。
完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作？
解决问题的关键：、
(1) 把总工作量看作1；
(2) 工作量=人均效率×人数×时间．
2、试一试：
课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了
“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单
独完成需4天，徒弟单独完成需6天，”就因校长叫他听一个
电话而离开教室．
调皮的小刘说：“让我试一试．”上去添了“两人合作需
几天完成？’’
有同学反对：“这太简单了！”但也引起了大家的兴趣，
于是各自试了起来……
请同学们尝试着尽可能多地补全此题，并与同学们一起
交流各自的做法．
3、举一反三：
(1)为庆祝校运会开幕，七年级(1)班学生接受了制作校
旗的任务．原计划一半同学参加制作，每天制作40面．而实际
上，在完成了三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原计
不同的实际问题往往
划提前一天半完成任务．假设每人的制作效率相同，问共制作
具有相同的数学模型，
小旗多
培养“数学建模“能
少面？
力是新课程理念的充
（2）小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，
分体现。
去家乡看望爷爷．在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共
汽车将会在火车开车后半小时到达火车站，便随即下车改乘
出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达
火车站．已
知公共汽车的平均速度是40千米／时，问小张家到火车站有
多远？
此问题在于引导学生
（3）将上述两题加以比较，有否相通之处？可否一题多
解题后进行反思，从而
解？
达到举一反三之目的。
并探究未知数假设的技巧性．
小结与作业
10、必做题：课本第91页习题2.3第10题，第103页复习题
第4、5、6、7、8题。
11、选做题：教科书第91页习题2.3第14题。
12、备选题：
（1）
（2）
（3）一部稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，
布置作业
甲、乙两打字员合打,12小时可以完成．现由两人合打7小
时，余下部分由乙完成，还需多少小时？ 分层次布置作业。
（4）某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处
理厂处理．已知甲厂每时可处理垃圾55吨，所需费用550元；
乙厂每时可处理垃圾45吨，所需费用495元．甲、乙两厂的工
作时间均不超过10时，请你设计一个问题，并请你的好朋友
解答．
（5）甲、乙两人加工284个零件，甲每时做48个，乙每时做70
个；甲先做1时后，乙再与甲合做，乙做了多少时间后完成任
务？请你先列方程解应用题，再根据所列方程，编一道行程问
题的应用题．
3.3解一元一次方程（二）－－－去括号与去分母（1）
教学目标：
1.知识目标
(1)通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更简洁明了，省时
省力。（2）掌握去括号解一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次方程（数字系数），并判别解的合理性。
2.能力目标
（1）通过学生观察、独立思考等过程，培养学生归纳、概括的能力；
（2）进一步让学生感受到并尝试寻找不同的解决问题的方法。
3.情感目标：
（1）激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；
（2）培养学生严谨的思维品质；
（3）通过学生间的互相交流、沟通，培养他们的协作意识。
教学重点：1.弄清列方程解应用题的思想方法；
2.用去括号解一元一次方程。
教学难点：1.括号前面是“-”号，去括号时，应如何处理，括号前面是“-”号的，去括号时，括号内的各项
要改变符号。
2.在小学根深蒂固用算术方法解应用题的基础上，让学生逐步树立列方程解应用题的思想。
教学过程：
一、创设情境，提出问题
问题1：我手中有6、x、30三张卡片，请同学们用他们编个一元一次方程，比一比看谁编的又快又对。
学生思考，根据自己对一元一次方程的理解程度自由编题。
问题2：解方程5（x-2）=8
解：5x=8+2,x=2,看一下这位同学的解法对吗？相信学完本节内容后，就知道其中的奥秘。
问题3：某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电减少2000度，全年用电15万度，这个
工厂去年上半年每月平均用电多少度？
（教学说明：给学生充分的交流空间，在学习过程中体会“取长补短”的涵义，以求在共同学习中得到进步，
同时提高语言组织能力及逻辑推理能力）
二、探索新知
1. 情境解决
问题1 ：设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电________度；上半年共用电__________度，下
半年共用电_________度。
问题2：教师引导学生寻找相等关系，列出方程。
根据全年用电15万度，列方程，得6x+6(x-2000)=150000.
问题3：怎样使这个方程向x=a的形式转化呢？
6x+6(x-2000)=150000
去括号
6x+6x-12000=150000
移项
6x+6x=150000+12000
合并同类项
12x=162000
系数化为1
x=13500
问题4：本题还有其他列方程的方法吗？
用其他方法列出的方程应怎样解？
设下半年每月平均用电x度，则6x+6(x+2000)=150000.(学生自己进行解题)
归纳结论：方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简。（括号前面是“+”号，把“+”号
和括号去掉，括号内各项都不改变符号；括号前面是“-”号，把“-”号和括号去掉，括号内各项都改变符号。）
去括号时要注意：（1）不要漏乘括号内的任何一项；（2）若括号前面是“-”号，记住去括号后括号内各项都
变号。
2. 解一元一次方程——去括号
例题：解方程3x-7(x-1)=3-2(x+3)
解：去括号，得3x-7x+7=3-2x-6
移项，得 3x-7x+2x=3-6-7
合并同类项，得 -2x=-10
系数化为1，得x=5
三、课堂练习
1.课本97页练习
2.学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其它年级同学每人搬8块，总共搬了
400块，问初一同学有多少人参加了搬砖？
3.3解一元一次方程（二）————去括号和去分母（2）
教学目标：1.会从实际问题中抽象出数学模型；会用一元一次方程解决一些实际问题。
2.通过观察、实践、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程。
3.在积极参与教学活动过程中，初步体验一元一次方程的使用价值，形成实事求是地态度和独立
思考的习惯。
教学重点：弄清题意，用列方程的方法解决实际问题。
教学难点：寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。
教学过程：
一、创设情境，提出问题
问题1：解下列方程
（1）10x-4(3-x)-5(2+7x)=15x-9(x-2)
(2) 3(2-3x)-3[3（2x-3）+3]=5
问题2：出示问题：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5
小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。
二、探索新知
1.情境解决
问题1：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等 ，由此可填空：顺流速度________顺流时间________逆
流速度 _________逆流时间
问题2：教师引导学生寻找相等关系，列出方程。
设船在静水中的速度为x千米/时，则顺流速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x -3）千米/时，列方程，得
2（x+3）=2.5(x-3).
问题3：怎样使这个方程向x=a的形式转化呢？
2（x+3）=2.5(x-3)。去括号，得 2x+6=2.5x-7.5 移项，得2x-2.5x=-7.5-6 合并同类项，得 -0.5x=-13.5 系数化
为1，得x=27 答：船在静水中的速度为27千米/时。
2.典型例题
某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。
为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
解决问题的关键：
1. 如果设x名工人生产螺钉，则_______名工人生产螺母；
2. 为了使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母恰好是螺钉数量的________.
解：设分配x名工人生产螺钉，其余（22-x）名工人生产螺母，根据螺母数量与螺钉数量的关系，列方程，得2×1200x=2000(22-x)
去括号，得2400x=44000-2000x
移项及合并同类项，得 4400x=44000
系数化为1，得 x=10
生产螺母的人数为 22-x=12.
答：应分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。
三、变式训练，熟练技能
练习1：一架飞机在两城之间航行，风速为24千米/时，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城
距离。
练习2：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个。甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成
一套，要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
四、总结反思，情意发展
1. 本节课你学习了什么？
2. 本节课你有什么收获？
3. 通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
阿岗一中现代教育示范学校教师教学讲义
数学教研组 七年级备课组 2010年10月
主备教师 袁 炜 教学内容 3.4.实际问题与一元一次方程①
1、利用路程、时间、速度之间关系，借助画示意图列一元一次方程解以现实为背
景的应用题；
2、运用画图直观分析、探究发现，充分发挥学生的主体作用，学生在轻松愉快的
教学关键点
气氛中掌握知识；
3、结合实际，创造活跃有趣的情境，提高学生的学习兴趣，让他们 在活动中获得
成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。
教师精讲点 通过分析题意，寻找等量关系，列方程。
学生学习点 通过分析题意，寻找等量关系，列方程。
学生易混点 从不同的角度来找等量关系，列方程。
教学过程
当代数学家苏步青教授在法国遇到一个很有名气的数学家，这位数学家在电车里给苏教授出了几个题
目：
问题1：“甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是 ，甲每小时走 ，乙每小时走 ，问
他俩几小时可以碰到？”
苏教授一下子便回答了，你能回答出上述问题吗？
[学生活动一]
① 组织四人小组活动，观察分析，理解题意，弄清路程、速度、时间之间的关系；
② 在小组讨论的基础上，全班相互交流。
教师针对学生讨论的情况，进行点评，引导分析，渗透数学建模的思想。
画出示意图： 甲 乙
引导分析：甲乙相遇时，他们共行的路5程0k为m 。
本题有哪些相等关系呢？
从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程= 。
从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间。
如果设：甲、乙相遇他们的时间为 ，此时相等关系：
甲行走的路程+乙行走的路程= 。
即甲行走的速度×甲行走的 +乙行走的 ×乙行走的时间= 。
则可得方程： /
解：设甲乙相遇时行走了 小时，根据题意得：
， ， 。
答：他们10小时能相遇。
此时教师再问：如果设甲行走的路程为 ，那么相等关系是什么呢？再让四人小组讨论、交流。
问题2：“接着这位数学家又说：一只小狗每小时走 ，它同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰
到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千米？”
在外国且又是电车上回答这个问题可有点难了，但是苏教授思考了一会儿，还是在下车前解决了这个问题，你知道他又是怎样解答的吗？
学生继续分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：
① 画出示意图；（略）
② 分析：
小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，现在只需求出小狗走的时间，问题就解决了。
小狗走的时间为多少呢？
显然，小狗往返跑直到甲、乙相遇时才停下来，故小狗跑的时间就是甲、乙相遇前走的时间，问题由此应
迎刃而解。
解：（略）
事情还没有结束，苏教授回国后把这个问题向他的学生讲了以后，学生又向苏教授问了几个问题？而
苏教授也在很短的时间内回答了这几个问题，试试看，你行吗？
问题3：学生A提出问题：
如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当
甲追上乙时，小狗跑了多少米？
学生分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：
① 画出示意图；（略）
② 分析：变换情境后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？
小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，故关键还是求出时间，而这个时间就是甲追上乙的时
间，可由下列追及问题中的等量关系求得。
甲行走的速度×甲追上乙行走的时间=乙行走的速度×甲追上乙行走的时间+乙提前行走的速度×乙提
前行走的时间。
问题4：学生B提出问题：
如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，当小狗追上甲时，
甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？
学生分组讨论，由小组派代表发表本组的见解。之后教师引导分析：
显然，小狗和甲又形成了追及问题，由问题 4知，设小狗追赶甲的时间为 ，则可得到：
。
此时小狗行走的路程=甲行走的路程= 千米，乙不能追上甲，原因何在呢？如果乙能
追上甲，则肯定有 。
解得 。
显然时间不能为负。
说明：速度较大者追速度较小者，定能追上，崦而速度较小者追速度较大者，肯定不能追上。
从而引出悖论：
公元前400多年古希腊的数学家提出这样一个观点，跑得最快的阿基里斯永远追不到爬得最慢的乌
龟。因为必须到达乌龟出发点A，而此时乌龟又进到 点，当阿再时到 点时，乌龟又进到 点，如此继续
下去，阿永远追不上它，显然这是一个错误的结论，故称为悖论。应该怎么反驳这个结论呢？
① 小结与作业必做题：教科书108页习题3 .4第6、8题。
② 备选题：
（1）小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2
圈的时间，叔叔可以跑3圈。一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一
次相遇。求两人的速度。第二天小王打算和叔叔同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇。你能先给小王
预测一下吗？
（2）从甲地到乙地公共汽车原需行驶7小时，开通高速公路后，路近了30千米，而车速平均每小时增加了30
千米，只需4小时即可到达，求甲、乙两地之间高速公路的长度。
（3）试对以上情境提出问题，并讨论解答（必要时可对情境作适当补充）：某班级组织去风景区春游，大部分
同学先坐公共汽车前往，平均速度为 ；4名负责后勤的同学晚半小时坐校车出发，速度为
，结果同时到达山脚下，到达后发现乘坐缆车上山费用较大，且不能浏览风景。于是商定：
大部队步行上山，4名后勤改为先遣队，乘缆车上山，做好在山顶举行活动的准备。缆车的速度是步行的3
倍，步行同学中途在一个景点逗留了10分钟，到达山顶时比先遣队晚了半小时。
阿岗一中现代教育示范学校教师教学讲义
数学教研组 七年级备课组 2010年10月
主备教师 袁 炜 教学内容 3.4.实际问题与一元一次方程②
1、使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈
亏的求法，；
教学关键点
2、培养学生分析问题，解决实际问题的能力；
3、让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值。
教师精讲点 让学生知道商品销售中的盈亏的算法。
学生学习点 让学生知道商品销售中的盈亏的算法。前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何
学生易混点 解方程。本节开始，我们将进一步探究如何用一元一次方程解决生活中的一些实际
问题。
教学过程
①某商品原来每件零售价是 元，现在每件降价 ，降价后每件零售价是 ；
②某种品牌的彩电降价 以后，每台售价为 元，则该品牌彩电每台原价应为 元；
③某商品按定价的八折出售，售价是 元，则原定价是 ；
④某商场把进价为 1980 元的商品按标价的八折出售，仍获利 ，则该商品的标价为
；
⑤我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品的价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001降价
70%至 元，则这种药品在1999年涨价前价格为 元。问题（教科书104页探究1）：某商店在某一时
间以每件60元的价格卖两件衣服，其中一件盈利还是亏损？或是不盈不亏？①引导学生大体估算盈亏情
况；
教师提出问题，学生自主讨论解决；
（1）商品销售中的盈亏如何计算？
（2）两件衣服的进价、售价分别是多少？
得出结论后，将结论与学生先前的估算进行比较；
教师归纳解决问题的大致过程。
巩固练习问题：我国股市交易中每天、卖一次各交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的
价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为多少？
小结：
①由学生谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？
商品销售中的基本等量关系有哪些？
作业
：教科书107习题3.4第2、3、4题；
备选题：
①某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低
于5%，那么商店可降多少元出售此商品；
②一年定期的存款，年利率为 ，到期取款时须扣除利息的20%，作为利息税上缴国库，假如某
人存入一年的定期储蓄1000元，到期扣税后可得利息多少元？
③某商场将某种DVD产品按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元打的费”的广告，结果每台
DVD仍获利208元，则每台DVD的进价是多少元？
④某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了 件，为进一步扩大市场，该
企业决定在降低销售的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量
将提高10%，要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变，该产品每件的成本应降低多少元？
阿岗一中现代教育示范学校教师教学讲义
数学教研组 七年级备课组 2010年10月
主备教师 袁 炜 教学内容 3.4.实际问题与一元一次方程③
1、通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法．
2、培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学关键点
3、学生在从事探索性活动的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度，借助学
生身边熟悉的例子认识数学的应的价值。
教师精讲点 难点是把生活中的实际问题抽象成数学问题
学生学习点 难点是把生活中的实际问题抽象成数学问题
学生易混点 重点是弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系。
教学过程
暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17
分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了
几场？又平了几场呢？
教师说明：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问
题的实际意义，这点希望同学们在今后解决实际问题的必须注意。由学生自主探索解决
问题：一次足球赛11轮（即每队均需要需要11场）
胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京“国安”队所负的场数是所胜场数的一半，结果共得
14分，求“国安”队共平了多少场？
小结：
1、 由表格内容提供给我们解题的重要信息，值得同学们注意；
2、 利用方程不仅能求得实际问题的具体数值，而且还可以进行推理判断；
3、 用方程解决实际问题时，要进行检验．
作业：
必做题：课本第108页
习题2.4第9题
选做题：(1)在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场3分，平一场1分，负一场0
分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？
(2)一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每
题选对得4分，不选或选错扣1分，如果一个学生得90分，那么他选对几题？现有500名学生参加考试，有
得83分的同学吗？为什么？
第四章 图形认识初步
单元要点分析
教学内容
本章主要内容有多姿多彩的图形，直线、射线、线段，角的度量，角的比较与运算．
教材从生活中常见的立体与平面图形入手，通过实例，在丰富的现实情境中，使学生经历对几何体的研
究的数学活动过程，认识一些常见的几何体及点、线、面的一些特征和性质；通过裁剪、展开、制作及从不同
方向看等活动，在几何体与平面图形的转换过程中发展学生的空间观念；通过实例，在丰富的现实情境中，
使学生经历对简单的平面图形直线、射线、线段与角的研究的数学活动过程，通过动手画图、线段的大小比
较及角的度量、比较与运算等活动过程，理解并掌握这些图形的一些简单性质，感受丰富多彩的图形世界，
并为今后进一步学习平面几何知识奠定基础．
三维目标
1．知识与技能
（1）经历探究物体的形状与几何体的关系过程，能从现实物体中抽象得出立体图形．
（2）经历立体图形与平面图形的转换过程，掌握一些简单的立体图形与平面图形的互相转化的技能．
（3）经历对点、线、面、体关系的研究的数学活动过程，建立平面图形与立体图形的联系．
（4）经历画图等数学活动过程，掌握直线和角的一些简单性质；掌握直线、射线、线段和角的表示方法；
掌握角的度量方法．
（5）在现实情境中，探索两条线段、两个角的比较方法及比较的结果，探索线段与线段之间、角与角之
间的数量关系．
（6）认识线段的等分点，角的平分线、角角和补角的概念．
2．过程与方法
（1）会用掌握的几何体知识描述现实物体的形状，在探索立体图形与平面图形的关系中，发展空间观
念．
（2）通过对本章的学习，学会在具体的现实情境中，抽象概括出数学原理．
（3）学会在解决问题的过程中，进行合理的想象，进行简单的、有条理的思考．
（4）能在现实物体中，发现立体图形和平面图形．
（5）能在具体的现实情境中，发现并提出一些数学问题．
（6）通过小组合作、动手操作、实验验证的方法解决数学问题．
3．情感态度与价值观．
（1）积极参与数学活动的过程，敢于面对数学活动中的困难，并能独立地或通过小组合作的方法，运用
数学知识克服困难，解决问题．
（2）通过对本章的学习，培养和提高抽象概括能力和空间想象能力，体验数学活动中探索性和创造性，
感受丰富多彩的图形世界．
重、难点与关键
1．重点：
（1）掌握立体图形与平面图形的关系，学会它们之间的相互转化；初步建立空间观念．
（2）掌握两点确定一条直线的性质，掌握两点之间线段最短的性质，会用符号表示直线、射线和线段，
会比较线段的大小，会画一条线段等于已知线段，了解两点距离的定义．
（3）会用符号表示一个角，学会度量一个角，掌握余角和补角的性质，理解角的平分线的定义，会比较
两个角的大小，确定几个角的运算关系．
2．难点：（1）立体图形与平面图形之间的互相转化．
（2）从现实情境中，抽象概括出图形的性质，用数学语言对这些性质进行描述．
3．关键：
（1）从实际出发，用直观的形式，让学生感受图形的丰富多彩，激发学生学习的兴趣．
（2）结合具体问题，让学生感受到学习空间与图形知识的重要性和必要性．
课时划分
4．1 多姿多彩的图形 2课时
4．2 直线、射线、线段 2课时
4．3 角 4课时
数学活动 1课时
回顾与思考 2课时
教学设计
4．1 多姿多彩的图形
4.1.1 几何图形
1．知识与技能
（1）能从现实物体中抽象得出几何图形，正确区分立体图形与平面图形；
（2）能把一些立体图形的问题，转化为平面图形进行研究和处理，探索平面图形与立体图形之间的关
系．
2．过程与方法
（1）经历探索平面图形与立体图形之间的关系，发展空间观念，培养提高观察、分析、抽象、概括的能力，
培养动手操作能力．
（2）经历问题解决的过程，提高解决问题的能力．
3．情感态度与价值观
（1）积极参与教学活动过程，形成自觉、认真的学习态度，培养敢于面对学习困难的精神，感受几何图
形的美感；
（2）倡导自主学习和小组合作精神，在独立思考的基础上，能从小组交流中获益，并对学习过程进行正
确评价，体会合作学习的重要性．
重、难点与关键
1．重点：从现实物体中抽象出几何图形，把立体图形转化为平面图形是重点．
2．难点：立体图形与平面图形之间的转化是难点．
3．关键：从现实情境出发，通过动手操作进行实验，结合小组交流学习是关键．
教学过程
一、引入新课
1．打开电视，播放一个城市的现代化建筑，学生认真观看．
2．提出问题：
在同学们所观看的电视片中，有哪些是我们熟悉的几何图形？
二、新授
1．学生在回顾刚才所看的电视片后，充分发表自己的意见，并通过小组交流，补充自己的意见，积累小
组活动经验．
2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称．
学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等．
教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征．
3．立体图形的概念．（1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形．
（2）学生活动：看课本图4．1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥）
（3）用幻灯机放映课本4．1-4的幻灯片（或用教学挂图）．
（4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？
（5）探索解决问题的方法．
①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案．
②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等．
4．平面图形的概念．
长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形．
注：对立体图形和平面图形的概念，不要求给出完整的定义，只要求学生能够正确区分立体图形和平面
图形．
5．立体图形和平面图形的转化．
（1）从不同方向看：出示课本图4．1-7（1）中所示工件模型，让学生从不同方向看．
（2）提出问题．
从正面看，从左面看，从上面看，你们会得出什么样的平面图形？能把看到的平面图形画出来吗？
（3）探索解决问题的方法．
①学生活动：让学生从不同方向看工件模型，独立画出得到的各种平面图形．
②进行小组交流，评价各自获得的结论，得出正确结论．
③指定三名学生，板书画出的图形．
6．思考并动手操作．
（1）学生活动：在小组中独立完成课本第119页的探究课题，然后进行小组交流，评价．
（2）教师活动：教师对学生完成的探究课题给出适当、正确的评价，并对学生给予鼓励，激发学生的探
索热情．
7．操作试验．
（1）学生活动：让学生把准备好的墨水瓶包装盒裁剪并展开，并在小组中进行交流，得出一个长方体它
的平面展开图具有的一个特征：多样性．许多立体图形都能展开成平面图形．
（2）学生活动：观察展开图，看看它的展开图由哪些平面图形组成？再把展开的纸板复原为包装，体会
立体图形与平面图形的关系．
三、课堂小结
1．本节课认识了一些常见的立体图形和平面图形．
2．一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形；可以把立体图形进行适当的裁剪，把它展开成
平面图形，或者把一个平面图形复原成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换．
注：小结可采取师生互动的方式进行，由学生归纳，教师进行评价、补充．
四、作业布置
1．课本第123页至第124页习题4．1第1～6题．
2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、填空题．
1．如下图所示，这些物体所对应的立体图形分别是：___________．
二、选择题．
2．如下图所示，每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是（ ）．A B C D
3．如下图所示，经过折叠能围成一个棱柱的是（ ）．
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
三、解答题．
4．桌上放着一个圆柱和一个长方体[如下图（1）]，请说出下列三幅图[如下图（2）]分别是从哪个方向
看到的．
5．如下图，用4个小正方体搭成一个几何体，分别画出从正面、左面和上面看该几何体所得的平面图
形．
6．如下图，动手制作：用纸板按图画线（长度单位是mm），沿虚线剪开，做成一个像装墨水瓶纸盒那样的
长方体模型．
答案:
一、1．正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱
二、2．C 3．D
三、4．分别是从左面、上面和正面看到的． 5～6．略
4.1.1几何图形
一、教学目标
知识与技能通过观察生活中的大量图片或实物，体验、感受、认识以生活中的事物为原型的几何图形，认识
一些简单几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）的基本特性，能识别这些几何体．
过程与方法：（1）经历探索平面图形与立体图形之间的关系，发展空间观念，培养提高观察、分析、抽象、概
括的能力，培养动手操作能力．
（2）经历问题解决的过程，提高解决问题的能力．
情感态度与价值观：从现实世界中抽象出几何图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，激发对学习空间与图
形的兴趣，通过与其他同学交流、活动，初步形成参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。二、教学重点：识别简单几何体
三、教学难点：从具体事物中抽象出几何图形
四、教学过程
(一) 自主探究
问题与情境 活动设计
让我们一起来看看北京奥运会奥运村模型图． 你能从中找到一些熟悉的图形吗？
（出示章前图）
（学生看书）小组讨论交流．
展示丰富多彩的图形世界.
你能再举出一些常见的图形吗？
思考第117页思考题并出示实物（如茶叶、地球
仪、字典及魔方等）及多媒体演示（如谷堆、帐篷、金字 学生从周围的事物（如建筑物、地板、围墙、公园
塔等），它们与我们学过的哪些图形相类似？） 等）找到一些美丽图形的图片或实物，互相交流．
在这些图片或实物中有我们熟悉的图形吗？
（出示棱柱、圆柱、棱锥、圆锥模型）看一看再动手
摸一摸，说说它们的异同。（教师巡视指导，提倡学生尽
量用自己的语言描述，互相补充。）
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是学生已经学
习过的图形，棱柱、棱锥也是学生很熟悉的图形，
通过找一找，结合具体实例引入
想一想
小组讨论后回答。
生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形
呢？
（二）尝试应用
问题与情境 活动设计
1. 请你把相应的实物与图形用线连接起来.2. 正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱
2.如下图所示，这些物体所对应的立体图形分别是：___________．
3.B
4.包含圆，五边形、三角形、四边
形、六边形等平面图形，它们位于
3.下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；.其中 几何体的上下底面和侧面
属于立体图形的是（ ）
A. ①②③；B. ③④⑤；C. ③⑤；D.④⑤
4.图中的各立体图形的表面中包含哪些平面图形？试指出这些平面图
形中的位置
（三）补偿提高
问题与情境 活动设计
图中的一些物体与我们学过的哪些图形相类似？把相应 学生分组讨论
的物体和图形连接起来 归纳总结
（四）小结与作业
问题与情境 活动设计
1. 小结：请学生谈 生组内小结，总结归纳（或者协助归纳）
2. 作业：必做题习题4.1第1、2、3题
选做题（1）习题4.1第7、8题
师对重点加以强调，对于易错易混问题
1、 （2）（1）收集一些常见的几何体的实物；
（2）设计一张由简单的平面图形（如圆、三角形、直线
等）组合成的优美图案，并写上一两句贴切、诙谐的解说词。
逐一强调.
4.1.1几何图形（2）
一、教学目标
知识与技能1.经历从不同方向观察物体的活动过程，初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不
一样的结果，了解为什么要从不同方向看．
2.能画出从不同方向看一些基本几何体（直棱柱、国柱、国锥、球）以及它们的简单组合得到
的平面图形；
过程与方法：在立体图形与平面图形相互转换的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉．
情感态度与价值观：激发学生对学习空间与图形的兴趣，通过与其他同学交流、活动，初步形成积极参
与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
二、教学重点：识别一些基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）以及它们的简单组合得到的平面图形
三、教学难点：画出从正面、左面、上面看正方体及简单组合体的平面图形
四、教学过程
(一) 自主探究
问题与情境 活动设计
多媒体演示庐山景观，请学生背诵苏东坡《题西 跨越学科界限，以苏东坡的诗《题西林壁》横看成岭
林壁》并说说诗中意境。 侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身
横看成岭侧成峰， 在此山中．”营造一个崭新的数学学习氛围，并从中
远近高低各不同。 挖掘蕴含的数学道理．
不识庐山真面目，
只缘身在此山中
比一比：讲台上依次放置粉笔盒、乒乓球、热水
瓶． 请四位学生上来后按照不同的方位站好，然后向同
学汇报各自看到的情形．利用身边的事物入手，采用
游戏的形式，有助于学生积极主动的参与，激发学生
的学习潜能，感受新知．从中自己发现从不同的方向
看，确实看到的可能不一样。
如何进行楼房的图纸设计？出示楼房模型．
小组合作交流
多媒体展示中国第一位航天勇士杨利伟乘坐的
神舟五号载人航天飞船．
问：如何进行飞船的图纸设计？（出示三张设计 进一步培养学生的空间想象能力以及与他人合作交
平面图），并问每张图分别从什么方向看？ 流的能力
看起来，楼房、航天飞船等均是立体图形，但是
设计图都是平面图形，建筑单位、工厂均按照设计平
面图加工，其中一个小零件如课本第111页图3.1-
5，先需要看的图是图（2），所以，我们要研究立体图
形从不同方向看它得到的平面图．
说一说：分别从正面、左面、上面观察乒乓球、粉
笔盒、茶叶盒，各能得到什么平面图形？（出示实物）
画一画：长方体、圆锥分别从正面、左面、上面观
察，各能得到什么图形？试着画一画．（出示实物）
这样，我们将立体图形转化成了平面图形
让学生从不同方向观察立体图形，体验立体图形转
探究活动：从正面、左面、上面观察得到的平面 化为平面图形的过程
图形你能画出来吗？以四人小组为学习单位进
行小组创作，培养学生的
观察力和创新能力
小组合作学习，动手画一画，并进行展示
（二）尝试应用
问题与情境 活动设计
1. 如图(1)放置的一个机器零件，若从正面看是如图(2)，则其左面看是（ ）
1. D
( 1) ( 2)
(第1题)
2. 如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的正
（A） （B） （C） （D）
面看的图是（ ）
3. 如图，这是一幅电热水壶的正面看的图，则慈宁宫上面看的图是（ ） 2. A
正面 A． B． C． D．
3.D
（第3题图） A． B．
C． D．
4. 若右图是某几何体的三种不同方向的图，则这个几何体是( )
A.圆柱 B.正方体
正面 左面 上面
C.球 D.圆锥
5. 图所示的物体，从左面看得到的图是（ ）
4.A；5. D；（三）补偿提高
问题与情境 活动设计
1.分别从正面、左面、上面观察这个图形，画出得到的平面图形
学生自
主完成
后小组
交流
2. 如图所示是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
2. C；3.A；
4.C；
A B C D 2
3. 如．图所示，一个．斜插吸管的盒装．饮料从正面看．的图形是（ ）题
图
正面
4. 如图2，这是一个正三棱柱，则从上面看到的图为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，从上面看这个物体的图是（ ）
A． B． C．
D．（四）小结与作业
问题与情境 活动设计
2. 小结： 生组内小结，总结归纳（或
请学生谈：我知道了什么？我 者协助归纳）
学会了什么？我发现了什
么？
师对重点加以强调，对于易错易混问题
3. 作业： 逐一强调.
必做题习题4.1第4、13题
选做题
（1）继续探究活动：摆一摆，画一画；
（2）画一画：埃及金字塔分别从正面、左面、上面观
察，各能得到什么图形？试着画一画
完成市同步探究103页-104页
4.1.1几何图形（3）
一、教学目标
知识与技能能直观认识立体图形和展开图，了解研究立体图形方法。
过程与方法：通过观察和动手操作，经历和体验平面图形和立体图形相互转换的过程，培养动手操作能力，
初步建立空间观念，发展几何直觉。
情感态度与价值观：1.通过与其他同学交流，活动，初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识
2.通过课堂教学活动，体验数学与日常生活是密切相关的，认识到许多数学研究的原型都源于生活实际，反
过来，众多的实际问题也可以借助数学方法来解决。
二、教学重点：了解基本几何体与其展开图之间的关系，体会一个立体按照不同方式展开可得到不同的平面
展开图。
三、教学难点：正确判断哪些平面图形可以折叠为立体图形；某个立体图形的展开图可以是哪些平面图形
四、教学过程
(一)自主探究
问题与情境 活动设计
学校兴趣小组的同学精心设计、制作了一批作
品想作为教师节礼物送给老师，急需长方体形状的
创设真实的问题情景，使
纸制包装盒，你能帮帮他们吗？
学生产生了求知的好奇心
和欲望，激起了学生探究
动手一试：
活动的兴趣。
把一个长方体的包装盒沿一边剪开，铺平，看看
它的展开图由哪些平面图形组成；再把展开的纸板
复原，你有什么体会?
学生得到不同体会，并进小组交流。
做一做：教科书120页探究，先请学生
猜测结论，再动手操作（把四个图用纸复制下来，然 学生4-6人小组进行操作活动，感受立体图形与平
后折一下，看看你的猜测对不对。 面图形相互转化培养学生动脑猜想、动手实践的良
好习惯和交流合作精神。
比一比：你们组的长方体的展开图与
进一步体会立体图形与平面图形的关系。
其他组的是否一样？
想一想：现在你能帮助兴趣小组的同
学制作长方体的纸盒吗？说说你的方案。
感受长方体展开图可以是哪些平面图形，体会同一
立体图形的展开图可以是不同的，目的是让学生自己概括出所感 知的知识，有利于学生感悟知识生成
过程，培养学生数学交流能力
（二）尝试应用
问题与情境 活动设计
1. 如图，为一个多面体的表面展开图，每个面内都标 学生独立思考
注了数字．若数字为 的面是底面，则朝上一面所标
注的数字为（ ） 小组交流
Ａ．5 Ｂ．4
Ｃ．3 Ｄ．2 答案：1 D；2.B；3.D；4.D；
3
4 2 1
6 5
2. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“加”
字所在面的对第面1所题标图的字是（ ）
A．北
B．京
C．奥
D．运
3. 如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方
体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3
格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
第13题图
A．奥B．运C．圣D．火
迎 迎
奥
接 奥 运 圣 接
1
火 2 3
4. 如图，为一个多面体的表面展开图，每个面内都标
图1 图2
注了数字．若数字为 的面是底面，则朝上一面所标
第3题图
注的数字为（ ）
Ａ．5Ｂ．4 3
Ｃ．3Ｄ．2
4 2 1
6 5
第4题图
（三）补偿提高
问题与情境 活动设计
1.下列图形中，不是正方形的表面展开图的是（ ） 学生分
组讨论
归纳总
结
A． B． C． D．
2. 一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）
答案：1.D；2.D；
A．和
3.C；
B．谐 建 设
C．凉
D．山 和 谐 凉
3. 下面形状的四张纸板，按图中线经 过折叠可以围成一
山
下直三棱柱的是( )
第2题图
A、 B、 C、 D、（四）小结与作业
问题与情境 活动设计
4. 小结： 生组内小结，总结归纳（或者
请学生谈：我知道了什么？我 协助归纳）
学会了什么？我发现了什么？
2. 作业：必做题习题4.1第4、5题
师对重点加以强调，对于易错易混问题
选做题习题4.1第14题
课外作业：
逐一强调.
市探究105-106页
4.1.2 点、线、面、体
教学内容
课本第121页至第123页．
教学目标
1 ．知识与技能
（ 1 ）了解几何体、平面和曲面的意义，  能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面；
（2）了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过运动变
化形成的简单的几何图形．
2．过程与方法
经历探索点、线、面、体的关系的数学活动过程，提高空间想像能力和抽象思维能力，发展运动变化的观
念．
3．情感态度与价值观
经历本节课的数学活动过程，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲，体
验数学活动中小组合作的重要性．
重、难点与关键
1．重点：正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面，探索点、线、面、体之间的关系是重点．
2．难点：探索点、线、面、体运动变化后形成的图形是难点．
3．关键：让学生在现实情境中，进行探究学习是本节课的关键．
教具准备
长方体、圆柱体模型，投影机和幻灯片．
教学过程
一、引入新课
1．出示一个长方体模型，请同学们认真观察．
2 ．提出问题：这个长方体有几个面？面和面相交成了几条线？  线和线相交成几个 点？
二、新授
1．经过学生的独立思考，然后在小组中进行交流，在小组讨论中，评价并修正自己的结论．
2．各小组学生公布自己小组讨论后的结论．
教师活动：在探索问题解决方法和小组讨论过程中，教师进行巡视，及时给予指导，教师对学生分布的
答案作鼓励性评价．
3．几何体的概念．
（1）长方体是一个几何体，我们学过的正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体．
（2）提出问题：观察长方体和圆柱体，说出围成这两个几何体的面有哪些？这些面有什么区别？
4．给出面的分类．
通过对上面问题的解决，给出面的分类：平面和曲面．教师活动：板书：平面和曲面．
提出问题：
（1）用幻灯机放映图片，让学生观察．
（2）提出问题：通过观察，你得出什么结论？
（3）进行小组讨论中，综合小组中每个同学意见，得出观察图片发现的结论．
（4）在小组活动中，教师指导学生看课本第121～122页内容，得出观察图片能发现的结论．
师生互动：请学生给出观察结论：点动成线，线动成面，面动成体．教师对学生的回答给出正面评价，并
把学生观察结论板书．
注：在探索问题解决的方法活动过程中，教师应充分调动学生的想像能力，鼓励学生进行深入探究．
思考课后思考题，让学生进行小组讨论，教师给以必要的指导，然后得出合理的解释．
5．点、线、面、体与几何图形关系．
指导学生阅读课本第122页内容，总结出点、线、面、体与几何图形的关系．
三、课堂小结
1．本节课我们主要探究了几何体的形成：由平面和曲成围成一个几何体．
2．点、线、面、体之间的关系．
3．体验了在数学活动过程中小组合作的重要性．
四、作业布置
1．课本第125～126页习题4．1第7～12、13、14题．
2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、填空题．
1．人在雪地上走，他的脚印形成一条_______，这说明了______的数学原理．
2．体是由_______围成的，面和面相交于_______，线和线相交于______．
3．点动成________，线动成______，面动成_______．
二、选择题．
4．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如下图所示立体图形的是（ ）．
A B C D
三、解答题．
5．如下图中的棱柱、圆锥分别是由几个面围成的？它们是平面还是曲面．
6．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．答案:
一、1．直线 点动成线 2．面 线 点 3．线 面 体
二、4．B
三、5．棱柱由五个面围成，都是平面；圆锥由两个面围成，侧面是曲面，底面是平面． 6．略
4.2 直线、射线、线段（1）
教学内容
课本第128页至第131页．
教学目标
1．知识与技能
（1）能在现实情境中，经历画图的数学活动过程，理解并掌握直线的性质，能用几何语言描述直线性质．
（2）会用字母表示直线、射线、线段，会根据语言描述画出图形．
2．过程与方法
（1）能在现实情境中，进行抽象的数学思考，提高抽象概括能力．
（2）经历画图的数学活动过程，提高学生的动手操作与实践能力．
3．情感态度与价值观
体验通过实验获得数学猜想，得到直线性质的过程．
重、难点与关键
1．重点：理解并掌握直线性质，会用字母表示图形和根据语言描述画出图形．
2．难点：根据语言描述画出图形．
3．关键：理解画图语言，建立图形与语言之间的联系．
教具准备
一把直尺、木工墨盒．
教学过程
一、引入新课
1．出示墨盒，请一个同学演示使用墨盒弹出一条直线的过程．
2．提出问题：为什么这样拉出线是直的？其关键是什么？
二、新授
学生活动：学生经过小组交流后，总结出结论：两点确定一条直线．其关键在于先固定墨盒中墨线上两
个点．
教师活动：参与学生活动，并请学生思考：这个现象符合数学上的什么原理？
1．探究直线性质．
学生活动：完成课本第128页探究课题，学生动手按要求画图，并进行小组交流，总结出课题结论．
教师活动：巡视小组活动情况，并给出课题：板书直线、射线、线段，直线的性质．
2．寻找生活中直线性质应用的例子．
想一想：日常生活中有哪些现象是应用的直线的性质？学生回答（只要答案合理，教师都给以肯定的评价）．
3．直线、射线、线段的表示方法．
学生活动：阅读课本第129页有关内容．
教师活动：讲解直线、射线、线段的表示方法．
三、巩固练习
1．提出问题：下图中，有几条直线？几条射线？几条线段？说出它们的名称．
A C D B
注：此题在学生完成后，教师再行讲评，并对学生的完成情况作出适当、肯定的评价．
2．根据语句画出图形．
例：读下列语句，并按照语句画出图形：
（1）直线L经过A、B两点，点B在点A的左边．
（2）直线AB、CD都经过点O，点E不在直线AB上，但在直线CD上．
注：此例让学生独立完成后在小组中交流和自我评价，然后教师进行讲评．
3．完成课本第129页练习．
注：此练习请四个同学进行板书，教师巡视学生完成的情况给予评价，并请学生作出自我评价．
四、课堂小结
1．提问：直线的性质是什么？如何表示直线、射线、线段？
2．本节课还学习了根据语句画图，知道了每一个语句都对应着一个几何图形．
五、作业布置
1．课本第132页至第134页习题3．2第1、2、3、4、10题．
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、填空题．
1．在墙上钉一根木条需_______个钉子，其根据是________．
2．如下图（1）所示，点A在直线L______，点B在直线L________．
3．如下图（2）所示，直线_______和直线______相交于点P；直线AB和直线EF相交于点______；点R是
直线________和直线________的交点．
4．如下图（3）所示，图中共有_____条线段，它们是________；共有______条射线，它们是________．
二、选择题．
5．下面几种表示直线的写法中，错误的是（ ）．
A．直线a B．直线Ma C．直线MN D．直线MO
三、解答题．
6．根据下列语句画出图形：
（1）直线L经过A、B、C三点，点C在点A与点B之间；
（2）两条直线m与n相交于点P；
（3）线段a、b相交于点O，与线段c分别交于点P、Q．
7．探索规律：（ 1 ）若直线 L 上有 2 个点，则射线有 ____ _ 条，线段有 _____ _ 条；
（2）若直线L上有3个点，则射线有_____条，线段有______条；
（3）若直线L上有4个点，则射线有_____条，线段有______条；
（4）若直线L上有n个点，则射线有_____条，线段有______条．
答案:
一、1．2 两点确定一条直线 2．上 外 3．AB CD O CD EF
4．3 AB、AC、BC 6．射线AF，射线AD，射线BF，射线BD，射线CF，射线CD
二、5．B
三、6．略 7．（1）4 1 （2）6 3 （3）8 6 （4）2n n（n-1）
4.2 直线、射线、线段（2）
教学内容
课本第129页至第131页．
教学目标
1．知识与技能
（1）会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短．
（2）理解线段等分点的意义，理解两点间距离的意义，借助现实的情境，了解“两点之间，线段最短”
的线段性质．
2．过程与方法
培养学生的动手操作能力，提高学生的抽象概括能力，能从实际问题中抽象出数学问题，初步学会数学
的建模方法．
3．情感态度与价值观
积极参与实验数学活动中，体会数学是解决实际问题的重要工具，通过对解决问题过程的反思，懂得知
识源于生活并用于生活．
重、难点与关键
1．重点：画一条线段等于已知线段，比较两条线段的长短是一个重点，在现实情境中，了解线段的性质
“两点之间，线段最短”是另一个重点．
2．难点：画一条线段等于已知线段的尺规作图方法，正确比较两条线段长短是难点．
3．关键：学生积极参与画图等动手操作的数学活动中，通过小组交流，获取数学信息是学好本节课知
识的关键．
教具准备
直尺、圆规、刻度尺、三根木棒（两根等长）、多媒体设备．
教学过程
一、引入新课
1．提出问题：有一根长木棒，如何从它上面截下一段，使截下的木棒等于另一根木棒的长？
教师活动：出示长短不同的两根木棒．
学生活动：小组讨论，探索方法，总结出问题的解决方法．
注：教师对学生给出的解决方法，应进行可操作性评价，对好的方法给予鼓励和肯定，以激发学生的学
习兴趣．
2．提出数学问题：
上面的问题，可以转化为如下一个数学问题：
已知线段a，画一条线段等于已知线段a．二、新授
学生活动：独立思考，动手画图，小组讨论交流，总结出问题的解决方法．
教师活动：参与学生小组讨论，指导学生探索问题的解决方法．
1．用刻度尺量出已知线段长，在画出的射线（或直线）上量出相同长度的一条线段．
2．用尺规截取．（按课本第130页所讲方法）
教师活动：打开电脑，演示尺规作图过程．
板书：画一条线段等于已知线段．
3．思考课本第130页的问题，从中得出数学问题：如何比较两条线段的长短？
4．探索比较两条线段长短的方法：
学生活动：小组交流，总结出比较方法．
教师活动：评价学生总结出的比较方法，并用教具请一个学生进行演示，板书：比较线段的长短．
（1）用刻度尺分别测量出它们的长度进行比较．
（2）用把一条线段移到另一条线段上，端点对齐的方法进行比较．
5．线段长短的比较结果．
学生活动：通过上面的讨论，总结出线段比较结果．
教师活动：用教具（三根木棒）演示线段比较方法，评价学生得出的比较结果，再用多媒体演示两条线段
的比较方法和比较结果．
板书：（1）AB<CD （2）AB>CD （3）AB=CD
(C) (D) (C) (D) (C) (D)
A B A B A B
6．线段的等分点．
（1）线段的中点：
教师活动：用多媒体演示，取线段AB上一点M，移动线段AM到线段MB上，当AM与MB完全重合时，线段
AM=MB，此时点M就叫做线段AB的中点．
板书： AM=MB= AB
（2）线段的等分点：
通过类比线段的中点，可得出线段的三等分点、四等分点．
板书： A M N B A M N P B
AM=MN=NB= AB AM=MN=NP=PB= AB
7．探索线段的性质．
（1）完成课本第132页思考题．
（2）提出问题：
由这个思考题，你能得出线段的性质？
学生活动：联想以前所学知识及生活常识，经过小组讨论，得出直线的性质：两点之间，线段最短．
教师活动：
板书：线段的性质，并用几何语言完整归纳出线段性质．
（3）举例说明线段的性质在生活中的应用．
（4）在直线L上顺次取三点A、B、C，使得AB=4cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度．注：这两个问题先请学生在小组中独立完成后进行交流，教师再作评价．
8．两点的距离．
教师活动：讲解两点的距离定义．
三、课堂小结
1．本节课学会了画一条线段等于已知线段，学会了比较线段的长短．
2．本节课学习了线段的性质和两点间距离的定义．
3．懂得了知识来源于生活并用于生活的道理．
四、作业布置
1．课本第133页至第114页习题4．2第5、6、7、8、9、11题．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、填空题．
1．如右图，把河道由弯曲改直，根据__________说明这样做能缩短航道．
2．画线段AB=50mm，在线段AB上取一点C，使得5AC=2AB，在AB的延长线上取一点D，使得AB=10BD，那
么CD=______mm．
3．如右图，AC=CD=DE=EB，图中和线段AD长度相等的线段是________．以D为中点的线段是________．
二、选择题．
4．比较线段a和b的长短，其结果一定是（ ）．
A．a=b B．a>b C．a<b D．a>b或a=b或a<b
5．下列四种说法：①因为AM=MB，所以M是AB中点；②在线段AM的延长线上取一点B，如果AB=2AM，那
么M是AB的中点；③因为M是AB的中点，所以AM=MB= AB；④因为A、M、B在同一条直线上，且AM=BM，所以
M是AB的中点，其中正确的是（ ）．
A．①③④ B．④ C．②③④ D．③④
三、解答题．
6．如下图已知线段a、b、c，画一条线段，使它等于a+b-c（用尺规和刻度尺两种方法）．
7．如下图，四条线段AB、BC、CD、DA，且AB<BC<DA<CD，用圆规比较图中的线段大小，确定出A、B、C、D四
点的准确位置，再用刻度尺量出这四条线段的长度．8．如下图，长方形的长为3cm，宽为2cm，用刻度尺作出每条边上的中点，并顺次连接它们，猜一猜能得
到什么图形，并度量验证你的猜想．
答案:
一、1．两点之间，线段最短 2．35 3．DB、CE AB、CE
二、4．D 5．D 三、6～8．略
4.3.1 角的度量（1）
教学内容
课本第137页至第138页．
教学目标
1．知识与技能
（1）在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，学会角的表示方法．
（2）认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算．
2．过程与方法
提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题．
3．情感态度与价值观
经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发学生的求知
欲．
重、难点与关键
1．重点：会用不同的方法表示一个角，会进行角度的换算是重点．
2．难点：角的表示、角度的换算是难点．
3．关键：学会观察图形是正确表示一个角的关键．
教具准备
多媒体设备、量角器、时钟、四棱锥．
教学过程
一、引入新课
1．观察时钟、四棱锥．
2．提出问题：
时钟的时针与分针，棱锥相交的两条棱，都给我们什么样的平面图形的形象？请把它画出来．
学生活动：进行独立思考、画图，然后观看教师的演示过程．
教师活动：用多媒体演示角的形成过程：一条射线OA绕端点O旋转到OB的位置，得到的平面图形──
角．
板书：角．
二、新授
1．角的概念．
（1）提出问题：
从上面活动过程中，你能知道角是由什么图形组成的吗？
学生回答：两条射线．
（2）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（如下图）
2．角的表示．
学生活动：阅读课本第137页有关内容，了解角的表示方法．
教师活动：讲解角的不同表示方法，着重讲解一个顶点有多个角的表示方法．
请用适当的方法表示下图中的每个角．
学生活动：请一个学生板书练习，其余学生独立练习．
教师活动：巡视学生练习情况，给予评价，对多数同学作出肯定评价．
学生活动：阅读课本第138页思考题，进行小组交流，获得问题结论．
教师活动：参与学生交流，并用多媒体演示平角、周角的形成过程，启发引导学生对问题进行探索，并对
学生讨论结果进行评价．
答案：分别形成平角、周角．
3．角的度量．
教师活动：指导学生阅读课本P138页内容，讲解角的度量方法及度、分、秒的换算．
板书：1周角=_____°，1平角=_____°，1°=____′，1′=____″．
学生活动：思考并完成上面的填空．
例：把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？
教师讲解计算过程．
三、巩固练习
1．课本第139页练习．
2．计算：（1）48°39′+67°41′；
（2）90°-78°19′40″；
（3）22°30′×8； （4）176°52′÷3．
此：此练习由学生独立完成，在练习过程中充分地进行小组交流以解决练习过程中的疑难，教师巡视过
程中对个别学习困难的学生及时给以答疑解惑，并请学生板书后再讲评．
3．想一想：时钟在5点15分时，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
师生互动：观察时钟在5点15分时，时针与分针所处位置，教师引导、启发学生先从时针在分针转动到
15分时，分针转过的角度与时针转过的角度的关系，并请学生在小组中进行交流，从而得出正确的答案．
答案：76.5°．
四、课堂小结
师生互动，完成本节课的小结：
1．什么是角？组成角的图形是什么？如何表示一个角？
2．本节课还复习了平面、周角？怎样得到这两种角？
3．角的度量单位是什么？它们是如何换算的？
五、作业布置
1．课本第144页习题4．3第1、2、3、4题．
2．选用课时作业设计．第一课时作业设计
一、填空题．
1．如下左图所示，把图中用数学表示的角，改用大写字母表示分别是________．
2．将上右图中的角用不同的方法表示出来，填入下表：
∠1 ∠3 ∠4
∠BCA ∠ABC
3．（ ）°=_____′=_____″；6000″=______′=_______°．
二、选择题．
4．在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（ ）．
A．150° B．165° C．135° D．120°
5．下列各角中，不可能是钝角的角是（ ）．
A． 周角 B． 平角 C． 钝角 D． 直角
三、解答题．
6．计算：
（1）53°28′+47°32′； （2）17°50′-3°27′；
（3）15°24′×5； （4）31°42′÷5（精确到1″）．
7．如下图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
8．想一想，做一做．
（1）用字母表示图中的每个城市．
（2）请用字母在下图分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角．
答案:一、1．∠ADE，∠BDE，∠CED，∠B，∠AED
2．∠2 ∠5 ∠BCE ∠BAC ∠BAD 
3．7．5′ 450″ 100′ （ ）°
二、4．C 5．D
三、6．（1）101° （2）14°23′ （3）77° （4）6°20′24″
7．30°，0°，120°，90° 8．略
4.3.1 角的度量（2）
教学内容
课本第139页．
教学目标
1．知识与技能
会用量角器测一个角的大小，能借助三角板画出30°，45°，60°，90°等特殊角及用量角器画出一个
给定度数的角，会用尺规作图画一个角等于已知角，熟悉并理解画法语言．
2．过程与方法
经历本节课的画一个角等于已知角，测量角的大小数学活动，提高学生的动手操作能力．
3．情感态度与价值观
经历本节课的数学活动过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，体会不同方法间的差异，能够在测
量画图等操作活动过程中发挥主动作用．
重、难点与关键
1．重点：会用量角器测量角的大小，会用尺规画一个角等于已知角．
2．难点：用尺规画一个角等于已知角．
3．关键：引导学生积极参与画图的数学活动过程，才能熟练掌握画图步骤．
教具准备
一副三角板、量角器、多媒体设备、投影仪．
教学过程
一、引入新课
1．投影一个五角星的图案，请学生观察图形．（如右图）
2．提出问题：
你知道五角星的五个角是多少度吗？你是怎样知道的？
二、新授
学生活动：在小组中交流测量角的大小方法，可借助三角板估计角的度数，或用量角器量出角的度数．
教师活动：巡视收集学生测量的方法，并请学生说明不同方法得出的结论有何不同，对学生的活动过程
给予积极评价．
结论：每个角均为36°．
1．画一个角等于已知角．
（1）提出问题：
你能用量角器画一个角等于36°吗？能画一个角等于108°吗？
学生活动：两个学生板书演示画图过程，其余同学独立完成．
教师活动：巡视并指导学生画图．（2）提出问题：
你能用三角板画出30°，45°，60°，90°等特殊角吗？
学生活动：动手画图．
教师活动：指导个别学生画图，评价学生的画图结果．
2．用尺规画一个角等于已知角．
探究：已知∠AOB，画一个角等于这个角．
学生活动：先进行独立思考，阅读课本第139页探究内容，动手画图，小组交流解决疑难，根据教师的
演示，进行自我评价．
教师活动：启发引导学生画图，并巡视指导学生画图，然后板书演示画图过程（画图过程中指导学生阅
读课本中的画法），指导学生进行自我评价：用量角器量∠A′O′B′与 ∠ AO B ，看一看度数是否相等．
三、巩固练习
任意画一个钝角∠ AO B ，用尺规画一个角等于∠ AO B ．
师生互动：教师在黑板上画钝角∠AOB，请一个学生板书画图教师巡视指导其余学生画图．
请同学们用三角板画出（1）15°；（2）75°；（3）105°；（4）120°；（5）135°的角．
教师活动：在学生活动过程中，教师对学生进行必要的指导，如15°看成45°～30°，用两块三角板
画出15°的角．
四、课堂小结
本节课我们通过测量角的度数，复习了角的度量方法，学会了用不同的工具画角．
提出问题：
请同学们说出你所知道的测量角的大小的仪器．（同学互相补充）
教师活动：打开多媒体播放有关用仪器测量角的活动片子，让学生认识测量角的仪器．
五、作业布置
1．课本第145页至第146页习题4．3第6、11、14题．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、填空题．
1．如下左图，量出图中三个角的度数分别是__________，这三个角的和是_____．
2．时钟从3点10分走到3点35分，它的分针转过________度．
3．如上右图，直线AB、CD、EF相交于点O，用量角器量一量图中各角的度数，其中相等的角是_________．
4．用一副三角板可以拼出________的角．
二、解答题．
5．如图，是一个公园示意图．
（1）用线段把大门与各景点连接起来；
（2）通过测量，比较各景点与大门距离的长短；
（3）以大门为中心用字母表示两个景点之间的夹角；
（4）量出（3）中各角的度数．6．如图，已知∠ACB，点D在边CB上，
（1）以DC为一边，点D为顶点画一个∠EDC，ED交CA于E．
（2）比较线段CE与DE的长短．
A
C D B
答案:
一、1．略 2．150°
3．∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC，∠AOF=∠BOE，∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF，∠COF=∠DOE 4．
75°、105°等度数的角
二、5．略 6．（1）略 （2）CE=DE.
4.3.2 角的比较与运算
教学内容
课本第139页至第141页．
教学目标
1．知识与技能
（1）在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图
中角的和差关系．
（2）通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分
线．
2．过程与方法
进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法．
3．情感态度与价值观
能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习
热情．
重、难点与关键
1．重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关系，认识角平分线及画角平分线是本节课
的重点．
2．难点：认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小是难点．3．关键：从动手操作过程中，认识角的大小关系，认识角的和差关系及认识角平分线，也是学好本节课
知识的关键．
教具准备
量角器、三角板、圆规、剪刀、透明纸、多媒体设备． C
教学过程
一、引入新课
教师活动：在黑板上画出一个三角形．（如右图所示）
A B
1．提出问题：比较图中线段AB、BC、CD的长短．
学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比较线段长短的方法．
教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较AB、BC、CD三条线段长短的过程，并写出结论：
AB>AC>BC．
2．提出问题：
怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？
学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小．
教师活动：（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，比较它们的大小，板书结论：
∠C>∠B>∠A．（2）启发引导学生，类比线段长短的比较方法，也可以把它们叠合在一起比较大小．
二、新授
1．提出问题：
如何用叠合的方法比较角的大小？
学生活动：进行小组交流讨论，动手操作：每个学生都在透明纸上画一个角，然后剪下这个角，并与小组
中其它同学所画的角进行比较后归纳出比较方法和比较结果，然后观看多媒体演示角的比较过程．
教师活动：巡视并指导学生进行角的比较活动过程，打开多媒体演示角的比较过程：把一个角移到另一
个角上，顶点与一条边重合；两个角的另一边都在重合边的同侧．观察这两边的位置关系，就能得出两个角
的大小关系．
注：讲解过程应强调操作过程，让学生掌握角的比较的操作过程．
完成课本第142页练习．
注：教师在评价学生完成练习的情况时，应对较好的方法给予肯定的评价，鼓励学生进行探索．
2．认识角的和差．
学生活动：思考课本第140页观察中的问题，小组交流思考的结论．
教师活动：讲解观察中的问题，给出图中各角之间的和差关系．（如下图）
∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOB=∠AOC-∠BOC．
提出问题：∠AOC-∠AOB=________．
3．动手操作：用三角板拼出特殊角，完成课本第140页探究中的问题．
学生活动：每个学生都用三角板进行尝试拼出15°、75°的角，并讲出其中的理由．
提出问题：
利用一副三角板还能拼出多少度的角？
学生活动：小组交流后说出这些角的度数，各小组之间互相补充．
教师活动：评价学生的结论，对学生的答案进行归纳补充．
4．认识角的平分线．教师活动：在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合．
学生活动：观察老师演示过程，并思考下面问题．（如下图）
提出问题：∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？
在图中，射线OB把∠AOC分成相等的两个角，即∠AOB=∠BOC，∠AOC与∠AOC和∠BOC有什么关系？这
个关系怎样用式子来表示？射线OB叫做什么？
学生活动：阅读课本第140页有关内容，回答上面问题．
教师活动：讲解角平分线定义，板书：角的平分线．
教师活动：指导学生看课本第141页图3．4-5，讲解角的三等分线．
请学生动手完成课本P138探究，加深对角的平分线的认识．
在纸上画一个角，设法画出这个角的平分线．
学生活动：思考并进行小组交流，总结出角平分线的画法并画图．
教师活动：对学生总结出的画法进行评价，并演示画图过程．
（1）借助量角器画图：以已知角顶点为顶点，已知角的一边为边，在已知线的内部画一个度数等于已知
角度数一半的角，则这个角的另一边就是已知角的平分线．
（2）用折叠方法：把角沿顶点对折，使角的两边重合，沿折痕在角的内部画一条射线即为已知角的平分
线．
三、课堂小结
师生互动，共同总结本节课的学习内容：
1．角的大小比较方法和角的大小关系有哪些？认识了角的哪些运算．
2．本节课学习了用三角板拼出哪些角？
3．角平分线的定义是什么？
四、作业布置
1．课本第145页习题4．3复习巩固5，综合运用10，拓广探索15．
2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、填空题．
1．如下图（1），比较图中四个角的大小，并用“<”连接________．
2．如果∠1=∠2，∠1+∠3=90°，则∠2+∠3=_______．
3．如下图（2），有“＝”或“>”或“<”填空：
（1）∠AOC_______∠AOB+∠BOC； （2）∠AOC_______∠AOB；
（3）∠BOD-∠BOC______∠DOC； （4）∠AOD______∠AOC+∠BOD．
4．如下图（3），OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则图中相等的角有________，
∠AOD=______∠AOC=______∠AOB．
二、选择题．
5．如右图，图中小于平角的角的个数是（ ）．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
三、解答题．
6．如下图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
7．用三角板画出75°，105°，135°的角．
8．如下图，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOC=80°，∠DOE=30°．
求（1）∠AOB，（2）∠COD，（3）∠BOD．
9．如下图，已知∠1，∠2（∠1>∠2），画一个角，使它等于:
（1）∠1+∠2；（2）∠1-∠2；（3） （∠1+∠2）．
答案:
一、1．∠A<∠B<∠D<∠C 2．90° 3．（1）= （2）> （3）= （4）<
4．∠AOC=∠BOC，∠AOD=∠COD
二、5．C
三、6．112.5° 7．略 8．（1）40° （2）30° （3）70° 9．略
备课时
课 题 4.3.2角的比较和运算⑵ 课 型 习题 2009.12.13
间
1．掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算
学习目标
2．学会用方程解决几何问题
重点难点 利用角之间的和差关系进行简单的计算
教 学 程 序 学 习 中 的 困 惑
一．前置性学习
一、度分秒的互化
1、⑴ 57.32= 度 分 秒， ⑵ 17°6′36″= 度。
⑶ 14°25′12″= 度。 ⑷ 28°39′+ 61°35′=___________
；
⑸ 54°23′- 36°31′=____________ ⑹ =___________
2、把一个周角7等分，每一份是多少度的角？（精确到分）
二、角之间的和差关系
3、如图⑴,∠AOB______∠AOC,∠AOB_______∠BOC(填>,=,<);D
B C
C
B
O
O A A
(1) (2)
4、如上图⑵,∠AOC=______+______=______-______; ∠BOC=______-_____=
_____-_______.
5、如上图⑵，如果∠AOB=∠COD，那么图中相等的两角是:∠_______=∠________.
三、角平分线
5、如图：OC是 AOB的平分线，OD是 BOC的平分线，那么下列各式中正确的是：
( )
6、如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，
求∠AOD的度数。
C
D
A O B
二．范例分析
1、如图，OB是 AOC的平分线，，OD是 COE的平分线，
（1） 如果 AOC=80°，那么 BOC是多少度？
（2） 如果 AOB=40°， DOE=30°，那么 BOD是多少度？
（3） 如果 AOE=140°， COD=30°，那么 AOB是多少度？
D
C
E
B
O A
2、如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两部分, ∠ABC=140°,求∠DBE的度数.
C
D
E
A
B