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第 2 讲 随机变量及其分布
一、单项选择题
1．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝|X－1|，则P(Y＝1)等于( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
2．(2022·广州模拟)已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(μ≤X≤μ＋1)＝0.2，则P(X≥μ－1)等于
( )
A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.2
3．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)．现从甲、乙两箱出厂成品中各
随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
4．(2022·韶关模拟)某一部件由三个电子元件按照如图所示的方式连接而成，元件 1和元件
2同时正常工作，或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件正常工作的概率均
为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为( )
A. B. C. D.
5.(2022·萍乡模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等
的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块
正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔
的小球，当小球从之间的间隙下落时碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落
下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格
子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )A. B. C. D.
6．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已
知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p ，p ，p ，且p>p>p>0.记该棋手连胜两盘
1 2 3 3 2 1
的概率为p，则( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多项选择题
7．若<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有( )
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A.P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)<P(X＝1)
C．E(X)随着p的增大而减小
D．E(X)随着p的增大而增大
8．现有两种核酸检测方式；(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一
起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了；
如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再
逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为k＋1次．假设在接受检测的核酸样本中，
每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为
p(0<p<1)，若k＝10，运用概率统计的知识判断下列哪些 p值能使得混合检测方式优于逐份
检测方式．(参考数据：lg 0.794≈－0.1)( )
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
三、填空题
9．已知随机变量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，则D(2ξ＋1)＝________.
ξ 0 1 2
P a 1－2a
10.(2022·湖州模拟)盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为 ξ，则ξ的
均值E(ξ)＝________.
11．(2022·常州模拟)为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了 10个这类工程，得到如
下数据(单位：天)：17,23,19,21,22,21,19,17,22,19.若该类工程的工期X～N(μ，σ2)(其中μ和σ
分别为样本的均值和标准差)，由于情况需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能
够在规定时间内完成该工程的概率约为(保留两位小数)________．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
12．(2022·苏州模拟)泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提
出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝e－λ(k＝0，1,2，…)，其中e为自然对数的底数，λ
是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ>0)的泊松分
布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的
概率为________．
四、解答题
13．(2022·潍坊模拟)根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，
成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为
普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发
射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编
写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中
随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成
功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位
选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
14．(2022·济南模拟)某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按
80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：
消费次数 第1次 第2次 第3次 不少于4次收费比例 1 0.95 0.90 0.85
该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员并统计他们的消费次数，得到数据如下：
消费次数 1次 2次 3次 不少于4次
频数 60 25 10 5
假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元．根据所给数据，回答下列问题：
(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；
(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆
的所有会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值
为X，求X的分布列和均值E(X)．
