[A4版]25李艳芳数一线代部分做题本_考研_数学_08.李艳芳_25李艳芳《900题》做题本_数一

线代 · 目录 目 录 第一章 行列式 .................................................................. 2 A 类 ....................................................................... 2 B 类 ....................................................................... 7 第二章 矩阵 ................................................................... 11 A 类 ...................................................................... 11 B 类 ...................................................................... 18 C 类 ...................................................................... 22 第三章 向量 ................................................................... 24 A 类 ...................................................................... 24 B 类 ...................................................................... 29 C 类 ...................................................................... 34 第四章 线性方程组.............................................................. 36 A 类 ...................................................................... 36 B 类 ...................................................................... 43 第五章 矩阵的特征值与特征向量 .................................................. 49 A 类 ...................................................................... 49 B 类 ...................................................................... 55 C 类 ...................................................................... 62 第六章 二次型 ................................................................. 64 A 类 ...................................................................... 64 B 类 ...................................................................... 71 C 类 ...................................................................... 79 第 1 页，共79页线代 · 1. 行列式 第一章 行列式 A 类 填空题 1 行列式 第 2 页，共79页 1 0 0 1 0 1 2 0 0 3 2 0 5 0 0 3 = __________ .  0 0      2 行列式 =__________ .         1 4 3 2 2 1 4 3 3 行列式 =__________ . 3 2 1 4 4 3 2 1线代 · 1. 行列式 4 第 3 页，共79页 n 阶行列式 5 2 2 2 5 2 2 2 5 = __________ . 5 行列式 b 2 + a a 2 c 2 a 2 + b 2 b c 2 a 2 + c 2 c b 2 = __________ . 6 设 a ,a ,a 为互不相等的实数,则 1 2 3 3 a 3 21 a + 3 1 5 + a 5 1 + 7 3 a 3 22 a + 3 2 5 + a 5 2 + 7 3 a 3 23 a + 3 3 5 + a 5 3 + 7 = __________ .线代 · 1. 行列式 7 行列式 第 4 页，共79页 1 2 3 4 1 2 2 2 3 2 4 1 3 2 3 3 3 4 1 4 2 4 3 4 4 = __________ . 9. n 阶行列式 1 − − 1 a 1 a − a a − 1 1 − − 1 a 1 a − a = __________ . 10 记行列式 2 3 x x x 4 − − − x 1 2 3 x 2 x 3 x 4 x − − − + 2 3 4 4 3 x 2 x 6 + x + x 1 1 x 2 x 3 x 6 x + + + + 2 1 2 6 为 f ( x ) ,则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为 __________ .线代 · 1. 行列式 x x 1 −x 1 2x 2 −1 11 多项式 f (x)= 中 2 1 3x 1 3 −1 1 4x 第 5 页，共79页 x 3 项的系数为__________ . 12 设 D = a e l k b f l k c g l k d h k l ,则 D 的第一行元素的代数余子式之和 A 1 1 + A 1 2 + A 1 3 + A 1 4 =__________ . 1 2 3 4 −f 2f e 2e 13 设 D= ,则 a ,a 的余子式之和 M +M =__________ . 0 2f 2e e 11 12 11 12 0 f e e公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 1. 行列式 14 设 4 阶矩阵 第 6 页，共79页 A = ( α , γ 1 , 2 γ 2 , 3 γ 3 ) , B = ( β , γ 1 , − γ 2 , γ 3 ) ,其中 α , β , γ 1 , γ 2 , γ 3 均为 4 维列向量, 且已知行列式 A =6,B =2 ,则行列式 A+B =__________ . 15 设 A , B 为 n ( n  2 ) 阶矩阵,且 A = 2 , B = − 2 , A * + B = 2 ,则 A − B * = __________ . 2 1 0   16. 设矩阵A= 1 3 0 ,可逆矩阵     0 0 4 B 满足 A B A * − B A * = B A B * ,其中A*、B*分别为A、 B 的伴随矩阵,则 B* =__________ .线代 · 1. 行列式 17 已知 3 阶矩阵 第 7 页，共79页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,且 A  0 . 若 3 α 2 + 9 α 3 ) A 2 = ( α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2 α 2 + 4 α 3 , α 1 + ,则 A = __________ . 18 设 A 为 2 n + 1 阶矩阵,且 9 A A T = E ,其中 E 为单位矩阵. 若 A  0 ,则 A − 1 3 E = __________ . B 类 填空题 1 x −1 x2 +1 x 1 x2 +1 −1 1 多项式 f (x)= 的常数项是__________ . −1 x2 +1 1 x x2 +1 −1 x 1线代 · 1. 行列式 2 设 5 阶矩阵 第 8 页，共79页 A 满足 E A ( 1 ) 2 ( a ) 3    − = + + ,且 A = 6 4 ,则 tr(A)=__________ . 3 设 x 为 n 维单位列向量,矩阵 A = E + a x x T . 若 A =0 ,则 a = __________ . 4 设矩阵 A =  1 2 − 1 − 3 1 1 4 − 0 1  , B 为 3 阶正交矩阵. 若存在上三角矩阵 P ,使得 B = A P ,则 P 的对角线上各元素乘积的绝对值为__________ .线代 · 1. 行列式 5 设 3 阶矩阵 第 9 页，共79页 A 为上三角矩阵,向量 α = ( 1 ,1 ,1 ) T 满足 A α = 3 α , A T α = 3 α , A 的特征值之 和为 3,则 A = __________ . 6 设 A , B 均为 n O A  阶矩阵,且 A =a,B =b,C=  ,则 B BA C = __________ . 7 设 A 为 n A α A α 阶矩阵, =x, = y ,且 βT b βT c b  c ,则 A =__________ .线代 · 1. 行列式 8 已知 第 10 页，共79页 A , B 为 2 n 阶可逆矩阵, A − 1 + B − 1 = ( A + B ) − 1 ,则 A B − 1 + B A − 1 = __________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 2. 矩阵 第二章 矩阵 A 类 一、选择题 1 已知矩阵 第 11 页，共79页 A , B , C 为 n 阶矩阵,且 A B = B C ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) 若 A = E ,且 B  O ,则 C = E . (B) 若 A=O ,且 BO ,则 C=O . (C) 若 B 可逆,则 A=C . (D) 若 B 可逆,则 A 与 C 等价. 2 下列矩阵中,与 A =  1 2 3 0 1 2 2 3 4 − 1 3 1  等价的是 ( ) (A)  2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 3 4  . (B)  1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1  . (C)  0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0  . (D)  1 2 3 0 0 0 1 2 3 1 2 3  . 3 设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,若 A4 =O ,则 ( ) (A) 对于任意非零常数 a,b,c,d,aE+bA 可逆, cE+dA2 可逆. (B) 对于任意非零常数 a,b,aE+bA 可逆,存在非零常数 c , d ,使得 c E + d A 2 不可逆. (C) 存在非零常数 a , b ,使得 aE+bA 不可逆,对于任意非零常数 c , d , c E + d A 2 可逆. (D) 存在非零常数 a,b,c,d ,使得 a E + b A 不可逆, cE+dA2 不可逆.线代 · 2. 矩阵 4 设 第 12 页，共79页 A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且 P − 1 A P =  1 0 0 0 2 0 0 0 3  .若 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 ) P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , Q = ( α 1 ,则 Q−1AQ=( ) (A)  1 0 0 0 2 0 0 0 3  . (B)  1 1 1 0 2 1 0 0 3  . (C)  1 1 − 1 0 2 1 0 0 3  . (D)  1 0 0 1 2 0 − 1 3 1  . 5 设 n 为大于等于3的奇数, n 阶非零矩阵 A 满足 A = A * ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) A = − A − 1 . (B) A T = − A * . (C) A − 1 = A * . (D) A = 0 . 6 设 A , B 为 4 阶可逆矩阵, A * , B * 分别为 A , B 的伴随矩阵,将 A * 的第 2 行乘以 3 加到第 1行上得矩阵 B * ,则 ( ) (A) 将 A 的第 1 列乘以 3 加到第 2 列上得 B . (B) 将 A 的第 1 行乘以 3 加到第 2 行上得 B . (C) 将 A 的第 1 列乘以 -3 加到第 2 列上得 B . (D) 将 A 的第 1 行乘以 -3 加到第 2 行上得 B .线代 · 2. 矩阵 7 已知矩阵 第 13 页，共79页 A , B 均为 n  m 矩阵 ( n m  ) ,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若 A B T 可逆,则 r ( A ) + r ( B )  m . (B) 若 ABT =E ,则 r(A)+r(B)m . n (C) 若 A B T 不可逆,则 r ( A ) + r ( B )  m . (D) 若 A B T = O ,则 r ( A ) + r ( B )  m . 8 设 A , B 均为 n ( n  2 ) 阶矩阵,满足 A − B − A B = k E ,则下列 k 值中,使 r ( A + E ) + r ( B − E ) 最小的是( ) (A) -2 . (B) -1 . (C) 1 . (D) 2 . 9 设 A , B 是 n 阶矩阵, A * 是 A 的伴随矩阵,若 r(B)=2 ,且 A B = O ,则 r ( A*) =( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .线代 · 2. 矩阵 10 已知矩阵 第 14 页，共79页 A 是 m  n 矩阵, B 是 n  m 矩阵,则下列说法中,正确的是( ) (A) 若 A B  0 ,则 A 行满秩, B 列满秩. (B) A B = B A . (C) A B  B A . (D) tr(AB)tr(BA) . 二、填空题 1 1 11 设矩阵A= ,E为2阶单位矩阵,矩阵 1 1 B 满足 B A = A + B − E ,则 B = ________ . 12 已知 n 阶矩阵 A 满足 A = 1 n ,则 n A * − ( n A ) − 1 = ________ .线代 · 2. 矩阵 13 设 第 15 页，共79页 n ( n  2 ) 阶矩阵 A 可逆,且 ( A * ) − 1 = ( A T ) * ,若 A  0 ,则 A = ________ . 0 1 0 0   0 0 1 0 14 设矩阵 A=   ,则使得 0 0 0 1   1 0 0 0 A k = E 成立的最小正整数为________ . 三、解答题 15 已知矩阵 A =  1 0 0 2 1 0 3 2 1  ,且 A3−A2B−AB+E=O ,其中 E 是 3 阶单位矩阵,求矩 阵B.线代 · 2. 矩阵 16 设矩阵 第 16 页，共79页 A =  1 1 0 0 1 − 0 0 1 0 0 0 1 0 0 − 0 1  ,矩阵 B 满足   1 2 A  *  − 1 B A − 1 = 4 A B + 1 6 E ,求矩阵 B . 17 设 A =  0 a b a 0 c b c 0  为可逆矩阵, E 为 3 阶单位矩阵, B =  1 0 0 0 4 0 0 0 0  . (I) 计算 E − A B ,并指出 A 中元素满足什么条件时, E − A B 为可逆矩阵; (II) 当 E−AB 可逆时,证明 ( E − A B ) − 1 A =  ( A − 1 − B ) − 1  T .线代 · 2. 矩阵 18 设矩阵 第 17 页，共79页 A =  1 0 − 1 2 − 3 1 4 2 1  , Λ =  1 0 0 0 1 0 − 0 0 A  . (I) 求 A ; (II) 求下三角矩阵 P 与上三角矩阵 Q ,使得 A = P Λ Q . 19 已知 n 阶矩阵 A 满足等式 A 2 − 3 A + 2 E = O ,其中 E 为 n 阶单位矩阵. 计算 r ( A ) + r ( A - E ) + r ( A − 2 E ) + r ( A − 3 E ) .线代 · 2. 矩阵 B 类 一、选择题 1 设 第 18 页，共79页 A 为 mn 矩阵, r(A)=m ,则下列说法中,正确的是( ) ① 若 P 为 m 阶矩阵,且 P A = A ,则 P = E . ② 若 P 为 n 阶矩阵,且 A P = A ,则 P = E . ③ A 能通过一系列初等行变换化为形式 (E ,O) . m ④ A 能通过一系列初等列变换化为形式 (E ,O) . m (A) ①③. (B) ①④. (C)②③. (D) ②④. 2 定义运算  X , Y  = X Y − Y X ,其中 X 和 Y 为同阶方阵. 对于 2 阶方阵 A , B , C ,下列 命题中, 正确的是( ) (A)  A , B  =  B , A  . (B) A,B2 =E . (C)   A , B  , C  = O . (D)   A , B  2 , C  = O . 3 设 3 阶矩阵 A =  0 b b a 0 0 a 0 0  ,则下列关于 An(n2) 的说法中,正确的是 ( ) (A) A n 的各项元素仅与 a 有关. (B) An 的各项元素仅与 b 有关. (C) 若 n 为奇数,则 A n 的各项元素仅与 ab 有关. (D) 若 n 为偶数,则 A n 的各项元素仅与 ab 有关.线代 · 2. 矩阵 4 设 A,B 均为 2 阶矩阵, A*,B* 分别为 A,B 的伴随矩阵. 若 第 19 页，共79页 A = 3 , B = − 1 ,则分块矩 阵  O B A E  * = ( ) (A)  − B − * A A * * 3 B O *  . (B)  − A − * A B * * 3 B O *  . −B*A* −A* −A*B* −A* (C)   . (D)   .   3B* O     3B* O   5 设 A , B 为 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X , Y ) 表示分块矩阵,则下列说法中, 不正确的是( ) (A) r ( A , A B )  r ( A , B ) . (B) r ( B A , B )  r ( A , B ) . (C) r(A,AB)r(A,BA) . (D) r ( A B , B )  r ( B A , B ) . 7 设 A 为 n ( n  3 ) 阶非零矩阵,则下列命题中,正确命题的个数是( ) ① 当 r  ( A * ) *  = r ( A * ) 时, r ( A , A * )  n − 1 . ② 当 r   ( A*)* =r ( A*) 时, r ( A−A*) n−1 .   ③ 当 r   ( A*)* r ( A*) 时,   r ( A , A * ) = n . ④ 当 r  ( A * ) *   r ( A * ) 时, r ( A − A * ) = n . (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .线代 · 2. 矩阵 7 设 第 20 页，共79页 A 为 n ( n  2 ) 阶非零矩阵,且满足 a ij = A ij , i , j = 1 , 2 , , n ,其中 A ij 为 a ij 的代数余 子 式, 则下列说法中, 正确的是( ) (A) A 为可逆矩阵. (B) A 为对称矩阵. (C) A 0 . (D) A 的所有元素的平方和为 n . 二、填空题 8 设 n 阶矩阵 A 满足方程 A 3 = A 2 + A ,则 ( A 2 + A + E ) − 1 = _________ . 9 设 α=(1,0,2)T ,β=(4,1,−2)T.记 A = α β T ,则 (E+A)n =_________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 2. 矩阵 10 设 第 21 页，共79页 n 维列向量 α =  1 4 , 0 , , 0 , 4 3  T ,矩阵 A = E − 2 α α T , B = E + 4 α α T ,其中 E 为 n 阶 单位矩阵,则 E + A n B n = _________ . 11 设矩阵 A =  1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1  ,则 A 的所有元素的代数余子式之和为_________ . 12 设 A,B 为 n A2 AB 阶矩阵,则 =_________ . BA B2线代 · 2. 矩阵 三、解答题 13 已知A为3阶可逆矩阵,将A的第1列与第2列互换得到矩阵B,再将B的第1列乘以-2 得到矩阵 第 22 页，共79页 C .若矩阵 P 满足 P A * = C * ,求矩阵 P . 14 设矩阵 A =  − − 4 a a 9 − 2 − 3 a − 3 a + 1  ,且满足 A = − 2 ( A − 3 E ) − 1 . (I) 确定 a ; (II) 设矩阵 X 满足方程 A X A − 4 A X + X A − 4 X − 1 2 A = O ,求矩阵 X . C 类 选择题 1 对于 n 阶矩阵 A 和 B ,下列命题中,正确的是( ) (A) 若 A B 可逆,则 E − A B 可逆. (B) 若 A B 不可逆,则 E − A B 可逆. (C) 若 E−BA 可逆,则 E−AB 可逆. (D) 若 E−BA 不可逆,则 E−AB 可逆.线代 · 2. 矩阵 2 设矩阵 第 23 页，共79页 A 为 4  2 矩阵,B为 2  4 矩阵,且满足 A B =  1 0 − 0 1 0 1 0 − 1 − 0 1 0 1 0 − 0 1 1  ,则 B A = ( ) (A)  1 0 0 3  . (B)  2 0 0 2  . (C)  4 0 0 0  . (D) 由已知条件不能确定. 3 设 A = ( a ij ) 为 n 阶矩阵,且其元素满足 a ij = − a ji , β 为n维非零列向量,矩阵 B =  A β T β 0  ,则( ) (A) 若 r(A)=n ,则 n 为奇数,且 r(B)=n . (B) 若 r(A)=n ,则 n 为奇数,且 r(B)=n+1 . (C) 若 r ( A ) = n ,则 n 为偶数,且 r ( B ) = n . (D) 若 r ( A ) = n ,则 n 为偶数,且 r ( B ) = n + 1 .线代 · 3. 向量 第三章 向量 A 类 一、选择题 1 已知向量组 第 24 页，共79页 α 1 = ( 1 , 2 ,1 ) T , α 2 = ( 3 , 5 ,1 ) T , α 3 = ( 3 , 7 , 5 ) T , α 4 = ( − 1 ,1 ,1 ) T , α 5 = ( − 5 ,1 , 5 ) T ,则下列各 选项中的向量组线性相关的是( ) (A) α 1 , α 2 , α 3 . (B) α 1 , α 2 , α 5 . (C) α 2 , α 4 , α 5 . (D) α 3 , α 4 , α 5 . 2 下列关于向量组 α 1 , α 2 , α 3 的陈述中,不正确的是( ) (A) 若存在实数 k ,使得 α 1 + k α 3 , α 2 线性相关,则 α ,α ,α 必线性相关. 1 2 3 (B) 若存在实数 k ,使得 α 1 + k α 3 , α 2 线性无关,则 α ,α ,α 可能线性无关. 1 2 3 (C) 若对任意实数 k ,均有 α 1 + k α 3 , α 2 线性相关,则 α 1 , α 2 , α 3 必线性相关. (D) 若对任意实数 k ,均有 α 1 + k α 3 , α 2 线性无关,则 α 1 , α 2 , α 3 必线性无关. 3 已知向量组Ⅰ:α =(0,1,2,3)T ,α =(3,0,1,2)T ,α =(2,3,0,1)T 和向量组 Ⅱ: 1 2 3 β 1 = (2,1,1,2)T ,β =(0,−2,1,1)T ,β =(4,4,1,3)T ,则下列说法中,正确的是( ) 2 3 (A) 向量组 I 可由向量组 II 线性表示, 但向量组 II 不能由向量组 I 线性表示. (B) 向量组 II 可由向量组 I 线性表示, 但向量组 I 不能由向量组 II 线性表示. (C) 向量组 I 和向量组 II 可互相线性表示. (D) 向量组 I 和向量组 II 均不可由对方线性表示.线代 · 3. 向量 4 设向量组Ⅰ: 第 25 页，共79页 α 1 , α 2 , , α i 可由向量组Ⅱ: β 1 , β 2 , , β s 线性表示,向量组I和II的秩分别为 r,r ,则 1 2 ( ) (A) 若 t = s ,则 r =r . (B) 若 r =t ,则 1 2 1 s  t . (C) 若 ts ,则 r1  r2 . (D) 若 r2 = s ,则 st . 5 已知向量组 I : 1 , 2 , , t   的秩为 r1 ,向量组 : β 1 , β 2 , , β s 的秩为 r 2 ,则下列命题中, 正确的个数为 ( ) ① 若向量组 I 能被向量组 II 线性表示,则 r r . 1 2 ② 若向量组 I 不能被向量组 II 线性表示,则 r1  r2 . ③ 若向量组 I 和向量组 II 等价,则 r =r . 1 2 ④ 若向量组 I 和向量组 II 不等价,则 r1  r2 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 6 设 A , B , C 均为 n 阶矩阵,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若矩阵 A 与 C 等价,则矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价. (B) 若矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价,则矩阵 A 与 C 等价. (C) 若 A B = C ,且矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价,则矩阵 B 可逆. (D) 若 AB=C ,且矩阵 B 可逆,则矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价.线代 · 3. 向量 7 设向量组 第 26 页，共79页 I : α 1 , α 2 , α 3 可由向量组 Ⅱ: α 1 , α 2 , β 线性表示,则( ) (A) 若 α 与 β 线性无关,则 α 可由 α ,α 线性表示. 3 3 1 2 (B) 若 α 3 与 β 线性无关,则向量组 I 与向量组 II 等价. (C) 若向量组 I 与向量组 II 等价,则 α 3 与 β 线性相关. (D) 若 α 3 与 β 线性相关但与 α 1 线性无关,则向量组 I 与向量组 II 等价. 8 设 α 1 , α 2 , α 3 ,是三维空间 R 3 的一组基,已知向量 ξ 在基 ( α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1 ) 下的 坐标为 ( 1 , 2 , − 1 ) T ,则 ξ 在基 ( α 1 , α 1 + α 2 , α 1 + α 2 + α 3 ) 下的坐标为 ( ) (A)  − 3 2 1  . (B)  3 2 − 1  . (C)  − 2 3 1  . (D)  1 2 − 3  . 二、填空题 9 设向量组 α 1 =  a 1 1  , α 2 =  1 a − 1  , α 3 =  1 − a 1  线性相关,但其中任意两个向量均线性无关, 则 a=__________ .线代 · 3. 向量 10 若向量 第 27 页，共79页 β = ( 0 ,1 , − 1 , b ) T 可以表示为 α 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , α 2 = ( 1 , 3 , 2 , 3 ) T , α 3 = (1 , 4 , a,2)T ,α =(1,4,1,a+1)T 的线性组合,且表示方法不唯一,则 ab=__________ . 4 三、解答题 11 已知向量组 α 1 =  0 1 2  , α 2 =  2 0 1  , α 3 =  a 2 1  与向量组 β 1 =  b 1 0  , β 2 =  1 0 − 1  , β 3 =  8 7 6  具有相同 的秩,且 β 1 不能由 α ,α ,α 线性表示,求 1 2 3 a , b 的值. 12 设向量组 I : α 1 = ( 1 , 0 , − 1 ) T , α 2 = ( 0 ,1 , − 1 ) T , α 3 = (1 , 2 , 4 ) T 不能由向量组 β 2 = ( 2 , 4 , 6 ) T , β 3 = ( 1 , 5 , a ) T β: 1 = ( 2 , 2 , 2 ) T , 线性表示,求 a 的值,并将 β 1 , β 2 , β 3 用 α 1 , α 2 , α 3 线性表示.线代 · 3. 向量 13 确定常数 第 28 页，共79页 a ,使向量组 α 1 = ( 1 ,1 , 4 ) T , α 2 = ( 1 , a , 4 ) T , α 3 = ( − 1 , − 1 , a ) T 可由向量组 β 1 =(a+2,1,1)T ,β =(1,a+2,1)T ,β =(1,1,a+2)T 线性表示,但向量组 2 3 β 1 , β 2 , β 3 不能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. 14 已知 α 1 = ( 1 , 0 , − 1 , a ) T , α 2 = ( 0 ,1 , a , a ) T , α 3 = ( − a , a , a , 0 ) T , β = ( b , 0 ,1 , 2 ) T ,问: (I) a , b 满足什么条件时, β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示? (II) a , b 满足什么条件时, β 能由 α ,α ,α 唯一地线性表示?并写出此表示式(要求表示 1 2 3 式中不含 b ).线代 · 3. 向量 15 已知向量组 第 29 页，共79页 A : α 1 = ( 1 ,1 , 0 ,1 ) T , α 2 = ( a , a + 1 , a , a + 1 ) T , α =(1,2,a+1,a+2)T , 3 α =(a,a−1,0,a)T , α =(a,a+1,3,a+3)T,且 α ,α ,α ,α 是该向量组的一个极大无关组,但 4 5 1 2 3 4 α 1 , α 2 , α 3 , α 5 不是该向量组的极大无关组. 求 a ,并用 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 表示 α 5 . B 类 一、选择题 1 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,已知 β 3 = α 1 + ( 1 − k ) α 2 + α 3 β 1 = ( k + 1 ) α 1 + ( k − 1 ) α 2 − ( k + 1 ) α 3 , β 2 = α 1 + α 2 + α 3 , ,当向量组 β 1 , β 2 , β 3 线性无关时,参数 k 满足的条件是 ( ) (A) k  0 或 k  − 1 . (B) k  0 且 k  − 1 . (C) k = 0 . (D) k = − 1 .线代 · 3. 向量 2 设向量组A:α ,α , ,α 包含 1 2 n 第 30 页，共79页 n 个 m 维向量 ( n  m ) ,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若 α 1  0 ,则 α 1 必能由其他向量线性表示. (B) 若 α 0 ,则必存在 1 2  k  n ,使得 α 能由 α ,α , ,α 线性表示. k 1 2 k−1 (C) 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , , α n ) 必可经过初等行变换化为矩阵 ( E , O ) E O 或 的形式.   O O (D) 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , , α n ) 必可经过初等列变换化为矩阵 ( E , O ) 或  E O O O  的形式. 3 设 α 1 , α 2 , α 3 与 β 1 , β 2 , β 3 为 3 维列向量组的两个不同的极大无关组,且 ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( β 1 , β 2 , β 3 ) A . 向量 ξ i ( i = 1 , 2 , 3 ) 满足 ξ i = x 1 αi 1 + x 2 αi 2 + x 3 αi 3 = y 1 βi 1 + y 2 βi 2 + y 3 βi 3 ,且 ( x 1 i , x 2 i , x 3 i ) = ( y 1 i , y 2 i , y 3 i ) B ,则 ( ) (A) 若矩阵 ( y ij ) 可逆,则 B = A . (B) 若矩阵 ( y ij ) 可逆,则 B = A − 1 . (C) 若矩阵 ( y ij ) 可逆,则 BT =A . (D) 若矩阵 ( y ij ) 可逆,则 BT =A−1 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 3. 向量 4 设 第 31 页，共79页 n ( n  3 ) 阶矩阵 A = ( a ij ) 不可逆,A 是a 的代数余子式,其中 ij ij A 1 1  0 ,则下列行向量中,必 为 A 的伴随矩阵 A * 的行向量组的一个极大无关组的是( ) (A) (A ,A , ,A ) . (B) (A ,A , ,A ) . 11 12 1n 11 21 n1 (C) ( A 1 2 , A 2 2 , , A n 2 ) . (D) 以上都不正确. 5 已知 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是 3 维非零列向量,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① 若 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 3 ,则 α 可由 α ,α ,α 线性表示. 4 1 2 3 ② 若 α 4 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,则 2r(α ,α ,α )3 . 1 2 3 ③ 若 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 2 ,则 α 4 必不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. ④ 若 α 4 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,则 r ( α 1 , α 2 , α 3 )  2 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 6 设向量 1 ( 1 ,1 , 0 , 0 ) T , 2 ( 1 , 0 ,1 , 0 ) T , 3 ( 1 , 0 , 0 ,1 ) T , 4 ( ,1 , x , x 2 ) T , 5  α = α = α = α = α = T  1 1  ,1, , .若对    x x2 所有x0,向量组I: α 1 , α 2 , α 3 , α 4 与向量组II: α 1 , α 2 , α 3 , α 5 恒等价,则的取值范围是( ) (A) 3 4   . (B) 3 4   或 =1 . (C) 5 4   . (D) 5 4   或 =1 .线代 · 3. 向量 7 设 第 32 页，共79页 A , B 为 n 阶矩阵,则下列命题中,错误的是( ) (A) 若 B 和 A B 都是正交矩阵,则 A 也是一个正交矩阵. (B) 若 B 和 A + B 都是正交矩阵,则 A 也是一个正交矩阵. (C) 若 A 是正交矩阵, x 是 n 维列向量,则 x 和 Ax 的长度相等. (D) 若 A 是正交矩阵, x , y 是相互正交的两个 n 维列向量,则 A x , A y 也相互正交. 二、填空题 8 设矩阵 A =  1 2 3 2 1 0 − 1 2 1  , α = ( a , b ,1 ) T ,若 Aα 与 α 线性相关,则 a = _________ . 9 已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩为 2,且 α 1 + 2 α 2 + 3 α 3 = 0 , α 1 + 3 α 4 = 0 ,则该向量组中不 同 的极大无关组的个数是_________ .线代 · 3. 向量 三、解答题 10 设 第 33 页，共79页 A =  1 − 1 1 − 2 2 4 3 − 3 − 3  , ξ 1 =  1 − − 1 1  . (I) 求满足 A 2 2 1 , A 2 3 6 1     = = 的所有向量 2 , 3   ; (II) 对 (I) 中的任意向量 ξ 2 , ξ 3 ,证明 ξ ,ξ ,ξ 线性无关. 1 2 3 11 设 A 为 3 阶矩阵, α 1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 1,2 的特征向量,向量 α 3 满足 A α 3 = 2 α 1 + α 2 + 3 α 3 ,且 α 1 + α 2 + α 3  0 . (I) 证明 α 1 , α 2 , α 3 线性无关; (II) 令 P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,求P−1AP.线代 · 3. 向量 12 设 第 34 页，共79页 n 维列向量组 α 1 , , α s 是齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系, β 是 n 维非零列向量,向 量组β,β+α , ,β+α 线性相关.证明:β也是齐次线性方程组Ax=0的一个解. 1 s C 类 一、选择题 1 设 A 为3阶正交矩阵且 A 3 = E .已知 α , β 均为3维非零向量,且满足 α , A α 线性无关, α , A α , A 2 α 线性相关,βTα=βTAα=0.下列命题中,错误的是 ( ) (A) α , A 2 α 线性无关. (B) β , A β 线性无关. (C) α,Aα,β 线性无关. (D) β , A β , A 2 β 线性相关. 2 设 A 为2阶矩阵,α ,α 为2维列向量,其中α 0,Aα =−α ,Aα =α −α ,则下列向量组中, 1 2 1 1 1 2 1 2 线性相关的是 ( ) (A) α ,A899α . (B) α ,A899α −α . (C) α ,A900α . (D) α ,A900α −α . 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2线代 · 3. 向量 二、解答题 3 设α 为3阶矩阵A的属于特征值1的特征向量.3维列向量α ,α 满足Aα =−2α , 1 2 3 2 3 第 35 页，共79页 A α 3 = α 2 + 2 α 3 ,且 α 3  0 .证明: (I) α 1 , α 2 , α 3 线性无关; (II) A 3 − 3 A 2 + 4 A = 2 E .线代 · 4. 线性方程组 第四章 线性方程组 A 类 一、选择题 1 设矩阵 第 36 页，共79页 A =  1 1 2 1 3 4 a 3 + 1 2 a 2 a + 2  , b =  2 d d 2  ,则非齐次线性方程组 A x = b 无解的充分必要 条件为 ( ) (A) a = − 1 , d = − 1 或 d =2 . (B) a = 1 , d = − 1 或 d =2 . (C) a = − 1 , d  − 1 且 d  2 . (D) a = 1 , d  − 1 且 d  2 . 2 设 A 为3阶非零矩阵,下列命题中,是齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分条件的个数为( ) ① 非齐次线性方程组 A * x = b 有唯一解. ② 非齐次线性方程组 A * x = b 有无穷多解. ③ 非齐次线性方程组 A A T x = b 有唯一解. ④ 非齐次线性方程组 AATx=b 有无穷多解. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .线代 · 4. 线性方程组 3 设矩阵 第 37 页，共79页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ,非齐次线性方程组 A x = b 的通解为 x = k 1  1 0 1 0  + k 2  − 0 2 1 1  + 3   1  ,其中 2   0 k ,k 为任意常数,则下列说法中,错误的是 1 2 ( ) (A) b 必可由 α ,α 线性表示. (B) 1 2 b 必可由 α ,α 线性表示. 2 3 (C) b 必可由 α 1 , α 3 , α 4 线性表示. (D) b 必可由 α 2 , α 3 , α 4 线性表示. 4 已知 α 1 = ( 2 ,1 , 0 ) T , α 2 = ( 1 , 0 , − 1 ) T 是方程组  a x 2 x 1 1 − 1 x 1 + 2 − a 2 x 2 x 2 x + − 2 x x + 3 3 a = = x 3 3 b 2 3 , = b 1 , 的两个解,则该方程组 的通解为 ( ) (A) k ( 1 ,1 ,1 ) T + ( 2 ,1 , 0 ) T ,其中 k 为任意常数. (B) k ( − 1 ,1 ,1 ) T + ( 2 ,1 , 0 ) T ,其中 k 为任意常数. (C) k ( 1 , − 1 ,1 ) T + ( 1 , 0 , − 1 ) T ,其中 k 为任意常数. (D) k ( 1 ,1 , − 1 ) T + ( 1 , 0 , − 1 ) T ,其中 k 为任意常数.线代 · 4. 线性方程组 5 设 第 38 页，共79页 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系,则下列各组向量中,仍为 A x = 0 的基础解系的是 ( ) (A) α +α ,α +α ,α +α ,α +α . 1 2 2 3 3 4 4 1 (B) α 1 + α 2 + α 3 , α 2 + α 3 + α 4 , α 3 + α 4 + α 1 , α 4 + α 1 + α 2 . (C) α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 4 , α 4 − α 1 . (D) α 1 − 2 α 2 , 2 α 1 + α 3 , − 4 α 2 − α 4 , − α 3 + α 4 . 6 设空间中三个平面的方程分别为 a i1 x + a i2 y + a i3 z = b i , i = 1 , 2 , 3 ,这三个平面中有两个 平面 相互平行, 且与第三个平面相交. 记这三个平面方程所组成的线性方程组的系数矩阵和增广 矩阵分别为 A 和 A ,则 ( ) (A) r ( A ) = 2 , r ( A ) = 2 . (B) r ( A ) = 2 , r ( A ) = 3 . (C) r ( A ) = 1 , r ( A ) = 1 . (D) r ( A ) = 1 , r ( A ) = 2 . 7 设平面 S 1 : x + y + z = 1 , S 2 : 2 a x + ( a + b ) y + 2 b z = 2 , S 3 : a 2 x + a b y + b 2 z = 1 . 关于三平面的位 置关系,正确的是 ( ) (A) 不可能出现三平面重合. (B) 不可能出现恰有两平面重合. (C) 不可能出现三平面互异. (D) 以上说法均不正确.线代 · 4. 线性方程组 二、填空题 8 设 A 为 第 39 页，共79页 m  n 矩阵, B 为 n  m 矩阵. 已知 ABx=0 只有零解,则方程组 A x = 0 的 基础解 系中的向量个数为_________ . 9 已知方程组  x x − 1 1 x + + 1 2 ( + x a ( 2 2 a + + − 3 1 3 x + 3 ) x 2 ) x 2 4 + − x = 4 3 x + 3 3 x + 3 0 , ( a ( a + − 3 5 ) x 4 ) x 4 = = 0 , 0 的基础解系中恰有两个解向量,则 a = _________ . 10 设四元非齐次线性方程组 A x = b 的系数矩阵 A 的秩 r ( A ) = 3 ,且它的三个解向量α ,α , 1 2 α 3 满足 α 1 + 2 α 2 = ( 2 , 4 , 6 , − 2 ) T , α 1 + 2 α 3 = ( 0 , 2 , − 2 , 0 ) T ,则 A x = b 的通解为_________ .线代 · 4. 线性方程组 11 设 第 40 页，共79页 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0,且其伴随矩阵 A * 为非零矩阵,则 A x = 0 的通 解为_________ . 12 已知线性方程组  2 x x 1 1 + + a x x 3 2 = + 1 x , 3 = 0 与  x a 1 x + 1 + 2 x x 2 2 + = x 2 3 = 0 , 有公共解,则 a = _________ . 三、解答题 2 −1 1 1     13 设矩阵 A= 1 a 1 ,b= 1 .         0 a+2 a 1 (I) 当 a 为何值时,方程组 Ax=b 无解,有唯一解,有无穷多解? (II) 当方程组有无穷多解时, 求其通解.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 4. 线性方程组  1 2 1 3    14 设矩阵 A= 0 1 −1 −4 ,E 为 3 阶单位矩阵.     −1 2 0 6  (I) 求方程组 第 41 页，共79页 A x = 0 的一个基础解系; (II) 求满足 A B = E 的所有矩阵 B . 15 设矩阵 A =  1 a 2 0  , B =  1 0 b − 1  . (I) 当 a , b 满足什么条件时,存在矩阵 C 使得 AC−CA=B ; 1 (II) 进一步,若 A = ,求所有矩阵 2 C .线代 · 4. 线性方程组 16 已知 第 42 页，共79页 α 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , α 2 = ( 2 , 3 , 4 ,1 ) T 都是方程组 A x = b 的解, β = ( 3 , 4 ,1 , 2 ) T 是方程组 A x = 0 的 解,且r(A)=2.求Ax=b的通解. 17 已知 n  m 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , , α m ) 的秩为 m .若非零矩阵B的列向量组是线性方程组 A T x = 0 的一个基础解系,求线性方程组 B T y = 0 的通解. 18 已知齐次线性方程组(i)  x 2 x 1 x 1 + 1 + 2 + a x 3 x 2 x 2 + 2 + 3 + b x 5 x 3 x 3 = 3 = 0 = 0 , 0 , 和(ii)  x 2 1 x + 1 x + 2 b + 2 x c 2 x 3 + = ( c 0 + , 1 ) x 3 = 0 同解,求 a , b , c 的值.线代 · 4. 线性方程组 B 类 一、选择题 1 设 第 43 页，共79页 A 为 n(n2) 阶矩阵, B 为 n 阶可逆矩阵, b 为 n 维列向量,则下列命题中,错 误的是( ) (A) 若方程组 A x = b 有解,则方程组 A B x = b 有解. (B) 若方程组 A x = b 有解,则方程组 B A x = b 有解. (C) 若方程组 A x = 0 有非零解,则方程组 A B x = 0 有非零解. (D) 若方程组 A x = 0 有非零解,则方程组 B A x = 0 有非零解. 2 设 A 为n阶矩阵, E 为n阶单位矩阵,则下列条件中,为线性方程组(E−A)x=0只有零解的充 分条件的是( ) (A) ATA=E ,且 A = − 1 . (B) ATA=E ,且 A = 1 . (C) A T = − A . (D) 存在某 n 维列向量 α 使得 A = α α T . 3 设3阶实对称矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , α 1 − α 2 + α 3 = ( 1 , − 1 ,1 ) T , A 3 + ( a 5 − 1 ) A 2 + 2 a 3 A + a E = O ,且 tr(A)=1,则 A x = 0 的通解为 ( ) (A) k(1,1,0)T ,其中 k 为任意常数. (B) k(−1,0,1)T ,其中 k 为任意常数. (C) k(1,1,0)T +l(−1,0,1)T ,其中 k,l 为任意常数. (D) k ( 1 , − 1 ,1 ) T + l ( − 1 , 0 ,1 ) T ,其中 k,l 为任意常数.线代 · 4. 线性方程组 4 设矩阵 第 44 页，共79页 2 1 1 3 1 2 5 2 3 7 2 3   A =  + +  ,则下列条件中,不能使方程组 A x = 0 的任意两个解均线性相 关的是( ) (A) 2  = − . (B) 1  = − . (C) 0  = . (D) 1  = . 5 设3阶矩阵 A =  b − − 2 a 1 b − − − 1 a 2 1 a b − − − a 2 1  , α =  b a 1 − 1  , β =  a b + 2 + 1 1  均为Ax=b的解,则下列命题中, 错误的是( ) (A) b =  0 1 − 1  . (B) ( 0 , 0 , − 1 ) T 是 A x = b 的解. (C) 0 是 A 的一个特征值. (D) r ( A * ) = 0 . 3 1 −  2 2  1 6 设矩阵A= ,向量α满足Aα= +α,则下列向量中可能为A11α的是( ) 1 1  1   2 2   9 10 11 11 (A) . (B) . (C) . (D) .         11 11  9 10线代 · 4. 线性方程组 7 设 第 45 页，共79页 A 为 n ( n  3 ) 阶矩阵, A T x = 0 与 A * x = 0 有非零公共解,则( ) (A) r ( A * ) = n − 1 . (B) r ( A * )  n − 1 . (C) r ( A * ) = 1 . (D) r ( A * ) = 0 . 8 设 S i : a i x + b i y + c i z = d i , i = 1 , 2 , 3 , 4 为四张不同的平面,且均不过原点.直线 l1 为 S 1 , S 2 的交线, 直线l 为 2 S 3 , S 4 的交线.l 与l 相交于一点.记 1 2 α i = ( a i , b i , c i , d i ) T , i = 1 , 2 , 3 , 4 ,则下列命题中,正确 命题的个数为 ( ) ① α 1 , α 2 , α 3 , α 4 = 0 . ② r ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 . ③ 必存在非零向量 w 与 α ,α ,α ,α 均正交. 1 2 3 4 ④ 必不存在非零向量 w ,满足 w 与 α ,α ,α 均正交,但不与 α 正交. 1 2 3 4 (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 9 已知向量 α i = ( a i1 , a i2 , a i3 ) T , i = 1 , 2 , 3 , β = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T ,且有三张平面的方程为 a i2 y + a i3 z = b i , i = 1 , 2 , 3 a i1 x + ,另有一张平面的方程为 b 1 x + b 2 y + b 3 z = c ,其中c为参数.若 α 1 , α 2 , α 3 两两正交, 则下列关于四平面位置关系的说法中, 正确的是( ) (A) 不存在c,使得四平面相交于一点. (B) 存在唯一的c,使得四平面相交于一点. (C) 存在无穷多的c,使得四平面相交于一点. (D) 存在唯一的c,使得四平面相交于一条直线.线代 · 4. 线性方程组 二、填空题 10 已知函数 第 46 页，共79页 f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d 的图形过点 ( 1 ,1 ) , ( 2 ,1 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 3 1 ) ,则 f (x)= ________ . 11 若 3 阶矩阵 A 有三个特征值 0 , 3 , 5 , u , v , w 分别为属于 0 , 3 , 5 的一个特征向量,则线性 方程 组 A x = v + w 的通解为________ . 12 设 A = ( a ij ) 3  3 是正交矩阵,且 a =1,b=(0,1,0)T ,则线性方程组 22 A x = b 的解是 ________ .线代 · 4. 线性方程组 13 设3阶矩阵 第 47 页，共79页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) 满足 A α 1 = ( 1 , 0 ,1 ) T , A α 2 = ( 0 ,1 , 0 ) T , A α 3 = ( 0 , 0 , 0 ) T , α 3  0 ,则线 性方程组Ax=(1,1,1)T的通解为_____. 三、解答题 14 设矩阵 A =  1 1 0 1 0 − 1  . (I) 求所有满足 B A = E 的矩阵 B ,并求 A B 的特征值; (II) 在满足 B A = E 的基础上,找到一个矩阵 B ,使得AB有一个特征向量为β=(1,2,3)T. 15 设 4 维列向量 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 两两线性无关, α +2α +α =0 ,且 1 2 3 α 4 不能由 α ,α ,α 1 2 3 线性 表示. 记矩阵 A=(α ,α ,α ,α ) ,求非齐次线性方程组 Ax=α +α 的通解. 1 2 3 4 2 4线代 · 4. 线性方程组 16 设 3 阶矩阵 第 48 页，共79页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) 的列向量满足 α 3 = α 1 + 2 α 2 ,且存在非零列向量 v ,使得 (A+E)v0,(A+E)2 v=0. (I) 证明 r(A)=2 ; (II) 设 β=α +2α +3α ,求方程组 1 2 3 A x = β 的通解.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 第五章 矩阵的特征值与特征向量 A 类 一、选择题 1 下列矩阵中,与矩阵 第 49 页，共79页  1 0 0 0 1 0 1 2 2  相似的是 ( ) (A)  1 0 0 0 1 2 0 0 2  . (B)  1 0 2 1 1 0 0 0 2  . (C)  1 0 0 1 1 0 0 2 2  . (D)  1 2 1 0 1 1 1 2 2  . 二、填空题 2 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1,3,4 ,则 A * + 2 A − 9 E = ________ . a −1 0  3 设矩阵 A=  4 b 3  , A =−3 . 若 α=(1,1,−1)T 为     1 0 −a A * 的属于特征值  的一个特征 向量,则 =________ .线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 4 矩阵 第 50 页，共79页 A =  1 2 3 4 8 1 2 − − − 7 1 2 1 7  的最小特征值为________ . 5 已知矩阵 A 与 B 相似,其中 A =  2 − 2 1 1 x 2 1 2 2  , B =  8 y − 5 2 0 2 − 1 5 1 0 1 − 6  ,将矩阵 B 的特征值 记成 1 , 2 , 3    ,则 ( 1 2 3 ) 2 1 2 3     + + − = ________ . 1 0 0 1    0 1 t−2 2−t   6 设 4 阶矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量,且 0 t+3 1 −3−t    1 t2 t3 1   t  0 ,则 t= ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 7 设矩阵 第 51 页，共79页 B =  1 0 1 0 − 0 1 1 0 1  ,已知矩阵 A 与 B 相似,则秩 r ( E + A ) + r ( E − A ) = ________ . 8 设 α , β 为3维列向量, β T 为 β 的转置.若矩阵 α β T 相似于  1 1 1 1 1 1 1 1 1  ,则 β T α = ________ . 三、解答题 0 1 1 0 1 0     9 设矩阵 A= 1 0 1 ,P= 0 2 1 ,B=P−1A*P ,求 B+E 的特征值与特征向量,其中         1 1 0 1 0 3 A * 为 A 的伴随矩阵, E 为 3 阶单位矩阵.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 10 设矩阵 第 52 页，共79页 A =  3 21 21 2 1 a − 1 − − 1 2 1 21 2  ,已知方程组 A x = 0 有非零解. (I) 求 a 的值; (II) 求一个可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P 为对角矩阵. 11 设矩阵 A =  2 1 a 0 1 0 1 1 − 1  有一个二重特征值,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 12 设 第 53 页，共79页 A 为3阶实对称矩阵, A * 为 A 的伴随矩阵.已知 A =−12,tr(A)=1,且 ( 1 , 0 , − 2 ) T 是方程组 ( A * − 4 E ) x = 0 的一个解,其中 E 为3阶单位矩阵.求一个正交矩阵 Q ,使得 Q T A Q 为对角矩阵. 13设 A 为 3 阶实对称矩阵,其特征值为 2 , 2 ,  . 若 A = 4 ,且 ( 2 ,1 , 0 ) T , ( 0 ,1 , 2 ) T 为 A 的两个特征向量,求矩阵 A . 14 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1 , 2 0 , 3 2    = = = ,且 α 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T 是 A 的属于 1  的一个特征向量. 记 B=A2 −2A+2E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵. (I) 验证 α 1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; (II) 求矩阵 B .线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 15 证明矩阵 第 54 页，共79页  0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0  与  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2  相似. 16 设 A 为 2 阶矩阵, α 和 β 为 2 维列向量,且 Aα,Aβ 线性无关. 矩阵 P = ( α , β ) . (I) 证明: P 为可逆矩阵. (II) 若 A α = β , A β = 2 α ,求 P − 1 A P ,并判断 A 是否相似于对角矩阵.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 B 类 一、选择题 1 设 第 55 页，共79页 n ( n  3 ) 阶矩阵 A = E − k α α T ,其中 k  0 , α  0 .若 A 2 = E ,则下列命题中,错误的是( ) (A) n − tr ( A ) 为偶数. (B) A = − 1 . (C) A 可相似对角化. (D) A有 n − 1 个线性无关的属于特征值-1的特征向量. 2 设矩阵 A =  a 1 a 3 2 a 2 2 a 3 1 1 − − − 3 a 2 a  ,且 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x ,则下列命题中,错误的是 ( ) (A) r ( A ) = 2 . (B) A = 0 . (C) f ( A ) = O . (D) r ( A ) , A , f ( A ) 至少有一个与 a 的取值有关. 3 设 4 阶矩阵 A =  1 1 − 0 1 a 0 a 0 1 − 2 3 0 a − 2 a 2  的四个特征值都为正,且恰有两个不同的特征值,其中一 个特征值为 2 , 则下列结论中, 正确的个数为 ( ) ① A = 4 a . ② 2 是 A 的单特征值. ③ A 可相似对角化. ④ a 的值无法确定. (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 4 设 第 56 页，共79页 A 为3阶非零矩阵, A 的特征多项式为 f ( )  .下列命题中,错误的是( ) (A) 若 f ( 1 ) = 0 ,则方程组 A 2 x = x 有非零解. (B) 若 f (1)=0 ,则方程组 A2x=Ax 有非零解. (C) 若方程组 A 3 x = x 对所有 3 维列向量 x 均成立,则 f ( 1 ) = 0 . (D) 若方程组 A 3 x = A x 对所有 3 维列向量 x 均成立,则 f ( 1 ) = 0 . 5 下列关于实对称矩阵的命题中, 正确的是( ) (A) 存在实对称矩阵 A ,使得 tr ( A 2 )  0 . (B) 存在实对称矩阵 A ,使得 A 2 + E 不可逆. (C) 不存在实对称矩阵 A ,使得 A2 =A ,但 tr(A)r(A) . (D) 以上说法均不正确. 6 设 A 为3阶实矩阵,并且满足 A 4 = E ,其中 E 为3阶单位矩阵,则下列结论中,正确的是( ) (A) 必有 A 2 = E . (B) 必有 A 2 = − E . (C) 若 A 相似于对角矩阵,则 tr(A) 必为奇数. (D) 若 A 不相似于对角矩阵,则 tr(A) 必为偶数.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 二、填空题 7 设A为 3 阶矩阵,α ,α ,α 为线性无关的向量组.若Aα =α +α ,Aα =α +α ,Aα = α +α , 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2 则 A =_________ . 8 设 3 阶实对称矩阵 第 57 页，共79页 A 仅有两个不同的特征值 ,  ,且 A * =  1 a b 1 1 c 1 1 d  ,则 2 2   + = _________ . 9 设 A 为 3 阶实对称矩阵,特征值为 1 , 2 , 3 , α = ( 1 , − 1 , 0 ) T , β = (1 ,1 , − 2 ) T 分别为 A 的属于特 征值 1 和 2 的特征向量,则 A 的第一行元素之和为_________ .线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 10 设 第 58 页，共79页 A , B , C 均为 3 阶矩阵,满足 AB=−2B,CAT =2C ,其中 B =  1 − 2 1 2 1 − 1 3 0 1  , C =  1 − 2 1 − 2 4 − 2 1 − 2 1  . (I) 求矩阵 A ; (II) 证明: 对于任意的 3 维列向量 x 0 , A 1 0 0 x 0 与 x 0 必线性相关.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 11 设3阶矩阵 第 59 页，共79页 A 有三个不同的特征值 0 ,1 , 2 , α 1 , α 2 , α 3 分别为属于 0 ,1 , 2 的一个特征向量.记 β=α +α +α . 1 2 3 (I) 证明 β , A β , A 2 β 线性无关; (II) 确定 a , b , c ,使得矩阵 B =  0 1 0 0 0 1 a b c  与矩阵 A 相似,并求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B , 并将结果用 A , β 表示; (III) 求 B 9 0 0 的各列元素之和.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 12 设 第 60 页，共79页 u , v , w 是三个 3 维列向量,其中 u , v 线性无关. 3 阶矩阵 A 满足 Au=v,Av=u,Aw= u + v + w . (I) 证明: u + v , w , u − v 线性无关. (II) 求 r ( A 5 0 − E ) . 13 设 A 为 3 阶实对称矩阵, α =  1 0 1  为属于特征值 3 的一个特征向量. (I) 若 A 满足 r(3E−A)1 ,且 A2−4A+3E=O ,求 A . (II) A 为第(I)问中所求矩阵, B =  3 0 0 0 1 0 0 1 1  .是否存在可逆矩阵P为矩阵方程 = O A X − X B 的解?若存在,求P,若不存在,说明理由.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 14 设 第 61 页，共79页 α 1 , α 2 , α 3 是两两正交的 4 维单位列向量组, β 1 = 1 3 α 1 + 2 3 α 2 − 2 3 α 3 , β 2 = 2 3 α 1 − 2 3 α 2 1 2 1 2 − α ,β = α + α + α . 3 3 3 3 1 3 2 3 3 (I) 证明 β 1 , β 2 , β 3 也是两两正交的单位列向量组. (II) 记矩阵 B=(β ,β ,β ) ,证明方程组 BTx=0 有非零解. 1 2 3 (III) 设单位列向量 β 4 为方程组 B T x = 0 的一个非零解,且 C β i = ( − 1 ) iβ i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,证明 C 为实对称矩阵.线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 C 类 一、选择题 1 若矩阵 第 62 页，共79页 A , B 为 n 阶正交矩阵,则下列命题中,正确命题的个数为 ( ) ① A =  1 . ② 若 A 存在实特征值,则必为  1 . ③ A B 也是正交矩阵. ④ 若 A = − B ,则 A + B 必不可逆. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 二、填空题 2 设 3 阶矩阵 A = ( a ij ) 满足各行元素之和均为 2,且 A = 1 2 . 若矩阵 B ( t ) = ( a ij + t ) ,则 B ( 1 ) = ________ .线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 3 设 3 阶矩阵 第 63 页，共79页 A = ( a ij ) 满足 A 的各列元素之和均为 1 . (I) 若  为各分量之和为 1 的 3 维列向量,求 A 的各分量之和. (II) 若 k 为任意正整数,证明: A k 的各列元素之和均为 1,且 1 为 A k 的一个特征值. (III) 记 α=(1,1,1)T ,若 β 为 A k 的属于特征值 (1) 的特征向量,求 α T β . 4 设 A 为 3 阶实对称矩阵, B 为可相似对角化的 3 阶正交矩阵,满足 A = B , r(E+B)=r(2E−A)=1. (I) 求 A 的所有特征值; (II) 若 A , B 所有的公共特征向量均与 (0,1,1)T 线性相关,且 (1,1,−1)T 与 (0,1,1)T 为 A 的属于不同特征值的特征向量,求 A .线代 · 6. 二次型 第六章 二次型 A 类 一、选择题 1 设 第 64 页，共79页 α , β 均为 3 维列向量,二次型 f = x T α β T x ,则下列关于 f 的秩的说法中,正确的个数 为( ) ① 可能为 0 . ② 可能为 1 . ③ 可能为 2. ④ 可能为 3 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3. (D) 4. 2 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = P y 下的标准形为 y 21 − 2 y 22 + 3 y 23 ,其中P=(e ,e ,e ).若 1 2 3 Q = ( e 2 , e 1 , − e 3 ) ,则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Q y 下的标准形为 ( ) (A) − 2 y 21 + y 22 + 3 y 23 . (B) − 2 y 21 + y 22 − 3 y 23 . (C) y 21 − 2 y 22 + 3 y 23 . (D) 2 y 21 + y 22 + 3 y 23 . 3 已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x T A x 的正惯性指数为 2,其中 A 为实对称矩阵, r ( A ) = 3 , 且 A 3 + 2 A 2 − 8 A = O ,则 ( ) (A) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 在正交变换下的标准形为 4y2 +2y2 −2y2 . 1 2 3 (B) f (x ,x ,x ,x ) 在正交变换下的标准形为 1 2 3 4 4 y 21 + 4 y 22 − 2 y 23 . (C) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 的规范形为 y 21 + y 22 + y 23 . (D) f (x ,x ,x ,x ) 的规范形为 y2 + y2 −y2 . 1 2 3 4 1 2 3线代 · 6. 二次型 4 二次型 第 65 页，共79页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + 2 x 2 ) 2 + ( 2 x 3 − 3 x 2 ) 2 − ( x 1 − x 2 + 2 x 3 ) 2 的正惯性指数与负惯性指数 依次为 ( ) (A) 2,0 . (B) 1,1. (C) 2,1. (D) 1,2 5 已知 a0 ,二次型 f (x,x ,x )=−7x2+2x2−4x2−2axx +20xx +8ax x 的正惯性指数 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 与负惯性指数相同,则 f 所对应矩阵的最大特征值为 ( ) (A) 3 . (B) 6 . (C) 9 . (D) 12. 6 设 A , B 为 n 阶正定矩阵, P 为 n 阶可逆矩阵,则下列矩阵中,不一定是正定矩阵的是 ( ) (A) A*+B* . (B) ( A + B ) * . (C) PTAP+B . (D) PTAP−B .线代 · 6. 二次型 7 设 第 66 页，共79页 n ( n  3 ) 1 a a a   a 1 a a   阶正定矩阵 A=  ,则   a a 1 a     a a a 1 a 不可能为 ( ) (A) n 1 − 1 . (B) 1 n . (C) − n 1 − 1 . (D) − 1 n . 8 现有两个命题: ① A * 对称当且仅当 A 对称; ② A* 正定当且仅当 A 正定. 下列说法 中,正确的是( ) (A) ①, ② 均正确. (B) ① 正确, ② 错误. (C) ① 错误, ② 正确. (D) ①, ② 均错误. 1 1 1 0 0 1 1 0 0       9 设矩阵 A= 1 1 1 ,B= 0 0 2 ,C= 0 0 0 ,则必有 ( )             1 1 1 0 0 3 0 0 0 (A) A 与 B 相似, A 与 C 合同. (B) A 与 B 相似, B 与 C 合同. (C) A 与 C 相似, A 与 B 不合同. (D) A 与 C 不相似, A 与 C 不合同.线代 · 6. 二次型 10 设二次型 第 67 页，共79页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 b x 1 x 3 经可逆线性变换 x = P y 可化为二次型 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = − y 21 − 3 y 22 + 3 y 23 + 8 y 2 y 3 ,则参数 a,b 的取值范围为 ( ) (A) a0,−1b1 . (B) a0,−1b1 . (C) a  0 , b   1 或 b  − 1 . (D) a  0 , b  1 或 b  − 1 . 11 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 + 2 x 23 + 2 a x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 .若二次曲面 f (x ,x ,x )=1上的点到坐 1 2 3 标原点的距离有最大值,则 a 可能为 ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 12 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 23 − 2 x 1 x 2 + 2 a x 1 x 3 + 2 a 2 x 2 x 3 ,则二次曲面 f (x ,x ,x )=1在可逆 1 2 3 线性变换下不可能化为 ( ) (A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C) 椭圆柱面. (D) 双曲柱面.线代 · 6. 二次型 二、填空题 13 设二次型 第 68 页，共79页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 1 + x 3 ) 2 + ( x 2 + a x 3 ) 2 ,当a= 时, f 的秩最小. 14 设 A 为二次型 f ( x 1 , x 2 ) 对应的对称矩阵,且 A 的各列元素之和均为 1, A =0 ,则 f ( x 1 , x 2 ) 在正交变换下的标准形为____. 15 设 a  0 ,则二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 a x 1 x 3 的负惯性指数为_______ .线代 · 6. 二次型 16 设二次型 第 69 页，共79页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 x 1 x 2 + 2 a x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 的正、负惯性指数相同,则 a = ________ . 17 若二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 x 22 + 2 x 23 + 4 tx 1 x 2 + 2 x 1 x 3 是正定的,则 t 的取值范围是_____ 三、解答题 18 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A 为实对称矩阵. 已知 A 的各行元素之和均为 4, 且存在 3 维非零列向量 α , β ,使得 A = E + α β T . (I) 求 A 的特征值与特征向量; (II) 求正交变换 x = Q y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形.线代 · 6. 二次型 19 已知矩阵 第 70 页，共79页 A =  1 a 0 1 1 − 1 b 1 0 0 1 − 1  ,二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A T A x 的秩为 2 . (I) 求 a , b 的值; (II) 求正交变换 x = Q y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形. 20 已知矩阵 A =  1 − 2 1 − 2 1 1 1 1 0  , B = A 2 − k A + ( k 2 − 2 k − 1 ) E .若B为正定矩阵,求参数k的取 值范围.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取线代 · 6. 二次型 21 记 第 71 页，共79页 n 元二次型 f ( x 1 , x 2 , , x n ) = n i= 1 ( x i − x ) 2 , x = x 1 + x 2 + n + x n ,其对应的矩阵为 A . (I) 求 r ( A ) ; (II) 当n=3时,找到一个可逆线性变换,将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形 2 y 21 + 3 2 y 22 ; (III) f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 为第 (II) 问中的 3 元二次型,说明 f ( x ) = 0 的解构成 3 维向量空间 的 一个子空间, 并指出其维数. B 类 一、选择题 1 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + a x 3 ) 2 + ( x 1 + x 2 ) 2 −  x 1 + ( a + 2 ) x 2 − 2 x 3  2 的负惯性指数为 0, 则 a=( ) (A) 1 . (B) -1 . (C) 2. (D) -2 .线代 · 6. 二次型 2 设 第 72 页，共79页 A 为 n 阶正定矩阵,特征值为 n n 1 1 1 , Q     −    为正交矩阵,则下列命题中,正确命题 的个数是( ) ① A + Q T A − 1 Q 是正定矩阵. ② A + Q T A − 1 Q 的最小特征值为 1 1 1   + . ③ A+QTA−1Q 的最大特征值为 n 1 n   + . ④ 若 α 为 A 的特征向量,则 Q T α 为 Q T A − 1 Q 的特征向量. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3. (D) 4 . 3 设 A 为 n 阶实矩阵, A  A T , B =  A E T A O  ,则下列矩阵中,可能与B合同的是 ( ) (A)  E O n O E n  . (B)  E O n − O E n  . E O  p (C)   ,其中  O −E   q p  q E O  p . (D)   ,其中  O −E   q p  q .线代 · 6. 二次型 4 设 第 73 页，共79页 A , B 均为 2 阶实对称矩阵,则下列条件中,不是 A B = B A 的充分条件的是 ( ) (A) A B 与 B A 相似. (B) A 2 − A B 与 E 相似. (C) A 2 − A B 与 E 合同. (D) 存在正交矩阵 Q ,使得 Q T A Q , Q T B Q 均为对角矩阵. 5 设二次曲面 x 2 + a y 2 + z 2 + 2 b x z = 1 x u      经可逆线性变换 y =P v 可化为双叶双曲面,则参         z w 数 a,b 的取值范围为 ( ) (A) a  0 , − 1  b  1 . (B) a  0 , − 1  b  1 . (C) a0,b1 或 b  − 1 . (D) a0,b1 或 b−1 .线代 · 6. 二次型 6 设二次型 f (x,y,z)=(x−y)2 +(y−z)2 +(z−x)2,其对应的对称矩阵为A.在自然基 第 74 页，共79页 e 1 , e 2 , e 3 下,二次曲面S的曲面方程为 f (x,y,z)=3.该曲面方程在正交变换  x y z  = Q  u v w  下化为u2 + 1 2 v 2 3 w 2 3   + = ,其中 1 2 3      .该变换将 e 1 , e 2 , e 3 分别变为 α 1 , α 2 , α 3 .下列命题中,正确的是 ( ) (A) ( e 1 , e 2 , e 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) Q . (B) S 为柱面,在原坐标系下, S 的母线的单位方向向量坐标为 1 2 ( − 1 ,1 , 0 ) T . (C) S 为柱面,在原坐标系下, S 的母线的单位方向向量坐标为 1 2 ( − 1 , 0 ,1 ) T . (D) S 为柱面,在原坐标系下, S 的母线的单位方向向量坐标为 1 3 ( 1 ,1 ,1 ) T . 二、填空题 7 已知矩阵 A =  a 1 1 a  ,正定矩阵 C 满足 C2 =(a+2)E−A ,则 C 的所有元素之和为 _________ .线代 · 6. 二次型 8 设二次型 第 75 页，共79页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 + x 23 + 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 ,记 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,则在 x T x = 1 的 条件下, f (x ,x ,x ) 的最大值为_________ . 1 2 3 三、解答题 9 设二次型 f ( x 1 , x 2 ) = a x 21 − 4 x 1 x 2 + x 22 经过正交变换  x x 1 2  = Q  y y 1 2  化为二次型g(y ,y )= 1 2 b y 21 + 4 y 1 y 2 + 4 y 22 . (I) 求 a,b 的值; (II) 求正交矩阵 Q .线代 · 6. 二次型 10 设二次型 第 76 页，共79页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 4 a x 2 x 3 经过可逆线性变换  x x x 1 2 3  = P  y y y 1 2 3  化为二次型 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = y 21 + y 22 + 2 y 23 + 2 y 1 y 2 + 2 y 1 y 3 + 2 y 2 y 3 . (I) 求 a 的值; (II) 求可逆矩阵 P . 11 设 A 为 m 阶实对称矩阵, B = ( β 1 , β 2 , , β n ) 为 m  n 矩阵. 若 B T A B 是正定矩阵, 其中 B T 是 B 的转置,证明: (I) m  n ; (II) 若存在 m 维非零列向量 ξ ,使得 ξ T A ξ = 0 ,则 r ( B )  r ( B , ξ ) .线代 · 6. 二次型 12 设实对称矩阵 第 77 页，共79页 A 满足 r ( A − E ) = 1 ,二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 在正交变换 x = Q y 下化为标准 形.已知 f ( 1 , 0 , − 1 ) = 0 ,且对任意 ( x 1 , x 2 , x 3 ) , f ( x 1 , x 2 , x 3 )  0 . (I) 求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的规范形; (II) 求矩阵 A ,并证明对于任意正数 a,A+aE 均为正定矩阵. 13 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + a x 2 − 2 x 3 ) 2 + ( 2 x 2 + 3 x 3 ) 2 +  x 1 + ( a + 2 ) x 2 + a x 3  2 ,且 a  1 .记 A 为该二次型对应的对称矩阵.已知 α 1 , α 2 , α 3 为3维非零列向量,且满足 ( i  j ) α Ti ( A * + A − 1 ) α j = 0 .证明: α 1 , α 2 , α 3 线性无关.线代 · 6. 二次型 14 设矩阵 第 78 页，共79页 A 为二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 对应的实对称矩阵,满足 r ( E + A ) = 1 .若当 x 22 + x 23 = 1 x 21 + 时, f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的最大值为2,且 f ( 1 , − 1 ,1 ) = 6 ,求矩阵 A . 15 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 )  ( a 1 − b 1 ) x 1 + ( a 2 − b 2 ) x 2 + ( a 3 − b 3 ) x 3  ,记 α = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T , β = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T , α , β 为相互正交的单位向量. (I) 求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 对应的对称矩阵 A ; (II) 证明: 二次曲面方程 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 必可经可逆线性变换化为双曲柱面方程.线代 · 6. 二次型 C 类 一、选择题 1若矩阵 A,B 均为 第 79 页，共79页 n 阶正定矩阵,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① 若 A−B 正定,则 tr(A)tr(B) . ② 若 tr(A)tr(B) ,则 A−B 正定. ③ 若 A B 为正定矩阵,则 AB=BA . ④ 若 AB=BA ,则 A B 为正定矩阵. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 2 设 A 为 n 阶实矩阵, A  A T , B =  E A T A O  ,则 ( ) (A) 不存在非零向量 α ,使得 α T A α = 0 . (B) 不存在非零向量 α ,使得 α T B α = 0 . (C) 若对任意 y  0 ,都有 y T A T A y  0 ,则 B 的正惯性指数大于 n . (D) 若非零向量 α , β 满足 A T α = α , A β = − β ,则 ( α T , β T ) B  α β   0 .线代 · 6. 二次型 二、解答题 3 设二次型 第 80 页，共79页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A 为实对称矩阵,且 A 2 − 2 A − 3 E = O . 若 f 的 正惯性 指数为 2,且 f (1,1,1)=−3 ,求 f (1,2,−3) . 4 设 D =  Q A T Q A  为正定矩阵,其中 A 为 n 阶正定矩阵,特征值依次为 0 1 n      , Q 为 n 阶正交矩阵. (I) 证明: A−QTA−1Q 为正定矩阵; (II) 又若 ( 1 , , n ) , ( 1 1 , , n n )   Q = α α A Q = α α ,证明: A  1 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取