文档内容
分号教育教研中心
1. 题目：《三角函数的周期性》
2. 内容：
3.基本要求
（1）试讲约 10 分钟；
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（2）引导学生进行小组讨论；
（3）结合教学内容，适当板书。
【参考简案】
教学目标：
1.理解周期函数的概念，并会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函
数的周期。
2.通过从生活实际问题出发逐步抽象出函数周期性的定义，增强分析问题、解决问题的能力。
3.培养数学来源于生活的思维方式，理解未知转化已知的数学方法，激发数学学习兴趣，培
养对数学的亲近感。
教学重难点：
1.教学重点：理解周期函数的概念并会求一些简单三角函数的周期。
2.教学难点：运用周期函数解决实际问题。
教学过程：
一、创设情境 ，引入新课
1.问题情境导入。
2.提问：展示的几个例子有什么共同特征呢？
3.引出课题：三角函数的周期性。
二、合作探究，学习新知
1.归纳周期函数定义：
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 X 取定义域内的每一个值时，都有
，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
引导学生思考：周期函数只有一个周期吗？
从而得到结论：周期函数的周期不止一个。例如 ......和 ......都是正
弦函数的周期。
提问：周期函数有没有最小的一个周期呢？
学生独立思考，教师指名学生回答。得到函数是有最小周期的，进而得出最小正周期的概念：
如果再周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数f(x)
的最小正周期。
所以对于正弦函数我们就可以说：正弦函数是周期函数。 都是它的周期，最小
正周期是 。
2.例题讲解
求下列函数的周期性
（1） ；
（2） ；
（3） ；
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解析：（1）因为 ，所以由函数周期性的定义可知，原函数的周期为 。
（2）因为 ，所以由函数周期性的定义可知，原函数的周
期为 。
（3）因为 ，所以由函数周期性得定义可知原函数得
周期为 。
三、巩固运用，实践创新
出示教材练习题，课堂上先完成前 2 个。
四、总结体会，反思提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？
师生共同总结：①对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个
值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
②正弦函数是周期函数。 都是它的周期，最小正周期是 。
五、课后作业，拓展延伸
完成课后练习题。
六、板书设计
三角函数的周期性
①周期函数： ，函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
②正弦函数是周期函数。 都是它的周期，最小正周期是
【逐字稿】
各位考官好，我试讲的题目师《三角函数的周期性》，下面开始我的试讲。
一、 创设情境 ，引入新课
师：上课！同学们好，请坐！
师：各位同学，在我们生活中其实有很多周而复始的现象：例如太阳的“日出日落”，“月亮
的阴晴圆缺”，它们都存在着这样的一个周而复始的变化，那同学们，你们能不能举出一些
例子，在我们数学中有没有一些周而复始的变化呢？
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师：我听到左边有同学说，今天是周二，7 天以后是周二，14 天以后也是周二，你的想法
很独特，非常好啊！
师：老师听到这边的同学也说，摩天轮的转动也是周而复始的。
师：刚刚各位同学的发现其实都是非常棒的，大家看一下老师在屏幕上展示的这样一个函数
图像，在之前我们学习三角函数线的时候，我们就已经知道对于我们正弦函数、余弦函数而
言，每增加或减少 时，最终角的终边与原来角的终边是重合的，这说明对于我们的三角
函数也是有周期性的，其实不仅仅是三角函数，一些非三角函数也都存在着类似的性质，因
此我们这节课一起来研究：三角函数的周期性。
二、合作探究，学习新知
师：好，首先请同学们自主阅读课本，我们教材上有关于周期函数的概念，等一会老师和大
家一起来总结一下。
师：好，老师看大家已经读的差不多了，我们一起来说一下，什么是周期函数，其实周期函
数说的就是对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得函数的定义域内的每一个 x 的取
值，都满足 ，我们就把函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做函数 f(x)的周
期。
师：好，大家知道了关于我们周期函数的定义，老师有一个问题想问大家，周期函数只有一
个周期吗？
师：看到大家都摇头了，是的，周期函数不止一个周期，为什么呀？我听到有同学说，例如
我们的正弦函数，它的 都可以叫做它的周期。
师：同学们非常聪明啊，那既然周期函数有这么多的周期，有没有一个最小的周期呢？好，
老师想请第三排的同学说。
师：你说有最小周期，好，请坐！这位同学其实已经说出来了，在我们这么多形形色色的周
期中，我们确实存在一个最小的正周期，对于我们函数f(x)的周期 T 而言，如果存在一个
最小的正数满足我们的周期，我们就把这个周期叫做最小正周期。大家想一下，对于我们正
弦函数 sinx 而言，它的最小正周期是多少？
师：好的，全班同学都告诉我了，是 ，那余弦函数呢？没错，余弦函数是一样的，因为
他们都是一样的，增加或减少 ，它的终边始终保持不变对不对。
师：好，这就是关于最小正周期的一个概念，那现在啊，老师出几道题考一考大家，看一看
大家是不是真正掌握了周期函数的定义，大家看到屏幕上的 3 道题：
求下列函数的周期性：
师：老师等一会想请 3 位同学来回答一下。
师：好，右边这位靠窗的同学，你手举的最快，你来告诉老师。
师：第一题，因为 ，所以原函数的最小正周期是 。
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师：你回答的非常好啊，请坐！中间这位同学，你有想法。
师：你说第二题 ，因此原来这个函数的最小正周期为 。
师：来左边这位同学你也不甘示弱，你来告诉老师。
师：第三题，你在括号内对 x 加上了一个 ，最后还原以后和原式是一样的，所以第 3 题
的最小正周期应该是 。回答的不错。
师：既然这个样子，说明大家对于我们周期函数的定义已经掌握的是非常好了，那对于我们
而言，其实不仅要掌握周期函数的定义，我们也要掌握关于三角函数的一些周期性的定义，
我们刚刚其实已经说过，正弦函数它就是一个周期函数，并且是一个最小正周期为 2π的函
数，这一点大家一定要记住。
三、巩固运用，实践创新
师：好，那既然这样子的话，教材上也有两道题，老师希望大家能够快速给出我答案。
师：大家说得非常好，那证明这节课大家对于周期性的学习时非常棒的。
四、总结体会，反思提升
师：那我们就一起来看一下，这节课其实我们学习了关于周期函数的相关定义，也知道了对
于我们的正弦函数而言，它是一个周期函数。 都是它的周期，最小正周期
是 。
五、课后作业，拓展延伸
师：那课后老师希望大家能够完成我们课后练习题，下节课来和老师一起分享，本次课到此
结束，下课！
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1.. 题目： 《对数运算的性质》
2. 内容：
3. 基本要求：
（1）试讲时间约 10 分钟；
（2）讲解条理清楚、重点突出；
（3）需要适当板书；
（4）渗透数学思想方法。
【参考简案】
教学目标：
1.通过归纳与类比，理解对数概念与指数概念的相互关系，能进行对数式与指数式的互化。
2.通过类比发现与归纳发现，让学生体验探究问题，提高学生运用“类比”和“归纳”方法的意
识。
3.体会数学内在的逻辑性，发现数学美，提高学生学习数学的热情。
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教学重点 ：掌握对数运算性质。
教学难点 ：灵活运用对数运算性质。
教学过程 ：
一、温故复习，悬疑导入
1.三连问：对数的定义是什么，怎样用字母表示？常用对数是什么，怎样用字母表示？请举
个例子自然对数是什么，怎样用字母表示？请举个例子。复习已学知识。
2.类比指数的运算性质，提问：对数有没有运算性质，它有哪些运算性质，这些性质是如何
得来的？在提问中引出课题——对数的运算性质。
二、尝试探究，理解掌握
1.初步探究、获得猜想
活动 1：试一试，计算下列对数的值：
活动 2：上题中各个对数之间的关系，大胆猜想。
活动 3：反思猜想的合理性。
2.深入研究、得出性质
活动 1：如何验证自己的猜想，引导学生认识到对数和指数之间的关系，用指数运算性质来
推导对数运算性质。
活动 2：将具体的运算抽象，由特殊到一般，思考： 、
活动 3：验证推导其他性质：引导小组学习，发现新的性质，并证明。
3.师生总结：
（1）对数运算的性质公式
对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。根据上述运算法则，多个同
底对数相加，底不变，真数相乘，对数的乘法法则： M 的 n 次方的对数会等于 M 的对
数的 n 倍。
（2）对数性质和指数性质的关系
三、解释应用，巩固新知
大屏幕的两道题，巩固一下所学知识。
四、总结体会，反思提升
（1）通过本节课的学习，你有哪些收获？鼓励学生畅所欲言，各抒己见。
（2）学生总结为主，引导学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。老师
辅助补充。
五、课后作业，拓展延伸
1.基础作业：课后习题；
2.开放性思考题：对数运算可以解决哪些实际应用题，试着去找找并用对数解决。
六、板书设计
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对数运算的性质
【逐字稿】
各位考官大家好，我试讲的题目是《对数运算的性质》，下面开始我的试讲。
一、温故复习，悬疑导入
师：上课！同学们好，请坐！
师：各位同学，在上节课我们已经学习过了关于对数的相关概念，有没有哪位同学可以帮助
老师回顾一下，对数的定义是什么，用字母应该如何表示呢？好，最后一排靠窗的男生，你
来说。
师：你说如果a的x次方等于N（其中a>0，且a≠1），我们就把x叫做以a为底N的对数，
记作 。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
师：很棒，那老师想再考考你，常用对数是什么，用字母应该如何表示呢？
师：很好，说明对上节课的知识掌握的非常牢固，请坐！他说常用对数其实就是以 10 为底
的对数。正数N的常用对数直接写成 。
师：非常好啊，那其实在我们之前的学习中，我们已经学习过了关于指数运算的相关性质，
对数运算有哪些相关性质呢？这节课我们就一起来研究一下。
二、尝试探究，理解掌握
1.初步探究、获得猜想
师：好，各位同学，大家看到老师的大屏幕上给大家呈现了 6 组式子，分别是：
师：首先老师想请同学们告诉我，这 6 组式子的结果是多少啊，给大家提示一下，大家可
以想一想指数，用逆向思维的方法来求解。
师：好，左边第三排的同学，你来告诉老师。
师：很好，你的思路非常清晰，请坐！这位同学告诉我们说，由于 2 的 1 次方等于 2，2 的
平方等于 4，2 的 3 次方等于 8，一直到 2 的 6 次方等于 64。因此刚刚的 6 组式子的
结果分别为 1、2、3、4、5、6，大家和他的想法是一样的嘛？
师：是一样的，那大家观察一下老师写的这 6 组式子啊，大家能不能发现其中的一些规律
呢？
师：我听见有同学说 ，还有同学说 。
师：其实啊，在我们数学中，同底的两个对数相加，底数不变，真数相乘即可，这是我们今
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天学习所学习的对数运算的第一个性质。有没有同学可以用数学表达式给老师说一下啊？右
边这位的同学，你来说。
师：很好，你的表达能力非常强，请坐！他说 ，老师把他的想法板
书在黑板上。
师：好，那接下来老师又有其他的问题了，同底的两个真数相减，以及以 a 为底 M 的 n 次
方的对数又该如何计算呢。现在前后 4 人为一小组，老师给大家 5 分钟的时间可以讨论交
流一下，等一会老师想请同学来表达，现在开始。
师：好，老师看同学们讨论的声音逐渐小了起来，有没有哪位同学可以告诉老师结果的。好
的，第一小组代表，你来告诉老师。
师：你说同底的两个对数相减，底数不变，真数相除。很好，那用符号表达式如何写呢？
师：非常棒，你的表达和组织能力也是非常强，请坐！他说 。
师：好，老师看到右边的小组，你们有想补充的。
师：嗯，你们发现了以 a 为底 M 的 n 次方的对数可以等于以 a 为底 M 的对数的 n 倍。
同样的话，用数学表达式怎么写啊？
师：很好， ，请坐。
师：好，这就是我们今天所学习关于对数运算的积、商、幂的对数运算法则。
三、解释应用，巩固新知
师：现在老师想考一考各位同学，大家看到老师 PPT 上的两组式子，然后尝试在纸上动手
试着算一算。
师：我看到大家已经陆陆续续地算完了，那我们现在来核对一下答案。
四、总结体会，反思提升
师：那接下来，老师就像请几位同学分享一下了，这节课我们学习了那些知识点？我们总结
一下。
师：同学们说这节课我们学习了关于对数运算的一些性质，包括对数的积、商、幂的运算法
则，非常棒，请坐！老师要给大家补充一点，大家结合之前我们学习过指数和对数的相关知
识，大家要记住，如果说 ，这其实就是关于指数和对数相互之间
的关系。
五、课后作业，拓展延伸
师：老师在课后给大家留一些任务，大家回家以后完成课后习题，同时，去生活中找一下，
有没有哪些实际应用问题运用到了关于今天我们讲的对数运算的相关性质，各位同学，本节
课到此结束，下课！
谢谢考官，我的试讲结束。
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1.题目：《交集与并集》
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲时间约 10 分钟；
（2）讲解条理清楚、重点突出；
（3）需要适当板书；
（4）渗透数学思想方法。
【参考简案】
教学过程：
1.理解交集、并集的概念。掌握有关集合的术语和符号，会用它们正确的表示一些简单的集合。
2.经历探索集合的交与并的过程，学会用集合的术语和符号，求两个集合的交集、并集。
3.激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的密切联系。在探索归纳的过程中，认识由具体到抽象
的思维过程。
教学重点：理解交集与并集的概念。
教学难点：会求集合的交集和并集。
教学过程：
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一、创设情境，悬疑导入
1.情境：数学老师整理了中考数学成绩在 90 分以上的学生，化学老师整理了中考化学成绩在 90
分以上的学生，两个成绩都在 90 分以上的学生顺利成为科学兴趣小组的成员。
2.结合上述情境复习集合与元素的关系的知识。
3.引出新问题：若数学老师整理的学生名单为集合 A，化学老师整理的学生名单为集合 B，则
科学兴趣小组的成员组成的集合是什么？该如何表示呢？引出课题。
二、尝试探究，理解掌握
1.引导探究、形成概念
（1）交集的定义
概念中的“且”即“同时”的意思。
①自然语言：由所有属于集合 A且属于集合 B的元素组成的集合，称为 A与 B的交集。
②符号语言：A∩B
③图形语言：如图所示。
并集学习概念时要注意“三种语言”之间的转化。
①自然语言：由所有属于集合 A或属于集合 B的元素组成的集合，称为集合 A与 B的并集。
②符号语言：A∪B=
③图形语言：如图所示。
2.深入研究、研究运算
（1）交集运算的四类关系。集合 A与 B之间的这四种关系，它们的交集分别是？
用韦恩图直观解释。
（2）交集运算性质
①A∩BB∩A；②A∩B⊆A，A∩B⊆B；③A∩∅ ∅ ；④A∩AA。
（3）并集运算性质
结合韦恩图阐述并集运算性质：A∪BB∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪AA，A∪∅ ∅ ∪AA。如
果 A⊆B， 则 ，反之也成立。
三、解释应用，巩固新知
大屏幕的练习题，巩固一下所学知识。
求下列集合的交集和并集，
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（1）设集合
（2）设集合 ，
5 分钟时间，大家在下面做，我请一位同学上台来完成。其他同学在草稿本上完成。
四、总结体会，反思提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从
知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。
五、课后作业，拓展延伸
1.基础作业：课后习题；
2.开放性思考题：结合除了交集和并集的运算之外，还会有什么运算呢？他们之间的混合运算该
如何运算呢？我们下节课来分享。
六、板书设计
交集与并集
【逐字稿】
一、创设情境，悬疑导入
师：上课！同学们好，请坐，各位同学我们班即将成立科学兴趣小组，老师整理了一下中考数学
成绩在 90 分以上的同学，以及中考化学成绩在 90 分以上的同学，这两科成绩同时在 90 分以
上的同学将加入到我们班的科学兴趣小组。老师先提前恭喜下述同学。
师：那其实刚刚老师说的这句话里边，蕴含了一些数学知识。不知道有没有同学发现？
师：老师听到有同学说蕴含了我们上节课所学习的集合与元素的知识，看来同学们对于上节课的
知识掌握的是非常牢固的。
师：那老师就有问题了，如果我们把数学成绩在 90 分以上的同学看作集合 A，把化学成绩在 90
分以上的同学看作集合 B，那么科学兴趣小组的同学应该如何用集合来表示呢？好，老师看大家
都在思考啊，其实这就是我们这节课所学习的交集与并集。
二、尝试探究，理解掌握
1.引导探究、形成概念
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师：那什么是交集，什么是并集，我们先来试想一下，科学兴趣小组的同学是不是既在集合 A中，
也在集合 B中啊。嗯，没错，其实啊，在我们数学中，既在集合 A中，也在集合 B中的元素
构成的集合，我们把它称之为两个集合的交集。我们把这样的交集给它一个符号，记作 A∩B，
读作 A 交 B。
师：这是刚刚老师给大家描述的自然语言，那我们数学自然也有符号语言，A∩B我们用符号语
言怎么来描述呢？ 大 家 注 意 这个 且 字 ，且 代 表同 时 满 足 的 意 思，所 以 用 符
号语 言 来 描 述 也 就是 A∩B
师：同样的，大家可以看到老师的大屏幕，大屏幕上老师给大家展示了两个集合交集的部分，既
然是既满足 A，也满足 B，代表的是不是它们的公共部分啊，也就是我们图阴影部分的区域，这
就是我们的图像语言。
师：好，现在大家已经知道了什么是交集，那老师问大家什么是并集呢？大家可以类比的和交集
进行思考，现在前后四人为一小组，老师给大家几分钟时间讨论一下，同样按照老师的 3 种语
言去描述一下，现在开始。
师：好，老师看到同学们讨论的声音慢慢小了下来，有没有给老师分享的，来，左边这个小组。
师：所有满足集合 A 或满足集合 B 的元素构成的集合称为 A 和 B 的并集，非常棒，请坐！
师：老师同样给出它符号语言表示：A∪B，读作 A 并 B。好，第二小组的同学，你有想说的。
师：如果用集合来表示的话 A∪B 。非常棒。同样的，大家可以看到老师黑板
上 A∪B的图像表示，大家注意，这个并代表的是合并的意思，所以你看，代表的是不是就是
A 集合和 B 集合这两个形成的整体啊。非常棒啊，所以这其实就是交集和并集的意思。
2.深入研究、研究运算
师：那学到这，我们也要给大家介绍一下交集和并集的一些运算性质，大家可以看到老师的 PPT，
交集，刚刚顾名思义，其实就是两个集合的公共部分，公共区域，所以大家可以看到，①A∩BB
∩A,本质上它们是相等的，因为它们就是表示两个集合公共部分，对不对，那大家看，既然是
两者的公共部分，它们一定是既含于 A 也含于 B 的，这两个性质是毫无疑问的，（②A∩B⊆A，
A∩B⊆B）。那我们再来看 A 集合如果和空集相交呢，空集是没有元素的，所以公共区域是不是
还是空集啊，然后 A 集合和它本身相交呢，依然是它的本身③A∩∅ ∅ ；④A∩A A，所以这几
个交集的性质大家一定要记住。
师：类似的，大家可以看到我们并集的运算性质：A∪BB∪A；并且两个集合的并集表示它们的
整体，所以这两个集合一定是含于 A∪B 里面的 A⊆A∪B，B⊆A∪B；最后再来看，A 集合和它
本身相并，依然是 A集合，A 集合如果和空集相并，依然是 A 集合，因为空集和 A 集合相并
还是 A 集合本身对不对：A∪AA，A∪∅ ∅ ∪A=A。
=
师：这就是关于我们交集和并集相关的运算性质。
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三、解释应用，巩固新知
师：那现在同学们看到老师屏幕上的这两个集合，现在大家求出这两个集合的交集和并集。
1.设集合
2.设集合 ，
师：好，左边这位同学。
师：答案非常准确，请坐！其他同学和他的答案一样吗，看来大家啊今天对于交集和并集的概念
学的都非常的好。
四、总结体会，反思提升
师：那现在老师带着大家一起来回顾一下，这节课我们学习了关于交集和并集的相关概念，包括
它们的记法、读法，符号语言，图像语言，也学习了我们关于交集和并集的运算性质。
五、课后作业，拓展延伸
师：课后，老师给大家布置一个任务，大家完成课后习题 1-2，同时想一下除了交集和并集的运
算之外，还会有什么运算呢？各位同学，下课！
谢谢考官，我的试讲结束。
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1.题目：《极值的概念》
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲时间约 10 分钟；
（2）讲解条理清楚、重点突出；
（3）需要适当板书；
（4）渗透数学思想方法。
【参考简案】
教学目标：
1.理解周期函数的概念，并会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的
周期。
2.通过从生活实际问题出发逐步抽象出函数周期性的定义，增强分析问题、解决问题的能力。
3.培养数学来源于生活的思维方式，理解未知转化已知的数学方法，激发数学学习兴趣，培养对
数学的亲近感。
教学重点：理解周期函数的概念并会求一些简单三角函数的周期。
教学难点：运用周期函数解决实际问题。
教学过程：
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一、温故复习，悬疑导入
1.提问：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
函数单调性与导数的关系：一般地，设函数 在某个区间 内有导数，如果在这个区
间内 ，那么函数 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 ，那么函数
为这个区间内的减函数.
2.求函数单调性的一般步骤：一看域，二求导，三解式。
①求函数的定义域；
②求函数的导函数；
③解不等式得的单调递增区间；解不等式，得的单调递减区间。
3.让学生欣赏华山连绵起伏的图片，接下来将华山的部分轮廓图抽象成曲线，观察图示，点d、
e处的函数值与它们附近点的函数值有什么样的大小关系？以问题为导向引出课题——极值的
概念。
二、尝试探究，理解掌握
1.引导探究、形成概念
（1）将华山的部分轮廓图抽象成曲线放入平面直角坐标系中。
（2）探究活动
问题 1：函数 在 点的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？
问题 2：在这些点附近， 的单调性如何？导数的符号有什么规律？
（3）以小组为单位展开讨论，派代表回答，总结后给出函数极小值的定义，并用 PPT 演示极小
值的定义，并要求学生类比极小值给出极大值的定义。
（4）结论
函数在 的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们把 叫做函数的极小值点，数的
一个极小值；函数在 的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们把 叫做函数的极大值
点， 叫做函数的一个极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极
值。
2.深入研究、寻找方法
（1）图中有哪些极值点？极值点唯一吗？极大值一定比极小值大么？引导学生得出：函数极值
是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个
极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
（2）函数 在极值点的导数值为多少？极值点两侧导数符号有何规律？结论：极值点处导
数值为 0。通过以上观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法，看极值与导数之间
有什么关系？请模仿第一个表格把第二个表格填写完整。
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（3）请问如何判断 是极大值或是极小值？在横坐标 也就是极值点的两侧，导数 的
纵坐标左正右负为极大值，左负右正为极小值。
（4）总结求解极值的步骤：确定函数 的定义域，求导数 ：求方程 的全部实根，
，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时， 和 值的变化情
况：
检查的符号 并由表格判断。方法一：从单调性分析。从左到右，先增后减的分界点的纵坐
标即为极大值和先减后增的分界点的纵坐标即为极小值；方法二：从导数正负性分析。左正右负
为极大，右正左负为极小。最后求解极值。
三、解释应用，巩固新知
大屏幕的练习题，巩固一下所学知识。
求 的极值。
5 分钟时间，大家在下面做，我请一位同学上台来完成。其他同学在草稿本上完成。
四、总结体会，反思提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从
知识、
方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。
五、课后作业，拓展延伸
1.基础作业：课后习题 1-2；
2.开放性思考题：导数值为 0 的点一定是该点为极值点？
六、板书设计
极值的概念
1.极值定义
2.极大值
3.极小值
【逐字稿】
各位考官大家好，我试讲的题目是《极值的概念》，下面开始我的试讲。
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一、温故复习，悬疑导入
师：同学们，上课，首先老师检验一下上节课的学习成果，大家还记得导数和函数单调性的关系
是什么？最后一排靠窗的男生，你来说。
师：没错，函数单调性与导数的关系：一般地，设函数 在某个区间 内有导数，如果
在这个区间内 ，那么函数 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 那
么函数 为这个区间内的减函数.
师：那大家还记得求函数单调性的一般步骤吗？
师：没错，1.求函数的定义域；2.求函数的导函数；3.解不等式得的单调递增区间；解不等式，
得到单调递减区间。
师：回答的非常全面，有没有哪位同学尝试总结一下，以便于我们记忆呢。好，你来说。
师：概括的非常简练。求函数单调性的一般步骤：一看域，二求导，三解式。
师：请同学们抬头看大屏幕上的这幅图片，你们看到了什么？
师：嗯，是的，其实就是我们的五岳中的华山。
师：同学们，如果将华山的部分轮廓图抽象成曲线，观察图示，点d、e处的函数值与它们附近
点的函数值有什么样的大小关系？
师：看大家很有疑惑，其实这就是我们这节课的内容——极值。
二、尝试探究，理解掌握
师：将华山的部分轮廓图抽象成曲线放入平面直角坐标系中。
师：接下里我们以小组为单位，仔细观察该图，并讨论以下问题：
问题 1：函数 在 点的函数值与这些点附近的函数值
有什么大小关系？
问题 2：在这些点附近， 的单调性如何？导数的符号有什么规律？
师：看大家已经讨论完了，第一小组，你们派代表说一下。
师：你们说函数在 的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们把 叫做函数的极大
值点， 叫做函数的一个极大值。
师：非常准确，大家真的是慧眼如炬啊。老师强调一下，极大值点、极小值点统称为极值点，极
大值和极小值统称为极值。
师：现在增加一点难度，接下来，大家再观察思考一下，图中有哪些极值点？极值点唯一吗？极
大值一定比极小值大么？
师：倒数第二排靠窗的女生，你来说。
第 18 页 共 47 页分号教育教研中心
师：回答的条理清晰。函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数
在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可
能小于另一点的极小值。
师：老师又有问题了，函数 在极值点的导数值为多少？极值点两侧导数符号有何
规律？
师：是的，极值点处导数值为 0。
师：我们不妨类比于函数的单调性与导数关系的研究方法，看极值与导数之间有什么关系？并完
成以下表格，一会儿老师找一位同学上台补充。
师：大家对照一下，和台上的这位同学的结果一样吗？
师：由此，我们也可以得出，在横坐标 也就是极值点的两侧，导数 的纵坐标左正
右负为极大值，左负右正为极小值。
师：我们一起总结一下求解极值的步骤。确定函数 的定义域，求导数 ；求方程
的全部实根， 顺次将定义域分成若干个小区间，并列
表：x变化时， 和
值的变化情况：
检查的符号 并由表格判断。方法一：从单调性分析。从左到右，先增后减的分界点的纵
坐标即为极大值和先减后增的分界点的纵坐标即为极小值；方法二：从导数正负性分析。左正右
负为极大，右正左负为极小。最后求解极值。
三、解释应用，巩固新知
师：请看大屏幕的练习题，求 的极值。
5 分钟时间，大家在下面做，我请一位同学上台来完成。其他同学在草稿本上完成。
师：现在我们以一起看黑板，大家说他计算的对不对啊?
师：好，完全正确，这位同学解题思路严谨，过程完整，结果准确，值得大家去学习！在巡视的
过程中大家的答案都完全正确，掌握了今天的知识。
四、总结体会，反思提升
师：通过本节课的学习，你们收获了什么？
师：看来大家都收获颇丰。知道了极大值和极小值的概念，明确了求极值的步骤。
五、课后作业，拓展延伸
师：请同学们课后完成习题 1-2 并且想一想导数值为 0 的点一定是该点为极值点？
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1.题目：《概率的基本性质》
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲时间 10 分钟左右；
（2）讲解要目的明确、条理清楚、重点突出；
（3）根据讲解的需要适当板书和作图；
（4）讲清概率的几个基本性质并能简单应用。
第 20 页 共 47 页分号教育教研中心
【参考简案】
教学过程：
1.了解概率的取值范围，必然事件、不可能事件的概率，掌握事件互斥、对立事件概率的计算公
式。
2.通过学生探究思考，锻炼数形结合、转化与化归的数学思想，提高数据处理能力、逻辑推理能
力、分析问题与解决问题的能力。
3.通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识在现实世界的巧妙应用，提升
数学学习的兴趣。
教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质。
教学过程：
一、导入新课
复习内容，学生教师共同回顾集合、随机事件等内容，集合中有交并运算，那么概率中是否也有
类似的内容，概率还有哪些基本性质是我们不知道的呢？由此引入今天的课题——概率的基本性
质。
二、探究新知
1.提问问题
给出骰子试验中，定义如下事件，例如： ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ， ，为下
面学习概率的几个基本性质做准备。
2.探究性质
通过数中骰子实验，对每一个事件进行分析，师生共同总结，从而得到概率的几个基本性质。
在骰子实验中，发现每一个事件发生的概率都是大于 0 且不超过 1，所以对于一般的事件 A，
其发生的概率是： 。
对于事件 ，在骰子试验中，由于出现的点数最大是 6，所以这个事件
一定发生，称为必然事件。在每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为 1，从而必然事
件的概率为 1。
对于事件 ，骰子的点数是 1-6，不可能大于 6，对于该事件，称为
不可能事件，因此它的频率为 0，对于不可能事件，其发生的概率为 0。
当两个事件不可能同时发生时，我们称事件 A 与事件 B 互斥时， 发生的频数等于 A 发
生的频数与 B 发生的频数之和，从而 的频率， ，由此得到
概率的加法公式；如果事件A与事件B互斥，则 。
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如果两个事件，其中一个不发生，另外一个事件必然发生，称事件 B 与事件 A 互为对立事件，
则 为必然事件。 ，再由加法公式得 ，例如，在投骰子试验
中 G 与 H 互为对立事件，因此 。
通过师生分析骰子实验，得到概率的五个基本性质。
三、巩固练习
提问：骰子实验中，点数小于 3 的概率和点数大于等于 3 的的概率之和是多少。
明确：两个事件为对立事件，概率之和为 1。
通过习题练习，让学生强化本节课学习到的知识。
四、课堂小结
学生总结概率中五条基本性质，教师予以补充。
五、布置作业
1.查阅资料，了解数学家雅各布.伯努利对概率发展的贡献。
2.完成书课本中的课后习题。
【逐字稿】
各位考官大家好，我试讲的题目是《概率的基本性质》，下面开始我的试讲。
一、导入新课
师：上课，同学们好，请坐。我们前面学习了集合，在集合中有哪些运算方法。
师：这位白色衣服的女同学，你来说说你的答案。
师：她说，集合中有交、并、补运算。
师：没错，对于集合来说我们有交、并、补运算，其实在概率中也有相似的计算方法，那就是概
率性质中的互斥、对立事件计算公式，它与我们集合的有关运算十分相似。
师：今天这节课，我们就来学习一下概率的基本性质。
二、探究新知
师：首先我们来看一个骰子，骰子在投掷时可能会出现的点数可能是 1、2、3、4、5、6 其中的
一个，现在我们来定义一下这些事件， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ，
师：请同学们前后四个人为一组进行讨论，对于以上的事件出现的概率为多少？时间 3 分钟，
讨论过
程中有问题的同学可以举手示意，我会来帮助你。结束之后，请小组代表进行回答。
师：第一小组，你们组来说一下前六个事件的发生概率。
师：嗯，对于前六个事件，骰子一共 6 个面，出现其中一个点数是其中一个面，所以出现某一
点数的概率都是 。
第 22 页 共 47 页分号教育教研中心
师：这位同学的思路很清晰，能够把问题转化为已经学过的知识进行解决。
师：第二小组，你们组来说 ， ， 。对于 ，
因为骰子的点数是 1-6，所以骰子不大于的情况只有点数为 1，所以这件事件出现的概率是 。
对于 ，不大于 3 的点数是 1、2 和 3，所以出现点数不大于 3 的概
率是 。 ，不小于 5 的点数是 5，6，所以出现的点数不小于 5 的概
率是 。
师： ，骰子的点数是恒小于 7 的，所以随便掷骰子点数一定小于
7，出现的概率为 1。
师： ，骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6，不可能出现 7，所以
出现点数为 7 的概率是 0。
师： ， ，骰子中奇数点有 1，3，5，偶
数点有 2，4，6。所以奇数和偶数点各占一半，事件 G、F 发生的概率都是 。
师：非常好，知识掌握的很牢固，看来同学们对于概率计算这个知识点掌握的很牢固，那同学们
观察一下，这些事件的概率有什么样的特点呢？。
师：戴眼镜的男同学，你来说一下。
师：嗯，他说，这里面每一个事件发生的概率都是大于等于 0 且不超过 1，对于一般的事件 A，
它发生的概率取值范围 。
师：她说，她发现，对于事件 E 和事件 F，这两个事件概率一个是 1，另外一个是 0，对于概
率为 1 的事件我们称为必然事件，对于概率为 0 的事件，我们称为不可能事件。
师：分析的很透彻，请坐！其他同学还有补充吗？
师：嗯，第二小组代表，你来说一下。
师：嗯，她说，发现 G 与 H 这两个事件是相互对立的，如果 G 不发生，H 一定发生，G 发生，
H 一定不发生。
师：其实这样的事件我们称为，对立事件，两个事件 是必然事件， ，再由加法
公式得 。
师：概率的性质还有许多，下节课我们将继续学习概率的另一个内容。
三、巩固练习
师：同学们，咱们今天的重点内容都已经完成了，我来检测一下大家能否熟练掌握概率的基本性
质。
第 23 页 共 47 页分号教育教研中心
请同学们再来看几道题，骰子实验中，点数小于 3 的概率和点数大于等于 3 的概率之和是多
少？
师：好，我看大家都已经完成了，后边这位同学你来说说，这道题目的结果是多少？
师：哦，他说，因为这两个事件是对立事件，所以，它发生的概率是 1。很棒，这个答案是完全
正确的。
四、课堂小结
师：我们这节课就要接近尾声了，哪位同学来分享一下本节课的收获和体会呢？
师：好，最后一排这位同学你来。
师：你说你学习了概率的基本性质，知道了概率取值范围，必然事件的概率为 1，不可能事件的
概率为 0，了解了互斥事件与对立事件的计算公式。看来这节课你听的很认真，请坐。
师：这位同学掌握的很清晰，这也是老师想要告诉大家的，希望同学们在每节课的学习中都能够
有不同的进步和收获。
五、布置作业
师：这节课就上到这里，下课之后请同学们了解一下数学家雅各布.伯努利，看看他对于概率论
发展的贡献，下节课我们就会学习到有关他所创立的内容，同时完成课后习题部分。
谢谢考官，我的试讲结束。
第 24 页 共 47 页分号教育教研中心
1.题目：《对数的概念》
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲时间 10 分钟左右；
（2）讲解要目的明确、条理清楚、重点突出；
（3）根据讲解的需要适当板书；
（4）讲清对数与指数间的关系。
【参考简案】
教学过程：
1.理解对数的定义，了解对数式中各字母的取值范围及名称，理解指数与对数之间的互逆关系，
能够进行对数式与指数式的互化。
2.通过对对数概念的学习，认识指数与对数之间的互化关系，感受数学中相互转化的思想，体会
到类比学习方法在数学中的作用。
3.通过对于对数知识的学习，利用相互联系的观点看问题，培养学生利用数学思想分析问题的意
识。
教学重点：对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化。
教学难点：应用指数与对数的相互转化求值。
教学过程：
一、导入新课
第 25 页 共 47 页分号教育教研中心
数学史导入：经历了暗淡无光的中世纪，近代数学伴随文艺复兴而再次发展，17 世纪有三个伟
大数学成就，一是笛卡尔解析几何的创立，二是牛顿与莱布尼茨创立的微积分，三就是对数，对
数的创立延长了天文学家的寿命。但是对数到底是什么呢，由此引入本节课内容——对数的概念。
二、探究新知
1.对数的概念
提问： ，求x等于多少？
明确：
如果是， , , ,这时 等于多少，学生发现，这里面 不能用整数进行
表示。 教师讲解对数的概念：一般地，如果 ,那么 叫做以a为底N的对数，
记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。学生掌握对数的概念后，教师让学
生回归刚才的问题如何进行书写。
提问： , , ，求x分别等于多少。
明确： ， ， 。
2.常用对数与自然对数
了解对数概念之后，掌握对数的简单运算，接着介绍两个对数的概念，常用对数与自然对数。在
生活中，我们经常使用 10 为底的对数，这种对数叫做常用对数，并把 记为 另
外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 为底数的对数，以 为底的对数称为自然对
数，并把 记为 。这两个对数在后面计算，应用非常广泛，同学们一定要了解这
一概念。
3.对数与指数的关系
教师提问，根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 ， 。
接着学生进行总结对数中的几点说明：对于指数与对数，可以发现指数中的 a 和 N 值都是正值，
所以可以发现对数的底数和真数是没有负数和 0 的，指数有 ， ，所以对数中
恒有 ，
三、巩固练习
提问： ， ， ，将以上指数式转化为对数式，对数式化
为指数式。
明确： ， ， 。
第 26 页 共 47 页分号教育教研中心
通过例题，加强学生对于指数和对数转化运算的理解。
四、课堂小结
学生总结，教师补充评价。
五、布置作业
1.通过查询互联网，了解无理数 ，以及与 有关的“最美公式”。
2.完成课后习题。
六、板书设计
【逐字稿】
各位考官大家好，我试讲的题目是《对数的概念》，下面开始我的试讲。
一、导入新课
师：上课，同学们好，请坐。同学们知道近代科学是什么时候开始蓬勃发展的吗？
师：第三排这位同学，你来说说你的答案。
师：嗯，他说，是欧洲文艺复兴之后，科学开始快速发展。
师：其实经历了暗淡无光的中世纪，科学的发展几乎停滞，伴随文艺复习科学再次发展，17 世
纪有三个伟大数学成就，一是笛卡尔解析几何的创立，二是牛顿与莱布尼茨创立的微积分，三就
是对数，对数的创立延长了天文学家的寿命，那对数到底是什么？
师：今天这节课，我们就来认识对数，学习一下对数的概念。
二、探究新知
师：同学们请看多媒体中的思考题： ，求 等于多少？
师：穿白色衣服的女同学，你来说说你的答案。
师：她说，根据指数的运算，这个结果是 。
师：这位同学的思路很清晰，能够把问题转化为已经学过的知识进行解决。
师：如果是 ， ， ，这时x等于多少？
师：老师看见同学们都摇了摇头，这里面x不能用整数进行表示了，其实对于这类问题，就涉及
到一个全新的数：对数。
第 27 页 共 47 页分号教育教研中心
师：我们一起来看一下对数的概念是什么，一般地，如果 ，那么x叫做以
a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。这就是对数的概念，
大家是不是可以发现，对数是从指数转化过来的，同学们要把对数中每一部分的名称搞清楚，知
道它与指数中每一个字母的对应位置，这一做题时才不会出现错误。
师：现在同学们继续求 ， ， 中x的值分别等于多少？
师：嗯，数学课代表你来说一下，你来说一下你的结果吧。
师：他说，通过刚才的知识算出，这三题的结果分别是 , , 。
师：非常好，知识掌握的很牢固，看来同学们对于对数的概念掌握的非常清晰了。
师：掌握对数概念了，我们继续看两个常用的对数，在指数中，我们是不是经过用到
这种类型，对数中我们也经常使用以 10 为底的对数，这个对数叫做常用对数，并把 记
为 。
师：另一个对数，同学们可能没有见过，但是在科技、经济以及社会生活中经常使用，它就是以
为底的对数， 是一个无理数 ，以e为底的对数称为自然对数，并把 记
为 。这两个对数在后续的计算、应用都非常的重要，所以同学们要知道这两个常用的对
数。
师：通过上述例子，我们发现指数和对数是有联系的，根据对数的定义，可以得到对数与指数间
的关系：当 ， 。那么对数的底数和真数的取值是怎么的，一些
对数运算是否与指数一样，有特殊的值。
师：请同学们前后四个人为一组进行讨论，时间 3 分钟，讨论过程中有问题的同学可以举手示
意，我会来帮助你。结束之后，请小组代表进行回答。
师：好，时间到。第三小组，你来说说你们的想法。
师：嗯，他说，因为指数函数中 ， ，同时N的值始终是大于 0 的数，所
以对数的底数都是大于 0 不等于，真数全都大于 0，负数和 0 没有对数。
师：分析的很透彻，请坐！其他同学还有补充吗？
师：嗯，第二小组代表，你来说说。
师：嗯，她说，指数中 ， ，所以对于对数中 ， 。
师：第二小组考虑的很全面，老师给你们点个赞。对数的性质及运算方法还有很多，下节课我们
在继续探索。
三、巩固练习
第 28 页 共 47 页分号教育教研中心
师：同学们，咱们今天的重点内容都已经完成了，我来检测一下大家能否熟练应用这一公式。请
同学们再来看几道题， ， ， ，将指数式转化为对数式，
对数式化为指数式。
师：请第一排这位同学到黑板上进行板演。其他同学在练习本上完成。
师：好，我看大家都已经完成了，我们一起看一下黑板上这位同学的结果， ，
， 。他后边这位同学你来说说，他的式子有没有问题？
师：哦，他说，黑板上同学的做的完全正确。嗯，你说的是对的，请坐！在这里老师也要提醒大
家，在进行指数和对数转化的时候一定要书写正确。
四、课堂小结
师：我们这节课也马上就要接近尾声了，哪位同学来分享一下本节课的收获和体会呢？
师：好，最后一排这位同学你来，你说你学习了对数的概念，知道了什么是对数，常用对数、自
然对数，并且知道了对数的条件和取值范围。看来这节课你听的很认真，请坐。还有谁要补充的
吗？
师：同桌，你来说说。恩，他说，这节课运用到了类比，转化等一些重要的数学思想。说的很不
错，这个也是老师想要告诉大家的，希望同学们在每节课的学习中都能够有不同的进步和收获。
五、布置作业
师：这节课就上到这里，课下之后请同学们上网搜索与 有关数学中的“最美公式”，同时把课
后练习中的习题写到作业本上。
第 29 页 共 47 页分号教育教研中心
1.题目：《弧度制和弧度制与角度制的换算》
2.内容：
3.基本要求：
第 30 页 共 47 页分号教育教研中心
（1）试讲约 10 分钟；
（2）引导学生进行小组讨论；
（3）结合教学内容，适当板书。
【参考简案】
教学目标：
1.理解并掌握弧度制的概念以及换算形式。
2.通过思考，探究，讨论，动手操作等过程，学生培养其发现问题，解决问题的能力，感受转化
与划归的数学思想。
3.感受到数学学习中知识点之间相互连接的趣味性，体验到数学学习的乐趣，增加学习学习数学
的兴趣。
教学重点：理解弧度制的概念并学会与角度制进行换算。
教学难点：理解为什么引入弧度制，弧度制的好处是什么。
教学过程：
一、谈话复习，引入新课
复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数。
复习角的概念推广：提出问题：角的范围是什么？如何分类的？
二、合作探究，学习新知
1.新授导语：初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是 60 进制，角是否可以用
其它单位度量？
2.学生自主学习课本第 7、8 页,回答以下问题：
（1）角的弧度制是如何引入的？
（2）为什么要引入弧度制？好处是什么？为了把角度和长度直接联系起来，
学生动手画图来探究：角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？角的弧
度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
老师引导总结 1 弧度角的定义、角的弧度与角的关系。
（1）1 弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是 rad，读
作弧度，
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
（2）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0。
（3）角a的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）。
3.角度制与弧度制的换算：
三、巩固运用，实践创新
1.直径为 20cm 的圆中，求 圆心角所对应的弧长。
第 31 页 共 47 页分号教育教研中心
四、总结体会，反思提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？鼓励学生畅所欲言，各抒己见。学生总结为主，引导学生从
知识、方法、情感等方面小结本节课所学内容。老师辅助补充。
1 弧度的定义
2.弧度与角度的换算公式（注意算法）
五、课后作业，拓展延伸
1.基础作业：课后习题 1-2；
2.开放性思考题：弧度制是哪位数学家最先研究的？
六、板书设计
弧度制和弧度制与角度制的换算
弧度制：用弧度作为单位度量角，单位：rad
【逐字稿】
各位考官大家好，我试讲的题目是《弧度制和弧度制与角度制的换算》，下面开始我的试讲。
一、谈话复习，引入新课
师：上课，同学们好，请坐。在上课之前呢老师想问一下大家，以前初中的时候学了哪些和角度
有关的知识？
师：反应很快，请坐。例如有如何去测量一个角的大小以及角的度数。那既然有角的度量和角的
度数，如何去测量一个角呢？角根据度数的不同又分成几种啊？
师：回答的很全面啊，一般都是用量角器进行测量，而根据角的大小分为锐角，直角，钝角，平
角和周角。 那除了角的测量和度数以外还有什么是和度数有关的呢？哪位同学可以补充一下。
生：还有弧的度数。
师：没错，除了角度以外，我们还有弧的度数这种数据，那既然有角的度数，也有弧的度数。今
天我们就一起研究一下弧度制和弧度制与角度制的换算吧。
二、合作探究，学习新知
师：之前学习角度的时候，我们说角的度量单位是什么啊？没错，是度，分，秒。不过大家还记
得它们彼此之间的进位是多少吗？
师：很好，记的非常清楚，就是 60 进制的。除此之外，刚才我们也说了，还有弧的度数，大家
想想能不能用弧的度数表示角呢？现在给大家 5 分钟的时间自学课本这一部分的一下。时间到，
为了检验大家的学习成果，老师问你们几个问题。首先是第一题：角的弧度制是如何引入的？左
边那位同学你举手了你来说吧。
生：是通过弧长与半径之间的关系，引入了角度弧度制从而进行角度表示。
师：回答的很完整，请坐。接下来请听第二题：为什么要引入弧度制呢？好处是什么？后边那我
同学你手举这么快，你告诉大家你的答案是什么。
师:你的思维很敏捷，请坐，弧度制的引入可以把角度和长度直接联系起来，而不只是角度这一
个单一的内容。弧度制的好处就是把两个看似没有关系的角度和长度紧密的联系到了一起。
可以帮助我们更方便的进行解题和应用。用公式表示就是 。
第 32 页 共 47 页分号教育教研中心
师：下面咱们以小组为单位进行探究活动的进行，大家自己动手画一画看看能发现什么特征。并
思考这几个问题：角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？角的弧度与
角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？看大家停止了讨论，应该是有结论了，谁来说一说。
右边那位同学你来谈谈。
师：很好，角的大小和圆的半径大小没有关系，因为角的大小是对应弧长和半径的比值，这个值
的大小是根据圆心角唯一确定的。 接下来老师再把刚才大家的发现和结论一起总结一下：
弧度制就是用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
1 弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是 rad，角度有
正有负，所以咱们的弧度制也有正有负，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，那零角
的弧度数是多少呢？
师：回答正确，0。 不过这都是概念性的知识，具体咱们还需要学怎么去用，怎么进行计算，公
式刚才已经写在黑板上了，不过大家还需要清楚一个知识点：角 的弧度数的绝对值 （ 为
弧长， 为半径）。
师：咱们在计算时两个公式选择性的应用，如果只给了圆心角，求弧度用哪个？
师：第一个。那只给了弧长和半径呢？没错，那就只能用第二个了。
三、巩固运用，实践创新
师：弧度制以及于角度制的换算相信大家都已经掌握了。那我们就具体运算一下吧，看看 PPT 上
老师给大家准备的题目直径为 20cm 的圆中，求 圆心角所对应的弧长。那位举手最快的同
学你来说说你的答案是多少？
师：非常好，请坐。 ， ∴ 。
四、总结体会，反思提升
师：来同学们对知识点掌握的都很牢固，有谁愿意和大家分享并上黑板写一下你一下这节课的收
获呢？
请第一小组代表起来写一下吧。写一下弧度制的概念及你所学的内容。
师：他写的是不是本节课主要内容啊，是的。看来同学们掌握的不错。
五、课后作业，拓展延伸
师：欢乐的时光总是短暂的，就快下课了，今天回去后有两个作业：（1）完成课本课后练习题。
（2）回去思考一下弧度制是哪位数学家最先研究的？下节课一起分享分享。
谢谢考官，我的试讲结束。
第 33 页 共 47 页分号教育教研中心
1.题目：《事件的关系与运算》
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲约 10 分钟；
（2）引导学生进行小组讨论；
（3）结合教学内容，适当板书。
【参考简案】
教学目标：
第 34 页 共 47 页分号教育教研中心
1.理解并掌握事件之间存在的 6 种关系。
2.通过游戏活动，思考探究，小组交流，学生培养其思维能力和交流能力，感受数形结合的数学
思想。
3.体会数学来源于生活，感受的数学学习的趣味性，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点：掌握事件之间存在的关系。
教学难点：能用字母表示出事件间的关系。
教学过程：
一、观看视频，引入新课
拿出准备好的骰子，组织学生进行游戏活动，并称把投掷骰子每次出现的结果看成一个事件，就
会有随机事件、必然事件及不可能事件，今天我们研究的课题就是事件的关系与运算。（板书课
题）
二、合作探究，学习新知
1.合作探究
引导学生抛掷骰子，记录出现的结果，教师多媒体呈现学生的讨论结果：
1.理解并掌握事件之间存在的 6 种关系。
2.通过游戏活动，思考探究，小组交流，学生培养其思维能力和交流能力，感受数形结合的数学
思想。
3.体会数学来源于生活，感受的数学学习的趣味性，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点：掌握事件之间存在的关系。
教学难点：能用字母表示出事件间的关系。
教学过程：
一、观看视频，引入新课
拿出准备好的骰子，组织学生进行游戏活动，并称把投掷骰子每次出现的结果看成一个事件，就
会有随机事件、必然事件及不可能事件，今天我们研究的课题就是事件的关系与运算。（板书课
题）
二、合作探究，学习新知
1.合作探究
引导学生抛掷骰子，记录出现的结果，教师多媒体呈现学生的讨论结果：
， ， 等。
， ， ，
， ， ，
，......
2.教师引导观察
（1）如果事件 发生，则事件H一定发生，我们说事件H包含事件 ，记作 。
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事
件A（称事件A包含于事件B），记作 （或 ）。如图：
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（2）类似地，请同学们结合掷骰子说明两个事件相等。（教师板书）
一般地，若 且 ，那么称事件A于事件B相等，记作 。
（3）若事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称事件为事件A与事件B的并事件（或和事
件），记作 （或 ）。如图：
（4）若事件发生当且仅当事件A且事件B发生，则称事件为事件A与事件B的交事件（或积事
件）记作 （或AB）。如图：
并事件和交事件概念讲完，请同学分别举例说明，既可以加深学生的理解，又可以增加课堂氛围。
（5）若 为不可能事件（ ），那么称事件A与事件B互斥，即在任何一次试验
中都不会同时发生。如图：
（6）若 为不可能事件， 为必然事件，那么称事件 A与事件 B互为对立事件，即
事件A与事件 B在任何一次试验中有且仅有一个发生。如图：
三、巩固运用，实践创新
1.从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球，则事件“取出 1 个红球和 2 个白
球”的对立事件的是。
四、总结体会，反思提升
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通过本节课的学习，你有哪些收获？
五、课后作业，拓展延伸
课后完成习题册。
六、板书设计
事件的关系与运算
包含关系： （或 ）
相等关系：A=B
并事件： （或 ）
交事件： （或AB）
互斥事件：
对立事件：
【逐字稿】
各位考官大家好，我试讲的题目是《事件的关系与运算》，下面开始我的试讲。
一、谈话复习，引入新课
师：上课，同学们好，请坐。大家看看老师手上拿的是什么啊？没错，是生活中很常见的骰子，
每次
掷骰子都出现点数对吧，那总共有几种可能性呢？
生：6 种
师：没错。因为有 6 个点数，所以有 6 种情况，那我们把每一次的结果都看成一个事件，是不
是就会
有我们以前学的随机事件，可能事件，不可能事件出现。既然有这么多种的事件出现，老师想请
同学们猜
一猜这些事件彼此之间会不会存在什么关系呢？
生：既然都是类似的事件，那应该是存在一些关系的。
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师：大家都很善于思考啊，没错，事件之间确实存在某些关系，具体存在怎样的关系呢，今天我
们就
一起研究一下事件的关系与运算。（板书课题）
二、合作探究，学习新知
1.骰子游戏，共同探究
师：骰子既然已经拿来了，那咱们就掷骰子看看顺便记录一下有哪些情况吧，虽然说点数是有 6
种，
但是事件数可不止 6 种呦，大家说说还能有哪些和点数有关的事件呢？坐在左边的那位同学你
来说一下吧。
生：点数为偶数，点数是奇数，点数大于 3 的，点数小于等于 3 的。
师：说的很详细啊，这些事件也可以说是和点数有关的。
2.探究事件，确定关系
师：既然有这么多的事件，老师问下大家这两个事件是什么关系呢？出现 1 点和出现的点数小
于 3 点。
生：如果事件是出现 1 点，那么事件为点数小于 3 点也一定成立。
师：回答正确，这就是事件的第一种关系，我们叫做包含关系，用数学语言表示呢就是对于事件
A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A，记作 （或
）。那大家尝试下用韦恩图表示是什么样的？
师：类似地，请同学们结合掷骰子说明两个事件相等什么情况呢？
生：事件 A 是出现 1 点，事件 B 是不大于 2 点。
师：反应很快啊，请坐。我们会发现 ，同时 ，这种情况下称事件A与事件 B相等，
记作 。
师：那接下来老师再说一个事件，大家想想他们是什么关系。事件为“出现 1 点或 5 点”，那
这个事件是有哪两个事件组成呢？
师：是的，“出现 1 点”和“出现 5 点”两个事件组成。 很明显是由这两种事件组成，那我
们说事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称事件为事件A与事件B的并事件，记作
（或 ）。同样大家画一画韦恩图。
师：有并其实就有交，那大家想一下交事件是什么样的呢先画个图看看？ 。像这
样的事件发生当且仅当事件A且事件B发生，则称事件为事件A与事件B的交事件，记作
（或AB）。
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师：刚才我们说了“出现 1 点”或“出现 5 点”这两个事件可以组合成一个并事件。但是他们
两个彼此之间是不是毫无关系，也就意味着 ，像这种任何一次试验中都不会同时发生，
那么称事件A与事件B互斥，如图。
师：互斥事件说完了，接下来就给大家看一个互斥事件的进阶版，我们叫做对立事件。那对立啥
意思呢？
师：确实是这种情况，不是你就是我。 就像一开始我们说的“点数是奇数”和“点数是偶数”，
是不是只会有这两种啊，但是又不可能同时发生，那么称事件A与事件B互为对立事件。而这个
韦恩图就需要大家注意， ，直接一分为二。
三、巩固运用，实践创新
师：事件之间的关系相信大家都已经了如指掌了，那老师现在给大家出一个题
从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球，则事件“取出 1 个红球和 2 个白球”
的对立事件的是？
师：没错，回答的完全正确，对立事件就是取出的 3 个球中至少有两个红球。
四、总结体会，反思提升
师：看来大家对知识点掌握的都很牢固，老师想问下同学们通过今天的学习有什么收获呢？请第
一小组代表起来说一下吧。
生：通过今天的学习，我了解了事件之间存在的五种关系，并会用数学符号对这些关系进行表示。
师：说得非常全面了，请坐。相信大家也都有收获。
五、课后作业，拓展延伸
师：欢乐的时光总是短暂的，就快下课了，今天回去后有两个作业（1）完成课本课后练习题，
（2）找一找生活中还有一些事件彼此的关系并在下节课进行分享。
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1.题目：《向量的减法运算》
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲约 10 分钟；
（2）引导学生进行小组讨论；
（3）结合教学内容，适当板书。
【参考简案】
教学目标：
1.掌握并理解向量的减法运算法则。
2.通过思考，探究，交流，动手操作等过程，学生培养其思维和交流能力，体验并感受转化与划
归的数学思想。
3.感受数学中知识点相互衔接的巧妙性，体会数学的乐趣，增加学生学习数学的兴趣和信心。
教学重点：掌握向量减法的运算法则。
教学难点：理解向量减法的几何意义。
教学过程：
一、复习旧知，引入新课
同学们还记得，在数的运算中，减法是如何规定的吗？是的，减法是加法的逆运算，其运算法则
是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。类比数的减法，这节课，我们将研究向量的减法与
加法有什么关系，如何定义向量的减法法则。（板书课题）
二、合作探究，学习新知
1.教师讲解
（1）规定：与向量 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 。
抛出问题：如果方向反转两次，你会发现什么？
零向量的相反向量仍是零向量。
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（2）结合两个向量和的定义知， ，即任意向量与其相反向量的和是零向
量。如果a，b互为相反向量，那么 ， ， ，向量a加上b的
想相反向量，叫做a与b的差，即 ，求两个向量差的运算叫做向量的减法。
引导学生发现：向量的减法可以从加法的角度理解：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向
量。
2.教师通过多媒体动画讲解， 的作图方法。动手操作，小组探究。
多媒体呈现小组的图示，小组代表回答，减法的几何意义： 可以表示为从向量b的终点
指向向量a的终点的向量。
三、巩固运用，实践创新
1.快问快答
四、总结体会，反思提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？
五、课后作业，拓展延伸
习题册的 A 组基础题 1-3 题作为必做题，B 组能力拓展第 1 题作为选做题。
六、板书设计
向量的减法运算
1.向量的减法：
零向量的相反向量仍是零向量
2.向量减法的几何意义：
可以表示为从向量b的终点指向向量a 的终点的向量
【逐字稿】
各位考官好，我试讲的题目是《向量的减法运算》，下面开始我的试讲。
一、谈话复习，引入新课
师：上课，同学们好，请坐。在学习新课之前呢，老师先问大家一个非常简单的基础问题：在数
的运算中，减法是如何规定的吗？手举得最高的那位同学你来回答一下。
师：回答的很完整呀，请坐。减法确实是加法的逆运算。那咱们上节课学了什么呀？
师：没错，向量的加法。可以不可以类比数的减法，想一想向量的减法是怎么计算的呢？这节课，
就请大家和老师一起学习一下向量的减法与加法的关系以及向量减法的法则是什么。（板书课题）
二、合作探究，学习新知
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师：在学减法之前，同学们要知道对于关于向量的概念，之前我们学习的过程中说向量的是有大
小也有方向的，那既然有方向，大家想一想向量 的相反向量怎么表示呢？
师：有同学反应很快啊，就是 。规定：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相
反向量。记作 。那如果方向反转两次，向量a又会是变成什么样呢？
师：没错， ，等于它自己。翻转两次相当于没变。不过此时就有一个特殊的向量需
要大家注意了。之前学习的过程中， 我们说零向量的方向是任意的，那零向量的相反向量是什
么呢？
师：是的，既然零向量的方向是任意的，那么它的相反向量仍是零向量，这一点比较特殊，大家
要记住。
师：结合上节课学的向量的加法， ，我们可以得出什么结论？
师：回答正确，不过刚才咱们都是在一个向量的基础上进行的运算，现在如果a，b互为相
反向量，那么a,b要怎么互相表示呢？
师：对的， ， 。
师：既然他们师相反向量，也就说明 ，向量a加上b的相反的向量。叫做a与
b的差，即 ，求两个向量差的运算叫做向量的减法。其实我们会发现向量减法
和以前学的数的减法有什么相同之处？
师：是的，大家的思维都很敏捷，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
师：既然向量的减法大家已经会算了，那对应的几何形式又是什么样子的呢？老师在这里给大家
画两个向量a,b,a-b意味着向量a加上b的相反向量，那咱们就需要先对向量b取相反向量，再
次连线会发现结果是什么样子的呢？各小组也自己动手画一画，讨论一下有什么结论。第三小组
代表说一下你们的结论。
师：是的，结合图例我们发现结果是向量b的终点指向向量a的终点的向量。
师：其他小组的结论和他们组一样吗？一样的就没错了，看来大家都很善于思考，这就是我们向
量减法的几何意义。 a-b可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量。
三、巩固运用，实践创新
师：向量的减法运算法则相信大已经学会了，现在咱们玩一个“快问快答”的小游戏吧，我
说出一个向量的减法算式，大家告诉我答案是多少。
师： 。
师：大家抢答的都很准确，反应也都还挺快的啊！
四、总结体会，反思提升
师：看来大家对知识点掌握的都很牢固，老师想问下同学们通过今天的学习有什么收获呢？请第
一小组代表起来说一下吧。
师：说的非常全面了，请坐。通过今天的学习，学会了向量减法的运算法则以及对应的几何意义
是什么。
五、课后作业，拓展延伸
师：欢乐的时光总是短暂的，就快下课了，今天回去后有两个作业（1）完成课本课后练习题。
（2）对课后的探究活动进行思考交流。
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1.题目：《等差数列的前 n 项和》
2.内容：
3.基本要求：
（1）试讲时间 10 分钟左右；
（2）讲解要目的明确、条理清楚、重点突出；
（3）能够推导出等差数列的前 n 项和公式；
（4）适当板书。
【参考简案】
教学目标：
1.掌握等差数列的前n项和公式，灵活运用等差数列的前n项和公式解决计算问题。
2.经历公式的推导，体验从特殊到一般的研究方法，提升观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3.感受数学推导的条理性及确定性，提高对数学学习的兴趣。
教学重点：等差数列的前n项和公式。
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教学难点：等差数列的前n项和公式的推导。
教学过程：
一、导入新课
讲授德国著名的数学家高斯数列求和的故事。高斯念小学时他的老师出了一道问题，1+2+3+…
+99+100
等于多少，其他学生都没有做出来，而高斯快速的写出了这道问题的答案.由此引入本节课的课
题——等差
数列前 n 项和。
二、新课教授
（一）回顾旧知
1.回顾旧知
学生回顾等差数列内容，在练习本进行书写。
教师提问，强调等差数列的性质。
2.解决问题
学生思考数学家高斯解决问题的方法，小组讨论说出想法。
教师板书讲解高斯的做法：1 到 100，首项与末项相加等于 101，一共 50 个 101，即可算出结
果 5050。
对于特殊的等差数列求和，学生有了初步了解。
讲解完本题，向学生阐述，实际问题的往往比较复杂，而且需综合应用多学科的知识才能解决它，
通过一道题目的例子，使学生理解等差数列前 n 项求和的内容。
（二）公式推导
教师引导学生对于一般的求和公式进行推导。
公式推导：教师书写一般项的等差数列公式求和， 引导学生运
用高斯算法和等差数列通项公式进行化简，学生经过小组合作讨论，得出式子，
， ，
进行加和，得到等差数列前n项和求和公式 。
公式变形：利用通向公式 ，将 用 进行表示，得到等差数列的
前 n 项和公式的另外一种表示方法 。
三、巩固练习
1.提问：等差数列中首项为 1，尾项为 11，一共 5 项，它的和为多少。
明确：运用 ，求得结果为 30。
2.提问：等差数列中，首项为 1，公差为 2，共计 20 项，它的和为多少
明确：运用 ，求得结果为 400。
四、课堂小结
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学生总结本节课学习内容，教师予以补充。
五、布置作业
完成书课本中的课后习题。
六、板书设计
【逐字稿】
各位考官大家好，我试讲的题目是《等差数列的前n项和》，下面开始我的试讲。
一、导入新课
师：上课，同学们好，请坐。同学们知道数学王子高斯吗？
师：高斯在念小学时，他的小学老师给他出了这样一个问题，1+2+3+…+99+100 的和等于多少？
高斯快速的解决了这个问题，同学们知道他是怎么做的吗？
师：嗯，老师听见同学们说高斯有简便算法。
师：今天这节课，我们就来学习一下等差数列前 n 项和公式。
二、探究新知
师：等差数列有哪些性质，那位同学来说一下？
师：第三排的同学，你来说一下。
师：嗯，他说等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，
等差数列的通项公式是 ，只要知道了等差数列的首项与公差，我们就能求
出等差数列的通项公式。
师：这位同学对于以往知识掌握的非常牢固，老师给你点个赞。其他同学还有补充吗？ 好的，
白色衣服的男同学你来说一下。
师：他说，等差数列还有条重要的性质，如果三个数a,A,b 成等差数列，那么A叫做a与b的
等差中项。就会有 。
师：非常好，老师对以上同学提出表扬。
师：那么，如何来计算1+2+3+…+100 的和呢？给同学们 3 分钟时间，做完向老师示意一下。
好的，这位穿粉色衣服的女同学，你来说一下。
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师：她说 ，所以
。
师：很好，请坐，她说的非常正确，高斯小时候就是这样进行计算的，快速的解决了这个问题。
师：对于等差数列 ，高斯的算法就表示为
。所以当我们把这种方法从特殊
推广到一般，可以得到：
当n为偶数时， 。
于是将
。当n为奇数时，化简得
师：那对于一般的等差数列求和 ，应该如何进行计算呢？
师：请同学们前后四个人为一组进行讨论，时间 3 分钟，讨论过程中有问题的同学可以举手示
意，我会来帮助你们。结束之后，请小组代表进行回答。
师：好的，第五小组，来说说你们小组的想法。
师：他说，等差数列通向公式 ，所以运用通向公式和
化简可以得到 ，
，两个式子进行加和，可以得到等差数列
的前 n 项和公式 。
师：第三小组，你们举起了手，你们组还有其他做法吗？
师：她说，她们组采用了这种方法， ，
两个式子加和可以得
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，运用等差数列性质可以得到
，得出 。
师：很好，你们的做法也非常正确。
师：同学们，对于这个式子能够进行变形呢？
师：第二小组，你们来说一下。
师：他们说将 ，代入 ，得出
。
三、巩固练习
师：同学们，咱们今天的重点内容都已经完成了，我来检测一下大家能否熟练掌握等差数列求和
公式。 请同学们再来看几道题， ？ ？
师：好，我看大家都已经完成了，后边这位同学你来说说，这道题目的结果是多少？
师：这个男同学说分别是 30 和 400，完全正确。
四、课堂小结
师：我们这节课也要接近尾声了，哪位同学来分享一下本节课的收获和体会呢？
师：好，最后一排这位同学你来，你说你学习了等差数列的前 n 项和公式，知道如何运用求和
公式进行求和。看来这节课你听的很认真，请坐。
师：这位同学掌握的很清晰，这也是老师想要告诉大家的，希望同学们在每节课的学习中都能够
有不同的进步和收获。
五、布置作业
师：这节课就上到这里，下课之后请同学们完成课后习题部分。
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