数 二
P r o j e c t P l a n n i n g P a p e r
1第一讲函数极限与连续
2345公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取678910公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第二讲数列极限
111213141516第四讲一元函数微分学的计算
P103 例 4.1 设函数 f(x)可导且满足
2 ' 2 1
则 ⁽ ⁿ ⁾
= , 1 = 3,
0 = .
ⁿ ⁿ ⁻
−1 ⁿ ! −1 ⁿ ⁻ ¹ !
−2 ! −2 ¹ !
P104 例 4.2(1)设 求
1
(2)设 求 = 1− , ;
2
= 1− , .
P104例4.3设 则 ⁽ ⁿ ⁾
2
−
= +1 , −1 =
17P105例4.4设 求.y(n).
= ² ,
P105例4.5 设 ⁿ 则 ⁽ ⁿ ⁾
= ³−1 , 1 =
P108例4.11已知函数 则 ⁽ ⁾
sin sin
= 2+cos sin , 10 2 =.
18第五讲一元函数微分学的应用(一)——几何应用
P115例5.1曲线 在点(0，0)处的切线方程为 .
1− 2
−
= 0 ,
2 2
= ln 2−
P115例5.2已知曲线 在点(1，1)处的切线与x轴
2
2− = 1
的交点为( xn,0),n=2,3,……,则
∞ 2
2
lim → = ¯ .
P116 例 5.3 设 f(x)有连续的一阶导数,且. 求极限
'
其中u是曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在x轴上的截距.
0 =0, 0 =1.
lim →0 ,
19P117 例 5.4 设函数 ˣ若 f(x)没有极值点，但曲线 有拐
点，则a的取值范围是 ( )=. ²+ , =
(A)[0,1) (B)[1,+∞) (C)[1,2) ∞
2+
P118 例 5.5(仅数学一、数学二)已知曲线 在点(0，1)处的曲率圆方
程为 且当 时，二阶可 =导 函 数f(x)与 的差
为 −则1(²)+ ² = 2, →0 + + ²
² ,
3
= 0, = 1, = 2 = 1, = 0, = 1
= 1, = 1, =−1 = 1, = 0, =−1
P118例5.6证明:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上严格单调递
增的充分必要条件是 )且f'(x)在[a，b]的任意子区间上不恒为零.
'
≥ 0
20公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取P120例5.9设函数f(x)在x=x₀ 处有二阶导数,则( ). ₀
=
(A)当f(x)在x₀ 的某邻域内单调增加时， ₀ ₀
'
> 0
(B)当 ₀ 时，f(x)在x₀ 的某邻域内单调增加 ₀
'
> 0
(C)当曲线f(x)在x₀ 的某邻域内是凹的时， ₀ ₀
'
' > 0
(D)当 ₀ 时，曲线f(x)在x₀ 的某邻域内是凹的 ₀
'
' > 0
P121 例 5.10 设 在拐点处的法线经过
原点，则 k 的取值范围为( ).
= ² − 3 ² ≠ 0
1 1
(C){-1,1}
−14 2 −4 21
1 1
−4 24 2
21P122例5.14 曲线 3 的斜渐近线方程为 .
1+ 2
=
P122例5.15求曲线 的斜渐近线方程.
1+
= 1+ 0)
P123例5.16设函数f(x)在( ∞ ∞内连续，且满足
−
− + 0 − = −
则曲线 有斜渐近线 .
2
4 −1, =
22第六讲一元函数微分学的应用(二)—中值定理、微分
等式与微分
不等式
P136例6.1已知函数f(x)在[a,b]上具有二阶导数,. 证明：
= =0,
(1)存在ξ∈(a,b),使得
'
+ =0;
(2)当 时，存在 ，使得
' '
> 0 ∈ ,
' ' '
' = 0, ' +2 + = 0.
P138 例 6.2 已知函数 f(x)和 g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
'
证明：
≠ 0,
存在 使得
'
−
'
∈ , − = .
23P139例6.3设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
1
1−
1 = 0
，证明至少存在一点。 使得 ⁻
'
1), ∈ 01 , = 1− ¹ .
P140 例 6.6 证明:若 f(x)连续且满足 则存在
2
0 cos = 0, ∈ 02 ,
使得
=0.
P140例6.7设函数f(x)在[0,π]上连续,且 证明：
0 = 0, 0 cos = 0.
在(0，π)内至少存在两个不同的点。 ₁ ₂ 使得 ₁ ₂
, , = =0.
P141例6.8设函数f(x)在( ∞ ∞上具有一阶导数， ∞证明：对任
∞
− + lim → | | =+ .
意a，存在 ∞ ∞ 使
'
∈ − + , = .
24P141例6.9设函数 f(x)在[0,1]上二阶可导,.
,且f(x)在(0,1)内取得最大值
0 =0,
2，在(0，1)内取得最小值，证明：
(1)存在 使得
'
∈ 01 , > 2;
(2)存在η∈(0,1),使得.
'
' <−4.
P142例6.10设函数f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且
证明：
' '
= =0, >0,
(1)存在 ，使得
∈ , =0;
(2)存在 ，使得
' '
∈ , ' = ;
(3)存在 使得
'
∈ , ' = .
P143 例 6.12(1)设 f(x)在[a,b]上可导,若 ₊ ₋ 证明：对于任意的介于
' '
₊ 与 ₋ 之间的μ，存在 使 得 ≠ ,
' ' '
∈ , = ;
25(2)若f(x)在( ∞ ∞)上具有二阶导数，证明：对任意的( 都存在
− + < < , ∈ ,
使得
1 ' '
− − + − − + − − = 2 .
P144例6.13设函数 f(x)在[0,1]上可导, 且 证明：存在
使 0 =0, 1 =1, ≠ ,
'
∈ 01 . > 1.
P145例6.14已知函数f(x)在| ₀ ₀ 上连续，在( ₀ ₀ 内可导，
+ + >0,
证明：若 则 ₊ ₀
+ ' '
lim → 0 = , = .
26P146 例6.15设函数f(x)在( ∞ ∞上连续，且 证明：
− + = 0 . =0.
P146 例 6.16 设函数 f(x)在区间[a,b]上满足:对任意 x, 有
其中 1是常数.证明:f(x)在[a,b]上恒 为∈常 数 ., | − |≤
| − | , >0, >1
P146例6.17设函数f(x)在| ∞上连续.对任意的( 求证：
0+ >0,
1 0 0 = 0 − ;
1 2
2 0 0 = 2 0 .
P147例6.18(1)若函数f(x)在( ∞上可导，且 求极限 (2)若函数f(x)
∞ ∞
'
+ lim →+ = , lim →+ ;
27在( ∞上可导，且 ∞证明 ∞
∞ ∞
'
+ lim →+ =+ , lim →+ =+ .
P147 例6.19已知函数f(x)在( ∞ 上可导，且
∞
'
− 0 lim →− = >0,
证明 ∞
∞
lim →− =− .
P148例6.20已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且. ，证明：
存在 使得 其中 0 = 1 =0,
'
∈ 01 , | |≥ 2 , = | |.
P149 例6.22 设f(x)在[a,b]上连续,且. 证明存在 使得
>0, >0, ∈ ,
2 2
− 2
=
281+
3
2 −1−
−3
2
P151例6.24求极限 lim →0 tan 2
P151例6.25已知 则(a,b,c)= .
1
1+ 3 − +
lim →0 sin 2 = ≠0,
P152例6.26已知 则
arctan 2
− + +
lim →0 2 ln 1+ = ≠ 0, =.
P154 例6.27 设函数 f(x)在[0,1]上二阶可导,. 且
'
证明： 0 = 1 , | ' |≤ 2,
'
| |≤ 1, ∈ 01 .
29P155例6.28设函数f(x)在[a,b]上有二阶导数,且 ₊ ₋
' '
= =0.
P155例6.29设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且
证明：
' 1 2
| ' |≥ 1, = =0. max | | ≥8 − .
P156例6.30设函数f(x)在( ∞ ∞内具有二阶导数，若对任意的 都有
− + ∈ ,
证明：
' '
| |≤ 1,| ' |≤ 1, | |≤ 2.
30公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取P156 例 6.31 设函数 f(x)在[0,1]上存在二阶导数,且对于任意
若f(x)在区间(0，1)内取到最大值.证明： ∈
' ' '
01 ,| ' |≤ 1. | 0 |+| 1 | ≤ 1.
P157 例 6.32 设函数 f(x)在| ∞内具有三阶导数.若 lim f(x)
0+
存 在 , 证 明 ：
∞ ∞
' '
lim →+ ' =0, lim →+ =
∞
'
0,lim →+ ' =0.
P157 例6.33 设函数 f(x)具有二阶连续导数, 若 以 5为极
ₙ
'
=0, ≠ 0.
限，以 x₀ 为首项且满足 证明： 收敛
−1 − −1
= −1 − ' −1 , = 1,2,3,⋯, −1− −2 2
于
'
−2 .
P158例6.34设函数f(x)在闭区间[1,3]上具有三阶导数,且
31证明：存在 使得
2 2
' '
1 = 1 +1 , 2 = 0. ∈ 13 , ' = 0.
P160例6.36设函数f(x)在[a,b]上连续,对任意的. 总存在
使得 证明：至少存在一点 使得
∈ , ∈ ,
1
| |≤ 2| | ∈ , =0.
P161例6.37设f(x)在[a,b]上可导,且. 又当 时，
有 ,则f(x)在[a,b]上的零 点 个 数 为<0, . ∈
'
>− ,
P161例6.38设 其中x>a>0.
= 1− ,
(1)求f(x)的水平渐近线;
32(2)证明 ᵃ
<1.
P164例6.39证明:
3
2 −1 −1
ln − +1 ≤ 4 ≥ 1 .
P165例6.40已知函数f(x)在区间 ∞上具有二阶导数，
+
设 曲线 在点(b,f(b))处的切线与 x
' '
轴 的 交=点0是, ( (x₀>,00, ). 证明>0:. >₀ , =
< < .
33P165 例 6.41 设 x∈(0,1),证明下面不等式:
1 1+ ² 1+ < ²;
1 1 1 1
2 ln2−1 < ln 1+ − < 2.
P168 例 6.42 若方程 ˣ ⁻ ˣ 在区间(0，1)内有且
仅有两个不同的实根，求 k 的取值范围.
1 − ¹ =
34P168例6.43求方程 不同实根的个数，其中k为参数.
1
+2 − = 0
P169 例6.44已知常数 证明：
≥ 2−1. −1 − ² +2 −1 ≥ 0.
35确定.
P170例6.45设函数y=y(x)由参数方程
1 3 1
= 3 + +3,
1 3 1
= 3 − +3
(1)求y(x)的极值;
(2)若 且 恰有一个零点，求常数k的取值范围.
= ,
=
= + ,
P172 例6.46 设函数 f(x)在[0,1]上二阶可导,
0 = 1 =0,min ∈ =−1,
01
证明：存在 使
'
∈ 01 ' ≥ 8.
36P173例6.47设函数f(x)在区间
上具有三阶连续导数，且
−11
证明：在区间( 内至少存在一点ξ，使. ᵐ
'
−1 =0, 1 =1, 0 =0. −11 =3.
P174例6.48设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶连续导数,且.
证明：存在 使得 0 =0, 1 =1,
1 2 '
0 = 3, ∈ 01 , ' =−2.
37P177例6.49设函数f(x)可导,则任给( 均有
是f(x)为直
1 +
< ,
线的( ). − = 2
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
P178例6.50设f(x)在 上具有三阶连续导数，证明：存在。
使 − ∈ − ,
'
' − − 2 0
3 2
3 = − .
38第七讲一元函数微分学的应用 (三) ——物理应用与经济
应用
P181 例7.1如图所示，长度为 am的绳子通过一个定滑轮P将A，B两辆小车连接在一起.
滑轮到地面的垂足是Q .在某个时刻t₀ ，小车A在距离Q点5m处以：
的速度远离Q点，若此时,|小 车|=B1的2速 .度为2m/s，求a的值. 2 /
182例7.2个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数.
假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为n的雪堆在开始融化的3小时 内>，0.
融化了其体积的 问雪堆全部融化需要多少小时?
7
8,
P182 例 7.3 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化
39率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为 的物体在
恒温介质中冷却, 30 min后该物体温度降至 ，若要将该12物0° 体的温度继续20降°
至 ，还需冷却多长时间? 30°
21° ,
40公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取41第八讲一元函数积分学的概念与性质
P191例8.1 求极限
∞
1
lim → +1 +2 ⋯ + −1 .
P192例8.2设 且φ(x)≥0,则
= ², =− ²+2 +3
∞
1 2 1
lim → 3 ∑ =1 − ⋅ + =
1 1 1 2
12 6 3 3
42P193例
∞
2 2 2 2 2 2
3.3lim → +1+ +1+1+ +1+2 +⋯+ +1+ −1 = ¯ .
P193例8.4设a∈(0,1),则
∞
lim → ∑ =1 + sin = ¯ .
(A)a- cosa (B)a- sina (C)1- cosl (D)1- sinl
P194例8.5 设 ℎ ∞ 连
1 2 −1
lim → 1+cos +cos +⋯+cos , >0,
=
续，则a= · − , =0
43P194例8.6求极限
∞
2
lim → ∑ =14 cos 4 .
P195例8.7 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,则
1
0 = .
∞ ∞
2 −1 1 2 −1 1
lim → ∑ =1 2 lim → ∑ =1 2 2
∞ ∞
2 −1 1 2 2
lim → ∑ =1 2 lim → ∑ =1 2
P195例8.8求极限
∞ 2 2 2
1 +3 +⋯+ 2 −1
3
lim → .
P200例8.9设常数p>0,q>0,若 收敛,则( ).
1 ln
0 1−
(A)0<p<1,1<q<2 (B) p>1,1<q<2
(C)0<p<1,0<q<1 (D) p>1,0<q<1
44P201例8.10设p为常数,若 收敛,则( ).
1
−1
0 1− ln
(A) p<-1 (B)-1<p<0 (C)0<p<1 (D) p>1
45第九讲一元函数积分学的计算
P223例9.22已知 求
1
= − ², −3 .
P224例9.23设 由方程 所确定，求
= ³+ −1= 0 ² .
P228 例9.29 函数 的一个原函数为( ).
1
1+ 2, ≤ 0,
=
+1 cos , >0
2
ln 1+ − , ≤ 0,
= =
+1 cos −sin , > 0
2
ln 1+ − +1, ≤ 0,
+1 cos −sin , > 0
2
ln 1+ + , ≤ 0,
= =
+1 sin +cos , > 0
2
ln 1+ + +1, ≤ 0,
+1 sin +cos , > 0 46P229例9.30设 则
−
2
, ≥ 0,
= 2 −2 −1 = ¯ .
1+ , <0,
P229 例 9.31 设 求函数
3 2
2 +2 −1 ≤ <0,
= =
2
的表达式. +1 , 0 ≤ ≤ 1,
−1
47第十讲一元函数积分学的应用(一)——几何应用
P238例10.1 求心形线 [见图]的弧长(仅数学一、数学
二)所围图形的面积以及绕 =Ox 轴1旋−转 得 到 的0旋,0转≤体 的≤体2 积)[.
P240例10.2求伯努利双纽线 [见图]所围图形的面积以及绕 Ox轴、Oy
轴分别旋转得到的旋转体的体积 ².= ² 2 0)
48P244例10.8求摆线 (平摆线)一拱的弧长(仅数学一、数学二)、与
= −sin ,
0)
x轴所围图形的面积及绕 =x 轴1旋−转c得os到 的旋转体的体积.
P245 例 10.9 求星形线 (参数方程 (内摆线的一
2 2 2 3
3 3 3 = cos ,
种)的弧长(仅数学一、数学 二+) 、所=围 图 形0的) 面积及绕x轴旋转所3得旋 转0体))的体积.
= sin
49P245 例10.10求笛卡儿叶形线 (参数方程为 3 所围图
3
= 1+ ,
2
³+ ³−3 =0 0) 3
形的面积及渐近线. 3
= 1+
50公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第十一讲一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式
P264例11.1已知函数 ˢ ˣ ⁻ ˢ ˣ则
ⁱ ⁿ ⁱ ⁿ
’’’
= + , 2 =.
P264例11.2已知函数 则 ( )
cos sin 2
= 0 , = 0 ,
(A)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
(B)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
(C)f(x),g(x)均是奇函数
(D)f(x),g(x)均是周期函数
P265例
1
1
11.3 = −1 = ¯ .
1+
P265例
4
11.4 = − 2 2 1 s + in − = ¯.
51P265例11.5(1)设 a为任意常数，则( ).
+
= |sin | , =1,2,⋯,
(A)I只与a有关 (B)I只与n有关
(C)I与a,n均有关 (D)Ⅰ 与a,n均无关
(2)设 k为正整数，a为任意实数，则( ).
+2 2
= 1−sin
(A)I只与a有关 (B)I只与k有关
(C) I 与a,k均有关 (D)Ⅰ与a,k均无关
P266 例11.6 设一阶齐次线性微分方程 的系数p(x)是以T为周期的连续
'
函数，则“该方程的非零解以T为周期” 是+ = 0 的( ).
“ 0 =0”
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
P275 例11.15 设函数 其中 则F(x)( ).
+2 sin 2 2
= , = 1+sin cos2 ,
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不是常数
52P275 例11.16已知 则f(x)( ).
2 sin
= 0 ,
(A)大于零 (B)小于零 (C)恒为零 (D)非常
数
P276 例11.17 设 则I( ).
3
2 cos
= 0 2 −3 ,
(A)恒正 (B)恒负 (C)存在零点 (D)发散
P276 例11.18证明:
+2
sin
= sin >0.
P277 例11.19 证明:
2
2
0 sin > 0.
53P277 例 11.20 设函数 f(x)具有二阶导数, 记
' '
则( ). < 0, ' > 0, 1 =
− sin , 2 = − cos ,
₁ ₂ ₁ ₂
> 0, < 0 < 0, > 0
₁ ₂ ₁ ₂
> 0, > 0 < 0, < 0
P286例11.31设f(x)可积,且 limf(x)=a,证明
∞
1
lim →+ 0 = .
P287例11.32设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数, j ⁿ ，证明：
对于任意 0 = 1 =0, <0
1
∈ 01 , 0 | ≥ 4.
P288例11.33设f(x)在[a,b]上单调递增且连续,证明
+
≥ 2 .
54P288例11.34求极限
∞
1 2 2
lim → 0 sin .
ℎ
P289例11.35求极限 其中函数f(x)在| 上连续.
ℎ ℎ
1
lim →0 + −1 2 + 2 , −11
55第十二讲一元函数积分学的应用(三)———物理应用于经济应用
P291例12.2半径为a的半球形水池蓄满了水，水的比重为1，现将水抽干，至少做功
2,
则a= .
P292 例 12.3 如图所示，一闸门的上部是一个宽为 2 米、高为 H 米的矩形，下
部由 与 围成.当闸门上边缘与水面在一个平面时，其上部所受水压
力与下部所受水压力之比为 求上部的高度 H .
= ² =1
5
4,
（仅数三）
56第十三讲 多元函数微分学
P306例13.10设f(x，y)在区域D上二阶偏导数连续，则下列命题：
①若 则.f(x,y)=φ(x);
≡ 0, ∈ ,
②若 则 f(x,y)为常数;
= ≡ 0, ∈ ,
③若 则对任意 ₀ ₀ ₀ 存在δ>0,使
≡ 0, ∈ , ∈ ,
得在 U(p₀ ,δ)内有 f(x,y)=φ(y)
所有真命题的序号为( ).
(A)①② (B)③ (C)②③ (D)①②③
57585960公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取61626364第十四讲二重积分
656667第十五讲微分方程
686970公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取
更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取
更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取
更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取
