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专题 3-1 利用导数解决切线（公切线）问题
目录
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题型一：“在”型求切线.................................................................................................................1
题型二：“过”型求切线.................................................................................................................3
题型三：已知切线条数求参数.........................................................................................................4
题型四：判断切线条数.....................................................................................................................5
题型五：公切线问题.........................................................................................................................5
题型六：距离最小值.........................................................................................................................6
题型七：等价转化为距离.................................................................................................................7
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题型一：“在”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．例题2．（2022·四川·雅安中学高二期中（文））已知函数 在 上满足
，则曲线 在点 处的切线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
已知 在点 处的切线方程步骤：①求 ；
②
【变式演练】
1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知 满足 ，且当
时， ，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 的图象经过坐标原点，则
曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）设函数 ，则曲线
在点（3，－6）处的切线方程为（ ）
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 在 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．题型二：“过”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）过点 作曲线 的切线，则切线
方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D．
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知曲线
，过点 的直线 与曲线 相切于点 ，则点 的横坐标为
______________.
【提分秘籍】
函数 图象过点 处的切线方程：①设切线坐标 ，②求出切线方程为
，③代入 求得 ，从而得切线方程．
【变式演练】
1．（2022·山西太原·高三阶段练习）若过点 的直线与函数 的图象相切，则
所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）过点 作曲线 的切线，则切线方程为
A． B．
C． D．
3．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知 ，过 作曲线
的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．4．（2022·陕西安康·高三期末（理））曲线 过点 的切线方程是
___________.
题型三：已知切线条数求参数
【典型例题】
例题1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数 ，若过点
可以作出三条直线与曲线 相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）若过点 可作曲线 三
条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
过点 可做函数 的一条（或两条或三条）切线问题步骤：
①设切点 ，求斜率 ②求切线 ③将点
代入切线 方程中得 ④则问题转化为关于
的方程 就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.
【变式演练】
1．（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过 可做 的两条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·高二期末）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数 ，过点
可作曲线 的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
题型四：判断切线条数
【典型例题】
例题1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数 ，过点
作曲线 的切线，则可作切线的最多条数是______．
【提分秘籍】
过点 可做函数 的几条切线问题步骤：
①设切点 ，求斜率 ②求切线 ③将点
代入切线 方程中得 ④解出 即可判断切线
为几条.
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））过点 作曲线 的切线，当 时，切
线的条数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则过点 可作曲线
的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型五：公切线问题
【典型例题】
例题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若直线 是曲线
与 的公切线，则 （ ）
A． B． C． D．例题2．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若直线 是曲线 和 的
公切线，则实数 的值是___________．
【提分秘籍】
是 和 的公切线问题：
① 设 与 相 切 的 切 点 为 则 ， 求 出 切 线 方 程
② 设 与 相 切 的 切 点 为 则 ， 求 出 切 线 方 程
③联立两切线求解.
【变式演练】
1．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线 （ ）为曲线
与曲线 的公切线，则l的纵截距 （ ）
A．0 B．1 C．e D．
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l： 为曲线 与曲线
的公切线（其中 为自然对数的底数， ），则实数
b=___________.
题型六：距离最小值
【典型例题】
例题1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）若点 ， 分别是函数
与 图象上的动点（其中 是自然对数的底数），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．17
【提分秘籍】
本例中设 ， ，设与 平行且与 相切的直线与 切于，由导数的几何意义可求出点 的坐标，则 的最小值转化为点 到直线
的距离
【变式演练】
1．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知点P在函数 的图像
上，点Q是在直线 上，记 ，则（ ）
A．M有最小值 B．当M取最小值时，点Q的横坐标是
C．M有最小值 D．当M取最小值时，点Q的横坐标是
2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）直线 分别与曲线
， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二专题练习）点A是曲线 上任意一点，则点A到直线
的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习（文））已知点 是函数
图象上的点，点 是直线 上的点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型七：等价转化为距离
【典型例题】
例题1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知
，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【提分秘籍】
在本例中根据几何意义可知 表示点 和 之间的距离的平方，根据点
的轨迹方程，可将问题转化为 上的点与 上的点的距离的平方的最小值的
求解；利用导数可求得与 平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到
直线 距离平方的最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足： ，其中e是自
然对数的底数，则 的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））已知 ， ，
的最小值为（ ）
3．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知
， ，则 的最小值为（ ）A．9 B． C． D．
一、单选题
1．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数 的图像在 处的切
线过点 ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线 ： 既是曲线 的切线，又
是曲线 的切线，则 （ ）
A．0 B． C．0或 D． 或
4．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数 在点 处的切线
方程为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若函数 与 的图象存在
公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏南通·高三期中）已知直线 与 是曲线
的两条切线，则 （ ）A． B． C．4 D．无法确定
7．（2022·山西太原·高三期中）若曲线 和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝
（ ）
A． B． C．1 D．－1
8．（2022·江西赣州·高三阶段练习（理））已知曲线 与 的两条公切线
所成角的正切值为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
9．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知直线 是曲线 与曲线 的一条
公切线，直线 与曲线 相切于点 ，则 满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知直线 与曲线 ，
分别交于点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．e
11．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数 ， 为曲线 在点
处的切线上的一个动点， 为圆 上的一个动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））平面直角坐标系 中，已知，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
二、多选题
13．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知过点 作曲线 的
切线有且仅有1条，则 的可能取值为（ ）
A．－5 B．－3 C．－1 D．1
三、填空题
14．（2022·浙江杭州·高三期中）已知 ，过点 可作曲线 的三条切
线，则 的范围是________．
15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若曲线 在点 处的切线与曲线
在点 处的切线重合，则 ___________．
16．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知曲线 与曲线 有
相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
