小红薯：天王盖地虎，全上985 下一站上岸
线 性 代 数
P r o j e c t P l a n n i n g P a p e r
1小红薯：天王盖地虎，全上985 下一站上岸
第 2 讲余子式和代数余子式的计算
P20 例2.1 设 其中 Aij为元素 aij 的代数余子
2 1 0 −1
−1 2 −5 3
= 41− 42+ 43+10,
3 0
式，则a，b的值1为(−)3. 5 0
(A)a=4,b=1 (B)a=1,b=4
(C) a=4,b为任意常数 (D)a=1,b为任意常数
P21例2.2设 0 0 0 5 6 则|A|中所有元素的代数余子式之和为 .
0 0 0 7 8
= 1 2 3 0 0 ,
0 1 4 0 0
0 0 1 0 0
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P22例2.3已知3阶方阵A的特征值为 则
−1,2,3, ₁ ₁ +₂ ₂ +₃ ₃ =.
P 2 2 例 2 . 4 设 矩 阵 是 元 素 ⱼ 的 代 数 余 子 式 ， 且
则
= 3×3, ᵢ
11− 12 12− 13 1
3 3
21− 22 22− 23 1 = , ∑ =1∑ =1 =
31− 32 32− 33 1
P23例2.5 证明: 11+ 12+ 13+ 其中 ⱼ是 中元素 aij的代数
21+ 22+ 23+ 3 3
21 22 23 + ∑ =1∑ =1 , ᵢ 3×3
余子式. 31+ 32 33
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例2.6设 则
1 −1 −1 −1
−1 1 −1 −1 4 4
= , ∑ =1∑ =1 = ¯.
−1 −1 1 −1
−1 −1 −1 1
P24例2.7设 11 12 ⋯ 1 且满足 则对任意实数b，n阶行列
21 22 ⋯ 20
| =1, =− =12⋯ .
⋮ ⋮ 2 ⋯ ⋮
式 11 2 ⋯
11+ 12+ ⋯ 1 +
21+ 22+ ⋯ 2 + = ¯ .
1+ 2+ ⋯ +
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第 3 讲矩阵运算
P41例3.3 设 则
1 3
2 − 2
= 3 1 , ⁻ ¹¹=.
2 2
P46 例 3.8 设矩阵 其伴随矩阵 且
1 −2 1
∗
= 3×3, = 0 2 −2 ,
则 −1 2 1
11+1 12+1 13+1
3 3
21+1 22+1 23+1 −∑ =1∑ =1 <0, =.
31+1 32+1 33+1
P46例3.9设
则
∗
= .
(A)0 (B)4 (C)0或4 (D)1或4
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P55 例3.16 已知矩阵
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
= , = , = .
2 1 0 −1 0 1
(1)求矩阵C; −1 0 1 2 1 0
(2)计算
⁰¹ .
P59 例 3.18 设 A,B 为 n 阶矩阵,记 r(X)为矩阵 X 的秩,[X Y]表示分块矩阵,则( ).
( =
= ,
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第 4 讲矩阵的秩
P67例4.1设A,B分别为m×n与n×m矩阵, C为n阶可逆矩阵,且
A(C+BA)=O,则 = <
, + =.
P70例4.2设A是m×n矩阵,B是n阶方阵,且 ，下面结论正确的是( ).
= ,
(A)若AB=O,则r(B)=1 (B)若AB=O,则
1< ≤
(C)若AB=A,则l≤r(B)<n (D)若AB=A,则r(B)=n
P70例4.3设B是n阶矩阵,C是n×m矩阵,且r(C)=n,则下列结论:
①若BC=O,则B=O; ②若BC=C,则B=E;
③若BC=O,则l≤r(B)<n; ④若BC=C,则r(B)=n.
所有正确结论的序号为( ).
(A)①②④ (B)②④ (C)①③④ (D)③④
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P70 例4.4 设 ，则“存在可逆矩阵 使得 是 的( ).
> , × , “ = ”
(A)充要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件
P71 例4.5 设A为 矩阵，则“存在n×m矩阵B，使得 是“r(A)=n”的
( ). × × =ₙ ”
(A)充要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件
P71例4.6设A,B分别为3×2和 实矩阵，若 则
8 0 −4
3
2×3 = −2 9 −6 , =.
−2 0 1
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P72例4.7 已知 则
1 3
3×3 =2, =1, = −1 −2 1 , =.
2 6 −1
P72 例 4.8 已知 n 阶矩阵 A,B,C 满足. E 为 n 阶单位矩阵，记矩阵
的秩分别为 则 ( =). ,
, , ₁ ,₂ ,₃ ,
0
₁ ≤₂ ≤₃ ₁ ≤₃ ≤₂ ₃ ≤₁ ≤₂ ₂ ≤₁ ≤₃
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第 5 讲线性方程组
P 8 5 例 5 . 5 若 齐 次 线 性 方 程 组 ( ( ] 和 (
1 2 3
+2 +3 =0,
1 2 3
2 +3 +5 =0,
同解,则( )
1 2 3
+ + =0
1 + 2 +2 3 = 0,
) 2
2 1 + 2 +3 3 = 0
(A)a=1,b=2 (B)a=2,b=1 (C)a=-1,b=2 (D)a=2,b=-1
P86 例 5.6 设 A 为 n 阶方阵,证明:
(1)若 但是 则α,Aα,…,Ak⁻ ¹α(k 为正整数)线性无关；
ᵏ ⁻ ¹ ≠ 0, ᵏ = 0,
2 ⁿ ⁺ ¹ = ⁿ .
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P87例5.7设A为 矩阵，证明：非齐次线性方程组. 有解的充分必要条件是，对齐次线性方程
组 的任何解 向×量 α，均有 =
=0 =0.
P88例5.8设A是m×n矩阵,b是m维列向量,则. 有解是方程组 无解的( ).
0
× = =
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 1
(C)既非充分也非必要条件 (D)充要条件
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P89例5.9设A是4阶实对称矩阵， β是4维非零列向量， 则 是方程组
有解的( ). =2, , = , =2
= ,
(A) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件
( C)充 =要 条件 (D)既非充分也非必要条件
第 7 讲特征值与特征向量
P114例7.4.已知 是矩阵A属于特征值， l的特征向量，
1 0 0
−1
= 0 3 0 , 1 =1 ₂ ,₃
是矩阵A属于特征值. 0的线0性无3 关的特征向量，则矩阵P不可以是( ).
=3
₁ −2₂ ₃ ₁ ₂ +₃ ₂ −2₃
₁ ₃ ₂ ₁ +₂ ₁ −₂ ₃
P116 例 7.6 设 A,B,C 均是 3 阶矩阵,且满足 其中
求矩阵A 的特征值与特 征=向−量2 ., =2 , =
1 2 3 1 −2 1
−1 1 0 , = −2 4 −2
2 −1 1 −1 2 −1
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第 8 讲 相似理论
P121例8.1 设矩阵 仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆
2 1 0
= 1 2 0
矩阵P，使得 为对角1矩阵 .
⁻ ¹
P124例8.5设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( ).
与 相似 与 相似
²+⁻ ¹ ²+⁻ ¹
与 相似 与 相似
∗ −1 ∗ −1
+ + − −
13小红薯：天王盖地虎，全上985 下一站上岸
P125例8.7设A,P均为3阶矩阵, 其中 为3维列向量且线性无关，若
= ₁ ₂ ₃ , ₁ ,₂ ,₃ ₁ ₂ ₃ =
(₃ 1)₂证 ₁明 ：.A可相似对角化；
(2)若 求可逆矩阵C，使得( 并写出对角矩阵∧.
1 −1 −1
= 0 1 0 , ⁻ ¹ = ,
0 3 1
P127例8.8设A是3阶实对称矩阵，已知A的每行元素之和为3，且有二重特征值 求A的全
部特征值、特征向量，并求 ₁ =₂ =1.
ⁿ .
P130例8.10设3阶矩阵A与B乘积可交换, 是线性无关的3维列向量，且满足
₁ ,₂ ,₃ ₁ =₁ +
(₂ 1)求+₃ A,的 ₂ 全部=₃特 征, ₃值 ；=2₂ +₃ .
(2)证明：B与对角矩阵相似.
14小红薯：天王盖地虎，全上985 下一站上岸
P131例 8.11设矩阵
1 1 1 −1
= , = .
1 2 −1 1
(1)证明：A为正定矩阵；
(2)求一个可逆矩阵P，使得 与 均为对角矩阵.
15小红薯：天王盖地虎，全上985 下一站上岸
P133例8.13设A,B为n阶方阵, A可相似对角化，证明存在可逆矩阵P，使
得 同时对角化. = − ,
⁻ ¹ ,⁻ ¹
第 9 讲 二次型
P142 例9.4 设二次型 经正交变换 化为二次
2 2 1 1
型 1 2 = 其 中 1− a 4 ≥ 1 b . 2+4 2 2 = 2
2 2
(1)求 a 1 , b 2 的=值 ; 1+4 1 2+ 2,
(2)求正交矩阵Q.
16小红薯：天王盖地虎，全上985 下一站上岸
P149 例9.10 已知实矩阵 a为正整数，且A与B合同.
2 2 4
= , = ,
2 3 1
(1)求a,b的值;
(2)求可逆矩阵D，使得.
= .
P151 例9.13 设实对称矩阵. 正定，证明：对于任给的n维列向量α，
β，均有 ×
2
≤ .
17
