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微重点 6 几何特征在解三角形中的应用
解三角形在平面几何中的应用，是高考的重点，主要考查正、余弦定理、平面几何的几
何特征、性质(中线、角平分线等)，选择、填空、解答题都可以出现，难度中等．
考点一 三角形的中线及应用
例1 (2022·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＝2bcos2.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．
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规律方法 解三角形问题涉及到中点问题时，可采用向量法使问题简化．在△ABC中，若D
为边BC 上的中点，则AD＝(AB＋AC，两边平方即可得到三角形边长之间的关系．
跟踪演练1 (2022·德州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c2＝ab，
点D是边AB的中点，CDsin∠ACB＝asin B.
(1)证明：CD＝c；
(2)求cos∠ACB的值．
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考点二 三角形的角平分线及应用
例2 (2022·保定模拟)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线与BC相交于点
D.
(1)若AC＝2AB＝2，求CD的长；
(2)若AD＝1，求AB＋AC的最小值．
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规律方法 角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线
定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．
跟踪演练2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos∠BAC，∠BAC
的角平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，则以下结论正确的是________．(填序号)
①AC＝；②AB＝8；③＝；④△ABD的面积为.
考点三 四边形问题
例3 (2022·日照模拟)在①S ＝2，②∠ADC＝这两个条件中任选一个，补充在下面问题
△ABC
中并解答．
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求
AC的长．
(注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分)
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规律方法 解多边形问题，一般是把要求的量放到三角形中，利用正、余弦定理求解，关键
是选择好三角形，否则就会使问题复杂化，所以解多边形问题的实质还是解三角形问题．
跟踪演练3 (1)如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，∠ABC＝120°，∠ACD＝90°，
∠CDA＝60°，则BD的长度为( )
A. B．2 C．3 D.
(2)(2022·百校联盟联考)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，△BCD为等边三角形．则
当四边形ABCD的面积最大时，sin∠BAD＝__________.
