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第 3 讲 空间向量与空间角
一、单项选择题
1．A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四
点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
2．(2022·温州模拟)在四棱台ABCD－ABC D 中，侧棱AA 与底面垂直，上、下底面均为矩
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形，AB＝1，AD＝AA＝AB＝2，则下列各棱中最长的是( )
1 1 1
A．BB B．BC
1 1 1
C．CC D．DD
1 1
3.如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AA ＝2AD，E为侧棱DD 上一点，若直线BD∥
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平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为( )
A. B．－ C. D．－
4．(2022·菏泽检测)已知三棱柱ABC－ABC 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为
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3，A 在底面ABC上的射影点D为BC的中点，则异面直线AB与CC 所成角的大小为( )
1 1
A. B. C. D.
5．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－ABC D 中，已知BD与平面ABCD和平面AABB所
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成的角均为30°，则( )
A．AB＝2AD
B．AB与平面ABC D所成的角为30°
1 1
C．AC＝CB
1
D．BD与平面BBC C所成的角为45°
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6．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉
乘：给定两个不共线的空间向量a与b，规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，
b，a×b三个向量构成右手直角坐标系(如图1)；③＝sin〈a，b〉；④若a＝(x ，y ，z)，b
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＝(x ，y ，z)，则a×b＝，其中＝ad－bc.如图2，在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝AD
2 2 2 1 1 1 1
＝2，AA＝3，则下列结论正确的是( )
1A．|AB×AD|＝|AA1|
B.AB×AD＝AD×AB
C．(AB－AD)×AA1＝AB×AA1－AD×AA1
D．长方体ABCD－ABC D 的体积V＝(AB×AD)·C1C
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二、多项选择题
7．(2022·山东联考)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．a＋b＋c，a－b，2b＋c
B．a－b，a－c，b－c
C．a＋2b，a－2b，a＋c
D．a－2b，6b－3a，－c
8．(2022·广州模拟)在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，AA ＝3，AD＝4，则下列命题为
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真命题的是( )
A．若直线AC 与直线CD所成的角为φ，则tan φ＝
1
B．若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且 l与平面BCC B 交于点M，则
1 1
AM＝
C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则sin θ＝
D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sin μ＝
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，设点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面Oxy的对称点，点P(1,2,3)
关于x轴的对称点为Q，则线段MQ的长度等于________．
10.如图，矩形ABCD是圆柱OO 的轴截面，AB＝2，AD＝3，点E在上底面圆周上，且EC
1 2
＝2DE，则异面直线AE与OC所成角的余弦值为________．
2
11.如图，在二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并
且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝2，则这个二面角的大小为________．12．(2022·南通模拟)已知正六棱柱ABCDEF－ABC DEF 的底面边长为1，P是正六棱柱
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内(不含表面)的一点，则AP·AB的取值范围是________．
四、解答题
13.(2022·莆田质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AFC；
(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在横线上，并作答．
①∠ABC＝；②BD＝AC；③PC与平面ABCD所成的角为.
若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且______，求平面ACF与平面ACD夹角的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
14.(2022·湖北联考)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，
∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，BC＝1，CD＝2，点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD
的重心G.(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值．
